保证年金期权的一般价格界限

（3.6）为了便于计算，我们采用以下措施变更。3.3变更措施我们主张变更与【2】中采用的措施类似的措施。我们定义了一种新的概率测量方法Q，其中Radon-Nikodym导数Q w.r.t Q为：dQdQ：=ηt=e-RT（rs+us）dsEhe-RT（rs+us）dsi（3.7），其中E表示通常的期望w.r.t EMM Q，我们将使用▄E表示期望w。r、 t新的概率测度▄Q。进一步使用贝叶斯规则进行条件期望，（3.4）中的生存收益可以在假设bt（CT；t）={τ>t}P（t，t）~E[CT | Gt]（3.8）的情况下重写。计量变更方法的优点是，（3.4）中给出的生存收益中出现的复杂预期已分解为两个简单的预期：第一个对应于（3.2）中给出的深交所价格，第二个与生存效益取决于需要确定的新概率度量Q。顺便提一下，在（3.8）中，如果CT=1，我们得到了一个非常有趣的关系sbt（1；T）={τ>T}~P（T，T）。（3.9）特别是Rsb（1；T）={τ>T}P（0，T）。（3.10）[3]和[4]采用了类似的计量变更，唯一的区别是他们使用（3.9）中给出的单一生存福利作为数字。相反，[5]使用atwin变换度量来计算GAO的值。3.4支付根据（3.7）中定义的新概率测度Q，GAO期权价格分解为以下产品C（0，x，T）=gP（0，T）E“¨ax（T）-g级+#（3.11）式中，P（0，T）在（3.2）中定义。为了进一步发展想法，我们以一种更具吸引力的形式表示收益，如下所示：C（0，x，T）=gP（0，T）~En-1Xi=1S（i）T- （K）- 1)!+（3.12）式中，我们利用以下事实：P（T，T）=1，定义n=w- （T+x）和（i）T=~P（T，T+i）；i=1，2。。。，n- 1.

（3.13）GAO支付的R.H.S的最后期限类似于具有单位权重的篮子期权和深交所期权的支付，到期时间为T+1、T+2、。。。，w- x个- 1作为基础资产。在接下来的章节中，我们试图评估GAO的紧模型独立界限。据我们所知，方程式（3.6）和（3.11）仅通过蒙特卡罗模拟对特定模型选择进行估值。在文献[3]中，高斯背景下的数值实验表明（3.11）更精确，尤其是它比（3.6）的实现更省时。[2] 研究了不同模型的这些计算，如多重CIR和Wishart情况。[4] 在高斯框架下计算了AOS的特定共单调边界。4 A ffne过程A ffne过程本质上是具有A ffne形式的条件特征函数的马尔可夫过程。[17]和[18]中对正则状态空间中的这些过程进行了深入的讨论。最近，多元随机波动率模型的发展导致了一系列过程在非规范状态空间，特别是在正半有限矩阵上的应用的发展。有大量的研究论文可供探索，感兴趣的读者可以参考[19]了解详细信息。[20]中介绍了一种关于金融过程的统一方法，根据这种方法，我们在附录A中回顾了金融过程的详细信息。关于利率的演变和死亡率的影响，我们认为金融过程与[2]类似。假设我们有一个时间齐次的a f ne马尔可夫过程X，在Rd（d）的非空凸集E中取值≥ 1） 配备内部产品h·、·i。

然后我们假设利率和死亡率的动态分别如下所示。rt=\'r+hR，Xti（4.1）和ut=\'u+hM，Xti（4.2），其中\'r，\'u∈ R、 M，R∈ Rdor md，其中mdi是d阶实方阵集。这意味着利率和死亡率是公共

