外汇市场建模与在线投资组合选择

值得指出的是，优化投资组合矩阵的有效策略之一是利用历史数据进行在线投资组合选择。更准确地说，在线投资组合策略由ψ（k+1）=f给出{ψ（1），…，ψ（k）}，{R（1），…，R（k）},式中f：（Rm） Rm）2k→ P（k+1）带（Rm Rm）2k：=Rm Rm···×Rm Rm |{z}2k。很明显，在线投资组合策略ψ（k+1）取决于第（k+1）个交易日之前的投资组合矩阵和回报矩阵在不考虑交易成本的情况下，投资期间（即N天）的总资本将增加至{ψ（·）}，{R（·）}:=NYk=1ψ（k） R（k）, （2.14）式中ψ（k） R（k）在（2.12）中给出。此处，IN{ψ（·）}，{R（·）}指不含交易成本的最终收益。有了（2.14），没有交易成本的基金的指数增长率用in（{ψ（·）}，{R（·）}）表示：=NNXk=1logψ（k） R（k）. （2.15）oLet（ck）k∈∧c=0时，为k日（即Tk）的交易成本与k日（即Fk）开始时的基金持有量之比-1） 换句话说，c=0；ck=TkFk-1=Fk-1.- FkFk-1，k≥ 2，（2.16），其中cks的第二个标识是由于（2.11），而k的Fk>0≥ 1.o在存在交易成本的情况下，投资期间的总投资回报将达到toFN（{ψ（·）}，{R（·）}）=NYk=1ψ（k） R（k）（1）- ck），（2.17），其中ck的定义如（2.16）所示。在（2.17）中，FN（{ψ（·）}，{R（·）}）被命名为交易成本回报。利用（2.17），我们建立了交易成本为asRN（{ψ（·）}，{R（·）}：=NNXk=1log的基金指数增长率ψ（k） R（k）+NNXk=1log（1- ck）。

（2.18）2.4交易成本根据自我融资策略，投资者将对交易日k结束时持有的所有基金进行再投资- 1，对于k≥ 2至下一个交易日k开始。在我们目前的情况下，我们将考虑交易日结束时的交易成本。因此，总资金将减少。有关更多详细信息，请参阅（2.11）。根据（2.13），对货币对（i，j）的投资承认形式xkij=Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij, （2.19）（2.11）中引入了FK。在交易日k+1，投资者将持有一个新的投资组合矩阵ψ（k+1）。同时，在k+1日，相关银行将收取交易成本Tk+1，以便k+1日的资金为Fk+1=Fk- Tk+1。因此，货币对（i，j）在k+1日的投资为x0（k+1）ij=Fk+1ψ（k+1）ij。（2.20）此后，从（2.19）和（2.20）可以得出货币对（i，j）之间的交易成本为| X0（k+1）ij- Xkij |=Fk+1ψ（k+1）ij- Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij. （2.21）为了简单起见，我们进一步假设，出售和购买外币的交易成本是相同的。因此，（2.11）和（2.21）意味着日期（k+1）开始时的总交易成本为qk+1=mXi，j=1 | X0（k+1）ij- Xkij |=mXi，j=1Fk+1ψ（k+1）ij- Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij=mXi，j=1（Fk- Tk+1）ψ（k+1）ij- Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij.（2.22）如果交易成本Tk+1与交易日k+1的总投资Qk+1线性相关，则存在一个正常数c，使得Tk+1=cQk+1。因此，（2.22）得出Tk+1=cQk+1=mXi，j=1Fkψ（k+1）ij- Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij- Tk+1ψ（k+1）ij.

