快变粗糙随机波动下的期权定价

（49）-快速均值回复波动率波动，τmr<< \'τ，（参见Garnier和Solna（2016）关于H∈ （1/2，1）和本文∈ (0, 1/2)). 在这种情况下：ζ（H）=最大值H-, 0. （50）因此，我们看到，在快速均值回归导致单扰动扩展的情况下，只有在H>1/2的情况下，当我们具有长期相关特性时，我们才有分数特征项结构指数。虽然在导致常规扰动扩展的缓慢均值回归情况下，我们有一个分数特征项结构指数，用于Hurst ex-ponent H.InGarnier和Solna（2015）的所有值，但我们也考虑了小波动率波动的情况，其均值回归时间与特征扩散时间的顺序相同。这导致了一种渐近状态，其中特征项结构指数被更一般的特征项结构因子（假设fOU波动因子）所取代：ττζ（H）→ A.τ′τ，ττmr=ττH+1/2n1-Zτ/τmre-v1.-vτ/τmrH+dvo。然后，我们有一个后续的极限，即慢（τmr>> τ） 或快速（τmr<< τ） 均值回归：Aτ′τ，ττmr∝(τττ的H+1/2<< τmr，ττH-τ的1/2>> τmr，（51），其中我们有一个H的所有值的分数项结构。因此，特征项结构指数与在缓慢均值回复极限中获得的结果（49）一致。它也与在快速均值回复极限下得到的结果（50）一致，但仅在H的情况下∈(1/2, 1). 案例H中没有矛盾∈ （0，1/2），因为没有根本原因证明“小幅度”和“快速均值回归”的极限是可交换的。

这意味着H的预测（51）∈ （0，1/2）在“小幅度”和“快速均值回归”的极限中，没有捕捉到极限“快速均值回归”的前导阶贡献，它与到期时间无关，但对于小幅度波动率波动来说可以忽略不计。请注意，当波动率波动的标准偏差与平均波动率相同或不一致，且到期时间与平均逆转时间的顺序相同时，隐含波动率反映了模型的特定结构，请参见Al\'os和Yang（2014）中的Heston（Heston（1 993））模型分析。还请注意，对于隐含波动率如何依赖于赫斯特指数的快速变化和粗糙随机波动率19的模型，我们实际上可以根据隐含波动率的记录来估计赫斯特指数。一个基于隐含波动率衍生的标的交易波动率代理的赫斯特指数估计示例，由isin Livieri et al.（2017）得出，并得出一个粗略的波动率制度。Jacquier等人（2017）给出了使用波动率指数期货对H进行校准的一个例子，并得出了一个粗略的波动率制度。6.2隐含面摆动根据价格路径预测的波动率修正σt，t取决于价格历史，我们在快速均值回归制度下有以下图片：–粗略波动率，H<1/2：σt，t=o(σ). （52）-平滑波动率，H>1/2：￠σt，t=O(σ). （53）在平稳波动的情况下，我们在Arnier andSolna（2016）中详细讨论了“t-t”过程的统计结构∑t，t。我们在本文的讨论中指出σ/σ << 1.

正如Arnier和Solna（2015）所讨论的，在缓慢均值逆转的情况下，我们认为|σt，t=O（|σ），自那时起，当前的波动水平起着中心作用。7结论我们考虑了粗糙fr作用随机波动率模型。这种建模的动机是最近的一些经验发现，波动性不是由具有显著衰减相关性的马尔可夫过程很好地建模的，当然也不是由常数建模的。相反，它应该被建模为一个惊人的过程，其相关性在起源处迅速衰减，在质量上比与马尔可夫过程相关的衰减更快。一般来说，由于波动率因子既不是马尔可夫过程，也不是鞅，因此我们没有定价偏微分方程，因此使用此类模型很有挑战性。然而，在这里，我们考虑了波动率快速均值回复的情况，即其均值回复时间相对于价格过程的特征扩散时间较短。在这种情况下，定价表m和相关的隐含波动率面可以简化为与马尔可夫情形相对应的参数形式。我们建模的一个重要方面是将粗糙随机波动率建模为一个平稳过程。迄今为止，关于这一主题的许多论文（如果不是大多数的话）都使用了一个非平稳的框架，其中“时间零点”起着特殊的作用。20 Josselin Garnier，Knut SolnaIn对于具有过去记忆的过程，而不是马尔可夫过程，我们认为从建模的角度来看，这一方面至关重要。事实上，在一般情况下，历史（原则上从基础价格路径可以观察到）会影响隐含波动率。