设τ=T- t、 然后，零耦合债券的价格由P（t，t）=Ehe给出-RTt（\'r+\'u+hR+M，Xui）du | Fti=e-（\'r+\'u）τe-§φ（τ，R+M）-h|ψ（τ，R+M），Xti，（4.3），其中|φ和|ψ满足以下普通微分方程（ODE），这些方程也是已知的Riccati ODE。~φτ=~=Дψ（τ，R+M）,φ（0，R+M）=0，（4.4）~ψτ=~<Дψ（τ，R+M）,ψ（0，R+M）=0，（4.5），带▄=Дψ（τ，R+M）= hb，△ψ（τ，R+M）i-ZS+d \\{0}e-h|ψ（τ，R+M），ξi- 1.m（dξ），（4.6）和°<Дψ（τ，R+M）= -2|ψ（τ，R+M）α|ψ（τ，R+M）+BTДψ（τ，R+M）-ZS+d \\{0}e-h|ψ（τ，R+M），ξi- 1+hχ（ξ），△ψ（τ，R+M）ikξk∧1.u（dξ）+R+M.（4.7）事实上，有趣的是，假设这种a ffine结构意味着我们的实际收益率模型是“a ffine”，因为对于每个成熟度T，都有一个a ffine映射ZT:Rn→ 因此，在任何时间t，任何成熟期为t的SZCB的收益率均为ZT（Xt），与[28]的开创性论文中获得的结果相呼应。因此，对于i=1，2。。。，n- 1，S（i）T=e-（\'r+\'u）ie-φ（i，R+M）-h▄ψ（i，R+M），XTi，（4.8），其中▄φ（i，R+M）和▄ψ（i，R+M）满足方程（4.4）和（4.5），τ=i。或者，可以写（i）T=S（i）eX（i）T；i=1，2。。。，n- 1，（4.9）带S（i）=e-（（\'r+\'u）i+~φ（i，r+M））（4.10）和x（i）T=-h|ψ（i，R+M），XTi。（4.11）因此，通过使用（3.12）中的方程式（4.8），GAO PAYOFF的公式可以写成非常简洁的形式，如下所示。C（0，x，T）=gP（0，T）~En-1Xi=1e-（\'r+\'u）ie-φ（i，R+M）-h|ψ（i，R+M），XTi- （K）- 1)!+, （4.12）式中，式（4.3）中给出的ρP（0，T），τ=T。因此，在a fine案例中，我们对GAO边界的要求变得简单，因为我们只处理XT。a ffne过程的分析可处理性本质上与上文给出的广义Riccati方程有关，尽管Vasicek（c.f。

[22]）和CIR（c.f[21]）模型没有跳跃。5保证年金期权的下限我们现在开始为GAO的支付制定适当的下限，如（3.12）所示。引用Jensen不等式，我们得到了n-1Xi=1S（i）T- （K）- 1)!+≥En-1Xi=1ES（i）T∧- （K）- 1)!+. （5.1）关于基于Jensen不等式的随机变量和的止损溢价下界的一般推导可在[29]中找到，对于其在亚洲篮子期权中的应用，可参考[30]。定义=n-1Xi=1S（i）T（5.2）和sl=n-1Xi=1ES（i）T∧（5.3）因此，我们获得≥cxSl。（5.4）现在，适当裁剪不等式（5.1），我们得到C（0，x，T）≥ gP（0，T）En-1Xi=1ES（i）T∧- （K）- 1)!+. （5.5）5.1下界如果随机变量∧与期限为1、2、…、的纯禀赋价格无关。。。，n- 1在时间T，即S（i）T的时刻；i=1，2。。。，n- （5.5）中的界分别简化为：C（0，x，T）≥ gP（0，T）En-1Xi=1ES（i）T- （K）- 1)!+. （5.6）或者更准确地说，由于外部期望是多余的，我们得到了用SiT期望表示的一个非常平凡的界，即C（0，x，T）≥ gP（0，T）n-1Xi=1ES（i）T- （K）- 1)!+=: GAOLB。（5.7）5.1.1根据第4节（c.f.公式（4.8））的公式设置，公式（5.7）中给出的下限降低至gP（0，T）n-1Xi=1e-（（‘r+’u）i+～φ（i，r+M））LИψ（i，R+M）- （K）- 1)!+（5.8）式中，L表示XT的拉普拉斯变换，参数为|ψ（i，R+M），在变换测度|Q下。

