外汇市场建模与在线投资组合选择

对于E，F∈ ∧E<F，setCE，F：=]{k:O（Rl（k））6=O（R（k））和O（R（k））6=0，E 6 k 6 F}，其中l（k）：=max{l:l<k，O（Rl）6=0}。根据CE的定义，F，Rl（k）是最接近R（k）的返回矩阵，其中o（R（k））6=0，其顺序不同于R（k）。定义（4.2）中引入的交叉率WE，Fof'D（E，F），byWE，F=CE，FnE，F，（4.4），其中ne，F：=]{k:O（R（k））6=, E 6 k 6 F}。在（4.4）中，选择E=（n- 1） L+1，F=nL，我们有w（n-1） L+1，nL=C（n-1） L+1，nLn（n-1） L+1，nL。在续集中，为了便于记法，我们将编写WL而不是W（n-1） L+1，nL。按照严格不等框架的CR（MPCR，MPO，R0（k+1））程序，我们采用以下步骤来预测回报矩阵R（k+1）。步骤1：预测Wn+1（L），用Wn+1（L）表示。有两种方法：MPCR1：Wn+1（L）=W（L），n∈ N、 （4.5）和MPCR2:Wn+1（L）=（cA，如果Wn（L））∈ B、 cB，如果Wn（L）∈ A、 （4.6）其中cA∈ A和cB∈ B是一些常数。步骤2：预测R（k+1）的顺序，用O（R（k+1））表示。更精确地说，如果Wn+1（l），则MPO1:O（R（k+1））=（O（Rev（R（l（k+1）））∈ [，1]O（R（k+1）），如果Wn+1（L）∈ [0，]和MPO2:O（R（k+1））=（O（（R（l（k+1）；）））），如果Wn+1（l）∈ [，1]O（Rl（k+1）），如果Wn+1（L）∈ [0,] .步骤3：预测R（k+1），用R0（k+1）表示。对于MPO1，R0（k+1）=（Rev（R（l（k+1）），如果Wn+1（l）∈ [，1]Rl（k+1），如果Wn+1（L）∈ [0，]对于MPO2，如果Wn+1（l），则R0（k+1）=（R（l（l（k+1））∈ [，1]R（l（k+1）），如果Wn+1（l）∈ [0,].备注4.1有其他备选方案来确定回报矩阵R（k）的顺序。假设外汇市场上有三种货币。确定以下计数度量πk=]n（i，j）∈ ∧×∧：`r*ij公司∈hmaxv公司∈∧{r（k）lv}- ε、 最大值，v∈∧{r（k）lv}ior r r*ij公司∈hmaxl，v∈∧{r（k）lv}- ε、 最大值，v∈∧{r（k）lv}io，（4.7），其中∧：={1，2，3}，ε>0是一个常数。很容易看出πk∈ {1, 2, 3}.

在该问题中，设R（k）为k日的货币1、货币2和货币3的返回矩阵，该矩阵采用以下形式=0'r（k）'r（k）0 0 00 r（k）, （4.8）式中，\'r（k）6=0，\'r（k）6=0和r（k）6=0。接下来，我们将R（k）的顺序定义为OR（k）=（1，2），\'r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，（1，3），\'r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，（3，2），\'r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，（1，2）∪ （1，3），\'r（k）=\'r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，（1，3）∪ （3，2），\'r（k）=r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，（3，2）∪ （1，2），\'r（k）=\'r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，, \'r（k）=\'r（k）=\'r（k）=最大{\'r（k），\'r（k），r（k）}。（4.9）然而，上述顺序并不能很好地显示交叉费率法的有效性。根据聚类思想，对于前三种情况（即πk=1），我们可以将对（1，2），1，3）和（3，2）视为相同。同样，对于情况4-6（即πk=2），我们考虑对（1，2）∪ (1, 3),(1, 3) ∪ （3，2）和（3，2）∪ （1，2）相同。因此，我们修改了O（R（k））的顺序，用O（R（k））重新定义R（k）的O（R（k））=1，πk=1,2，πk=2,0，πk=3。（4.10）尽管顺序（4.10）适用于交叉率法的前两个步骤，但无法预测第三个步骤中R（k）的值，因为我们无法明确写出R（k）的倒数。5主要结果5.1交叉率模式集θn（CR）：=]{O（R（k））：O（R（k））=O（R（k）），R（k）∈\'Dn（L））}L.（5.1）（5.1）右侧的分子从（n）天开始计算交易日内预测顺序与R（k）的真实顺序相同的总数-1） L+1至nL日。在（5.1）中，θnis称为片段序列Dn（L）的CR（MPCR，MPO，R0（K+1））的成功率。

