快变粗糙随机波动下的期权定价

这是一个零均值平稳高斯过程，方差E[（Zεt）]=σou，σou=Γ（2H+1）σH=2 sin（πH），（5）与ε无关，协方差：E[ZεtZεt+s]=σouCZsε,这只是s/ε的函数，其中cz（s）=Γ（2H+1）hZRe-|v | s+v | 2Hdv- |s | 2Hi=2 sin（πH）πZ∞cos（sx）x1-2H1+xdx。（6） 这表明tε是fOU Zεt的自然变化尺度。请注意，随机过程Zε不是一个马尔可夫过程，也不是一个马尔可夫过程。对于H∈ （0，1/2）它具有短程相关特性，因为它的相关函数在0时是粗糙的：CZ（s）=1-Γ（2H+1）s2H+os2H公司, s<< 1，（7）当它是可积的并且它作为s2H衰减时-2单位：CZ（s）=Γ（2H- 1） s2H公司-2+os2H公司-2., s>> 1.（8）快速变化和粗糙随机波动率7使用等式。（2） （4）我们得出标度fOU的移动平均积分表示为：Zεt=σouZt-∞Kε（t- s） dWs，（9），其中kε（t）=√εKtε, K（t）=σouΓ（H+）htH--Zt（t- s） H类-e-sdsi。（10） 在我们的上下文中，内核K的主要属性如下（对任何H有效∈ （0，1/2））：（i）K∈ L（0，∞) 带R∞K（u）du=1和K∈ L（0，∞).（ii）对于小时间t<< 1： K（t）=σouΓ（H+）tH公司-+ OtH公司+. （11） （iii）对于大倍数t>> 1： K（t）=σouΓ（H-)tH公司-+ OtH公司-. （12） 备注。如果Kε（t）=K（t/ε），本文的结果可以推广到任何形式（14）和（9）的随机波动率模型/√ε使得核K满足（i）-（ii）-（iii）直至乘性常数的性质。3随机波动率模型风险资产的价格遵循随机微分方程：dXt=σεtXtdW*t、 （13）随机波动率为σεt=F（Zεt），（14），其中Zε是带有赫斯特参数H的标度fOU∈ （0，1/2）在上一节中介绍，它适用于布朗运动Wt。

此外，W*这是一个布朗运动，与通过W的随机波动率相关*t=ρWt+p1- ρBt，（15），其中布朗运动Bt与Wt无关。函数F被假定为一对一、正值、光滑、有界和有界导数。因此，（Bt，Wt）生成的过滤Ft也是Xt生成的过滤Ft。实际上，它相当于（W）生成的*t、 Wt），或（W*t、 Zεt）。因为F是一对一，所以它是8 Josselin Garnier，Knut Solnae，等于（W*t、 σεt）。因为F是正值，所以它等价于由（W）生成的值*t、 （σεt）），或Xt。如上所述，波动驱动过程Zεthas具有短期相关性。正如我们现在展示的波动过程σεtinherits这一性质。引理1表示，对于j=1，2：Fj公司=ZRF（σouz）jp（z）dz，DF′jE=ZRF′（σouz）jp（z）dz，（16），其中p（z）是标准正态分布的pdf。1、过程σε是一个平稳随机过程，平均值E[σεt]=hF i，方差Var（σεt）=F- hF i，与ε无关。2、formCov过程σεtis的协方差函数σεt，σεt+s=F- hF i型Cσsε, （17） 其中，相关函数Cσ满足Cσ（0）=1和Cσ（s）=1-Γ（2H+1）σouDF′EhFi- hF为2h+os2H公司, 对于s<< 1，（18）Cσ（s）=Γ（2H- 1） σouhF′ihFi- hF为2h-2+os2H公司-2., 对于s>> 1.