这意味着，如果一个人能够掌握XT的分布，那么这个界限就具有非常紧凑的形式。6保证年金期权的上界为了获得直接适用于基金设置的GAO的上界，我们以类似于[47]的方式使用算术几何平均不等式，他使用这种方法得出一揽子期权的上界。让我们首先确定（n）的算术和几何平均值- 1） 纯禀赋分别出现在GAO（c.f.（3.12））和asA（n-1） T=n- 1n-1Xi=1S（i）T（6.1）和g（n-1） T=n-1Yi=1S（i）T！n-1，（6.2）其中S（i）T；i=1，2。。。，n- 1在方程式（3.13）中定义。众所周知，a（n-1） T型≥ G（n-1） 助教。s、 （6.3）进一步，让我们确定对数几何平均值asY（n-1） T=n- 1n-1Xi=1ln S（i）T.（6.4）接下来我们定义为方程式（4.9），X（i）T=lnS（i）TS（i）！；i=1，2。。。，n- 1.（6.5）此外，我们假设X（1）T。。。，X（n-1） T型可以通过变换后的度量值Q获得，其中我们定义φT（γ）=EheiPn-1k=1γkX（k）Ti（6.6），γ=[γ，γ，…，γn-1]. 下一步，我们将获得对数几何平均值与X（i）T的followsY（n）之间的关系-1） T=n- 1n-1Xi=1lnS（i）TS（i）S（i）=n- 1n-1Xi=1X（i）T+Y（n-1). （6.7）接下来，我们尝试用X（i）T的联合特征函数，即，表示对数几何平均值在变换测度Q下的特征函数。方程式（6.6）中定义的φT（γ）。设φYT（γ）表示对数几何平均值Y（n）的特征函数-1） t参数γ。那么我们有φYT（γ）=EheiγY（n-1） Ti=~EeiγY（n）-1） +iPn-1k=1（γn-1） X（k）T= eiγY（n-1） φTγn- 1.（6.8）其中1=（1，1，…，1）是1×（n- 1） 向量为1，所以γn-11为1×（n- 1） 分量为γn的向量-1和φT（γ）在（6.6）中定义。

根据方程式（6.1），我们可以表示方程式（3.12）中给出的GAO PAYOFF公式asC（0，x，T）=g（n- 1） ~P（0，T）~EA（n-1） T型- K+, （6.9）其中K=K- 1n- 1.（6.10）加减G（n-1） 利用方程（6.9）的R.H.S.上的最大函数，并利用方程（6.3），我们得到了GAO-asC（0，x，T）的上界≤ g（n- 1） P（0，T）EG（n-1） T型- K++EhA（n-1） Ti公司-EhG（n-1） Ti公司= : GAOUB（6.11）我们利用傅立叶逆变换计算上界中涉及的调用类型期望，并在以下命题中陈述结果。提案3。给定n的几何平均数- 1方程式（6.2）中定义的纯禀赋，k>0，~EG（n-1） T型- K+=e-δln KπZ∞e-iηln KψGT（η；δ）dη（6.12），其中ψGT（η；δ）表示▄E的傅立叶变换G（n-1） T型- K+关于ln kalong，阻尼系数eδln Ksuch，ψGT（η；δ）=ei（η-i（δ+1））Y（n-1） φTη-i（δ+1）n-1.δ+ δ - η+iη（2δ+1），（6.13），其中参数δ调整阻尼系数（c.f[37]和[47]）和φT（.）在方程式（6.6）中定义。证据设fYT（y）表示对数几何平均值y（n）的概率密度函数（p.d.f-1） T.我们根据【37】引入阻尼系数。然后，通过定义，E的Fourier变换G（n-1） T型- K+关于ln Kalong，阻尼系数eδln kis表示为ψGT（η；δ）=ZReiηln K+δln K▄eeY（n-1） T型- K+d ln K=ZReiηln K+δln KZ∞ln Key公司- KfYT（y）dy d ln K=ZReiηln K+δln KZ∞ln键FYT（y）dy d ln K-ZReiηln K+δln KZ∞ln KKfYT（y）dy d ln K=ψGT（η；δ）- ψGT（η；δ）。（6.14）我们通过采用积分阶的变化来评估两个积分，如下所述ψGT（η；δ）=ZReyZy公司-∞eiηln K+δln Kd ln KfYT（y）dy=iη+δZRei（η-i（δ+1））yfYT（y）dy=φYT（η- i（δ+1））iη+δ=ei（η-i（δ+1））Y（n-1） φTη-i（δ+1）n-1.iη+δ。