（2.23）对于ψ（k+1）∈ P（k+1）和Tk+1>0，我们设置k+1：=mXi，j=1Fkψ（k+1）ij- Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij.很容易看出Ck+1-mXi，j=1Tk+1ψ（k+1）ij≤ Tk+1≤ ck+1+mXi，j=1Tk+1ψ（k+1）ij.这与ψ（k+1）一起∈ P（k+1）和pmi，j=1ψ（k+1）ij=1，导致tock+1- Tk+1≤ Tk+1≤ ck+1+Tk+1. （2.24）如果c<1，那么我们从（2.24）得出C1+ck+16 Tk+1c1- ck+1。（2.25）设ψ（k）：=ψ（k）ψ（k）··ψ（k）1mψ（k）ψ（k）··ψ（k）2m。。。。。。。。。。。。ψ（k）m1ψ（k）m2···ψ（k）mm,ψ（k）ij：=FkFkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij. （2.26）我们注意到ψ（k）是在日期k结束时自动达到的m种不同货币的比例矩阵。在下文中，我们假设Fk>0，ψ（k）R（k）>0。我们定义了ψ（k+1）和ψ0（k）之间的距离（ψ（k+1），ψ0k）：=mXi，j=1 |ψ（k+1）ij- ψ0（k）ij |。（2.27）根据k+1，一个有k+1=FkmXi，j=1ψ（k+1）ij-FkFkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij.这与（2.26）相结合，得出k+1=FkmXi，j=1ψ（k+1）ij- ψ（k）ij= Fkd（ψ（k+1），ψ0（k））。将其代入（2.25），我们得到以下c1+cFkd（ψ（k+1），ψ0（k））6 Tk+1c1- cFkd（ψ（k+1），ψ0（k））。（2.28）从（2.28）中，我们观察到，k+1日的交易成本取决于ψ（k+1）和ψ0（k）之间的距离，ψ（k+1）和ψ0（k）之间的距离越大，意味着交易成本越高，这进一步意味着投资组合中的收益越低。因此，为了提高投资组合的收益，投资者必须缩短ψ（k+1）和ψ0（k）之间的距离。3更新在线投资组合选择规则由于货币汇率的高波动性，投资者通常会一次又一次地尝试买入和卖出货币以获得更多利润。不幸的是，交易越多意味着交易成本越高。

因此，优化投资组合以避免不必要的交易成本是必不可少的，这也是我们本节的目标。设Z（ψ（k+1））为投资组合ψ（k+1）在k+1日期的回报，并假设Z（·）接受以下形式Z（ψ（k+1））=γZF（ψ（k+1），R0（k+1））- ZT（ψ（k+1）），（3.1），其中oR0（k+1）：=r（k+1）(R)r（k+1）···'r（k+1）1mr（k+1）r（k+1）··'r（k+1）2m。。。。。。。。。。。。r（k+1）m1r（k+1）m2···r（k+1）mm（3.2）是在k+1日期对回报矩阵R（k+1）的预测；oZF（ψ（k+1），R0（k+1））是相对于组合矩阵ψ（k+1）和R（k+1）的预测R0（k+1）的投资增量的函数ZT（ψ（k+1））是投资者为投资组合矩阵ψ（k+1）支付的交易成本γ>0是用来平衡最大化投资增长和减少交易的参数。在本文中，函数ZF的第一个替代方案，用Z（1）F表示，允许形式Z（1）F（ψ（k+1），R0（k+1））=ψ（k+1） R0（k+1）。（3.3）和ZF的第二个选择，由Z（2）F编写，具有以下表示形式Z（2）Fψ（k+1），R0（k+1）= 日志ψ0（k） R0（k+1）+R0（k+1）ψ（k+1）- ψ0（k）ψ（k+1） R0（k+1）。（3.4）通过多元函数的泰勒展开公式，我们推导出thatlog（ψ（k+1） R0（k+1））≈ 日志mXi，j=1ψ（k）ij（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）+Pmi，j=1（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）ψ（k+1）ij- ψ0（k）ijPmi，j=1ψ（k+1）ij（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）。因此，Z（2）Fψ（k+1），R0（k+1）是对数的一阶近似值（ψ（k+1） R0（k+1））。关于术语ZT（ψ（k+1）），我们定义ZT（ψ（k+1））：=dreψ（k+1），ψ0（k）. （3.5）我们请读者参考[1、8、9]了解更多详细信息。根据离散随机变量相对熵的定义，我们有以下数据：ψ（k+1），ψ0（k）=mXi，j=1ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ijψ0（k）ij=mXi，j=1ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ijPmi，j=1ψ（k）ij（(R)r（k）ij+r（k）ij）ψ（k）ij（(R)r（k）ij+r（k）ij）.（3.6）根据L\'Hospital的规则，一个人有极限↓0x日志x=0。

