快变粗糙随机波动下的期权定价

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英文标题：
《Option Pricing under Fast-varying and Rough Stochastic Volatility》
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作者：
Josselin Garnier and Knut Solna
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Recent empirical studies suggest that the volatilities associated with financial time series exhibit short-range correlations. This entails that the volatility process is very rough and its autocorrelation exhibits sharp decay at the origin. Another classic stylistic feature often assumed for the volatility is that it is mean reverting. In this paper it is shown that the price impact of a rapidly mean reverting rough volatility model coincides with that associated with fast mean reverting Markov stochastic volatility models. This reconciles the empirical observation of rough volatility paths with the good fit of the implied volatility surface to models of fast mean reverting Markov volatilities. Moreover, the result conforms with recent numerical results regarding rough stochastic volatility models. It extends the scope of models for which the asymptotic results of fast mean reverting Markov volatilities are valid. The paper concludes with a general discussion of fractional volatility asymptotics and their interrelation. The regimes discussed there include fast and slow volatility factors with strong or small volatility fluctuations and with the limits not commuting in general. The notion of a characteristic term structure exponent is introduced, this exponent governs the implied volatility term structure in the various asymptotic regimes.
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中文摘要：
最近的实证研究表明，与金融时间序列相关的波动率表现出短期相关性。这意味着波动过程非常粗糙，其自相关在原点处呈现出急剧衰减。波动性的另一个经典风格特征是均值回复。本文表明，快速均值回复粗糙波动率模型的价格影响与快速均值回复马尔可夫随机波动率模型的价格影响一致。这使粗糙波动率路径的经验观察与隐含波动率曲面与快速均值回复马尔可夫波动率模型的良好拟合相一致。此外，该结果与最近关于粗糙随机波动率模型的数值结果一致。它扩展了快速均值回复马尔可夫波动率的渐近结果有效的模型的范围。本文最后对分数波动率渐近及其相互关系进行了一般性讨论。这里讨论的制度包括快速和慢速波动因素，波动性大或小，且限制一般不通勤。引入了特征期限结构指数的概念，该指数控制着各种渐近状态下的隐含波动率期限结构。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Option_Pricing_under_Fast-varying_and_Rough_Stochastic_Volatility.pdf (318.77 KB)

2022-6-1 02:09:11 上传

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关键词：期权定价 volatilities correlations Fluctuations Quantitative

《金融年鉴》第号手稿（将由编辑插入）快速变化和高度随机波动下的期权定价Josselin Garnier·Knut SolnaReceived:date/Accepted:date摘要最近的实证研究表明，与金融时间序列相关的波动性表现出短期相关性。这意味着波动过程非常粗糙，其自相关在原点处呈现出急剧衰减。波动性的另一个经典风格特征是均值回复。本文表明，快速均值回复粗糙波动率模型的价格影响与快速均值回复马尔可夫随机波动率模型的价格影响一致。这证明了粗糙波动路径的经验观察结果与隐含波动率曲面与快速均值回复马尔可夫波动率模型的良好拟合。此外，该结果与最近关于粗糙随机波动率模型的数值结果一致。它扩展了快速均值回复马尔可夫波动率的渐近结果有效的模型范围。本文最后对分数波动率渐近及其相互关系进行了一般性讨论。这里讨论的制度包括快速和慢速波动性因素，波动性波动性有强有小，且通常限制不可转换。引入了特征项结构指数的概念，该指数控制着各种渐近状态下的隐含波动性项结构。随机波动率·短期相关性·分馏-乌伦贝克过程·赫斯特指数·均值回归数学学科分类（2010）91G80·60H10·60G22·60K37J。GarnierCentre de Math'ematiques Applique'ees，巴黎理工学院，91128 Cedex宫，FranceE邮箱：josselin。garnier@polytechnique.eduK.

加利福尼亚大学欧文分校SolnaDepartment of Mathematics，加利福尼亚大学欧文分校92697电子邮件：ksolna@math.uci.edu2Josselin Garnier，Knut Solna1简介在标准Black–Scholes模型中，假设波动率是恒定的，这是不现实的。实际上，为了匹配观测到的价格，需要使用依赖于定价参数的隐含波动率。因此，需要对隐含波动率进行一致的参数化，以便在对隐含波动率模型进行校准后，可以将其用于在同一基础上编写的流动性较低的合同。随机波动率模型之所以被引入，是因为它们能够对隐含波动率进行一致的参数化。在此，我们将考虑一类特定的随机波动率模型，并确定价格修正的相关参数化以及波动率波动率之后的相关隐含波动率修正。实证研究表明，波动性可能表现出Bollerslev等人（2013）所述的“多尺度”特征；Breidt等人（1998年）；Chronopoulouand Viens（2012）；Cont（2001、2005）；恩格尔和巴顿（2001）；Oh等人（2008年）。也就是说，相关性在函数集中以幂律衰减，而不是在马尔可夫过程中以指数函数衰减。最近的经验证据特别表明，随机波动性通常很粗糙，在原点处相关性迅速衰减（见Gatheral et al.（2016））。Funahashi和Kijima（2017）的数据表明，在长时间到期的情况下，arough分数随机波动率模型的隐含波动率修正倾向于与马尔可夫情况相关的修正。这与本文得出的分析结果一致，在本文中，我们考虑的是恢复粗糙波动率的平均值。