（6.15）其中，最后几句话源自对y（n）特征函数的定义-1） （6.8）中给出了其与关节特征函数的关节特征函数的链接X（1）T。。。，X（n-1） T型定义见（6.6）。在同一直线上，我们有ψGT（η；δ）=ei（η-i（δ+1））Y（n-1） φTη-i（δ+1）n-1.iη+（δ+1）。（6.16）替换方程式（6.14）中的ψGT（η；δ）和ψGT（η；δ），记住阻尼因子，我们得到方程式（6.12）中给出的必要结果。以类似的方式，我们得到▄EhG（n-1） Ti=eY（n-1） φT-在里面- 1.. （6.17）然后，我们将公式（6.12）和（6.17）插入方程（6.11）中，以获得上界gaoub。6.1设定上限考虑第4节的设定（c.f.方程（4.8）-（4.11））。设φXT表示变换测度▄Q下参数为∧的XT的特征函数，使得φXT（∧）=▄Eheih∧，XTii。（6.18）现在使用方程（4.11），我们可以看到X（1）T。。。，X（n-1） T型在方程式（6.6）中给出的变换后的测量值Q变为φa fft（γ）=φXT-n-1Xk=1γkψ（k，R+M）！，（6.19）其中-Pn编号-1k=1γk|ψ（k，R+M）是特征函数的参数，其中|ψ（k，R+M）满足方程（4.5），τ=k。因此，方程（6.13）中给出的ψGT（η；δ）可以更简洁地写成ψgafft（η；δ）=ei（η-i（δ+1））Y（n-1） φXT-(η-i（δ+1））n-1Pn-1k=1|ψ（k，R+M）δ+ δ - η+iη（2δ+1）。（6.20）类似地，我们从方程式（6.17）中得出，~eaffhg（n-1） Ti=eY（n-1） φXTin- 1n-1Xk=1|ψ（k，R+M）！。（6.21）此外，利用方程式（6.1）中给出的算术平均值定义，并利用（4.8），我们可以看到-1） Ti=n- 1n-1Xk=1e-（‘r+’u）k+～φ（k，r+M））LИψ（k，R+M）, （6.22）如第5.1.1节所述，L表示XT的拉普拉斯变换，在变换后的度量值▄Q下，参数▄ψ（k，R+M）。