然而，在快速均值回归的框架下，价格历史的影响相对于与随机波动率相关的主导修正变得更低，这一点在本文中得到了明确和识别。值得注意的是，当波动率因子路径比马尔可夫情况下的平滑，且其相关性衰减低于马尔可夫情况下的相关性时，在长范围随机波动率的情况下，这种情况实际上发生了破坏。当平均回归时间与价格过程的特征差异时间具有相同的顺序，但波动率波动与平均值相比具有几乎所有的标准差时，它也会在渐近情况下分解。在这些情况下，无论是短期（粗略波动率）还是长期相关性，价格修正模型的结构和隐含波动率都会发生变化，并导致出现分数期限结构的情况。这些结果源自inGarnier和Solna（20152016），并在本文第6节中总结。这些观察结果可以部分解释为什么尽管实证观察反驳了马尔可夫框架，但基于马尔可夫模型的隐含曲面参数化在捕获隐含波动率曲面方面取得了成功。最后，该分析结果证实了最近发表的论文Funahashi和Kijima（2017）的结果，其中对与粗糙随机波动率模型相关的价格进行了数值计算。承认：这项研究得到了中央古诺基金会、古诺基金会和巴黎萨克莱大学（chaire D\'Alembert）的部分支持。表示（z）的技术引理=F（z）-σ. （54）（33）定义的鞅ψεtde的形式为ψεt=EhZTG（Zεs）dsFti。（55）引理2（ψεt）t∈[0，T]是平方可积鞅，d hψε，W it=εtdt，εT=σouZTtEG′（Zεs）| FtKε（s- t） ds。

（56）证明见引理B.1 inGarnier和Solna（2016）。随机过程θεtar的重要性质在下面的引理中说明。快变粗糙随机波动率21引理3 1。存在常数kt，对于任何t∈ [0，T]，我们几乎肯定σεtθεt≤ KTε1/2。(57)2. 对于任何t∈ [0，T]，我们有[σεTθεT]=ε1/2D+eDεT，（58），其中d是确定性常数（27），dεT小于ε1/2:supε∈（0,1）支持∈[0，T]ε-1/2eDεt< ∞, （59）和t型∈ [0，T），limε→0ε-1/2eDεt= 0. (60)3. 对于任何0≤ t<t′<t，我们有limε→0ε-1.冠状病毒σεtθεt，σεt′εt′= 0.（61）使用θεt的表达式（56）证明：εtσεt≤ σoukF k∞kG′k∞Z∞|Kε（s）| d第一项的证明基于以下事实：Kε（t）=K（t/ε）/√ε、 K级∈ L（0，∞).σεtθεt等趾的期望值σεtθεt= σouZTtEF（Zεt）G′（Zεs）Kε（s- t） ds=σouε1/2Z（t-t） /εEF（Zε）G′（Zεs）K（s）ds=σouε1/2Z（T-t） /εhZZRF（σouz）G′（σouz′）pCZ（s）（z，z′）dzdz′iK（s）ds，其中pcs定义在命题1中。因此，差异σεtθεt- ε1/2D=σouε1/2Z∞（T-t） /εEF（Zε）G′（Zεs）K（s）dS的界限为Eσεtθεt- ε1/2D≤ kF k∞kG′k∞σouε1/2Z∞（T-t） /ε| K（s）| ds，（62），这给出了K之后的第二个i项∈ L（0，∞).让我们考虑0≤ t型≤ t′型≤ T我们有σεtθεtσεt′εt′= σouZTtdsKε（s- t） ZTt′ds′Kε（s′）- t′）×EhEF（Zεt）G′（Zεs）| FtEF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft′i、 所以我们可以写σεtθεt，σεt′εt′= σouZTtdsKε（s- t） ZTt′ds′Kε（s′）- t′）×EhE公司F（Zεt）G′（Zεs）| FtEF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft我-EhE公司F（Zεt）G′（Zεs）| FtEF（Zεt′）G′（Zεs′）我,22 Josselin Garnier，Knut Solnaan，因此冠状病毒σεtθεt，σεt′εt′≤ σoukF k∞kG′k∞ZTtds | Kε（s- t） | ZTt′ds′Kε（s′）- t′）×EhEF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft- EF（Zεt′）G′（Zεs′）i1/2。我们可以为任何τ>t写：Zετ=Aεtτ+Bεtτ，Aεtτ=σouZt-∞Kε（τ- u） dWu，Bεtτ=σouZτtKε（τ- u） dWu，其中Aεtτ与Ft相适应，而Bεtτ与Ft相独立。