本文利用鞅方法，得到了当波动率过程为快速均值回复且不稳定时，期权价格的解析表达式以及相应的隐含波动率。主要结论是，期权价格的修正和相应的隐含波动率与混合情况下（当随机波动率为马尔可夫时）的形式完全相同。我们推导的一个主要技术方面是仔细分析布朗运动和鞅过程之间的协变量的形式和性质，即条件平方波动率随时间的变化，见下面的等式（33）。在这种情况下，重要的是我们在模型中加入杠杆作用，以便这些过程相互关联，从而导致非平凡的共变。我们建模的另一个主要方面是，我们将随机波动率波动建模为平稳的。在最近的一些工作中，引入了波动率模型，其中初始时间起着特殊的作用，导致非平稳过程，从建模的角度来看，这是一个特殊的过程。然而，我们表明，事实上，在快速均值回归的情况下，非平稳情况的渐近结果与此处考虑的平稳情况的渐近结果一致，因为波动过程随后忘记了其初始状态。我们分析的一个中心方面是时间尺度和时间尺度分离的概念。因此，确定参考时间尺度很重要。在这里，我们将使用特征扩散时间τ=2/σ作为参考时间，其中快速变化和粗糙随机波动率3σ是有效波动率，见等式。（14） 和（25）。

然后，我们考虑一种情况，即到期时间和特征扩散时间具有相同的数量级，而波动率波动的平均逆转时间相对于特征扩散时间而言很小。请注意，在期权定价的背景下可以考虑各种渐近框架，我们将在本段中讨论其中的一些框架。合适的渐近框架的选择取决于所考虑的特定市场和合同。可以考虑一个渐进框架，其中波动率波动幅度较小，且波动率的成熟时间、特征扩散时间和平均逆转时间具有相同的数量级。这种方法对波动性的时间动态方面很敏感。例如，inFouque et al.（2011）在混合情况下以及在Garnier和Solna（2015）中，在粗糙波动率因素的背景下，考虑了这种渐近情况。然而，这种渐近情况并没有捕捉到在到期时间的时间尺度上波动性较大的情况。在本文所考虑的渐近框架中，相对于到期时间，波动率平均反转时间很小。在这样一个具有长时间期限的合同框架中，我们还可以在成熟期的时间序列中加入订单一或强波动性波动。在混合过程的背景下，inFouque等人（2003、2011）也认为这种渐近框架。请注意，随着期权合约接近成熟，对支付功能的敏感性增强，从而产生重要而有趣的问题。事实上，最近的许多作品都考虑了短期至成熟状态下的隐含波动性症状，参见instanceGulisashvili（2015）及其参考文献。

例如，拜耳等人（2017年）和Fukasawa（2017年）讨论了更接近资金的合同案例。例如，Benaim etal（2010）讨论了大罢工c上下文中的渐近性。我们最后指出，对于一些特殊模型，如赫斯顿模型（见赫斯顿（1993）），在波动率波动幅度较大且平均复归时间与到期时间顺序相同的情况下，可以得到显式或半显式期权价格公式。在这一段中，我们讨论了在各种渐近状态下长程和短程相关性质的一些特殊方面。在Garnier和Solna（2015）中，我们考虑了多尺度随机波动幅度较小的情况，我们也处理了变化缓慢的情况，从分析角度来看，这与后者类似，后者对应的是相对波动性波动的平均逆转时间较小的成熟度。期权价格的修正和相应的隐含波动率在此处得到了确定，并且这种情况与此处所考虑的情况有质的不同，因为价格修正在到期时具有分数行为。然后，特征项结构指数反映了基础波动路径的粗糙度，见下文第6节。在Garnier和Solna（2016）中，我们考虑了随机波动率波动的情况，这种波动是快速均值回复的，并且具有与均值相同顺序的标准4 Josselin Garnier、Knut Solnadeviation，正如我们在这里所做的那样。然而，Ingarnier和Solna（2016）的随机波动率波动具有长期相关性，因此路径比与马尔科夫情况相关的路径更平滑。

