信用风险中的极端组合损失相关性

然而，该峰值并不代表代表代表所有公司总生存概率的δ峰值。当我们计算所有公司的生存概率时，这一点就变得很清楚了。这种可能性不取决于我们是否有次级债务，也不取决于我们投资组合的构成，见等式（36）。图5显示了不同漂移参数u的影响。对于u的每一个值，总投资组合损失为零的概率随着公司K数量的增加而降低。因此，在L（1）=L（2）=0时，δ峰值在投资组合损失分布上的权重变小。这很直观，K越大，至少有一家公司违约的可能性越大。在查看投资组合损失相关性时，我们发现资产相关性很小甚至为零的价值很大。对于K=100的市场规模，即每个投资组合的规模为50，我们获得了200 400 600 800 100010-40.0010.0100.1001P（ND）Ku=0.17u=0.07u=-0.17图5：对数标度上不同漂移参数u的零投资组合损失概率取决于投资组合规模K。对于c=0的平均资产相关性，组合损失的相关性为0.71。这种高损失相关性是基于资产相关性在平均资产相关性为零的情况下波动的事实。由于这种情况，我们有各自的正相关和负相关。负相关性的影响有限，因为信贷风险的不对称性将所有非违约事件预测为零，而只有违约事件对损失分布有贡献。因此，正资产相关性主导负资产相关性，从而导致高投资组合损失相关性。结果如图6所示。它们与参考文献[25]中的模拟结果一致。

投资组合损失相关性是资产相关性c的单调函数，对于固定资产相关性，我们发现随着K的增加，投资组合损失相关性增加。根据公司的数量，投资组合损失相关性为凸函数（即K=2,4）或凹函数（K≥ 8). 然而，我们强调，这些结果受二阶近似的影响，这会产生更好的结果K越大。K的数量越多，损失相关性就越高。这证实了即使没有平均资产相关性c=0，一个大型投资组合的损失也可以作为另一个大型投资组合的预测。3.3。不存在从属关系和不同规模的不相交投资组合研究不同规模的投资组合可以更好地理解多元化是否有效。为了分析这一点，我们考虑固定规模R=10的投资组合一，并考虑市场的总体规模K=30110和限额K→ ∞. 在这种情况下，投资组合1的市场份额将稳步下降，并在极限情况下收敛到零。因此，我们能够比较较小的投资组合与非常大的投资组合。对于我们的计算，我们使用与第3.2节中相同的经验参数。图7显示了不同市场规模K对损失分布hpi（L（1），L（2））的影响。有些地区的分布具有重尾特性，但也有一些地区的分布衰减非常快。在后一个总是充满条件的地区，损失分布随着市场规模K的增加衰减得更快。因此，我们发现不同市场规模的分布之间存在较大的偏差。这些偏差仅起到0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0损失相关性c图6：线性标度上的投资组合损失相关性，取决于资产相关性c。

两个Portfolio都是同质的，大小相同。市场规模K从2（蓝色）到4,8,10,20,30,50100200到500（绿色）。等分线如图所示。一个次要角色，因为它们出现在损失分布的显著低阶。一般来说，对于增加市场规模K，第二个投资组合以更好的方式描述市场。因此，当规模较大的第二个投资组合几乎没有损失时，第一个投资组合不大可能承受巨大损失。这解释了L>L角中损耗分布的快速衰减。然而，最重要的事实是，沿着对角线L=L，在上角L<L，不同市场规模的损失分布之间不会出现显著偏差。在这里，我们还观察到损失分布的厚尾。特别是当我们考虑对角线时，我们发现没有偏差，因此根本没有差异。这意味着，在保持投资组合1的规模不变的情况下，增加投资组合2的规模并不会减少同等规模的同时发生的大型投资组合损失。有趣的是，更可能在对角上角发现一个事件，而在下角发现一个事件。这可以通过平均相关水平c=0.28和正漂移u=0.17年的波动来解释-1、这些假设确保投资组合一的资产与投资组合二的资产存在负相关的可能性。因此，小投资组合一不承担违约责任或几乎不承担违约责任，而第二投资组合承担重大违约责任的可能性很大。

当我们扩大portfolioone的规模，同时保持投资组合2的规模不变，并且仍然大于投资组合1的规模时，这种可能性会降低。由于投资组合损失分布在对角线上的不对称性，我们发现相同市场规模下的损失相关性低于两个同等规模投资组合的损失相关性，见图。8、与两个同等规模的投资组合相比，投资组合的极限相关性取决于极限K中的c→ ∞. 人们清楚地看到，随着市场规模的扩大，很快就会达到极限曲线。这是因为投资组合一的规模固定。增加投资规模和市场规模将提高投资组合损失相关性。图7：对数标度上不同规模投资组合的平均损失分布。投资组合一的固定规模为R=10，市场规模为K=30（橙色）、K=110（蓝色）和K→ ∞ （绿色）。参数为u=0.17年-1，ρ=0.35年-1/2，N=6，c=0.28，到期时间T=1年。3.4. 次级债务次级债务结构带来高度不对称的影响，见图9。Weshow两个面值为F（S）k=37和F（J）k=38的等额投资组合的联合概率密度。高级和初级次级债权人都在整个市场上运作。初级次级债权人的损失总是大于或等于高级债权人的损失。因此，我们有一个沿对角线L（S）=L（J）的截夫。除了曲线的近区域（我们将其定义为分布的背面）外，债务人的数量也会对联合概率产生重大影响。沿着分布的背面，联合概率密度的表面之间几乎没有偏差。与K无关，分布的背面显示出重尾。

