信用风险中的极端组合损失相关性

我们最终到达athpi（L（S），L（J））=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2π∞Z-∞du exp公司-如新大学×q2πM（S）（z，u）exp-L（S）- M（S）（z，u）2M（S）（z，u）×p2πM（z，u）exp-L（J）- M（长（S）、z、u）2M（z，u）（20） 对于M（L（S），z，u）=M（J）（z，u）+KXk=1f（J）kf（S）kN（S）k（z，u）L（S）的平均分布- M（S）（z，u）M（S）（z，u）（21）M（z，u）=M（J）（z，u）-M（S）（z，u）KXk=1f（J）kf（S）kN（S）k（z，u）！（22）M（S）（z，u）=KXk=1f（S）km（S）1，k（23）M（S）（z，u）=KXk=1f（S）km（S）2，k- m（S）1，k（24）M（J）（z，u）=KXk=1f（J）km（S）0，k+m（J）1，k（25）M（J）（z，u）=KXk=1f（J）km（S）0，k+m（J）2，k- m（S）0，k- m（J）1，k- 2m（S）0，km（J）1，k（26）N（S）k（z，u）=m（S）1，k1.- m（S）0，k- m（J）1，k. （27）因此，我们将平均损失分布表示为平均值为M（L（S），z，u）和M（S）（z，u）的高斯分布的双重平均值，方差为M（z，u）和M（S）（z，u），这些方差与积分变量无关。为了保持符号的透明性，我们删除了函数m（S）j，k（z，u）和m（j）j，k（z，u）的参数。由于式（20）中最后两个表达式的复杂性，必须对z和u积分进行数值计算。我们注意到平均分布的归一化是针对L（S）k，L（J）k∈ [0,1]仅在我们的近似顺序下有效。稍后，我们将集中讨论无违约的贡献。2.3. 同质投资组合根据大K近似，上述所有结果通常有效，并适用于各个细分面值为1/K阶的所有投资组合。为了进一步评估我们的结果并获得可视化效果，考虑同质投资组合是有指导意义的，其中高级和初级面值相等，F（S）k=F（S）和F（J）k=F（J）（28），因此F（S）k=F（J）k=k.（29）。此外，我们假设随机过程具有相同的初始值、漂移和标准偏差，Vk0=V，uk=u，ρk=ρ。（30）当然，这并不意味着实现的随机过程是相同的。

通过去掉k的依赖关系，矩m（S）a，k（z，u）=m（S）a，0（z，u）和m（J）J，k（z，u）=m（J）J，0（z，u），从而可以更快地计算平均分布hpi（L（S），L（J））。2.4. 给定违约损失的分布只有我们模型的完整动态，没有任何近似，才能为我们提供关于平均损失分布的非分析部分的分布信息。特别是，零处的非解析δ函数反映了无损耗。为了检验这一点，我们从等式（6）的平均版本开始，插入具有有效平均相关矩阵的同质投资组合的资产价值分布图（V | c，N）=N/2（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πz∞Z-∞du exp公司-N2zu×sN2πz（1-c） TVρexp-N2z（1-c） TρlnVV-u-ρ!T型+√cT uρ！K级=∞Zdz公司∞Z-∞duf（z，u）～ωK（V，z，u），（31），其中f（z，u）=N/2Γ（N/2）zN/2-1e级-z/2sN2πzexp-N2zu（32）￠ω（V，z，u）=sN2πz（1）-c） TVρexp-N2z（1-c） TρlnVV-u-ρ!T型+√cT uρ！. （33）由于同质性，等式（6）中的乘积也成为K次方，我们应用多项式定理。我们就这样到达了athpi（L（S），L（J））=∞Zdz公司∞Z-∞duf（z，u）（2π）∞Z-∞dν（S）e-iν（S）L（S）∞Z-∞dν（J）e-iν（J）L（J）×Xk+k+k=KKk，k，k！eiν（J）/KF（S）ZdV表达式ν（S）K1-VF（S）！！Иω（V，z，u）k×FZF（S）dV表达式ν（J）K1-五、- F（S）F（J）！！Иω（V，z，u）k∞ZFdV￠ω（V，z，u）k（34），多项式系数kk，k，k=Kkkk（35）从式（34）中，我们可以看到δ函数仅在k·k=0的条件下出现。Fork=k=0我们根本没有默认值，对分布的唯一贡献来自等式（34）中的最后一个积分，导致在原点处出现δ峰值δ（L（S）k）δ（L（J）k）。该δ峰值与初级和高级都没有违约相关。因此，可能性isP（ND）=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πz∞Z-∞du exp公司-N2zu×-erf“sN2z（1- c） TρlnFV-u-ρ!T型+√cT uρ！#！K