因此（s′）≥ t′型≥ t） 呃EF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft- EF（Zεt′）G′（Zεs′）i=EhEF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft我- EF（Zεt′）G′（Zεs′）= EhF（Aεtt′+Bεtt′）G′（Aεts′+Bεts′）F（Aεtt′+～Bεtt′）G′（Aεts′+～Bεts′）-F（Aεtt′+Bεtt′）G′（Aεts′+Bεts′）F（▄Aεtt′+▄Bεtt′）G′（▄Aεts′+▄Bεts′）i，其中（▄Aεtt′，▄Bεtt′，▄Aεts′，▄Bεts′）是（Aεtt′，Bεtt′，Bεts′）的独立副本）。我们就可以写了EF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft- EF（Zεt′）G′（Zεs′）我≤ kF k∞kG′k∞呃F（Aεtt′+~Bεtt′）G′（Aεts′+~Bεts′）- F（▄Aεtt′+▄Bεtt′）G′（▄Aεts′+▄Bεts′）i1/2≤ CE（Aεtt′）-Aεtt′）1/2+E（Aεts′）-Aεts′）1/2≤ 2CE（Aεtt′）1/2+E（Aεts′）1/2≤ 2小时σouZt-∞Kε（t′）- u） 杜邦1/2+σouZt-∞Kε（s′）- u） 杜邦1/2英寸≤ 4Cσεt′-t，∞≤ C1.∧ （ε/（t′）- t） ）1-H,我们在上一个不等式中使用了引理7。然后，利用K∈ 五十、 这给了冠状病毒σεtθεt，σεt′εt′≤ CZTtds | Kε（s- t） | ZTt′ds′Kε（s′）- t′）|1.∧ （ε/（t′）- t） ））（1-H） /2个≤ Cε1.∧ （ε/（t′）- t） ））（1-H） /2个,这证明了第三项。引理4对于任何具有有界导数的光滑函数f，我们有VarEf（Zεt）| f≤ kf′k∞（σεt，∞). （63）用meanE证明Zεt given-Fis-Gaussian的条件分布Zεt | F= σouZ-∞Kε（t- u） DWU和varianceVarZεt | F= （σε0，t）=σouZtKε（u）du。快速变化和粗糙随机波动率23ThereforeVarEf（Zεt）| f= 风险值ZRf公司EZεt | F+ σε0，tzp（z）dz,其中p（z）是标准正态分布的pdf。随机变量EZεt | F为高斯分布，均值为零，方差为（σεt，∞)所以thatVarEf（Zεt）| f=ZRZRdzdz′p（z）p（z′）ZRZRdudu′p（u）p（u′）×hfσεt，∞u+σε0，tz- fσt，∞u′+σε0，tzi×hfσεt，∞u+σε0，tz′- fσεt，∞u′+σε0，tz′我≤ kf′k∞（σεt，∞)ZRZRdudu′p（u）p（u′）（u- u′）=kf′k∞（σεt，∞),这是期望的结果。（32）定义的随机项φεtde的形式为φεt=EhZTtG（Zεs）dsFti，（64）和（54）中定义的G。任何t的引理5≤ T，φε是一个标准偏差为ε1阶的零均值随机变量-H： supε∈（0,1）支持∈[0，T]ε2H-2E[（φεt）]<∞.

