信用风险中的极端组合损失相关性

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英文标题：
《Extreme portfolio loss correlations in credit risk》
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作者：
Andreas M\\\"uhlbacher and Thomas Guhr
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The stability of the financial system is associated with systemic risk factors such as the concurrent default of numerous small obligors. Hence it is of utmost importance to study the mutual dependence of losses for different creditors in the case of large, overlapping credit portfolios. We analytically calculate the multivariate joint loss distribution of several credit portfolios on a non-stationary market. To take fluctuating asset correlations into account we use an random matrix approach which preserves, as a much appreciated side effect, analytical tractability and drastically reduces the number of parameters. We show that for two disjoint credit portfolios diversification does not work in a correlated market. Additionally we find large concurrent portfolio losses to be rather likely. We show that significant correlations of the losses emerge not only for large portfolios with thousands of credit contracts but also for small portfolios consisting of a few credit contracts only. Furthermore we include subordination levels, which were established in collateralized debt obligations to protect the more senior tranches from high losses. We analytically corroborate the observation that an extreme loss of the subordinated creditor is likely to also yield a large loss of the senior creditor.
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中文摘要：
金融体系的稳定性与系统性风险因素有关，如众多小债务人的同时违约。因此，在大型重叠信贷组合的情况下，研究不同债权人损失的相互依赖性至关重要。我们分析计算了非平稳市场上多个信贷组合的多变量联合损失分布。为了将波动的资产相关性考虑在内，我们使用了一种随机矩阵方法，作为一种备受赞赏的副作用，该方法保留了分析的可处理性，并大大减少了参数的数量。我们表明，对于两个不相交的信贷组合，多元化在相关市场中不起作用。此外，我们发现，大规模的同时投资组合损失是相当有可能的。我们表明，损失的显著相关性不仅出现在具有数千份信用合同的大型投资组合中，而且也出现在仅包含少数信用合同的小型投资组合中。此外，我们还包括从属级别，这是在债务抵押债券中建立的，以保护更高级的部分免受高损失。我们通过分析证实了以下观点：次级债权人的极端损失也可能导致高级债权人的巨大损失。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Extreme_portfolio_loss_correlations_in_credit_risk.pdf (1.19 MB)

2022-6-1 01:45:27 上传

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关键词：信用风险 相关性 correlations distribution Quantitative

信贷风险中的极端组合损失相关性Andreas Mühlbacher*杜伊斯堡-埃森大学托马斯·古尔物理学院。147048德国杜伊斯堡2017年6月30日金融系统的稳定性与系统性风险因素相关，例如众多小债务人的同时违约。因此，在大型重叠信贷组合的情况下，研究不同债权人损失的相互依赖性至关重要。我们分析计算了非平稳市场上多个信贷组合的多元联合损失分布。为了考虑资产相关性的影响，我们使用了一种随机矩阵方法，这种方法保留了分析的可处理性，并减少了参数的数量，这是一种备受赞赏的副作用。我们表明，对于两个不相交的信贷组合，多元化在相关市场中不起作用。此外，我们发现很有可能出现大规模的同时投资组合损失。我们表明，损失的显著相关性不仅出现在有数千份信用合同的大型投资组合中，而且也出现在只有少数信用合同的小型投资组合中。此外，我们还包括从属级别，这是在债务抵押债券中建立的，以保护更高级的部分免受高损失。我们分析了以下观察结果，即次级债权人的极端损失很可能也会导致高级债权人的巨大损失。1、导言2007-2009年次贷危机对世界经济产生了巨大影响，因为许多小债务人几乎同时违约。大多数信贷合同以债务抵押债券（CDO）的形式捆绑到信贷组合中。

对信贷风险和可能的损失（尤其是大型投资组合的损失）的现实估计不仅对债权人很重要，而且从系统的角度来看可能更为重要。关于信用风险有大量的研究，见参考文献。【1、2、3、4、5】及其参考文献。在信贷组合中，考虑资产价值的相关性至关重要。研究表明，即使相关性很小，也会对多元化的概念产生深刻的影响，见参考文献。[6, 7, 8]. 因此，不可能通过增加信贷组合中的信贷合同数量来显著降低尾部风险。一般来说，多元化并不总是富有成效的[9，10]。为了全面了解系统性信贷风险，重要的是研究和建模不同投资组合损失的相互依赖性。这里我们很感兴趣*安德烈亚斯。muehlbacher@uni-到期日。定义联合概率分布，其中包含有关单个损失分布及其依赖结构的所有信息。我们同时将默顿模型应用于多个信贷组合。此外，我们还考虑了流动资产相关性。这是因为金融市场固有的非平稳性导致相关性和协方差矩阵在时间上发生变化【13、14、15】。为了描述这种非平稳性，我们使用了最近在参考文献[16]中引入的集合方法。这导致了在波动相关矩阵上平均的多元资产回报分布。经验数据分析证实了该方法的有效性【8，14】。集合方法大大减少了描述分布的参数数量。值得注意的是，只有两个参数是有效的，即资产价值的平均相关性水平和波动强度。