如果θn（CR）>，那么我们说CR（MPCR，MPO，R0（K+1））对段Dn（L）有效。使用两个更新规则IITC（（3.11））或EIITC（（3.12）），以及有效CR（MPCR、MPO、R0（K+1）），我们为整个每日收益序列Dn（L）定义了一个支持策略，如下η（'D（N）、M P CR、M P O、R（K+1））：=]{Dn（L）：CR（M P CR、M P O、R0（K+1））对'Dn（L）}有效{'Dn（L）>。（5.2）在交易日k+1，投资者在Dn（L）中应用有效CR（MPCR、MPO、R0（k+1））的结果，并结合两个更新规则（IITC（（3.11））和EIITC（（3.12）），以更新其投资组合以获得更多收益。引理5.1如果我们持有Wn+1（L）、Wn+1（L），a、b=1、2的CR（MP CRa、M P Ob、R0（k+1））与段序列Dn（L）的有效性∈ [0，）（5.3）或Wn+1（L），Wn+1（L）∈ [, 1]. （5.4）证明。如果Wn+1（L）∈ [0，），那么集合Θ的一半以上的点：={nL+k，k=1，2，········，L}不是交叉位置。下面，我们取nL+k+1∈ 假设nL+k+1不是交叉位置，所以O（R（nL+k+1））=O（R（nL+k））。（5.5）接下来，由于Wn+1（L）∈ 根据MPO1，我们有O（R（nL+k+1））=O（R（nL+k））（5.6）。因此，（5.5）和（5.6）得出O（R（nL+k+1））=O（R（nL+k+1））。（5.7）因此，每当Wn+1（L），Wn+1（L）时，CR（MPCR1，MPO1，R0（k+1））有效∈ [0，）。如果Wn+1（L）∈ [，1]，则集合Θ的一半以上点是交叉位置。在这个问题中，我们取nL+k+1∈ 假设nL+k+1是一个交叉位置，使得O（R（nL+k+1））6=O（R（nL+k））。（5.8）另一方面，如果Wn+1（L）∈ [，1]，因此一个hasO（R（nL+k+1））=O（Rev（R（nL+k）））。（5.9）如果O（R（nL+k））=1，则O（R（nL+k+1））=2乘以（5.9）。此外，从（5.8）可以看出O（R（nL+k+1））=2，因为O（·）只取两个值。因此，（5.7）成立。同样，如果O（R（nL+k））=1，我们可以推断（5.7）为真。

总之，（5.7）适用于任何情况。因此，如果Wn+1（L），Wn+1（L），则CR（MPCR1，MPO1，R0（k+1））有效∈[, 1].下面，我们假设nL+k+1∈ Θ使得（5.8）。如果Wn+1（L）∈ [，1]，在MPO2的光下，一个hasO（R（nL+k+1））=O（R（nL+k-1)). （5.10）如果O（R（nL+k-1） ）=O（R（nL+k）），那么我们可以推导出集合Θ的一半以上的点，这与Wn+1（L）相矛盾∈ [, 1]. 因此，我们到达atO（R（nL+k-1） ）6=O（R（nL+k））（5.11）考虑到（5.8），（5.10）以及（5.11），我们得出O（R（nL+k+1））=O（R（nL+k+1））。（5.12）实际上，如果O（R（nL+k））=1，那么O（R（nL+k+1））=1来自（5.8）和O（R（nL+k-1） ）=2，因为（5.11），这意味着O（R（nL+k+1））=1。以类似的方式，我们可以证明（5.12）是正确的。因此，CR（MPCR1、MPO2、R0（k+1））对Wn+1（L）、Wn+1（L）有效∈ [, 1]. 由于其他情况可以类似地处理，因此我们在此省略相应的细节。通过仔细检查上述引理，我们推断，在Wn+1（L）和Wn+1（L）属于相同区间[0，]或[，1]的情况下，a、b=1、2段Dn（L）的CR（M P CRa、MP Ob、R0（k+1））是有效的。然而，Wn+1（L）和Wn+1（L）的值不必相同。定义5.1序列{n}n≥如果存在一些K>0，例如与n+K1独立于任何n，K，则称为完全相关∈ N和K>K。特别是，通过取K=K，定义5.1表明独立于N+K，但对于N<K<N+K，不需要独立于K。以下引理取自[1]。引理5.2如果序列{n}n>1完全依赖于有界随机变量且En>c，对于某些常数c和任何n∈ N、 thenlimN公司→∞NNXn=1n>c，a.s.（5.13）基于此引理，可以获得IITC和EIITC的稳定性。