重要的是，曲率会使次级债权人的损失越来越大，而高级债权人的损失越来越大。这是危机时期的一个重要后果。当初级次级信贷的损失非常大时，高级债权人很可能也会遭受重大损失。这解释了当我们考虑每个债权人的边际分配时，为什么不存在强烈的多元化效应，见图10。上三条曲线属于次级次级债权人的边际分布，下三条曲线属于次级债权人。所有分布都显示出严重的尾部，高级和初级次级债权人之间的差距随着损失L的增加而扩大。当F（S）k/F（J）k的比率变大时，差距的大小变小。结论在默顿模型中，我们计算了多变量联合平均投资组合损失分布，同时考虑了资产相关性。我们使用了一个随机矩阵模型，最有利的是，该模型在分析上易于处理，并且在经验上与股票市场数据非常匹配。多元平均资产价值分布仅取决于两个参数，即有效的平均资产价值相关性和该平均值周围的波动强度。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0损失相关性图8：线性标度上作为资产相关性c函数的投资组合损失相关性。Portfolioone的固定尺寸R=10，市场尺寸K范围为30（蓝色）到50，100200到500（绿色）。

极限曲线K→ ∞ 显示为黑色，等分线显示为红色。我们表明，通过将一个信贷组合拆分到平均不相关的不同市场，而不是仅仅增加一个单一市场上的信贷合同数量，可以更有效地实现多元化。对于两个大小相同的非重叠投资组合，我们发现了对称的投资组合损失分布。通过对投资组合损失相关性的研究，我们发现，只有包含数千份信用合同的大型投资组合才会出现显著相关性，根据二阶近似值，只有少数信用合同的小型投资组合也会出现显著相关性。两个不重叠的有限规模投资组合的损失相关性为1，并且始终会产生相同的相对损失。当我们分析两个不同规模的非重叠投资组合时，我们发现损失相关性有限。然而，这些分布显示出严重的尾部，这使得大规模的同时投资组合损失成为可能。此外，我们还包括与CDO部分相关的次级债务。到期时，优先债权人首先获得偿付，只有在优先债权人收回全部承诺付款时，初级次级债权人才获得偿付。在此，我们分析得出，在发生危机的情况下，即当次级债权人很可能遭受重大损失时，高级债权人也很可能遭受重大损失。因此，从属的概念在危机时期并不适用。此外，边际分布表明，增加两个投资组合的规模并不能显著降低尾部风险。感谢Martin T.Hibbeln、Rüdiger Kiesel和Sebastian M.Krause的富有成效的讨论。图9：对数标度上次级债务结构的平均投资组合损失分布。这两个投资组合都在整个市场上运作。

我们展示了不同的市场规模K=10橙色，K=200蓝色和K→ ∞ 绿色0.00 0.05 0.10 0.15 0.2010-40.0010.0100.100110100边缘PDFLK=10K=100K→ ∞K=10K=100K→ ∞图10：对数标度上高级和初级次级债权人的边际分布。上三行属于初级次级债权人，下三行属于高级债权人。参考文献[1]Tomasz R Bielecki和Marek Rutkowski。信用风险：建模、估价和对冲。Springer Science&Business Media，2013年。[2] Christian Bluhm、Ludger Overbeck和Christoph Wagner。信贷风险建模简介。Crc出版社，2016年。[3] 米歇尔·克劳伊、丹·加拉伊和罗伯特·马克。当前信用风险模型的比较分析。《银行与金融杂志》，24（1-2）：59–117，2000年。[4] 大卫·兰多。信用风险建模：理论与应用。普林斯顿大学出版社，2009年。[5] 亚历山大·麦克尼尔（AlexanderJ McNeil）、鲁迪格·弗雷（Rüdiger Frey）和保罗·恩布雷奇斯（Paul Embrechts）。量化风险管理：概念、技术和工具。普林斯顿大学出版社，2015年。[6] Rudi Sch"afer、Markus Sj"olin、Andreas Sundin、Michal Wolanski和Thomas Guhr。Creditrisk——一种具有跳跃和相关性的结构模型。Physica A：统计力学及其应用，383（2）：533–5692007。[7] Thilo A.Schmitt、Desislava Chetalova、Rudi Sch"aoffer和Thomas Guhr。信贷风险和金融系统的不稳定性：一种综合方法。EPL（欧洲物理学快报），105（3）：380042014。[8] Thilo A.Schmitt、Desislava Chetalova、Rudi Sch"aoffer和Thomas Guhr。信贷风险：考虑资产的波动相关性。《信贷风险杂志》，11（3）：73–94092015。[9] Rustam Ibragimov和Johan Walden。当损失可能更大时，多元化的限制。《银行与金融杂志》，31（8）：2551–2569，2007年。[10] 沃尔夫·瓦格纳。金融机构多元化和系统性危机。