（19） 因此，过程σεthas具有短程相关特性，其协方差函数是可积的。根据σεt的定义（14），证明σε是一个具有平均hF i的平稳随机过程-1ou（Zεt，Zεt+s）是一个具有平均值（0，0）和2×2协方差矩阵的高斯随机向量：Cε=1 CZ（s/ε）CZ（s/ε）1.因此，表示Fc（z）=F（σouz）- hF i，过程σεtisCov（σεt，σεt+s）的协方差函数=EFc（σ-1ouZεt）Fc（σ-1ouZεt+s）=2π√det CεZZRFc（z）Fc（z）exp-zz公司TCε-1.zz公司dzdz=ψCZ公司sε,ψ（C）=2π√1.- CZZRFc（z）Fc（z）exp-z+z- 2Czz2（1- C）dzdz。快速变化和粗糙随机波动率9这表明Cov（σεt，σεt+s）仅是s/ε的函数。函数ψ可以用1的幂展开- 对于接近1的C：ψ（C）=2πZZRFcz√1+C√+ ζ√1.- C√Fc公司z√1+C√- ζ√1.- C√×经验值-z-ζdzdζ=√2πZRFc（z）exp-zdz+（1- C）√2πZRF′c（z）exp-zdz+OC→1((1 - C） ，它与σεt的相关函数的形式（18）相同。对于小的C，函数ψ可以用C的幂展开：ψ（C）=2πZZRFc（z）Fc（z）exp-z+zdzdz-C2πZZRzzFc（z）Fc（z）exp-z+zdzdz+OC→0（C），即σεt的相关函数的形式（19）。4期权价格我们旨在计算定义为鞅mt=E的期权价格高（XT）|英尺, （20） 其中h是一个光滑的Payoff函数，t≤ T

事实上，h的假设可能较弱，我们只需要控制下面定义的函数Q（0）t（x），如（Garnier和solna，2015，第4节）所述。我们引入了算子lbs（σ）=t+σxx、 （21）即，零利率和恒弹性σ下的standa rd Black–Scholes算子。接下来，我们利用价格过程是一个鞅的事实，通过构造一个显式函数Qεt（x），使Qεt（x）=h（x），并使Qεt（Xt）是一个一阶修正项的鞅来获得近似。然后，实际上Qεt（Xt）给出了该阶期权价格mtt的近似值。以下命题给出了ε较小的区域中鞅mt表达式的一阶修正。10 Josselin Garnier，Knut Solnaproposion 1我们有limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E|Mt公司- Qεt（Xt）|1/2=0，（22），其中Qεt（x）=Q（0）t（x）+ε1/2ρQ（1）t（x），（23）Q（0）t（x）是确定性的，由Black–Scholes公式给出，具有常数σ，LBS（σ）Q（0）t（x）=0，Q（0）t（x）=h（x），（24）具有σ=F=ZRF（σouz）p（z）dz，（25）p（z）是标准正态分布的pdf，Q（1）t（x）是确定性校正Q（1）t（x）=（t- t） Dx个x（xx）Q（0）t（x），（26）D是由D=σouZ定义的系数∞hZZRF（σouz）（F F′）（σouz′）pCZ（s）（z，z′）dzdz′iK（s）ds，（27）pC（z，z′）是具有平均零和协方差矩阵的二元正态分布的pdf1立方厘米1, CZ（s）由（6）给出。这一命题表明，结果与inFouque等人（2000，201 1）提出的混合（Ma rkov）案例相似。在快变框架下，随机波动率的短期相关性在前序和第一次修正中都不明显。