（36）它明显随K的增加而减少。对于K=0，k6=0，我们发现了导致总体初级违约而非高级违约的事件的贡献。在这种情况下，我们有一个表示中等损失的δ函数δ（L（S）k），这样高级次级债权人就不会蒙受损失。特殊情况k6=0，k=0导致δ函数δ（L（J）k之和-k/k），其中kruns从1到k。这是由于等式（34）中的总和。这些δ函数属于存在nodefault或ksevere默认值的事件，对于k=1，K债务人下级次级债权人完全破产，即L（J）K=1，高级次级债权人可能遭受损失，即L（S）K≥ 所有这些δ函数都不是未匹配的，而是使用一些积分预因子进行加权，以保持分布hpi（L（S），L（J））的归一化。此外，当我们只考虑违约损失时，δ函数消失，在我们的模型中，这意味着SL（J）>0，并且L（S）>0。在我们用来推导平均损耗分布（20）的二阶近似中，无法获得非解析部分。2.5。在非常大的投资组合中，我们现在考虑案例K→ ∞ 对于同质投资组合，分析多元化在所讨论的多元情景中是否有效。研究表明，在只有一家银行的相关单变量模型中，多元化不起作用【7】。等式的同质版本。（22）和（24）M（z，u）=Km（S）0,0+m（J）2,0- m（S）0,0- m（J）1,0- 2m（S）0,0m（J）1,0-m（S）1,01.- m（S）0,0- m（J）1,0m（S）2,0- m（S）1,0（37）M（S）（z，u）=Km（S）2,0- m（S）1,0（38）表示M（z，u）→ 0以及M（S）（z，u）→ K为0→ ∞. 这意味着高斯q2πM（S）（z，u）exp-L（S）-M（S）（z，u）M（S）（z，u）和P2πM（z，u）exp-L（J）-M（长（S）、z、u）M（z，u）在等式（20）中，变为δ函数。

因此，我们得到了athpi（L（S），L（J））=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2π∞Z-∞du exp公司-如新大学× δL（S）- M（S）（z，u）δL（J）- M（长（S）、z、u）=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2π∞Z-∞du exp公司-如新大学× δL（S）- m（S）1,0δL（J）- m（S）0,0- m（J）1,0. （39）为了使该方程在数值上易于管理，我们使用等式δ（f（u））=Xiδ（u- ui）| f（ui）|，（40），其中ui是函数f（u）的根，f（ui）6=0。使用这个恒等式三次，我们就可以解出剩下的两个积分，并最终得到极限损耗分布hpi（L（S），L（J））=N/2Γ（N/2）sN2πzN/2-1exp-z经验值-Nu（S）（L（S），z）×um（S）1,0（z，u）u=u（S）（L（S），z）·uhm（S）0,0（z，u）+m（J）1,0（z，u）iu=u（S）（L（S），z）×zu（S）（L（S），z）- u（J）（L（J），z）z=z. （41）这里的隐式函数su（S）=u（S）（L（S），z），0=L（S）- m（S）1,0（z，u（S））（42）u（J）=u（J）（L（J），z），0=L（J）- m（S）0,0（z，u（J））- m（J）1,0（z，u（J））（43）z=z（L（S），L（J）），其中u（S）（L（S），z）=u（J）（L（J），z），（44）是唯一的，必须进行数值计算。对L（S）和L（J）的依赖现在隐式存在于函数u（S）、u（J）和z中。等式（41）中的最后一个导数可以使用隐式函数定理来完成。它们可以追溯到m（S）0,0、m（S）1,0和m（J）1,0的导数。对于固定z和u，函数m（S）1,0和m（S）0,0+m（J）1,0分别在u和z上严格单调递增。因此，我们可以求解方程。（42）和（43）局部到u，其中我们获得u（S）和u（J）。这些方程可以通过z使用u（S）z（L（S），z）=-zm（S）1,0（z，u）um（S）1,0（z，u）u=u（S）（L（S）、z）（45）和u（J）z（L（J），z）=-zm（S）0,0（z，u）+m（J）1,0（z，u）um（S）0,0（z，u）+m（J）1,0（z，u）u=u（J）（L（J），z）。(46)2.6. 没有从属现在我们考虑与前面讨论的相同的模型，但没有考虑从属关系。这意味着损失在债权人之间平均分配。该模型与参考文献[25]中的模型密切相关。

