美式永续看跌期权的分析和数值结果

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英文标题：
《Analytical and numerical results for American style of perpetual put
  options through transformation into nonlinear stationary Black-Scholes
  equations》
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作者：
Maria do Rosario Grossinho, Yaser Faghan Kord, Daniel Sevcovic
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We analyze and calculate the early exercise boundary for a class of stationary generalized Black-Scholes equations in which the volatility function depends on the second derivative of the option price itself. A motivation for studying the nonlinear Black Scholes equation with a nonlinear volatility arises from option pricing models including, e.g., non-zero transaction costs, investors preferences, feedback and illiquid markets effects and risk from unprotected portfolio. We present a method how to transform the problem of American style of perpetual put options into a solution of an ordinary differential equation and implicit equation for the free boundary position. We finally present results of numerical approximation of the early exercise boundary, option price and their dependence on model parameters.
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中文摘要：
我们分析并计算了一类平稳广义Black-Scholes方程的早期行权边界，其中波动率函数依赖于期权价格本身的二阶导数。研究具有非线性波动率的非线性Black-Scholes方程的动机来自期权定价模型，包括非零交易成本、投资者偏好、反馈和非流动市场效应以及无保护投资组合的风险。我们提出了一种方法，将美式永久看跌期权问题转化为自由边界位置的常微分方程和隐式方程的解。最后，我们给出了早期行使边界、期权价格及其对模型参数依赖性的数值近似结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Analytical_and_numerical_results_for_American_style_of_perpetual_put_options_thr.pdf (305.69 KB)

2022-6-1 02:04:43 上传

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关键词：看跌期权 Differential Applications Quantitative Computation

美国式看跌期权转换为非线性静态Black-Scholes方程的分析和数值结果Ros\'ario Grossinho、Yaser Faghan和DanielˇSevˇcoviˇcInstituto Superior de Economia e Gestao和CEMAPRE，里斯本大学，Portugalmrg@iseg.ulisboa.ptDept.应用数学与统计，夸美纽斯大学，842 48布拉迪斯拉发，斯洛伐克。sevcovic@fmph.uniba.skSummary.我们分析并计算了一类平稳广义BlackScholes方程的早期行权边界，其中波动率函数依赖于期权价格本身的二阶导数。研究具有非线性波动率的非线性Black-Scholes方程的动机来自期权定价模型，包括非零交易成本、投资者偏好、反馈和非流动性市场影响以及无保护投资组合的风险。我们提出了一种方法，将美式永久看跌期权问题转化为自由边界位置的普通微分方程和隐式方程的解。最后，我们给出了早期行使边界、期权价格及其对模型参数依赖性的数值近似结果。关键词和短语期权定价、非线性Black-Scholes方程、交易成本、永续Lamerican看跌期权、早期行权边界1简介在本文中，我们研究的是一种无固定到期日和行权限制的金融期权，称为永续期权。这种期权可以在任何时候行使，可以被视为美式期权。然而，在这种情况下，到期时间对期权价格没有影响。从数学的角度来看，这导致了静态Black-Scholes问题的解决方案。

更准确地说，估值问题转化为自由边界问题，该问题由函数V（S）的构造以及满足以下条件的早期行使边界点%组成：σSSV+rSSV公司- rV=0，S>%，V（%）=E- %, SV（%）=-1，V(+∞) = 0（c.f.【DH93】、【H05】、【SSM11】）。函数V在域S>%中定义，其中%是自由边界位置。如果扩散系数σ>0是常数，那么我们实际上正在考虑经典线性Black-Scholes抛物方程的平稳解。然而，我们假设σ取决于资产价格S和资产价格S与期权价格的二阶导数（γ）的乘积h=SSV，即σ=σ（S，H）=σ（S，SSV）。（1） 让我们提到我们研究形式（1）非线性波动的动机。众所周知，经典线性Black-Scholes模型（c.f【JS05】、【Kw98】）是在几种限制性假设下推导出来的，这些限制性假设并不反映真实市场。事实上，没有考虑交易成本，波动率应该是恒定的，只考虑了流动性和完整的市场。从那时起，文献中出现了一些放松这些假设的结果，以克服它们在实践中产生的一些缺点。关于波动性，实践证明它不是常数，2 Maria do Ros\'ario Grossinho、Yaser Faghan和DanielˇSevˇcoviˇcma可能取决于资产价格本身。利用该波动率函数（1），经典模型的推广方式允许考虑非零交易成本、市场反馈和由于交易量大、投资者偏好风险等造成的非流动性市场效应。