这与inGarnier和Solna（2015）提出的slowlyvarying案例形成对比，这是本文的主要结果。4.1对于Riemann-Liouville分数布朗运动，分数过程建模的常见方法是使用WH，0t=Γ（H+）Zt（t）定义的theRiemann-Liouville分数布朗运动- s） H类-dWs，（28），其中Wis是标准布朗运动。从数学角度来看，这与（2）中的分数布朗运动相比很方便，因为人们不必处理负时间的积分和相关的补偿器。然而，从建模的角度来看，它有一个缺点，即时间零点起着特殊的作用，过程不快速变化，粗糙随机波动率11具有平稳的增量。另一方面，通过对（2）中的驱动过程进行建模，我们得到了一个时间均匀的过程。在Fukasawa（2017）一书中，通过使用Muralev（2011）介绍的分数布朗运动表示，使用了时间均匀分数过程建模的不同方法。在任何情况下，我们都可以使用（28）中的表示来定义类似于（4）byZε，0t=Ze的fOU过程-t/ε+ε-HZte-t型-sεdWH，0s=Ze-t/ε+ε-HWH，0t- ε-H-1中兴通讯-t型-sεWH，0sds，（29），其中Zis被视为常数。在这里考虑的建模上下文中，从过程协方差的角度来看，负时间的时间纪元实际上是很快得到的，因此对于任何t>0，s≥ 0:limε→0千伏Zε，0t，Zε，0t+εs= limε→0千伏Zεt，Zεt+εs= σouCZ（s），事实上，协方差仅在时间零点后持续时间ε的时间段内有所不同。结果是，当Zεt替换为Zε，0t时，命题1成立。我们在附录B.4.2 Proposition的Pro草图中对此进行了更详细的讨论。我们的目标是构建价格的近似值Qεt（Xt）。

请注意，自然的第一选择是选择近似值Q（0）t（Xt），即有效波动率下的Black-Scholes价格。为了构造一个更高阶的逼近，我们寻找一个修正，表示为Qεt（Xt），sothatQ（0）t（Xt）+Qεt（Xt）=鞅+“小项”，并带有QεT（XT）=0，因此修正后的近似值具有正确的payoff。事实上，修正后的近似值与精确价格的差别仅在于“小项”的大小，因为精确价格是阿马丁格尔。此外，波动率波动过程（σεs）-σ推动了检验价格与Q（0）t（Xt）之间的差异。确定价格修正的形式Qεt（Xt），为了证明所产生的（不可分割的）误差项很小，引入根据剩余波动率定义的市场价格是有用的。这就是为什么我们引入ψεt=EhZT的过程（σεs）-σds公司Fti。（30）在恒定波动率的情况下，该鞅为零。为了证明近似的准确性并控制误差项，了解它的性质及其与12 Josselin Garnier，Knut Solnaunderlieng驱动布朗运动相关的协变过程的性质是很重要的。这些性质在附录A的原始技术引理中给出。这些引理也可用于其他数量的渐近分析，而非此处所考虑的数量，但根据本文所建模的基础定义。4.3命题1的证明对于任何光滑函数qt（x），我们有^o的公式qt（Xt）=tqt（Xt）dt+x个x个qt（Xt）σεtdW*t型+x个x个qt（Xt）（σεt）dt=磅（σεt）qt（Xt）dt+x个x个qt（Xt）σεtdW*t、 最后一学期是马丁加舞。此处和下方x个x个qt（Xt）代表Xxqt（x）在x=Xt时计算。