这里有B≥ 2名面值为F（b）k，b=1，…，的债权人，B、 k=1，债权人b中债务人K的K和根据Bligor kL（b）K的标准化损失=1.-Vk（T）FkΘ（Fk- 如果F（b）k>00，则为（47），总面值Fk=PBb=1F（b）kof债务人k和资产价值Vk（T）。在公式（47）中，对于f（b）k>0，损失对债务人没有任何依赖性。如果发生违约，则不区分贷方，并承担相同的标准化损失。因此，我们写Lk而不是L（b）k。我们再次定义了标准化投资组合损失L（b）和分数面值f（b）k，L（b）=KXk=1f（b）kLkand f（b）k=f（b）kKPk=1f（b）k，（48）分别对应于债权人b。总平均损失的多元分布ishpi（L）=Zd[V]hgi（V∑）δL-KXk=1fkLk！，（49）带L=（L（1），L（B））+和fk=（f（1）k，f（B）k）+。在上述从属情况下调整我们的计算，并对f（b）kwe应用二阶近似值，得出最终结果Pi（L）=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2π∞Z-∞du exp公司-如新大学×pdet（2πM（z，u））exp-（L）- M（z，u））+M-1（z，u）（L）- M（z，u））, （50）式中，M（z，u）=KXk=1fkm1，k（z，u）（51）M（z，u）=KXk=1Dkm2，k（z，u）- m1，k（z，u）（52）并矢矩阵dk=fkf+k（53）和mj，k（z，u）=^FkZ-∞d^Vk1-Vk0Fkexp√z^Vk+uk-ρk！Tj×sN2π（1- c） Tρkexp“N2（1- c） Tρk^Vk+√cT uρk#（54）^Fk=√zlnFkVk0-uk-ρk！T（55）力矩mj，k（z，u）与式（18）中的力矩相同。对于该模型，我们只考虑整个市场的异质投资组合，因为同质投资组合将导致等式（53）中定义的奇异矩阵dk，所有债权人的损失将完全相同。相反，我们考虑的是债权人之间信贷量不同的情况，或者我们考虑的是投资组合不重叠或可能仅部分重叠的情况。虽然我们的结果是一般性的，但我们现在只考虑B=2债权人的可行rendera可视化。