从数学上讲，该问题将失去其线性特征，因为该方程变为非线性偏微分方程（参见[SSM11]）。第一个考虑到非平凡交易成本的非线性模型之一是由Elland[L85]提出的看跌期权或看涨期权，后来由Hoggard、Whalleyand Wilmott[SW00]扩展到更一般类型的期权。Avellaneda和Paras【AP94】提出了跳跃波动率模型，其中波动率随期权伽马符号的变化而变化。Frey和Patie【FP02】、Frey和Stremme【FS97】开发了处理反馈和大型交易导致的非流动性市场影响的模型（另见【SW00】）。我们还提到了Kratka【Kr98】和Jandaˇcka以及ˇSevˇcoviˇc【JS05】提出的所谓风险调整定价模型（RAPM），其中既考虑了交易成本，也考虑了无保护投资组合的风险。在RAPM模型中，波动率函数依赖于H=S仅SV，其形式为：σ（H）=σ（1+λH）=σ（1+λ（SSV）），（2）其中σ>0是标的资产的恒定历史波动率，λ是一个模型参数，取决于交易成本率和无保护投资组合风险敞口。最近，Bordag等人【BC07】针对Frey和Patie以及RAPM模型推导出了由波动率可变的非线性Black-Scholes方程描述的欧式期权的显式解。Barnes和Soner【BS98】提出了一个模型，假设投资者的偏好由指数效用函数表示。

在该模型中，波动率函数取决于H=SSV和S，其形式如下：σ（S，H）=σ1+ψ（灰分）= σ1+ψ（aSSV）, （3） 其中函数ψ是ODE的唯一解：ψ（x）=（ψ（x）+1）/（2pxψ（x）- x） ，ψ（0）=0和a≥ 0是一个常数，取决于交易成本和投资者的风险规避参数（详见[BS98]）。注意ψ（x）≥ 0表示所有x≥ 0，它具有以下渐近性：ψ（x）=O（x）forx→ 0和ψ（x）=x的O（x）→ ∞.最后，我们还提到了Mariani和Rial，Amster，Averbuj【AM05】开发的非线性波动率模型，其中交易成本以线性递减的方式取决于交易资产的数量。最近，Sevˇcoviˇc和Zitˇnansk'a在论文[SZ16]中对任意交易成本函数进行了推广。本文的组织结构如下。在下一节中，我们回顾了美国看跌期权定价模型的数学公式。此外，我们还证明了自由边界问题解的存在唯一性。我们推导了期权价格的公式和自由边界位置%的单隐式方程。在第3节中，我们基于具有常数波动性的默顿显式解构造了合适的子解和超解。最后，在第4节中，我们给出了自由边界位置、期权价格V（S）及其对模型参数依赖性的计算结果。2永久美式看跌期权在本节中，我们分析了美国式永久看跌期权的问题。如前所述，永续期权是无固定到期日和行权限制的金融期权。由于它们可以在任何时候行使，因此它们的到期日为T=+∞.考虑美式看跌期权，其波动率σ为形式（1）。

假设存在解V的极限和成熟度T的早期行使边界位置SF→∞. 由限制价格V=V（S）=limT组成的对-t型→∞V（S，t）和极限早期运动边界位置%=极限-t型→∞永续看跌期权的Sf（t）是平稳非线性Black-Scholes问题（c.f.[GM09]）：σ（S，S）的一个解SV）SSV+rSSV公司- rV=0，S>%，（4）美式永久看跌期权3的分析和数值结果，V（%）=E- %, SV（%）=-1，V(+∞) = 0（5）（c.f.【Kw98】、【SSM11】、【LS11】）。我们将证明，在对波动性函数的某些假设下，永久美式看跌期权问题（4）–（5）具有唯一解（V（.），%）。我们将给出σ=σ（H）情况下的显式公式，即波动率取决于H=S项仅SV。此外，我们还将给出与作者在[GFS16]中最近获得的显式默顿解的比较结果。在本文中，我们将假设波动率函数σ=σ（S，H）完全符合以下假设：假设1。假设（4）中的波动率函数σ=σ（S，H），在H>0变量和σ（S，H）中为Csmooth非减损函数≥ σ> 0表示任何S>0和H≥ 0，其中σ为正常数。如果我们将波动率函数σ（S，H）扩展为σ（S，0）表示H的负值，即σ（S，H）=σ（S，0）表示H≤ 0然后函数3 H 7-→σ（S，H）H∈ Ris严格递增，因此存在唯一的反函数β：R→ R使得σ（S，H）H=w当且仅当H=β（x，w），其中S=ex.（6）注意函数β是一个连续的递增函数，使得β（0）=0。关于反函数，我们有以下有用的引理：引理1。假设波动率函数σ（S，H）满足假设1。那么反函数β具有以下性质：1。