因此，在不丧失一般性的情况下，在（3.6）中，我们可以假设ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ij=0，只要ψ（k+1）ij=0。注意，对于任何常数a>1，f（x）=x（log x+log a）是x>0的凸函数，因为f（x）>0。因此，dreψ（k+1），ψ0（k）是ψ（k+1）ij，1的正连续凸函数≤ i、 j≤ m、 如果ψ（k+1）=ψ0（k），即ψ（k+1）ij=ψ0（k）ij，则dreψ（k+1），ψ0（k）= 0、dre最小值ψ（k+1），ψ0（k）可在ψ（k+1）=ψ0（k）时实现。此外，让我，j≥ 1使得ψ0（k）ij=min{ψ0（k）ij}。然后是dre的最大值ψ（k+1），ψ0（k）对于i=i，j=j，当ψ（k+1）ij=1时可用，否则ψ（k+1）ij=0。将（3.3）、（3.4）和（3.5）分别插回（3.1），我们得到z0（1）（ψ（k+1））=γψk+1 R0（k+1）-mXi，j=1ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ijψ0（k）ij（3.7）和Z0（2）（ψ（k+1））=γ对数ψ0（k） R0（k+1）+R0（k+1）ψ（k+1）- ψ0（k）ψ（k+1） R0（k+1）-mXi，j=1ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ijψ0（k）ij.（3.8）对于ψ（k+1）ij，由于dreis凸（如上所示），-关于ψ（k+1）ij的dreis凹。观察到，除了熵项dre外，其他项相对于ψ（k+1）ij是线性的，它们明显是凹的。因此，我们得出结论，（3.7）和（3.8）中分别定义的Z0（1）（ψ（k+1））和Z0（2）（ψ（k+1）），是关于投资组合矩阵ψ（k+1）ij的凹函数。用约束ψ（k+1）使Z0（1）（ψ（k+1））最大化∈ P（k+1）（因此pmi，j=1ψ（k+1）ij=1），我们使用拉格朗日方法。为此，我们考虑以下辅助函数Z0（1）（ψ（k+1），λ）=Z0（1）（ψ（k+1））+λmXi，j=1ψ（k+1）ij- 1.式中λ∈ R是拉格朗日乘数。

根据（2.12）和（3.7），我们得到z0（1）（ψ（k+1），λ）=γmXi，j=1ψ（k+1）ij\'\'r（k+1）ij+r（k+1）ij-mXi，j=1ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ijψ0（k）ij+ λmXi，j=1ψ（k+1）ij- 1..（3.9）对变量ψ（k+1）ij和λ求Z0（1）（ψ（k+1），λ）的导数，然后通过设置ψ（k+1）ijZ0（1）（ψ（k+1），λ）=λZ0（1）（ψ（k+1），λ）=0，则得到γ\'\'r（k+1）ij+r（k+1）ij- logψ（k+1）ij+logψ0（k）ij- 1 + λ = 0.这进一步意味着ψ（k+1）ij=expγ\'\'r（k+1）ij+r（k+1）ij+ 对数ψ0（k）ij- 1 + λ=ψ0（k）ijexpγ\'\'r（k+1）ij+r（k+1）ije1级-λ.（3.10）考虑到pmi，j=1ψ（k+1）ij=1，我们从（3.10）得到mxl，v=1ψ0（k）lvexpγ(R)r（k+1）lv+r（k+1）lve1级-λ= 1.因此，如下所示e1-λ=mXl，v=1ψ0（k）lvexpγ(R)r（k+1）lv+r（k+1）lv.将其代入（3.10）会导致ψ（k+1）ij=ψ0（k）ijep（γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））。（3.11）（3.11）是第（k+1）个交易日交易成本投资增量（IITC for Abbreviation）的更新规则。模拟（3.11）的推导过程，可以得出以下结论：Z0（2）（ψ（k+1））在ψ（k+1）ij=ψ0（k）ijep时达到最大值γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）ψ0（k）R0（k+1）Pmv，l=1ψ0（k）vlexpγ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl）ψ0（k）R0（k+1）. （3.12）在我们的案例中，（3.12）是交易日k+1的交易成本投资指数增量（简称EIITC）的更新规则。可以清楚地看到，在（3.11）和（3.12）中，有两个参数γ和R0（k+1）需要为投资组合矩阵ψ（k+1）选择。关于变量γ，不同的值会产生不同的策略。我们想详细解释一下参数γ的含义。