从资产收益分布，我们分析得出信贷组合损失的联合概率分布。此外，我们推导出了大型信贷组合的极限分布。我们详细分析了在同一市场上运作的两个不重叠的信贷组合。此外，我们还包括排序级别[17、18、19]。在到期时，优先债权人首先得到偿付，只有在优先债权人重新获得全额承诺付款的情况下，次级次级债权人才得到偿付。这与CDO部分相关，并提供了有关多变量ECREDIT风险的进一步信息【20，21】。此外，我们考虑一个单一的信贷组合，该组合在多个平均不相关的市场上运行。我们能够得出一个非常大的信贷组合的极限分布。在这里，尾部风险低于一个具有同质相关结构的市场的情况，但差异仍然有限。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了默顿模型，并推导了不同债务结构的投资组合损失分布。在第3节中，我们给出了经验估计参数的结果。我们在第4.2节总结了我们的观察结果。模型我们将默顿模型扩展到一个多变量情景，其中有两个债权人和K个与资产价值或经济状态Vk（t），K=1，K在时间t，各债务人可持有各债权人的信贷合同。在默顿模型中，资产价值Vk（t）由相应债务人的股票价格估计。所以我们假设所有K债务人都是可以在股票市场上交易的公司。我们认为资产价值遵循几何布朗运动。

此外，我们假设次级债务在到期时，优先债权人首先得到偿付，而次级次级债权人只有在优先债权人重新获得全部承诺付款的情况下才得到偿付。假设每个债务人必须在到期日T偿还面值fk。我们考虑大的时间尺度，例如一年或一个月。每个债务人的面值由高级债权人的面值F和初级次级债权人的面值F（J）k组成，即Fk=F（S）k+F（J）k。如果资产价值低于面值，即至少有一个债务人的Vk（T）<Fk，则会发生违约。损失的严重程度取决于债务人在到期时的价值。对于Fk>Vk（T）>F（S）K，违约完全由初级次级信贷支付，也就是说，高级债权人没有遭受任何损失。只有当Vk（T）<F（S）k时，优先债权人才会蒙受损失，而次级债权人则会蒙受全部损失。图1显示了单个资产的基础流程的可视化。高级债权人的标准化损失L（S）K和次级债权人的标准化损失L（J）K图1：默顿模型的示意图可视化。如果到期日资产价值VK（T）低于面值Fk，则发生违约。在红色草图场景中，只有初级次级债权人发生违约，而高级债权人获得无损失。is支持可表示为l（S）k=1-Vk（T）F（S）k！ΘF（S）k- Vk（T）（1） L（J）k=1-Vk（T）- F（S）kF（J）kΘVk（T）- F（S）k!Θ（Fk- Vk（T）），（2）。Heaviside阶跃函数Θ（x）确保损耗严格为正。我们分别介绍了高级和初级次级信用卡的分数面值f（S）和f（J）k=f（S）kPKl=1F（S）和f（J）k=f（J）kPKl=1F（J）l，（3）。

