保证年金期权的一般价格界限

【38】了解详情）。MXjT（sj）=（β（sj））？νjeλjT（β（sj）-1） （7.14）式中，β（sj）=（1- sjujT）-1，（7.15），ujT=cjT，（7.16）(R)νj=νjT（7.17），λjT=2λjT。（7.18）7.1.4下限GAOLB（MCIR）方程式（5.7）中获得的下限GAOLB以类似于公式（5.8）的方式浓缩为多回路情况下的非常紧凑的公式。在解释之前，我们看到，根据第4节中定义的符号，可以写出（i）T=S（i）eX（i）T；i=1，2。。。，n- 1，（7.19），其中（i）=e-（（‘r+’u）i+Ppj=1￠φj（i，Rj+Mj））（7.20）和x（i）T=-pXj=1|ψj（i，Rj+Mj）XjT，（7.21），其中|φj（i，Rj+Mj）和|ψj（i，Rj+Mj），对于i=1，2。。。，n- 1和j=1，2。。。，p为不等式（7.4）-（7.5），τ替换为i。此外，XjT；j=1，2。。。，p是独立的随机变量，其m.g.f.在方程（7.14）中给出。这使我们得出了多CIR情况下的下边界公式，以以下命题的形式呈现：命题5。多CIR情况下的下界为gaolbmcir=gP（0，T）n-1Xi=1e-（‘r+’u）i+Ppj=1φj（i，Rj+Mj））+Ppj=1λjT（β(-Иψj（i，Rj+Mj））-1)pYj=1β-Иψj（i，Rj+Mj）νj!- （K）- 1)!+（7.22）其中β（.）式（7.17）-（7.18）中给出了式（7.15）中的νjandλjt，以及式（7.17）-（7.18）中给出的式（i，Rj+Mj），其中i=1，2。。。，n- 1.j=1，2。。。，p在（7.5）中给出。证据使用方程式（5.7）中给出的下限公式，GAOLB=gP（0，T）n-1Xi=1ES（i）T- （K）- 1)!+（7.23）使用方程式（7.19）-（7.21）中的S（i）T公式，我们得到了gaolbmcir=gP（0，T）n-1Xi=1e-（（‘r+’u）i+Ppj=1￠φj（i，Rj+Mj））pYj=1MXjT-Иψj（i，Rj+Mj）- （K）- 1)+.（7.24）使用m.g.f.的定义。

XjT的；j=1，2。。。，公式（7.14）中给出的p，我们得到了请购单结果。7.1.5上限GAOUB（MCIR）根据构成MCIR情况下GAO篮子的纯禀赋公式（（7.19）-（7.21）），我们写道（n-1)= -（\'r+\'u）n-n- 1n-1Xk=1pXj=1？φj（k，Rj+Mj）（7.25），使用对数几何平均值Y（n）的定义-1） t参见第6.3节方程式（6.4）。我们现在利用第6.3.1节中给出的有效情况下的上界设置，并注意到这里不是φ（k，R+M）和ψ（k，R+M），而是分别为ppj=1φj（k，Rj+Mj）和ppj=1ψj（k，Rj+Mj），因为我们处理的是p维CIR过程。因此X（1）T。。。，X（n-1） T型在方程（6.6）中给出的变换后的度量值Q下，φMCIRT（γ）=pYj=1φXjT-n-1Xk=1γkψj（k，Rj+Mj）！，（7.26）式中，γ=[γ，γ，…，γn-1] ，φXjT；j=1，2。。。，p表示XjTwithparameter的特征函数-Pn编号-1k=1γk|ψj（k，Rj+Mj）对于j=1，2。。。，p、 对于k=1，2，…，使用|ψj（k，Rj+Mj）。。。，n-1.j=1，2。。。，式（7.5）中给出了p，τ被k代替。φXjT（s）可以通过用is代替s，从式（7.14）中给出的m.g.f公式中获得。此外，我们看到方程式（6.13）中给出的ψGT（η；δ）减少到ψGMCIRT（η；δ）=ei（η-i（δ+1））Y（n-1） Qpj=1φXjT-(η-i（δ+1））n-1Pn-1k=1|ψj（k，Rj+Mj）δ+ δ - η+iη（2δ+1）。（7.27）接下来，我们得到▄EMCIRhG（n-1） t从方程式（6.20）中，利用（7.26）。