更准确地说，（i）γ代表被动策略；（ii）较小的γ意味着对投资组合矩阵ψ（k+1）的预测更准确，因此投资者倾向于持有现有的投资组合矩阵（即ψ（k）），以避免递减；（iii）γ越大，表示投资组合矩阵ψ（k+1）的预测越强，因此投资者倾向于改变现有的投资组合矩阵（即ψ（k）），以获得更多收益。关于R0（k+1），它是对k+1日收益的预测。显然，高质量的预测是投资者做出投资决策的有力工具。在结束本节之前，让我们做一些评论。备注3.1数量Z（1）F（ψ（k+1），R0（k+1））表示基金在k+1日的增量。另一方面，可以应用（2.27）中定义的投资组合矩阵ψ0（k）和ψ（k+1）的距离来测量递减函数。备注3.2显然，在现实的金融市场中，投资者宁愿放弃不可盈利的交易，而是增加可盈利的交易，以避免减少。因此，可以获得更新规则（3.11）和（3.12）。4回报预测投资组合的回报预测在优化外汇市场的投资组合方面起着至关重要的作用。受【1】的启发，在本文中，我们将建立一种算法来保留和/或注入可配置的货币对，并移除不可配置的货币对，这将被称为交叉汇率算法。就外汇市场的机制而言，回报矩阵中的一些条目消失了，见方程式（2.3）-（2.6）。更准确地说，对于任何（i，j）∈ 每当r（k）ij6=0时，∧×ij，(R)r（k）ij=0，而对于r（k）ij=0，r（k）ij6=0，并且r（k）ii=0。因此，有m（m-1） 返回矩阵中的非零组件。

众所周知，在外汇市场中，最佳的可配置货币对意味着回报矩阵中的回报值达到最大。在续集中，让R（k）为不同货币的回报矩阵。设α：=最大{r（k）ij，r（k）ij，i，j∈ Λ}. 现在，我们将R（k）的O（R（k））阶定义如下R（k）=1，只有一对（i，j）∈ λ×λ，使得r（k）ij=α2，只有一对（i，j）∈ ∧×∧，使得r（k）ij=α0，其他。（4.1）事实上，我们的订单是基于买卖外汇的交易行为。更准确地说，如果顺序为1，投资者将卖出收益矩阵中唯一一个最大分量的外汇，该最大分量出现在R（k）的上三角部分（即max{R（k）ij}>max{R（k）ij}）；而如果顺序为2，投资者将仅根据出现在R（k）下三角部分的回报矩阵的一个最大分量购买外币（即max{R（k）ij}<max{R（k）ij}）。订单0表示投资者没有任何行动。我们称返回序列{R（k）}{1≤k≤N}是严格不等的ifO（R（k））6=0，k∈ ∧。definerev（R（k））=（R（k））T，其中（R（k））T表示R（k）的转置。如果O（R（k））6=O（R（k-1） ）对于一些k∈ ∧，则k称为交叉位置。对于E，F∈ ∧E<F，集'D（E，F）：={R（k），k∈ {E，E+1，····，F}}。（4.2）注意'D（E，F）是从E天到F天所涉及货币的所有回报矩阵的集合。Letche，F：=]{k:O（R（k））6=O（R（k-1） ），k∈ {E，E+1，·····，F}，计算从E天到F天的交叉位置数，其中]{…}表示集合{…}的基数。此外，上述CE、Fde被命名为与D段（E、F）相关的交叉数。