这使我们能够将高级和初级次级债权人的标准化投资组合损失L（S）和L（J）分别定义为加权sumsL（S）=KXk=1f（S）kL（S）和L（J）=KXk=1f（J）kL（J）k，（4）。我们的目的是推导投资组合损失的二元分布p（L（S），L（J））。这可以通过整合所有投资组合价值并过滤导致给定变量总损失（L（S），L（J））p（L（S），L（J））=Zd[V]g（V∑）δL（S）来实现-KXk=1f（S）kL（S）k！δL（J）-KXk=1f（J）kL（J）k！，（5） 其中，g（V∑）是债务人到期时相关资产价值的多元分布，∑是资产价值的协方差矩阵，在我们的模型中，该协方差矩阵由股票价格的协方差矩阵很好地估计。δ（x）是狄拉克δ函数，V=（V（T），VK（T））是资产价值的k分量向量。测度d[V]是所有微分的乘积，每个积分的积分域范围从零到完整。使用δ函数的Fourier表示以及等式。（1） 和（2），我们发现p（L（S），L（J））=（2π）∞Z-∞dν（S）e-iν（S）L（S）∞Z-∞dν（J）e-iν（J）L（J）×KYk=1F（S）kZdVkexpiν（S）F（S）k1-VkF（S）k！+iν（J）f（J）k+FkZF（S）kdVkexpiν（J）f（J）k1-Vk公司- F（S）kF（J）k+∞ZFkdVkg（V |∑），（6），其中我们将Vkintegrals分为三部分。我们稍后将使用此表达式，但我们首先需要指定相关资产价值g（V |∑）的多变量分布。我们的目标是计算考虑协方差非平稳性的联合损失分布，hpi（L（S），L（J））=Zd[V]hgi（V∑）δL（S）-KXk=1f（S）kL（S）k！δL（J）-KXk=1f（J）kL（J）k！（7） 并根据公式（6）。我们将认为，这是通过正确平均多变量分布g（V |∑）来实现的，从而得到hgi（V |∑）。2.1. 参考文献后的平均分布。[8、12、14]，我们使用随机矩阵概念来捕捉资产价值Vk之间相关性的非平稳性。

返回值的协方差Rk（t）=Vk（t+t）- 带返回间隔的Vk（t）Vk（t），（8）t在K×K协方差矩阵∑中排序。它可以表示为∑=σCσ，其中相关矩阵C和对角线矩阵σ=diag（σ，…，σK）包含不同回报时间序列rk的波动率。由于协方差矩阵在不同时间有显著差异，我们获得了现有的不同协方差矩阵集合。参考文献中。[8、12、14]已经证明，该数据集合可以通过根据Wishart[22]w（w∑，N）分布的随机协方差或相关矩阵非常有效地建模=√NKNpdet（2π∑）Nexp-Ntr W+∑-1瓦. （9） 该分布定义了随机协方差矩阵W W+的集合。它们围绕平均协方差矩阵∑展开，该矩阵在整个时间间隔内进行经验评估。符号+表示向量或矩阵的转置。模型矩阵的维数为K×N。这里的自由参数N对应于模型时间序列的长度，必须根据数据确定。N控制平均协方差矩阵∑周围的函数强度。N越小，波动越大。在存在波动协方差矩阵hgi（r∑，N）的情况下，插入平均导致平均回报分布的以下一般结果=√NK公司√N-2Γ（N/2）pdet（2π∑）K（K-N）/2√Nr+∑-1r级√Nr+∑-1r（K-N）/2，（10），其中K（K-N）/2是第二类、第二阶贝塞尔函数（K- N） /2[14]。∑inEq。（10） 是所考虑的整个数据间隔的平均值。在这个符号和所有进一步的符号中，我们省略了r和V的时间依赖关系。由于我们假设所有信用合同都是零息票债券，因此我们认为我们的收益间隔与到期时间长度相同，即。t=t。在参考文献中。

[8，14]已经表明，formC的有效平均相关矩阵=（1- c） K+ceKe+K=1 c c。c 1 c。c c 1。。。。。。。。。。。。。（11） 当K为K×K单位矩阵，ek为包含1的K分量向量时，可以很好地描述当前环境中的经验数据。如果我们根据特定的相关结构研究非平均量，这种方法不太可能给出令人满意的结果。这种选择有两个主要优点。首先，我们实现了第2.2节后面所述的可分析性，其次，我们可以用两个参数描述相关市场的复杂性。第一个参数c是一个有效的平均相关水平，第二个参数N描述了该平均值周围的波动强度。这两个参数都必须根据经验数据进行估计。由于我们需要损失分布（5）中的资产值Vk（T），而协方差是用收益来衡量的，因此我们必须使用Ito引理[23]rk来改变变量→ lnVk（T）Vk0-uk-ρk！T，（12），其中Vk0=Vk（0）是初始资产价值。这是一个几何布朗运动，漂移uk，标准偏差ρk，σk=ρk√T现在可以使用傅里叶积分重写表达式（10）。在采用并调整参考文献[7]中的步骤后，我们得出了双重积分hgi（V | c，N）=N/2（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πzsN2πz（1- c） TK公司∞Z-∞du exp公司-N2zu×KYk=1Vkρkexp-N2z（1- c） TρklnVkVk0-uk-ρk！T型+√cT uρk！. （13） 非平稳性的随机矩阵模型与有效平均相关矩阵（effective average correlationmatrix）一起，得出了资产价值联合多元分布的表达式，即几何布朗运动的乘积在χ分布inz和高斯分布inu上的二元平均值。