（65）t的证明∈ [0，T]φεtis的二阶矩：E（φεt）= EhEhZTtG（Zεs）dsFtii=ZT-tdsZT公司-tds’CovEG（Zεs）| F, EG（Zεs′）| F.我们有LemmaE的（φεt）≤ZT公司-tdsVarEG（Zεs）| F1/2≤ kG′k∞ZT公司-tdsσεs，∞.鉴于Lemma7，我们有（φεt）≤ CTε + ε1-H≤ 4CTε2-2H，t均匀≤ T和ε∈ （0，1）对于一些常数CT。引理6，让我们定义任何t∈ 【0，T】：κεT=ε1/2Zt（σεs）-σds=ε1/2ZtG（Zεs）ds，（66）如（41）所示。我们有limε→0支持∈[0，T]ε-1/2E（κεt）1/2= 0. （67）24 Josselin Garnier，Knut SolnaProof，由于期望E[G（Zε）]=0，我们有（κεt）= εEhZtG（Zεs）dsi=2εZtds（t- s） Cov公司G（Zεs），G（Zε）ds。此外，我们还有冠状病毒G（Zεs），G（Zε）=EE[G（Zεs）| F]- E[G（Zεs）]G（Zε）≤ 克格勃∞风险值E[G（Zεs）| F]1/2.通过引理4，我们得到冠状病毒G（Zεs），G（Zε）≤ 克格勃∞kG′k∞σεs，∞.鉴于Lemma7，我们有（κεt）≤ CTεε + ε1-H≤ 2CTε2-H、 在t中均匀∈ [0，T]和ε∈ （0，1），给出了期望的结果。引理7定义σεt，∞= σouZ∞tKε（s）ds1/2，（68）则存在C>0，使得σεt，∞≤ C1.∧ （ε/t）1-H. （69）证明如下| K（s）|≤ 肯尼亚先令-对于s≥ 1和K∈ 五十、 B林孔特和雷诺的替代模式（1998年）；Funahashi和Kijima（2017）作者认为随机波动率模型是一种分数Orstein-Uhlenbeck过程，但他们考虑了分数布朗运动的以下表示：WH，0t=Γ（H+）Zt（t- s） H类-dWs，（70），其中（Wt）t∈R+是R+上的标准布朗运动。（WH，0t）t∈R+是一个零均值自相似高斯过程，在这个意义上，（αHWH，0t/α）t∈R+和（WH，0t）t∈R+具有相同的分布，但它不是平稳的，也没有平稳的增量。

Its方差isE（WH，0t）=2HΓ（H+）t2H，其增量方差为（s>0时）：E（WH，0t+s- WH，0t）=Γ（H+）hZt/s（1+u）小时-- 嗯-du+2His2H，具有以下行为（WH，0t+s- WH，0t）t型→+∞-→Γ（2H+1）sin（πH）s2H。快速变化和粗糙随机波动率25由于时间零点起着特殊的作用，该模型是特殊的，我们认为处理本文所述的平稳情况是可取的。然而，事实证明，这两个模型在快速变化的情况下给出了相同的结果。事实上，对应于（70）的修正fOU过程是（与（4）相比）：Zε，0t=Ze-t/ε+ε-HZte-t型-sεdWH，0s=Ze-t/ε+ε-HWH，0t- ε-H-1中兴通讯-t型-sεWH，0sds，（71），其中Zis被视为常数，如inComte和Renault（1998）；Funahashi和Kijima（2017）。关于布朗运动，它是：Zε，0t=Ze-t/ε+σouZtKε（t- s） dWs，（72），其中Kε在（10）中定义。这是一个具有以下协方差（t，s）的高斯过程≥ 0）：CovZε，0t，Zε，0t+s= σouCt/εsε,这是t/ε和s/ε的函数，其中ct（s）=RtK（u）K（u+s）duR∞K（u）du。注意CT（s）t→+∞-→R∞K（u）K（u+s）duR∞K（u）du=CZ（s），CZ由（6）定义。换句话说，除了时间0之后的一小段时间（其持续时间为ε量级）外，修改后的过程与本文中介绍的过程具有相同的行为。然后，可以检查本文中进行的详细计算，并发现命题1在修改后的模型Zε，0t中仍然成立。参考。Al\'os和Y.Yang，《分数赫斯顿模型的封闭式期权定价近似公式》，经济学工作文件1446，蓬佩法布拉大学经济与商业系。C、 拜耳，P.K.Friz，A.Gulisashvili，B.Horvath和B.Stemper，《粗略分数波动率模型中的短期近货币倾斜》，arXiv:1703.05132。S、 Benaim、P.Friz和R。

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