LetWE，F：=CE，FE- F+1，（4.3），即E日至F日期间交叉头寸所占的比例。我们称之为We，F段D（E，F）的交叉率。让我≥ 1为固定整数。然后，我们按照以下方式将投资期划分为具有相同长度L的不同部分。取E=（n- 1） L+1和F=nL在（4.2）中，一个有'D（（n- 1） L+1，nL）={R（k），k∈ {（n）- 1） L+1，（n- 1） L，···，nL}}。在下面的内容中，我们将用Dn（（L）和Wn（L）代替D（（n-1） L+1，nL）和W（n-1） L+1，nL，表示法简洁。也就是说，Dn（（L）=D（（n- 1） L+1，nL）和Wn（L）=W（n-1） L+1，nL。我们看到Wn（L）∈ {0，L，L，…，L-1L，1} [0，1]，因此可以Ohm = [0，1]作为一个具有Borelσ-代数B（[0，1]）和一致概率测度P的概率空间。那么Wn（L）只不过是Borel概率空间（[0，1]，B（[0，1]），P）上的一个（离散）随机变量。4.1交叉率逼近let A：=[0，]）和B：=[，1]。We definepab（n）：=P（Wn（L）∈ A、 Wn+1（L）∈ B） 。可以类似地定义PAA（n）、PBA（n）和PBB（n）。在这里和后半部分中，我们假设Wn（L）是静止的（即Wn（L）不随参数n的移动而改变），因此PAB（n）（分别PAA（n）、PBA（n）和PBB（n））与n无关。因此，我们可以写PAB（分别PAA、PBA和PBB）而不是PAB（n）（分别PAA（n、PBA（n）和PBB（n））。观察1=P（Wn+1（L））∈ [0，1]，Wn（L）∈ [0，1]）=P（Wn+1（L）∈ A、 Wn（L）∈ [0，1]）+P（Wn+1（L）∈ B、 Wn（L）∈ [0，1]）=P（Wn+1（L）∈ A、 Wn（L）∈ A） +P（Wn+1（L）∈ A、 Wn（L）∈ B） +P（Wn+1（L）∈ B、 Wn（L）∈ A） +P（Wn+1（L）∈ B、 Wn（L）∈ B） 。因此，一个明显的hasPAA+PAB+PBA+PBB=1。接下来，我们按照以下三个步骤预测回报矩阵R（k+1）∈\'Dn+1（L）。步骤1：预测Wn+1（L），用Wn+1（L）表示。

到目前为止，有几种方法可以通过Wi（L），i=1，…，预测交叉率（缩写为MPCR）Wn+1（L）。。。，n代表n∈ N、 有关更多详细信息，请参阅[1，11]。在本文中，我们对以下两种策略感兴趣：对于PAA+PBB>，MPCR1：Wn+1（L）=W（L），n∈ Nand，对于PAB+PBA>，MPCR2：Wn+1（L）=（cA，如果Wn（L）∈ BcB，如果Wn（L）∈ A、 其中cA∈ A和cB∈ B是一些常数。步骤2：预测R（k+1）的顺序∈\'Dn+1（L），用O（R（k+1））表示。有两种方法可以用来预测R（k+1）的阶数，我们将它们列在下面：O（R（k+1））=（O（Rev（R（k）），如果Wn+1（L）∈ [，1]O（R（k）），如果Wn+1（L）∈ [0，]和MPO2:O（R（k+1））=（O（R（k-1） ），如果Wn+1（L）∈ [，1]O（R（k）），如果Wn+1（L）∈ [0,].步骤3：预测R（k+1），用R0（k+1）表示。关于MPO1，R0（k+1）=（Rev（R（k）），如果Wn+1（L）∈ [，1]R（k），如果Wn+1（L）∈ [0，]和，对于MPO2，R0（k+1）=（R（k-1） ，如果Wn+1（L）∈ [，1]R（k）如果Wn+1（L）∈ [0,] .通过MPCRand MPO获得R（k+1）的预测R0（k+1）的上述三个步骤称为交叉率方法，其表示为CR（MPCR，MPO，R0（k+1））。4.2调整交叉率法在上一小节中，我们只考虑返回序列{R（k）}1的情况≤k≤NIS严格不相等。在本小节中，我们将继续研究允许返回序列不必严格不相等的设置。为了应对这种设置，我们需要调整前面介绍的交叉率方法。