保证年金期权的一般价格界限

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《General Price Bounds for Guaranteed Annuity Options》
---
作者：
Raj Kumari Bahl and Sotirios Sabanis
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  In this paper, we are concerned with the valuation of Guaranteed Annuity Options (GAOs) under the most generalised modelling framework where both interest and mortality rates are stochastic and correlated. Pricing these type of options in the correlated environment is a challenging task and no closed form solution exists in the literature. We employ the use of doubly stochastic stopping times to incorporate the randomness about the time of death and employ a suitable change of measure to facilitate the valuation of survival benefit, there by adapting the payoff of the GAO in terms of the payoff of a basket call option. We derive general price bounds for GAOs by utilizing a conditioning approach for the lower bound and arithmetic-geometric mean inequality for the upper bound. The theory is then applied to affine models to present some very interesting formulae for the bounds under the affine set up. Numerical examples are furnished and benchmarked against Monte Carlo simulations to estimate the price of a GAO for a variety of affine processes governing the evolution of mortality and the interest rate.
---
中文摘要：
在本文中，我们关注的是在利率和死亡率都是随机且相关的最普遍建模框架下，保证年金期权（GAO）的估值。在相关环境中为这些类型的期权定价是一项具有挑战性的任务，文献中不存在封闭形式的解决方案。我们使用双随机停止时间来合并死亡时间的随机性，并通过调整GAO的回报与篮子看涨期权的回报，采用适当的措施变化来促进生存效益的评估。我们利用条件化方法得到了GAO的一般价格界，并利用算术几何平均不等式得到了GAO的一般价格界。然后将该理论应用于仿射模型，给出了仿射集下一些非常有趣的边界公式。提供了数值示例，并与蒙特卡罗模拟进行了对比，以估计各种仿射过程中GAO的价格，这些仿射过程控制死亡率和利率的演变。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
--

---
PDF下载：
--> General_Price_Bounds_for_Guaranteed_Annuity_Options.pdf (652.44 KB)

2022-6-1 02:14:23 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative Conditioning Differential Applications Probability

保证年金期权的一般价格界限Raj Kumari Bahl和Sotirios Sabanis2018年11月18日摘要在本文中，我们关注的是在利率和死亡率都是随机且相关的最普遍建模框架下保证年金期权（GAO）的估值。在相关环境中为这些类型的期权定价是一项艰巨的任务，文献中不存在封闭形式的解决方案。我们使用双随机停止时间来合并死亡时间的随机性，并通过调整GAO在篮子看涨期权支付方面的支付，采用适当的措施变化来促进生存收益的评估。我们利用条件化方法得到了GAO的一般价格界，并利用算术几何平均不等式得到了GAO的上界。然后将该理论应用于a ffne模型，给出了a ffne设置下的一些非常有趣的边界公式。提供数字样本，并对照蒙特卡罗模拟进行基准测试，以估计各种控制死亡率和利率演变的过程中GAO的价格。关键词：保证年金期权（GAO）、模型独立界限、A ffne过程、利率风险、死亡率风险、度量变更、篮子期权。AMS科目分类：初级91G20；次要60J25.1简介在当前金融机构在提高预期寿命方面面临严峻挑战的时代，涉及生存基金的“保证年金期权”等关键产品的定价取得了很大的势头。现在需要让长寿产品设计师了解这些工具的有效定价。

这涉及到设计Anaparatus，它提供最先进的解决方案来衡量死亡的随机冲动，这需要从随机的角度来看待死亡。直到最近，精算师的传统方法是以确定性的方式来处理死亡率，而利率被认为具有随机性。在这之后，出现了一个假设的时代，即死亡是以随机的方式发生的，但与利率无关（参见示例[1]）。然而，后一种假设也远远不现实。这是因为灾难和流行病等极端致命事件以及预期寿命的提高都会对利率价值产生很大影响。虽然前者在短期内表现出更强的影响，但后者以渐进的方式影响金融市场。感兴趣的读者可以参考[2]、[3]、[4]、[5]以及其中的参考文献。据我们所知，[6]是精算界最早引入死亡率与利率相关性的公司。在现实世界的背景下，[7]为理解这两种潜在风险之间的关系而进行的一项研究表明，前工业化时期英国的利率下降可能是由17世纪末成年人死亡率下降引发的。最近[8]研究了极端时期（如严重的大流行疫情）的重要性与市场风险之间的相关性，同时[9]探讨了Feller过程框架内这种依赖性的存在。正如本节开头所述，“预期寿命革命”给各国的社会保障计划带来了压力，从而引发了政府的大规模危机，这些政府难以满足日益增长的老龄人口的需求。