Westate下面的定理5.1我们假设{Rn（L）}是完全依赖的交叉率序列，然后我们有以下两个结果（1）ifPAA+PBB≥, （5.14）然后，两个更新规则IITC或EIITC和CR（MP CRa、MP Ob、R0（k+1）），a、b=1、2，当时间范围变为完整时，成为一种可供使用的策略。（2） ifPAB+PBA≥, （5.15）然后，两个更新规则IITC或EIITC和CR（MP CRa、MP Ob、R0（k+1）），a、b=1、2，当时间范围变为完整时，成为一种可供使用的策略。证据我们从案例（1）的证据开始。设n=（1，如果θn（MP CR1，MP O2，R0（k+1））≥0，如果θn（MP CR1，MP O2，R0（k+1））<（5.16），则n=1，2，··。通过定义离散时间随机变量的期望，En≥.注意{Wn+1（L），Wn+1（L）∈ A}∪ {Wn+1（L），Wn+1（L）∈ B} {CR（MP CR1，M P O1，R0（K+1））有效}={n=1}。所以，一个搭扣（{Wn+1（L），Wn+1（L）∈ A}∪ {Wn+1（L），Wn+1（L）∈ B} （）≤ P（n=1）。（5.17）由于P（{Wn+1（L），Wn+1（L）∈ A}∪ {Wn+1（L），Wn+1（L）∈ B} ）=PAA+PBB，再加上假设（5.14），我们从（5.17）中推断出P（n=1）≥ PAA+PBB≥.接下来，应用引理5.2得到thatlimN→∞η（'D（N），M P CR，M P O，R0（k+1））=limn→∞nnXk=1k≥, a、 这就完成了证明。接下来，我们继续完成有关案例（2）的证明。设置n=（1，如果θn（MP CR2，MP O1，R0（k+1））≥0，如果θn（MP CR2，MP O1，R0（k+1））<对于n=1，2，··。很容易看出En≥.

自{Wn+1（L）起∈ A、 Wn+1（L）∈ B}∪ {Wn+1（L）∈ B、 Wn+1（L）∈ A} {CR（MP CR2，M P O1，R0（K+1））有效}={n=1}，我们有P（{Wn+1（L））∈ A、 Wn+1（L）∈ B}∪ {Wn+1（L）∈ B、 Wn+1（L）∈ A} （）≤ P（n=1）。这，连同P（{Wn+1（L），Rn+1（L）∈ A}∪ {Wn+1（L），Wn+1（L）∈ B} ）=PAB+PBA，和（5.15），引线顶部（n=1）≥ PAB+PBA≥.因此，所需的断言来自引理5.2。MPCR1和MPCR2的选择要点基于上述理论。上述定理的备注5.1显示了可编制投资组合选择的一般情况。在现实世界中，投资者可以在外汇市场上选择PAA+PBB、PAB+PBA、PAA+PBA和PAB+PBB中价值大于的一种货币对。例如，如果投资者通过PAA+PBB=0.78选择五对货币，那么我们有一个可预测的策略，limη→∞π（\'D（N），MP-CR，MP-O，R0（k+1））≥ 0.78，美国。。（5.18）5.2[1]所推动的IITC和EIITC的普遍性，在本节中，我们旨在展示外汇市场中在线投资组合选择（即（3.11）和（3.12））的普遍性。显然，两个更新规则（即IITC和EIITC）对于主动策略和被动策略都是通用的。为简单起见，我们只取一对（i，j）相关货币。在（2.15）的帮助下，货币对（i，j）的投资指数增长率为*N（eij，{R（k）}）=NlogNYk+1eij R（k）=NNXk=1log（eij R（k）），（5.19），其中eij∈ RmRm，其中ijthentry等于1，其他条目等于零。回顾（2.18），交易成本的指数增长率RN（{ψ（k）}，{R（k）}）定义为asRN（{ψ（k）}，{R（k）}）=NNXi=1logψ（k） R（k）+NNXi=1log（1- ck）。