因此，通过（24），我们得到了dq（0）t（Xt）=（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt+dN（0）t，（31）带N（0）ta鞅：dN（0）t=x个x个Q（0）t（Xt）σεtdW*t、 设φεt定义为φεt=EhZTt（σεs）-σds公司Fti。（32）我们有φεt=ψεt-Zt公司（σεs）-σds，其中鞅ψε由ψεt=EhZT定义（σεs）-σds公司Fti。（33）我们可以写作（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt=x个x个Q（0）t（Xt）dψεt-x个x个Q（0）t（Xt）dφεt。根据It^o公式：dφεtx个x个Q（0）t（Xt）=x个x个Q（0）t（Xt）dφεt+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t+磅（σεt）x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtd hφε，W*它快变粗糙随机波动率13lbs（σεt）=LBS（σ）+（σεt）-σx个x个和LBS（σ）x个x个Q（0）t（x）=0，这是给定的φεtx个x个Q（0）t（Xt）= -（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt+（σεt）-σx个x个x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtd hφε，W*it部门+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t型+x个x个Q（0）t（Xt）dψεt。我们有hφε，W*it=hψε，W*it=ρhψε，W Itan，因此（φεtx个x个Q（0）t（Xt）= -（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt+（σεt）-σx个x个x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+ρx个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtd hψε，W it+dN（1）t，其中N（1）是鞅，dN（1）t=x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t型+x个x个Q（0）t（Xt）dψεt，因此Q（0）t（Xt）+φεtx个x个Q（0）t（Xt）=x个x个x个x个Q（0）t（Xt）（σεt）-σφεtdt+ρx个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtθεtdt+dN（0）t+dN（1）t.（34）这里，我们引入了Lemma2定义的协变量增量d hψε，W it=εtdt，（35）。由（26）满足Lbs（σ）Q（1）t（x）=-Dx个x（xx）Q（0）t（x），Q（1）t（x）=0。应用It^o公式Q（1）t（Xt）=LBS（σεt）Q（1）t（Xt）dt+x个xQ（1）t（Xt）σεtdW*t=磅（σ）Q（1）t（Xt）dt+（σεt）-σx个x个Q（1）t（Xt）dt+x个x个Q（1）t（Xt）σεtdW*t型=（σεt）-σx个x个Q（1）t（Xt）dt-x个x（xx）Q（0）t（Xt）Ddt+dN（2）t，14 Josselin Garnier，Knut Solnawhere N（2）tis a鞅，dN（2）t=x个x个Q（1）t（Xt）σεtdW*t、 因此Q（0）t（Xt）+φεtx个x个Q（0）t（Xt）+ε1/2ρQ（1）t（Xt）=x个x（xx）Q（0）t（Xt）（σεt）-σφεtdt+ε1/2ρx个x个Q（1）t（Xt）（σεt）-σdt+ρx个x（xx）Q（0）t（Xt）σεtθεt- ε1/2Ddt+dN（0）t+dN（1）t+ε1/2ρdN（2）t。

（36）接下来，我们证明（36）右侧的前三项小于ε1/2。我们为任何t∈ [0，T]：R（1）T，T=ZTtx个x（xx）Q（0）s（Xs）（σεs）-σφεsds，（37）R（2）t，t=ZTtε1/2ρx个x个Q（1）s（Xs）（σεs）-σds，（38）R（3）t，t=ZTtρx个x（xx）Q（0）s（Xs）εsσεs- ε1/2D）ds。（39）我们将表明，对于j=1，2，3，limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（R（j）t，t）1/2= 0. （40）步骤1:j=1的（40）证明。由于Q（0）是光滑且有界的，而F是有界的，所以存在C这样的支持∈[0，T]E（R（1）t，t）≤ 中兴通讯（φεs）ds。通过引理5，我们得到了期望的结果。步骤2:j=2的（40）证明。我们表示（2）s=ρx个x个Q（1）s（Xs）和κεt=ε1/2Zt（σεs）-σds，（41）因此r（2）t，t=ZTtY（2）sdκεsdsds。快变粗糙随机波动率15注意，Y（2）是一个有界二次变化的有界半鞅。设N为正整数。我们表示tk=t+（t- t） k/N。我们有（2）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）sdκεsdsds=R（2，a）t，t+R（2，b）t，t，R（2，a）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）tkdκεsdsds=N-1Xk=0Y（2）tkκεtk+1- κεtk,R（2，b）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）s- Y（2）tkdκεsdsds。那么，一方面（R（2，a）t，t）1/2≤ 2NXk=0kY（2）k∞E[（κεtk）]1/2≤ 2（N+1）kY（2）k∞sups公司∈[0，T]E[（κεs）]1/2，因此，通过引理6，limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（R（2，a）t，t）1/2= 0.另一方面（R（2，b）t，t）1/2≤ ε1/2kF k∞N-1Xk=0Ztk+1tkE[Y（2）s- Y（2）tk]1/2秒≤ Kε1/2N-1Xk=0Ztk+1tk（s- tk）1/2ds=2KT3/2ε1/2√N、 因此，我们得到lim supε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（R（2）t，t）1/2≤ lim supε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（R（2，b）t，t）1/2≤2KT3/2√N、 因为这对于任何N都是正确的，所以我们得到了期望的结果。步骤3:j=3的（40）证明。我们重复与上一步相同的参数。