这种不平衡的价格对金融市场产生了不利影响，导致投资回报率呈下降趋势。为了解决这些问题，欧盟的Solvency II指令基于金融市场和人寿/健康保险市场之间的依赖性假设，制定了新的资本充足率要求保险风险管理实践，包括两个基础风险之间的相关性，即：。利率和死亡率（c.f.定量影响研究5：技术规范[10]）。在本文中，我们考虑了最普遍的建模框架，其中利息和死亡风险都是随机且相关的。在类似于[1]的设置中，我们提倡使用双随机停止时间来合并死亡时间的随机性。然后，我们利用这一设置和共单调性理论，为保证年金期权（GAO）设计了独立于模型的价格界限。这些选项嵌入在某些养老金政策中，使投保人有权在退休/到期时一次性支付或以保证利率将收益转换为年金之间进行选择。伦敦保险协会（1972年）的报告（c.f[11]）表明，GAO的起源可以追溯到1839年。然而，这些工具在1970-1990年成为英国的焦点。

在预期寿命增加的情况下，对GAO定价的研究取得了很大进展，因为此类担保的定价过低已经给保险公司带来了严重的偿付能力问题，例如在英国，由于兑现了太多的GAO，世界上最古老的人寿保险公司衡平人寿不得不在2000年接近新业务。在相关性假设下，有关GAO定价方向的现有文献非常丰富，对于复杂的模型，只有对GAO价格的蒙特卡罗估计可用（c.f.[2]）。但对于复杂模型，蒙特卡罗方法通常非常耗时（c.f.[12]）。本文是在相关方向下GAO定价的具体步骤。它研究了在重要性和利率风险之间存在依赖关系的假设下，GAO的价格界限的设计，并为这些期权的定价提供了一个非常需要的置信区间。此外，建议的边界是无模型的或一般的，因为它们适用于所有类型的模型，尤其适用于a ffine设置。与相关文献（c.f.[4]、[2]）保持一致，我们将“生存零息债券”作为评估GAO的数字，采用概率度量的变化。度量值的这种变化简化了计算并提高了效率（c.f.[3]）。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了带有必要符号的市场框架。在第3节中，我们定义了GAO，并表明其支付类似于篮子期权。接下来是第4节，重点介绍了a ffine流程的技术细节。第5节和第6节是核心章节，详细介绍了GAO的上下限。在第7节中，我们给出了第8节中支持所发展理论的数值研究的示例。

第9节总结全文。2市场框架在本节中，我们介绍了构建金融市场和死亡率模型之间数学相互作用所需的必要设置。我们用P表示物理世界度量，并利用在没有套利的情况下，至少存在一个等价鞅度量（EMM）Q的事实。我们考虑过滤概率空间(Ohm, F、 F，P），其中F={Ft}t≥0使得过滤足够大，以支持Rk中的过程X，代表财务变量的演变，以及Rd中的过程Y，代表死亡率的演变。我们取给定的一个适应的短速率过程r={rt}t≥0以满足技术条件RTRSD<∞a、 s.适用于所有t≥ 0、短期利率过程r表示无风险证券的连续复合利率。此外，我们将重点放在时间为0时年龄为x的投保人身上，随机剩余寿命由τx表示，τx是Ft停止时间。过滤F包括到每次t时所有状态变量的演变以及到那时投保人是否死亡的知识。更明确地说，我们有：Ft=Gt∨ HtwhereGt∨ Ht=σ（Gt∪ Ht），GT=σ（Zs：0≤ s≤ t） ，Ht=σ{τ≤s} ：0≤ s≤ t型其中Z=（X，Y）是Rk+d中的联合状态变量过程。因此，我们有gt=GXt∨ GYt公司。事实上H={Ht}t≥0是τ为停止时间的最小过滤。

换言之，H使F成为G={Gt}t的最小放大倍数≥0其中τ为停止时间，即Ft=∩s> tGs公司∨ σ (τ ∧ s） ，则，t、 我们可以认为GTA携带从人口/行业层面收集的医疗/人口数据中获取的信息，HTA记录保险组合中实际发生的死亡。为了使设置更加可靠，我们假设τxis是非爆炸性Ftcounting过程N记录在每个时间t的第一个跳跃时间≥ 0个人是否死亡（Nt6=0）或是否死亡（Nt=0）。停止时间τxis表示允许强度uxif N存在，即如果uxis是非负预测过程，则RTux（s）ds<∞ a、 s.适用于所有t≥ 0，这样补偿的进程M={Nt-Rtux（s）ds:t≥ 0}是局部Ft鞅。我们的下一个假设是，N是一个双随机过程或Cox过程，由一个Gtof Ft的次过滤驱动，Gt的可预测强度为u。这意味着在任何特定轨迹t 7上→ ut（ω）ofu，计数过程是一个具有参数的泊松非均匀过程。us（ω）ds，即对于所有t∈ [0，T]和非负整数k，P（NT- Nt=k | Ft∨ 燃气轮机）=RTtusdskk！e-RTtusds。（2.1）考虑对Ftis进行严格细分的主要原因是，它提供了关于死亡率强度演变的足够信息，即关于死亡发生的可能性，但没有足够的关于死亡实际发生的信息。此类信息由较大的过滤Ft携带，其中τ是一个停止时间。从（2.1）开始，通过将k=0，我们现在开始计算截至时间T的“生存概率”≥ t、 在集合{τ>t}上。