（5.20）以下定理揭示了RN（{ψ（k）}，{R（k）}）和LI之间的间隙*N（eij，{R（k）}）。定理5.2设R（1），····，R（N）是一个返回矩阵的任意序列，其中R（k）ij+R（k）ij≥ r、 其中i，j∈ ∧，k∈ ∧，对于某些常数r∈ （0，1）和maxi，j∈∧（(R)r（k）ij+r（k）ij）=1。考虑线性预测R（k+1）=Pdkl=1ak，lR（k-l+1），其中ak，l≥ 0，l=1，···，dk和PDKL=1ak，l=1，dk≥ 1、设γ>0。然后，对于IITC算法（3.11），RN（{ψ（k）}，{R（k）}）- R*N（{eij}，{R（k）}）≥Nlogψ（1）ijψ（N+1）ij+NNXk=1log（1- ck）+γr- γ.（5.21）o对于EIITC算法（3.12），RN（{ψ（k）}，{R（k）}）- R*N（{eij}，{R（k）}）≥Nlogψ（1）ijψ（N+1）ij+NNXk=1log（1- ck）+γr-γr.（5.22）o对于IITC算法（3.11），ck+1（γ）6ceγ1- c+O（γ），（5.23），其中O（γ）表示存在α，α∈ R使得αγ≤ O（γ）≤ 当γ>0时，αγ非常小。o对于EIITC算法（3.12），ck+1（γ）6ceγ/rγ（1- c） r+O（γ）。（5.24）证明。我们只关注（5.21）的证明，因为（5.22）可以以类似的方式完成。很容易看出logψ（1）ijψ（N+1）ij=NXk=1nlogψ（k）ij- 日志ψ（k+1）ijo、 这与（3.11）一起，得到了thatlogψ（1）ijψ（N+1）ij=NXk=1日志ψ（k）ij- 日志ψ0（k）ijep（γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））.

（5.25）由于（2.26），我们得到ψ（k）ij=ψ（k）ij（ψ（k） R（k））(R)R（k）ij+R（k）ij。将其代入（5.25）得到thatlogψ（1）ijψ（N+1）ij=NXk=1日志ψ（k）ij（ψ（k） R（k））(R)R（k）ij+R（k）ij- 日志ψ0（k）ijep（γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））=NXk=1日志ψ（k）ij+ 日志ψ（k） R（k））- 日志\'\'r（k）ij+r（k）ij- 日志ψ（k）ij- γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij）+对数mXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl））=NXk=1日志ψ（k） R（k））- 日志\'\'r（k）ij+r（k）ij- γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij）+对数mXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl））.（5.26）另一方面，通过考虑（5.19）和（5.20），它可以从（5.26）得到thatRN（{ψ（k）}，{R（k）}）- R*N（{eij}，{R（k）}）=NNXk=1nlogψ（k） R（k）+ 日志（1- ck）- 日志eij公司 R（k）o=Nlogψ（1）ijψ（N+1）ij+NNXk=1log（1- ck）+NNXk=1γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）- 日志mXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl））.（5.27）注意，\'r（k+1）ij+r（k+1）ij）=dkXl=1ak，l（\'r（k-l+1）ij+r（k-l+1）ij）这与maxi，j（\'r（k）ij+r（k）ij）=1和\'r（k）ij+r（k）ij≥ r、 leads tor公司≤ \'\'r（k+1）ij+r（k+1）ij）≤ 1.（5.28）因此，我们得出结论NNXk=1γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）≥ γr（5.29）和thatlogmXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl））≤ 日志mXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ）= γ、 （5.30）其中，在上一次显示中，我们使用了factPmv，l=1ψ0（k）vl=1。将（5.29）和（5.30）插回（5.27）意味着rn（{ψ（k）}，{R（k）}）- R*N（{eij}，{R（k）}）≥Nlogψ（1）ijψ（N+1）ij+NNXk=1log（1- ck）+γr- γ.（5.31）因此期望的断言（5.21）紧随其后。在续集中，我们只处理（5.23），因为（5.24）可以以并行方式处理。