我们分别将其表示为债权人一和债权人二。此外，我们解决了两个信贷组合可能部分重叠的最一般设置，见图2。我们再次考虑K债务人。让Rbe计算只有一个信贷的债务人数量图2：广义模型的建立，说明了具有同质相关性的金融市场的相关矩阵。两个镶边正方形对应两个部分重叠的投资组合。合同，比如债权人一的合同，在左侧上方的正方形中描绘。让Rbe计算从两个债权人处获得信贷的债权人数量。这些债权人对应于图2中的重叠区域。比例对应于分数r=r/K和r=r/K。债权人一交易为r+r信用，债权人二交易为K-R信用证。例如，这个模型还包括两个不相交的投资组合，我们只需将r设置为0。机器人的面值由两个面值Fk=F（1）k+F（2）k之和组成，这两个面值的大小不一定相同。为了以后的方便，我们考虑同质投资组合fk=fan，并假设投资组合重叠部分的面值在投资组合内相等，但在整个投资组合中可能会有所不同。这意味着我们引入一个参数γ∈ [0,1]F（1）k=γ，F（2）k=（1- γ） F.对于具有同质参数的市场，我们发现结果（50），其中M（z，u）=m1,0（z，u）“#（56）M（z，u）=m2,0（z，u）- m1,0（z，u）K“ααα#（57），其中α=r+γr（r+γr）（58）α=γ（1- γ） r（r+γr）（1- r- γr）（59）α=1- r- γ(2 - γ） r（1- r- γr）。（60）对于γ=0或γ=1.2.6.1，我们注意到α=0。在几个市场上没有从属关系为了处理几个不相关的市场，我们执行与前一节相同的计算。我们在公式（49）中插入平均资产价值分布（14），略有不同的是，我们必须用l和k上的两个和替换k上的和。

我们得出最终结果，该结果达到与式（50）hpi（L）=N/2Γ（N/2）形式相同的因子∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πβZd[u]exp-如新大学×pdet（2πM（z，u））exp-（L）- M（z，u））+M-1（z，u）（L）- M（z，u））（61）M（z，u）=βXl=1KlXk=1flkm1，l，k（z，ul）（62）M（z，u）=βXl=1KlXk=1Dlkm2、l、k（z、ul）- m1、l、k（z、ul）Dlk=flkf+lk（63）和u=（u，…，uβ）。这里，d[u]表示所有差异的乘积dul。动量SM1，l，k（z，ul）和m2，l，k（z，ul）与等式（55）中的相同，包括每个市场的附加指数l∈ {1, . . . β}. 通过这种方式，我们可以改变市场上的漂移和波动性等参数。我们发现，根据β的大小，使用极坐标或球坐标来计算多元u积分是有用的。2.7. 无从属关系和超大投资组合我们现在考虑两个超大投资组合，以K为上限→ ∞. 我们指出，在两个非常大的投资组合的情况下，rand rdo不会与K成比例。我们稍后将考虑一个非常大的投资组合和一个非常大的投资组合的情况。现在矩阵xm（z，u）收敛到零矩阵。这意味着指数项及其预因子接近δ函数，我们发现最终结果imk→∞hpi（L（1），L（2））=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2π∞Z-∞du exp公司-如新大学× δL（1）- m1,0（z，u）δL（2）- L（1）. （64）这一结果相当显著。我们首先指出，由于分布（64）与参数α、α和α无关，因此不再依赖于投资组合的结构。其次，在有限的情况下，两个投资组合的损失总是相等的，因此它们是完全相关的。换言之，一个大债权人的损失可以作为同一市场上另一个大债权人损失的预测。