设A为间隔t内无死亡事件∈ [0，T]，即A≡ {NT- Nt=0}，那么条件期望的塔属性告诉我们p（τ>T | Ft）=E[A | Ft]=E[E（A | Ft∨ GT）| Ft]=E[P（NT- Nt=0 |英尺∨ GT）| Ft]=Ehe-RTtusds | Fti。（2.2）事实上，我们在几个步骤中描述了τ的条件定律。给定非负GT可预测过程u满足RTux（s）ds<∞ a、 对于所有t>0，我们考虑参数为1的指数随机变量Φ，与G无关∞当processRtusds高于随机阈值Φ时，定义随机死亡时间τ为第一次，即τ={t∈ R+：Ztus（s）ds≥ Φ}. （2.3）从（2.3）中可以明显看出，{τ>T}={Rtusds<Φ}，对于T≥ 接下来，我们计算出T的P（τ>T | Gt）≥ t型≥ 0，利用条件期望的塔性质，Φ和G的独立性∞以及u是Gt可预测过程和Φ的事实~ 指数（1），即P（τ>T | Gt）=Ehe-RTusds | Gti。（2.4）事实上，相同的结果适用于0≤ 进一步，我们观察到{τ>T}是Ht的一个原子。因此，以类似于[1]的方式，我们构建了Gt驱动的双随机Ft停止时间 按以下方式（c.f.[13]，ex 34.4，p.455）：p（τ>T | GT∨ Ft）={τ>t}E{τ>T}| GT∨ Ht公司={τ>t}e-RTtusds。（2.5）接下来，可以用GT上的调节代替FTA上的调节，如【1】的附录C所示。我们注意到，我们不接受Gt∨ σ（Φ）作为我们的过滤GT，因为在这种情况下，停止时间τ是可预测的，不允许有强度。此处拼凑的结构保证τ是一个完全无法到达的停止时间，这一概念直观地意味着保险人的死亡对保险人来说是一个完全意外的事件（详情参见第三章第2节【14】）。有鉴于此，我们转到本文的重点，即。

GAO。3保证年金期权3.1简介保证年金期权（GAO）是一种合同，赋予投保人以预先规定的转换率将其生存福利转换为年金的灵活性。g表示的担保转换率可以引用为年金/现金价值比率。根据文献[16]，20世纪80年代英国65岁男性的保证转换率g最流行的选择是g=，这意味着每1000英镑的现金价值可以转换为每年111英镑的年金。如果保证转换率高于可用转换率，GAO将具有正值；否则，GAO将一文不值，因为投保人可以使用现金从一级市场获得更高的年金价值。因此，美国ZF问责局到期时的资金状况取决于当时市场上可用的年金价格，而这一价格是使用现行利率和死亡率计算的。3.2数学公式考虑时间0的x岁投保人，该投保人在其退休年龄Rx有权获得统一金额。然后，GAO让投保人在时间T=Rx时进行选择- 每年支付g或现金支付1之间的x。Let¨ax（T）表示x岁的人在时间0到期的终身年金，在每年开始时每年支付一个单位的金额，该支付从时间T开始，以生存为条件。如果w是最大可能生存年龄，那么我们有¨ax（T）=w-（T+x）-1Xj=0Ehe-RT+jT（rs+us）ds | GTi=w-（T+x）-1Xj=0P（T，T+j），（3.1），其中P（T，T）=Ehe-RTt（rs+us）ds | Gti（3.2）表示在时间t时，对于年龄为0且在时间t时仍然活着的被保险人，到期日为t的纯养老保险在时间t时的价格。

该保险工具被[2]命名为生存零息票债券，缩写为SZCB，作者指出，它可以作为一种保险工具，因为它可以通过一种涉及长寿债券的策略（c.f.[15]）进行复制，该策略采用了通常的自举方法，用于从息票债券开始寻找零利率曲线。本保险文书在被保险人当时存续的时间T支付一个单位的金额。事实上，r+u可以被视为一种有效的短期利率或收益率，以将这些工具与其金融对手进行比较。在时间T，具有上述嵌入GAO的合同的价值可以通过以下分解v（T）=max（g¨ax（T），1）=1+g max来描述¨ax（T）-g级. （3.3）为了应用风险中性评估，我们陈述了[1]中的一个结果，以计算标准保险合同涉及的基本付款的公允价值。这些是收益，其金额可能与其他证券价格挂钩，取决于在给定时间段内的生存情况。我们要求短速率过程r和死亡率强度u满足第2节所述的技术条件。提案1。（生存效益）。设C为有界Gt适应过程。然后，时间t生存收益的时间t公允价值SBt（CT；t）为CT，0≤ t型≤ T，由以下公式得出：SBt（CT；T）=Ehe-RTtrsds{τ>T}CT | Fti={τ>T}Ehe-RTt（rs+us）dsCT | Gti（3.4）特别是，如果C是GXt自适应的，并且X和Y是独立的，那么，以下保持ssbt（CT；T）={τ>T}Ehe-RTtrsdsCT | GXt]E[E-RTtusds | GYti（3.5）证明。综合证明见【1】。因此，我们得到了（3.6）中第二项在时间t=0时的值，该值被称为x年保单持有人在时间t=0时输入的GAO期权价格asC（0，x，t）=E“E-RT（rs+us）dsg¨ax（T）-g级+#.