除（2.28）外，由（2.16）可知，CK+1（γ）=Tk+1Fk≤c1类- cd（ψ（k+1），ψ（k））=c1- cmXij=1 |ψ（k+1）ij- ψ0（k）ij |。这与（3.11）一起意味着CK+1（γ）≤c1类- cmXij=1ψ0（k）ijep（γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））- ψ0（k）ij=c1类- cmXij=1ψ0（k）ijexp（γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））- 1.=c1类- cmXij=1ψ0（k）ijexp（γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij））-Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））=c1类- cmXij=1ψ0（k）ijPmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij））-Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））,其中，在最后一步中，我们使用了dpmv，l=1ψ0（k）vl=1。因此，我们从（5.28）和Pmv中推断，l=1ψ0（k）vl=1 thatck+1（γ）≤c1类- cmXij=1ψ0（k）ijmXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij））- exp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））≤总工程师-γr1- cmXij=1ψ0（k）ijmXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij））- exp（γ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl））≤总工程师-γr1- cmXij=1ψ0（k）ijmXv，l=1ψ0（k）vl（eγ- eγr）=ce-γr1- c（eγ- eγr）=ceγ（1-r） 1个- c（1- e-γ(1-r） ）。（5.32）通过泰勒展开，单相-γ(1-r） =1- γ(1 - r） +O（γ）。将其放入（5.32）中会得到所需的断言（5.23）。单一交易行为组合中的最优货币将根据ITC或EIITC更新规则确定，如下策略所示。更准确地说，让我们按照以下方式提供集合{1，…，N}的分区：对于某个整数l∈ （1，N），Γi=（{i（i-1） l+1。。。，i（i+1）l}，i=1，2。。。，荷兰- 1，{nl（nl-1） l+1。。。，N}，i=nl，（5.33），其中nl：=h√1+8牛/升-1当[x]时，x>0，为最大或等于x的最小整数。

很容易看出，对于每个Γi，i<nl，其长度等于il。在续集中，我们打算表明，从长期投资的角度来看，按IITC或EIITC算法递减的基金的指数增长率大于单一最佳货币实现的指数增长率。设{R（i）}1≤我≤Nand{ψ（i）}1≤我≤Nbe分别是收益矩阵和投资组合矩阵的序列。假设ψ（i（i-1） l/2+l），i=1。。。，n、 由一个小常数ε>0限定，且λ（·）：i 7→ λ（i）在它到达单位时变为零。根据集合{1，···，N}的划分，很容易看出nxk=1log（1- ck）=对数（1- c） +日志（1- c） +···+日志（1- cl）+日志（1- cl+1）+日志（1- c） +···+日志（1- c3l）+···+对数（1- c（nl-1） （荷兰）-2） +1）+日志（1- c） +···+日志（1- cnl（nl-1） l）+日志（1- cnl（nl-1） l+1）+···+对数（1- cN）=nl-1Xi=1ilXk=1log（1- c（i（i-1） l）/2+k）+LnlXk=1log（1- c（nl（nl-1） l）/2+k）。（5.34）因此，我们从（5.21）和（5.34）中推断出→∞RN（{ψ（k）}，{R（k）}）- R*N（{eij}，{R（k）}）≥ lim信息→∞NnlXi=1对数ε+ilγ（i）r- ilγ（i）+nl-1Xi=1ilXk=1log（1- c（i（i-1） l）/2+k）+LnlXk=1log（1- c（nl（nl-1） l）/2+k）= 0，（5.35），其中在最后一个过程中，我们还使用了定理5.2和limn→∞nlN=limN→∞LnlN=0。从（5.35）中，我们可以得出以下推论，即推论5.2从长期投资的角度来看，根据IITC或EIITC算法，具有交易成本的基金的指数增长率比单一最佳货币实现的指数增长率最优。备注5.2在γ=0的情况下，投资者不会采取任何行动，或者预测的可信度要低得多。在此基础上，投资者实施买入并持有的被动策略。