我们还没有执行u积分，因为我们将在稍后计算损失分布（5）时分解VKIntegrals。2.1.1. 几个平均不相关的市场为了更现实，我们不仅考虑一个市场，还考虑几个平均不相关的市场。这是T.Nitschke[24]未发表作品的延伸。我们将不相关市场的数量定义为β。在这种情况下，相关矩阵C=diag（C，…，Cβ）是块对角的，其中Cl=（1- cl）Kl+cleKle+Klare矩阵本身的维数为skl×Kl∈ {1, . . . ,β}. 相关矩阵C的维数为K×K，因此βl=1Kl=K成立。该块结构未反映在关于C的随机相关矩阵中，见等式（9）。因此，块之间存在相关性，只有它们的行程为零。相关性结构允许我们研究从一个市场到多个市场的影响。在一个市场内，我们再次具有平均有效相关性结构，而在整个市场中，我们的平均相关性为零。重要的是，这只意味着平均而言缺乏相关性。我们的模型和真实性中的相关性发生了变化，这意味着在任何短时间内，如果强度受参数N控制，则可以存在相关性。此外，每个市场都有自己的波动性矩阵σl=diag（σl1，…，σlKl）和漂移向量ul=（ul1，…，ulKl）+∈ {1, . . . ,β}. 我们适当扩展了参考文献[7]中的计算，不同之处在于我们必须应用l Fourier积分，Yieldinggi（V | c，N）=N/2（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πzβsN2πzTKβYl=1KlYk=1Vlkρlk×βYl=1√1.- clKl公司∞Z-∞dulexp-N2zul×经验值-N2zTXklnVlkVlk0-ulk-ρlkT型+√clT ulρlk（1）- cl）ρlk. （14） 此多重积分取决于市场β的数量。

指数l表示每个市场，指数k表示特定市场l中的资产。通常，指数对（l，k）表示长期市场上的第k项资产。2.2. 平均损失分布我们使用上述平均分布hgi（V | c，N）的结果计算出平均损失分布（7）。将式（13）插入式（6）后，我们得到HPI（L（S），L（J））=（2π）N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πz∞Z-∞du exp公司-N2zu×∞Z-∞dν（S）e-iν（S）L（S）∞Z-∞dν（J）e-iν（J）L（J）iν（S），ν（J），z，u, （15） 用termIν（S），ν（J），z，u=KYk=11 +∞Xj=1ijj！m（SD）j，kν（S），ν（J），z，u+∞Xj=1iν（J）f（J）kjj！m（J）J，k（z，u）（16） andm（SD）a，kν（S），ν（J），z，u=aXj=0aj！ν（S）f（S）kjν（J）f（J）k一-jm（S）j，k（z，u）（17）和动量sm（S）j，k（z，u）=^F（S）kZ-∞d^Vk1-Vk0F（S）kexp√z^Vk+uk-ρk！Tj×sN2π（1- c） Tρkexp“N2（1- c） Tρk^Vk+√cT uρk#（18） m（J）J，k（z，u）=^FkZ^F（S）kd^Vk1+F（S）kF（J）k-Vk0F（J）kexp√z^Vk+uk-ρk！Tj×sN2π（1- c） Tρkexp“N2（1- c） Tρk^Vk+√cT uρk#, （19） 其中，我们使用变量的变化^Vk=（ln Vk/Vk0-（uk-ρk/2）T）/√z，适当调整积分边界^fk和^F（S）k。附录A中给出了j=0,1,2时的力矩m（S）j，k（z，u）和m（j）j，k（z，u）。术语m（SD）j，kν（S），ν（J），z，u正式对应于导致损失足以影响优先债权人的事件。稍后，我们使用binomialsum来解耦ν（S）和ν（J）积分。现在，我们假设所有面值都是相同阶数的大型投资组合，通过执行参考文献[7]中的步骤，对f（S）和f（J）kb中的二阶进行近似。当我们考虑到所有面值的顺序都相同时，这一点就成立了，因此所有分形面值的顺序都是1/K。