还有待证明eκεt=Ztεsσεs- ε1/2Dds16 Josselin Garnier，Knut Solnasatis fieslimε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（eκεt）1/2= 0.自（a+b）≤ 2a+2b，我们有（eκεt）≤ 2ZtdsZtds’Covεsσεs，εs′σεs′+ 2.Zt公司E[εsσεs]- ε1/2Dds公司.根据L emma3，第1项和第3项，以及支配收敛定理，右侧的网格在t中一致为o（ε）∈ [0，T]。根据引理3第2项，右侧的第二项在t中均匀为o（ε）∈ [0，T]。这将得到所需的结果。现在我们可以完成命题1的证明。我们引入了近似：eQεt（x）=Q（0）t（x）+φεtx个x个Q（0）t（x）+ε1/2ρQ（1）t（x）。然后我们得到eqεT（x）=h（x），因为Q（0）T（x）=h（x），φεT=0，Q（1）T（x）=0。让我们用（36）表示rt，T=R（1）T，T+R（2）T，T+R（3）T，T，（42）Nt=ZtdN（0）s+dN（1）s+ε1/2ρdN（2）s。（4 3）我们有等式εT（XT）-公式εt（Xt）=Rt，t+NT- Nt。ThereforeMt=E高（XT）|英尺= E公式εT（XT）| Ft=公式εt（Xt）+ERt，T | Ft+ ENT公司- Nt |英尺=公式εt（Xt）+ERt，T | Ft, （44）可获得预期结果Rt，T | Ft和φε皮重在L中均匀地为o（ε1/2）（Rt见（40），φεt见引理5）。5隐含波动率我们现在计算并讨论隐含波动率与P ropo位置1中给出的价格近似值相关。该隐含波动率是指在恒定波动率Black-Scholes定价公式中使用的波动率，该公式给出的价格与近似值相同，为近似值的阶数。快速变化和粗略随机波动率17上一节中介绍的欧元期权的隐含波动率由它=‘σ+ε1/2ρDh2’‘σ+log（K/Xt）’σ（T）给出- t） i+o（ε1/2）。（45）表达式（45）与（Fouque et al.，2000，Eq.（5.55））中获得的表达式一致，其中随机波动率是一个普通的Ornstein-Uhlenbeck过程，即一个相关性呈指数衰减的马尔可夫过程。参见InstanceFuque等人。

（2003、2004、2011）其中的数据校准示例参考。6分数随机波动渐近性的简要回顾本论文与Garnier和Solna（2015，2016）一起讨论了H<1/2或H>1/2的不同分数随机波动模型。我们在此总结一些主要方面。6.1特征期限结构指数我们将与欧元看涨期权相关的隐含波动率写入基本Xt的冲销K、到期日T、当前时间T和当前值（如公式（45））的一般形式：It=σT，T+σττζ（H）+ττζ（H）-1日志KXt公司, （46）σt，t=EhT- tZTt（σs）dsFti1/2=’σ+’σt，t，（47），其中σ是波动路径，’τ是由‘τ=σ，（48）和τ=t’定义的特征扩散时间-t是成熟的时间。请注意，在我们考虑的制度中，我们假设到期时间与特征扩散时间的顺序相同。我们将ζ（H）作为特征项结构指数。请注意，σt是相对于时间范围的价格路径预测波动率修正，是一个适应基础价格过程产生的过滤的随机过程。这是一个修正项，反映了波动性波动的多重性质和该过程的记忆方面。式（46）中的第二个修正项涉及σ是偏斜校正，在ρ=0的情况下为零。如上所述，将特征扩散时间作为参考时间尺度是很自然的，如果我们用τmr表示波动率波动的mea n回复时间，那么我们在特征项结构指数的背景下考虑了两个主要的多尺度渐近区域：18 Josselin Garnier，Knut Solna–缓慢的mea n回复波动率波动，τmr>> \'τ，（见Garnier andSolna（2015））。在这种情况下：ζ（H）=H+。