然后，波动性波动的“持续性”导致了一个分拆的期限结构，它还导致了价格修正的一个随机分量，该分量与价格过程产生的过滤相适应，其协方差结构可以详细定义。正如我们在下面的建模中所解释的那样，赫斯特指数H参数化了路径的平滑度，其中H<1/2对应于此处所考虑的短程或长程路径，H>1/2产生了长程情况。事实上，这两种制度都是从经验角度确定的。我们参考了instanceGatheral等人（2016）对粗糙波动率的观察，而在Chronopoulou和Viens（2012）中，报告了具有长期相关性的波动率案例。Waltheret等人（2017年）、Charfeddine等人（2014年）和inChia等人（2015年）的股票指数报告了货币的长期波动情况，而电力市场数据的分析通常给出了小于1/2的证据（2002年）；Rypdal和Lovsletten（2013）；Bennedsen（2015）。我们认为，粗略情况和长期情况都很重要，可以根据特定的市场和制度进行观察。pap ersGarnier和Solna（20152016）将Fouque et al.（20032011）的双因素模型与本论文一起推广到具有多尺度波动的过程，以及具有短期或长期相关特性的波动因子的一般光滑性。在这里，我们在期权定价的背景下考虑分数波动率，请参见Fouque和Hu（2017）以及Fouque和Hu（2017b），了解投资组合优化的应用。我们还注意到，尽管这里没有详细讨论，但模型校准是模型实际使用的一个重要问题。

本文导出的渐近结果的一个重要方面是它们在校准中的应用。他们提供了一种稳健校准的工具，因为他们确定了在影响基础合同价格方面很重要的参数，即集团市场参数。因此，渐近结果可以用作避免过度拟合和噪声参数估计的工具。事实上，本文的分析表明，即使在修正水平上，赫斯特参数也不会影响价格。因此，对于长期合同，校准方案不应旨在确定赫斯特指数。我们还评论说，症状结果确定了通用参数，这些参数对于在同一基础上签订的不同合同是通用的。结果表明，与马尔可夫案例中使用的校准方案相同的校准方案是合适的。马尔科夫病例的校准方案被视为infor Instancefuque等人（2003、2004、2011）。fra方法考虑校准隐含波动率表面的参数。我们注意到，对波动率、s pot波动率或VIX指数等指标的估计也为校准提供了相关信息。这里，渐近分析再次提供了一个重要的工具，因为它确定了低估的基本方面如何影响可观测值，以及如何将波动率指数的快速变化和粗略随机波动率5中的信息与各种渐近机制中的金融合同定价联系起来。

这里，我们的重点是fas t均值回复粗略波动率及其对定价和隐含波动率的影响，但所提供的工具也可用于分析与使用历史数据相关的问题，例如用于校准的波动率指数。有人可能会问，为什么赫斯特指数不影响隐含波动率，正如我们将在下文所示，即使是在修正的顺序上。对此的直觉是，Small-Hurst指数H<1/2的粗糙情况在短时间尺度上主要是重要的，因为它是粗糙的，即初始点上相关性的快速衰减，这主要将这种情况与马尔可夫上下文区分开来。对于较大的波动集，相关性衰减很快，因此roug h波动过程的相关函数是可积的。因此，从“鸟瞰”的角度来看，相对于粗糙波动过程的平均恢复时间，在时间尺度上，粗糙度是感觉不到的，该过程似乎是马尔可夫过程。这与H>1/2的长程情况相反，在这种情况下，相关性会持续很长时间，并且相关函数具有严重的尾部且不可积。然后这种影响也会持续很长时间。事实上，我们向inGarnier和Solna（2016）表明，在H>1/2的情况下，在此处考虑的渐近框架中，赫斯特指数确实对价格指数的形式以及隐含波动率有着巨大的影响。在行为和分析方法方面实行这种二分法取决于H≤ 在物理系统建模中，也可以观察到1/2与H>1/2的对比。

例如，参见最近的paperKalbasi等人（20-17），他们分析了在驱动分馏布朗运动的背景下李雅普诺夫系数的行为。在第6节中，我们总结了分数期限结构指数的形式，它取决于波动率波动的平滑度、波动幅度和均值回归的时间尺度。另一方面，本文概述如下：在第2节中，我们介绍了分数或nstein–Uhlenbeck过程中的波动率因子，在第3节中介绍了完全随机波动率模型。在第4节中，我们给出了主要结果及其证明。附录中列出了在证明中使用的技术手册。2快速分数Ornstein-Uhlenbeck过程我们使用快速分数Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程作为挥发因子，并在这里描述如何用分数布朗运动来表示该过程。由于分数布朗运动可以用普通布朗运动来表示，我们也得出了治疗fOU过程作为过滤过程的表达式布朗运动的版本。分数布朗运动（fBM）是一个零均值高斯过程（WHt）∈R的协方差[WHtWHs]=σH|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H, （1） 6 Josselin Garnier，Knut SolnawhereσHis为正常数。我们使用以下fBM的移动平均随机积分表示（见Mandelbrot和Van Ness（1968））：WHt=Γ（H+）ZR（t- s） H类-+- (-s） H类-+dWs，（2）式中（Wt）t∈Ris是R上的标准布朗运动。那么确实（WHt）t∈Ris是协方差为（1）的零均值高斯过程，σH=Γ（H+）hZ∞（1+s）小时-- 上海-ds+2Hi=Γ（2H+1）sin（πH）。（3） 我们介绍了ε-标度fOU过程，即zεt=ε-HZt公司-∞e-t型-sεdWHs=ε-HWHt公司- ε-1.-HZt公司-∞e-t型-sεWHsds。（4） 因此，fOU过程实际上是一个分数布朗运动，恢复力为零。