美式永续看跌期权的分析和数值结果

有关更多详细信息，请参阅[GFS16]。xWγ+（x）≥ -Wγ+（x）- rβ（Wγ+（x）），对于x>x0γ+=ln%γ+，xWγ-（十）≤ -Wγ-（十）- rβ（Wγ-（x） ），对于x>x0γ-= ln%γ-.（17） 此外，可以证明%γ+≤ % ≤ %γ-.因为，对于初始条件，我们有Wγ±（xγ±）=rE%γ±和W（x）=rE%和soWγ-（xγ-) ≤ W（x）≤ Wγ+（xγ+）。利用（17）中普通微分不等式解的比较原理，我们得出γ-（十）≤ W（x）≤ Wγ+（x）。然后考虑到定理1中函数V（S）的显式解，我们给出了以下结果：定理2。【GFS16，定理3】设（V（·），%）为永久美国定价问题的解（4）–（5）。那么对于任何S≥ 0我们有vγ-（S）≤ 五（S）≤ Vγ+（S）和%γ+≤ % ≤ %γ-式中（Vγ±（.），%γ±）是具有恒定挥发性的显式默顿解。4数值近似方案和结果在最后一节中，我们的目标是提出一个有效的数值方案，用于构造波动函数形式为σ=σ（H），其中H=S的情况下，个人美式看跌期权问题（4）–（5）的解SV。数值结果由作者在[GFS16]中获得。我们的方案基于变换H=β（w），即w=σ（H）H和dw=H（σ（H）H）dh利用这个，我们可以将自由边界位置%的方程（13）改写如下：Zβ（rE/%）Hσ（H）H+rHH（σ（H）H）dH=1。（18） 类似地，期权价格的表达式（见定理1）可以根据Hvariable重写如下：8 Maria do Ros\'ario Grossinho，Yaser Faghan and DanielˇSevˇcoviˇcV（S）=SrZβ（F-1（ln（%/S）））σ（H）Hσ（H）H+rHH（σ（H）H）dH。

（19） 当反函数β（w）不是由封闭式公式给出时，应用此变换可以避免计算复杂性。在下文中，我们回顾了具有以下形式的非线性波动率函数的RAPM模型的永久美国看跌期权问题（4）–（5）解的数值计算结果：σ（H）=σ1+λH, （20） 我们给出了风险调整定价方法模型（RAPM）的数值计算结果。我们想显示自由边界%的位置和以行使价格S=E评估的永久期权V的价值。期权价值是针对模型λ的各种值计算的∈ [0，2]适用于RAPM模型。其余模型参数选择为：r=0.1、E=100和σ=0.3。在选项卡中显示的计算中。1我们给出了RAPM模型的自由边界位置和每股美国看跌期权价格V（E）的结果。表1：。对于模型参数λ的各种值，在S=E时评估的永久看跌期权自由边界位置%和期权价格V（S）≥ RAPM模型为0（来源【GFS16】）。λ0.00 0.20 0.40 0.60 1.20 1.60 2.00%68.9655 64.7181 61.2252 58.2647 51.1474 47.2975 44.5433V（E）13.5909 15.4853 17.1580 18.6669 22.5461 24.7444 26.680450 75 100 150 175 200S0102030405060V HSLFig。实心曲线表示λ=1的RAPM模型的永久美式看跌期权V（S）的图形。子解和超解Vγ-Vγ+用虚线表示。模型参数：r=0.1，E=100，σ=0.3（来源【GFS16】）。最后，在图1中，我们展示了风险调整定价方法模型的期权价格V（S），该模型具有具有恒定波动率的闭合形式显式默顿解。5结论本文分析了当非线性波动率是二阶导数函数时美式永续期权的问题。

我们研究了建立这类期权模型的自由边界问题，将其转化为自由边界位置的单个隐式方程和期权价格的显式整体表达式。致谢：美式永久看跌期权的分析和数值结果9本研究得到了欧盟在FP7-PEOPEN-2012-ITN项目STRIKE New Methods in Computative Finance（304617）、FCT/MEC通过国家基金资助的CEMAPRE MULTI/00491项目以及斯洛伐克研究机构VEGA 1/0780/15项目中的支持。参考文献[AM05]Amster，P.、Averbuj，C.G.、Mariani，M.C.和Rial，D.：一个具有交易成本的Black-Scholes期权定价模型。J、 数学。肛门。应用程序。，303688–695（2005）[AP94]Avellaneda，M.，和A.段：存在较大交易成本的衍生证券动态对冲组合。应用数学金融学。，1165–193（1994）[BS98]Barles，G.和Soner，H.M.：《具有交易成本的期权定价和非线性Black-Scholesequation》。金融随机性。，2369-397（1998）[BS73]Black，F.，和Scholes，M.：《期权定价和公司负债》。J、 政治经济学。，81637–654（1973）[公元前07年]Bordag，L.A.和Chmakova，A.Y.：金融衍生品非线性模型的显式解。内景J.Thero。应用程序。资金10（1），1-21（2007）[DH93]Dewynne，J.N.，Howison，S.D.，Rupf，J.，和Wilmott，P.：美国期权定价中的一些数学结果。欧元J、 应用程序。数学4381–398（1993）【F98】Frey，R.：大型交易员的完美期权对冲。金融学和随机学。，2115–142（1998）[FP02]Frey，R.，和Patie，P.：《非流动性市场中衍生品的风险管理：模拟研究》。《金融与随机研究进展》，柏林斯普林格，（2002）[FS97]Frey，R.，和Stremme，A.：市场波动和动态对冲的反馈效应。

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