即使债权人有不相交的投资组合，这一点也成立，而且它也不取决于资产价值之间的相关性。当我们考虑一个规模有限的投资组合和另一个规模较大的投资组合时，会出现不同的情况。由于投资组合的市场份额高度不对称，我们仅检查不相交的投资组合。比如，portfolio one是与Rcompanies合作的最终产品。然后，等式（57）中的矩阵素α与K和α的比例收敛为1。通过计算极限K→ ∞只有一个δ函数出现，通过使用δ函数的属性（40），我们可以确定→∞hpi（L（1），L（2））=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πexp-如新大学×sR2π（m2,0（z，u）- m1,0（z，u））exp-R（L（1）- m1,0（z，u））2（m2,0（z，u）- m1,0（z，u））！×|m1,0（z，u）/u | z，u，（65），其中u（L（2），z）是由0=L（2）定义的隐式函数- m1,0（z，u）。（66）我们注意到极限分布中对L（2）的依赖性用u（L（2），z）编码。此外，上述结果与二阶近似值一致，即使其中一个矩阵元素与K不成比例。最后，我们分析了两个不相交的大型投资组合，其中每个投资组合投资于一个单独的市场。我们从分布（61）开始，执行极限K→ ∞. 我们再次找到两个δ函数，通过两次应用公式（40），我们得到limk→∞hpi（L（1），L（2））=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2N2πexp-如新大学经验值-如新大学×|m1,1,0（z，u）/u | z，u|m1,2,0（z，u）/u | z，u，（67），其中0=L（1）- m1,1,0（z，u）和0=L（2）- m1,2,0（z，u）（68）定义隐式函数u（L（1），z）和u（L（2），z）。3、模型的校准和结果的可视化我们总是采用平均相关矩阵的近似值（11），由于集合平均值的性质，这与经验数据产生了很好的一致性。此外，我们将分析局限于同质投资组合。3.1.

一个投资组合，两个市场我们的模型中有四个参数，即平均漂移u、平均波动率ρ、平均相关水平c和控制平均相关水平周围波动强度的参数N。参考文献中。[7、8、14]这些参数的值是根据经验数据直接估计的。参数N由数据的分布系数（10）确定。这些股票由307只股票组成，这些股票取自1992年至2012年期间交易的标准普尔500指数【26】。我们发现以下实证结果u=0.17年-1，ρ=0.35年-1/2，N=6，c=0.28，T=1年。我们研究了投资于两个不相关市场的影响。因此，我们假设两个相同的不相关市场具有相同的平均相关水平。此外，我们假设两个市场的经验参数相同。结果如图3所示。为了进行比较，我们还显示了仅一个市场的极限分布β=1，0.05 0.10 0.15 0.200.050.100.50151050hpi（L）LK=10，β=2K→ ∞, β=2K→ ∞, β=1图3：不同市场数量和市场规模的对数标度上的平均损失分布。市场是同质的，我们选择面值F=75，初始资产价值V=100。两个市场的参数相同。该分布是分布的单变量版本（64），另见参考文献[8]。正如预期的那样，我们看到了多样化，即将相关矩阵分为两个块，从而减少了大的投资组合。因此，通过将投资组合拆分到不同的不相关市场，而不是仅仅增加单个市场上的信贷合同数量，可以更有效地降低巨额损失的风险。很明显，这是由于对角块中的平均零相关性造成的。

只有将投资组合拆分到两个以上的市场，或投资到平均相关性水平较低且波动较小的市场，才能进一步降低风险。然而，通过增加不相关市场β的数量，我们获得了β→ ∞ 与平均相关性为零的一个市场的情况相同。在这里，分散效应仅限于波动N的强度，其中损失分布的尾部只会在较大的N.3.2中消失。不存在从属关系和不相交的同等规模的投资组合我们从改变公司K的数量开始，研究对多变量分布以及违约相关性和违约概率的影响。图4显示了具有同质相关矩阵和同质参数的平均损失分布（50），对于两个大小相同的不相交投资组合，对于不同数量的公司K=10,20100，以及参数的经验值。我们选择面值F=75和图4：对数标度上两个大小相同的不相交投资组合的平均损失分布。我们展示了不同的市场规模，K=10橙色，K=20蓝色和K=100绿色。参数为u=0.17年-1，ρ=0.35年-1/2，N=6，c=0.28，到期时间T=1年。初始资产价值V=100。分布是对称的。随着K的增加，它收敛到极限分布（64）。因此，我们推断，即使对于少数债务人，投资组合损失的相关性也很高。原点L（1）=L（2）=0附近的显著峰值对应于导致投资组合损失很小的事件。该峰值是由于大漂移而产生的。由于正漂移，未违约公司的总数量大于到期违约公司的数量。