β（x，0）=0和β（x，w）w≤所有x，w的σ∈ R2、βw（x，w）≤所有x的σ∈ R和w>0。证据显然，β（x，0）=0。对于w>0，我们有β（x，w）>0和w=σ（ex，β（x，w））β（x，w）≥σβ（x，w）和soβ（x，w）w≤σ。如果w<0，那么β（x，w）<0，我们可以像之前一样继续。区分等式w=σ（ex，β（x，w））β（x，w）≥σβ（x，w）相对于w>0的产率：1=σ（ex，β（x，w））βw（x，w）+Hσ（ex，H）H≥σβw（x，w）对于H=β（x，w）>0，引理的第二个陈述的证明如下。解决永久美式看跌期权问题（4）–（5）的关键步骤在于引入以下变量：W（x）=rS（V（S）- SSV（S）），其中S=ex.（7）引理2。让x∈ 应给出R。函数V（S）是方程（4）的解，其中S>%=Ex满足边界条件：V（S）- SSV（S）=E，at S=%，i fff且仅当转换函数W（x）是ODE初值问题的解决方案时：xW（x）=-W（x）- rβ（x，W（x）），x>x，（8）W（x）=稀土元素-x、 4 Maria do Ros\'ario Grossinho、Yaser Faghan和DanielˇSevˇcoviˇcProof。像x=SSwe获得xW（x）=卢比S（S）-1V（S）- SV（S））=rSS-1.SV（S）- 卢比-1V（S）- 卢比SV（S）=-W（x）- 卢比SV（S）=-W（x）- rβ（x，W（x）），因为β（x，W（x））=H≡ SSV（S）当且仅当σ（S，H）H=W（x）且V解（4），即σ（S，H）H+rS（SSV（S）- V（S））=0。最后，W（x）=rS（V（S）- SSV（S））=稀土元素-X其中S=%=ex，如所述。注意条件的等价性：V（S）- SSV（S）=E和V（S）=E- S<==> SV（S）=-1和V（S）=E- S、 （9）关于常微分方程（8）的解W，我们有以下辅助结果：引理3。假设x∈ R、 设W=Wx（x）是x的ODE（8）的唯一解∈ 满足边界条件W（x）=rEe的R-xat初始点x。然后1。任意x的Wx（x）>0∈ R、 2。功能x7→ 对于任何x，Wx（x）在x变量中增加∈ R、 3。如果波动率函数取决于H=S仅SV，即。

σ=σ（H），然后wx（x）=F-1（x- x） 式中，F（W）=ZWWw+rβ（W）dw，W=W（x）=rEe-x、 证明。根据引理1，我们有β（x，w）/w≤ 任意x的2/σ∈ R和w 6=0。因此x | ln（W（x）|=-1+rβ（x，W（x））W（x）≥ -（1+γ），其中γ=2r/σ。因此| W（x）|≥ |W（x）| e-（1+γ）（x-x） >0，这就是为什么函数W（x）不改变符号。As W（x）=rEe-x> 0我们还有Wx（x）>0。ODE（8）的解Wx（x）可表示为Wx（x）=Wx（x）-Zxx（Wx（ξ）+rβ（ξ，Wx（ξ）））dξ=稀土元素-x个-Zxx（Wx（ξ）+rβ（ξ，Wx（ξ）））dξ。让我们介绍一下辅助函数y（x）=xWx（x）。Theny（x）=-稀土元素-x+Wx（x）+rβ（x，Wx（x））-Zxx（1+rβw（ξ，Wx（ξ）））y（ξ）dξ=rβ（x，Wx（x））-Zxx（1+rβw（ξ，Wx（ξ）））y（ξ）dξ。因此，y是ODE的解决方案：xy（x）=- （1+rβw（x，Wx（x）））y（x），x∈ R、 （10）y（x）=Rβ（x，rEe-x） >0。关于引理1，我们有βw（x，Wx（x））≤ 2/σ. 因此，函数y是微分不等式的解：美式永久看跌期权5的分析和数值结果xy（x）≥ -（1+γ）y（x），x∈ R、 式中γ=2r/σ。因此，我们得到| y（x）|≥ |y（x）| e-（1+γ）（x-x） >0（11），这就是为什么函数y（x）不改变符号。因此xWx（x）=y（x）>0，下面是语句2）的结尾。最后，如果σ=σ（H），我们有β=β（w），依此类推xF（W（x））=W（x）+rβ（W（x））xW（x）=-因此F（W（x））=F（W（x））- （十）- x） =x- x和语句3）如下。引理4。在假设1下，存在唯一根x∈ 隐式方程z的R∞xβ（x，Wx（x））dx=1。（12） 证明。表示φ（x）=R∞xβ（x，Wx（x））dx。然后φ(∞) = 0和φ（x）=-β（x，Wx（x））+Z∞xβw（x，Wx（x））y（x）dx，其中y（x）=xWx（x）是（10）的解。那就是xy（x）=- （1+rβw（x，Wx（x）））y（x）andy（x）=rβ（x，Wx（x））=rβ（x，rEe-x） 。