《金融中介杂志》，19（3）：373–3862010。[11] 罗伯特·C·默顿。关于公司债务定价：利率风险结构。《金融杂志》，29（2）：449–4701974年。[12] Michael C.Münnix、Rudi Sch"afer和Thomas Guhr。信贷风险的随机矩阵方法。《公共科学图书馆》第一期，9（5）：2014年5月1日至9日。[13] 迈克尔·穆尼克斯、岛田隆志、鲁迪·谢弗、弗朗索瓦·莱夫拉兹、托马斯·H·塞利格曼、托马斯·古尔和H·尤金·斯坦利。识别金融市场的状态。《科学报告》，2（644），2012年。[14] Thilo A.Schmitt、Desislava Chetalova、Rudi Sch"aoffer和Thomas Guhr。金融时间序列的非平稳性：一般特征和尾部行为。EPL（欧洲物理学快报），103（5）：580032013。[15] 宋东明、米歇尔图米内罗、周伟星和罗萨里奥·曼特格纳。全球股票市场的演变、相关性结构和基于相关性的图表。物理。修订版。E、 2011年8月，84:0261008。[16] Desislava Chetalova、Thilo A.Schmitt、Rudi Sch"afer和Thomas Guhr。投资组合收益分布：具有随机相关性的样本统计。《国际理论和应用金融杂志》，18（02）：15500122015。[17] 徐东安、邓永恒、约瑟夫·尼科尔斯和安东尼·桑德斯。什么是从属关系？商业抵押贷款支持证券（cmbs）中的信用风险和从属级别。《房地产金融与经济杂志》，51（2）：231–2532015。[18] 菲舍尔·布莱克和约翰·C·考克斯。评估公司证券：债券契约条款的一些影响。《金融杂志》，31（2）：351–3671976年。[19] Gary Gorton和Anthony M Santomero。市场纪律与银行次级债：注。《货币、信贷和银行杂志》，22（1）：119–1281990年。[20] Darrell Du ffe和Nicolae Garleanu。债务抵押债券的风险和估值。《金融分析师杂志》，第41-59页，2001年。[21]Francis A Longstaff和Arvind Rajan。

债务抵押债券定价的实证分析。《金融杂志》，63（2）：529–5632008年。[22]约翰·威斯哈特。正态多元总体样本中的广义积矩分布。Biometrika，20A:32–521928。【23】清溪It^o。随机积分。《皇家学院学报》，20（8）：519-5241944。【24】托拜厄斯·尼施克。组合ansatz zur Modelierung des kreditrisikos im falle im mittelunkorrelierter m"arkte。杜伊斯堡-埃森大学硕士论文，2014年。【25】J.Sicking、T.Guhr和R.Sch"afer。信用风险中的极端并发投资组合损失。ArXiv e-prints，2016年4月。【26】雅虎标准普尔500指数数据！资金http://finance.yahoo.com, 2017.A、 动量τι，λj，k（z，u）=^F（λ）kZ-∞d^Vkc（ι）-Vk0^F（λ）kexp√z^Vk+uk-ρk！Tj×sN2π（1- c） Tρkexp“N2（1- c） Tρk^Vk+√cT uρk#, （69）式中，ι=S，J和λ=S，J，以及c（S）=1和c（J）=FkF（J）k。因此，我们可以写出动量m（S）J，k（z，u）=τS，Sj，k（z，u）（70）m（J）J，k（z，u）=τJ，Jj，k（z，u）- τJ，Sj，k（z，u）。（71）具有以下定义Φ（x）=+erfx个√（72）和错误函数F（x）=√πxZdxe-x（73）我们可以表示j=0,1,2τι，λ0，k（z，u）=sN2π（1）时的量τι，λj，k（z，u- c） Tρk^F（λ）kZ-∞d^Vkexp“N2（1- c） Tρk^Vk+√cT uρk#= ΦsN（1- c） Tρk^F（λ）k+√cT uρk!（74）τι，λ1，k（z，u）=c（ι）τι，λ0，k（z，u）-Vk0F（ι）kexp“z（1- c） Tρk2N-√zcT uρk+uk-ρk！T#×Φ序号（1- c） Tρk^F（λ）k+√cT uρk-sz（1- c） TρkN（75）τι，λ2，k（z，u）=-c（ι）τι，λ0，k（z，u）+2c（ι）τι，λ1，k（z，u）+Vk0F（ι）kexp“2z（1- c） TρkN- 2.√zcT uρk+2uk-ρk！T#×Φ序号（1- c） Tρk^F（λ）k+√cT uρk- 2sz（1- c） TρkN. （76）