最后，我们将表达式（6.12）中的方程（6.20）替换为（6.11），然后将结果和方程（6.21）-（6.22）替换为（6.11），以获得gaouba off=g（n- 1） ~P（0，T）n- 1n-1Xk=1e-（‘r+’u）k+～φ（k，r+M））LИψ（k，R+M）-eY（n-1） φXTin- 1n-1Xk=1|ψ（k，R+M）+e-δln KπZ∞e-我ηln K-(η-i（δ+1））Y（n-1)δ+ δ - η+iη（2δ+1）φXT-(η - i（δ+1））n- 1n-1Xk=1|ψ（k，R+M）！dη！，（6.23）其中φXT（.）在方程式（6.18）中定义，L表示X的拉普拉斯变换，在变换后的度量值Q.7示例中，我们现在通过选择利率和死亡率的特定模型来推导下限和上限。7.1多CIR模型我们现在考虑一个p维a函数过程X：=（Xt）t≥0具有独立组件（Xit）t≥0该函数符合以下CIR风险中性动力学：dXit=ki（θi- Xit）dt+σipXitdWQit，i=1。。。，p、 （7.1）可以参考[2]来说明该模型符合一般框架。7.1.1生存零息票债券定价根据第6节中定义的机构符号，在死亡率和利率的背景下，让M，R∈ RN和各自的组件Mi、Ri；i=1，2。。。，p、 多CIR模型（7.31）下azero息票债券的价格由▄p（t，t）=Ehe给出-RTt（\'r+\'u）+h（r+M），Xsids | Fti=e-（\'r+\'u）（T-t） pYi=1 HE-RTth（Ri+Mi），Xisids | Fti=e-（\'r+\'u）（T-t） pYi=1e-§φi（T-t、 Ri+Mi）-Иψi（T-t、 Ri+Mi）Xit（7.2），其中|φiand|ψ满足以下Riccatti方程，每i=1，2。。。，p（c.f。

[25]):(Иψ（τ，ui）τ= 1 - ki？ψi（τ，ui）+uiσi？ψi（τ，ui），§φ（τ，ui）τ=kiθiuiψi（τ，ui），（7.3），其中τ=T- t、 ui=Ri+主要初始条件|ψi（0，ui）=0和|φi（0，ui）=0。这个系统的解，i=1，2。。。，p为|ψi（τ，ui）=2uiη（ui）+ki-4ui+η（ui）η（ui）+ki×（η（ui）+ki）exp[η（ui）τ]+η（ui）- ki（7.4）～φi（τ，ui）=kiθiσi[η（ui）ki]τ+2kiθiσilog[（η（ui）+ki）exp[η（ui）τ]+η（ui）- ki]-2kiθiσilog（2η（ui））（7.5），其中η（ui）=qki+2uiσi.7.1.2 GAO的价格我们使用方程（4.12）和（7.2）获得转换度量下GAO的价格▄Q asC（0，x，T）=g▄P（0，T）▄En-1Xi=1e-（\'r+\'u）ipYj=1e-φj（i，Rj+Mj）-Иψj（i，Rj+Mj）XjT- （K）- 1)+（7.6）式中，式（7.2）给出的▄P（0，T），τ=T，式（7.4）和（7.5）给出的▄ψj（i，Rj+Mj）和▄φj（i，Rj+Mj）。7.1.3 XT的分布为了在多维CIR情况下获得GAO的显式边界，我们需要获得转换度量Q下XJT的分布。我们在以下命题中陈述了这一点（c.f.[21]和[2]详细说明）。提案4。方程式（7.1）中定义的CIR过程的动力学xjt在变换后的度量值Q下由dxjt=kj给出θj- Xjt公司dt+σjpXjtdWjt，j=1。。。，p、 （7.7）式中，kj=kj+σj|ψj（0，Rj+Mj），（7.8）θj=kjθjkj+σj|ψj（0，Rj+Mj）（7.9）和Xj0；j=1，2。。。，p是过程的初始值。然后给出xjt的密度函数yfxjt（x）=fχ（νjT，λjT）cjT（x）=cjTfχ（νjT，λjT）（cjTx）（7.10），其中fχ（νjT，λjT）；j=1，2。。。，p是非中心χ的p.d.f，自由度νjandnon中心性参数λjt，cjt=4kjσj1.- e-kjT公司, （7.11）νjT=4kjθjσj（7.12）和λjT=cjTXj0e-kjT。（7.13）XJT的矩母函数（m.g.f.）有一个非常有趣的阐述，详情如下（c.f。