因此φ（x）=-β（x，Wx（x））-rZ公司∞x个xy（x）+y（x）dx=-ry公司(∞) -rZ公司∞xy（x）dx≤ -rZ公司∞xy（x）dx。作为y（x）=xWx（x）≥ y（x）e-（1+γ）（x-x） 我们有φ（x）≤ -ry（x）1+γ=-β（x，Wx（x））1+γ。这意味着函数φ是严格递减的。因为σ（ex，β（x，Wx（x）））β（x，Wx（x））=Wx（x）=rEe-x个→ +∞ 作为x→ -∞,我们有limx→-∞β（x，Wx（x））=∞ 因此limx→-∞φ（x）=-∞. 因此φ(-∞) = ∞.总之，如权利要求所述，存在方程φ（x）=1的唯一根xo。现在我们可以陈述关于永久美式看跌期权问题唯一可解性的主要结果（4）–（5）。定理1。假设波动率函数σ满足假设1。然后存在唯一的解决方案（V（.），%）永久美国看跌期权问题（4）–（5）。函数V（S）由V（S）=SrZ给出∞ln SWx（x）dx，用于S≥ % = 其中Wx（x）是ODE（8）的解，xis是隐式方程（12）的唯一根。证据对V（S）的上述表达式进行区分，我们得到SV（S）=rZ∞ln SWx（x）dx-rWx（ln S）SSV（S）=-r（宽x（x）+xWx（x））=β（x，Wx（x）），6 Maria do Ros\'ario Grossinho，Yaser Faghan和DanielˇSevˇcoviˇcwhere x=ln S。因此σ（S，SSV）SSV+rSSV公司- rV=Sσ（ex，β（x，Wx（x）））β（x，Wx（x））- Wx（x）= 0，即V（S）是（4）的解，S>%=ex。此外，[V（S）- SSV（S）]S=%=V（%）-%rZ公司∞ln%Wx（x）dx+%rWx（ln%）=E%E- ln%=E，and，V（%）=%rZ∞项次%Wx（x）dx=%rZ∞项次%-xWx（x）- rβ（x，Wx（x））dx=%rWx（ln%）- %Z∞ln%β（x，Wx（x））dx=E- %因为xis是（12）的唯一解决方案。关于等价物（9），我们有SV（S）=-1 AT S=%。总之，（V（%），%）是永久美国看跌期权问题的唯一解决方案（4）–（5）。备注1。在这种情况下，波动率函数取决于H=S仅SV，即σ=σ（H），则可通过引入变量w=Wx（x）的变化简化方程（12）。实际上，β=β（w）和dw=xWx（x）dx=-（Wx（x）+rβ（Wx（x）））dx。

特雷弗雷斯∞xβ（Wx（x））dx=-ZWx（x）β（w）w+rβ（w）dw=ZrE%β（w）w+rβ（w）dw。方程式（12）可改写为以下形式：re%β（w）w+rβ（w）dw=1。（13） 这是作者最近在[GFS16]中推导出的自由边界位置%的条件。3默顿显式解、子解和超解在本节中，我们回顾了作者[GFS16]处理解决方案比较的最新结果（V（.），%）对于波动率函数依赖于H=S的情况，永久美式看跌期权问题（4）–（5）仅SV，即σ=σ（H）。假设波动率σ≡ σ是常数，那么对于函数V（S）和极限早期精确边界位置%，自由边值问题（4）–（5）具有Merton（c.f.[Kw98]，[SSM11]）给出的显式解，其闭合形式为：Vγ（S）=（E- S、 0<S≤ %γ、 E1+γS%γ-γ、 S>%γ，（14），其中%γ=Eγ1+γ，γ=2rσ。（15） 我们的下一个目标是为永久美国看跌期权定价问题建立次级和超级解决方案。设γ>0为正常数，用Vγ表示之前定义的显式默顿解。很明显，这对（Vγ（·），%γ）是常数波动率σ=2r/γ的显式默顿解。然后，对于转换函数Wγ（x），我们得到了美式永久看跌期权7Wγ（x）=rE%γe的分析和数值结果-（1+γ）x，对于x=ln S>x0γ=ln%γ。此外，Wγ是ODE的解决方案：xWγ+Wγ+γWγ=0。（16） 应用方程（16），我们可以构造一个超解Wγ+和一个子解Wγ-方程的解W：xW=-W- rβ（W），使用默顿溶液Wγ。这里γ+是方程γ+σ（1+γ+）=2和γ的唯一根-满意度γ-σ（0）=2r。因此，以下不等式成立。