此外，我们还计算了EMCIRhA（n-1） Ti=n- 1n-1Xk=1e-（‘r+’u）k+Ppj=1？φj（k，Rj+Mj））pYj=1MXjT-Иψj（k，Rj+Mj）.（7.28）最后，我们将这些分量逐一插入方程（6.11），以获得上界gaoub（MCIR）。7.2 Wishart短期利率模型7.2.1在本节中，我们假设a ffne过程X：=（Xt）t≥0是一个d维Wishart过程。给定一个d×d矩阵布朗运动W（即其条目为独立布朗运动的矩阵），Wishart过程X（无跳跃）被定义为d×d维随机微分方程DXT的解=βQTQ+HXt+XtHTdt+pXtdWtQ+QTdWTtpXt，t≥ 0，（7.29），其中X=X∈ S+d，β≥ d- 1，H∈ Md，Q∈ GLdand和qt表示其转座。md已在第4节中定义，而gldde简而言之注意到可逆实d×d矩阵集，我们假设X的定律是W ISd（X，β，H，Q）。7.2.2解的存在性和唯一性【39】开创了这一过程，她证明了方程（7.29）弱解的存在性和唯一性。她还建立了一个在S++d中取值的唯一强解的存在性，即正半有限对称d×d矩阵的锥的内部，我们用S+d表示。7.2.3生成器【39】计算了Wishart过程的最小生成器为：a=TrβQTQ+Hx+xHTDS+2xDSQTQDS, （7.30）式中，T r代表跟踪，DS=(/xij）1≤i、 j≤d、 【40】是理解该生成器详细推导的一个很好的参考，根据该参考，我们在附录A.7.2.4中定义了生成器。现在，我们给出了一个明确的公式，用于计算Wishart短期利率模型下的生存零息票债券价格。定理6。

对于具有ISd（X，β，H，Q）定律的过程X，根据方程（4.1）分别给出短期死亡率和死亡率的动力学，分别为：RT=’r+T r[RXt]（7.31）和uT=’u+T r[MXt]（7.32）。让R，M∈ S++Dτ=T- t、 然后，Wishart短期利率模型（7.31）下azero息票债券的价格由▄P（t，t）=Ehe给出-RTt（\'r+\'u+T r[（r+M）Xu]）du | Fti=e-§φ（τ，R+M）-T r[ψ（τ，r+M）Xt]，（7.33），其中φ和ψ满足以下常微分方程组：~φτ=T rhβQTQ？ψ（τ，R+M）i+？R+？u，？φ（0，R+M）=0，~ψτ=△ψ（τ，R+M）H+HT△ψ（τ，R+M），-2|ψ（τ，R+M）QTQ|ψ（τ，R+M）+R+M，|ψ（0，R+M）=0。（7.34）证明。考虑方程（7.33）中的期望值。如第2节所述，FTF上的条件可以减少到GT上的条件，因此我们定义≤ T，定义（T，Xt）=f（τ，Xt）=Ehe-RTt（\'r+\'u+T r[（r+M）Xu]）du | Xti。（7.35）该条件期望是费曼-卡茨表示，满足以下偏微分方程（PDE）：(f（τ，x）τ=Af（τ，x）- （\'r+\'u+T r[（r+M）x]）f（τ，x），f（0，x）=1，（7.36），对于所有x∈ S+d，其中A是方程式（7.30）中给出的Wishart过程的微型发生器。

我们引入了一个候选解f（τ，x）=e-§φ（τ，R+M）-T r[|ψ（τ，r+M）x]（7.37），因此f（τ，x）τ=-~φτ- T r“~ψτx#！f（τ，x）（7.38）也很清楚Ae-§φ（τ，R+M）-T r[ψ（τ，r+M）x]=e-§φ（τ，R+M）Ae-T r[|ψ（τ，r+M）x]，（7.39），其中使用方程式（7.30）中给出的Wishart过程的生成器，我们得到了-T r（|ψ（τ，r+M）x）=- T rhβQTQ|ψ（τ，R+M）i+T R“|ψ（τ，R+M）QTQ|ψ（τ，R+M）-Иψ（τ，R+M）H- HT|ψ（τ，R+M）！x#！e-利用方程（7.35）中的方程（7.38）-（7.40）并在整个过程中抵消f（τ，x），我们得到-~φτ- T r“~ψτx#=-T rhβQTQ|ψ（τ，R+M）i- （(R)r+T r[（r+M）x]）+T r“￠ψ（τ，r+M）×QTQ￠ψ（τ，r+M）-Иψ（τ，R+M）H- HT|ψ（τ，R+M）！x#！（7.41）比较方程（7.41）两侧与x无关的项和x的系数，我们得到了方程（7.34）中给出的所需常微分方程组。这就完成了证明。（7.34）中给出的求解Riccati方程组的方法出现在【43】中，其中作者提出矩阵Riccati方程可以通过将问题的维数加倍来线性化，感兴趣的读者也可以参考【44】和【2】。我们在没有证据的情况下陈述以下命题中的解决方案。提案7。

定理6中的函数|φ和|ψ由（|ψ（τ，R+M）=A给出-1（τ）A（τ），～φ（τ，R+M）=β对数（det（A（τ）））+τT rHT公司.（7.42）其中A（τ）A（τ）A（τ）A（τ）= 经验值τH 2QTQR+M-HT公司（7.43）Wishart短期利率模型下零息票债券定价的替代方法见【44】和【45】。7.2.5 GAO的价格我们使用定理6和方程（4.12）来获得GAO在转换度量下的价格▄Q asC（0，x，T）=g▄P（0，T）▄En-1Xi=1e-（\'r+\'u）ie-φ（i，R+M）-T r[ψ（i，r+M）XT]- （K）- 1)!+, （7.44）式中，P（0，T）由方程（7.34）给出，其中τ=T，而i=1，2，…，则为ψ（i，R+M）和φ（i，R+M）。。。，n- 1由方程组（7.42）给出，τ=i.7.2.6 XT的分布。为了在Wishart情况下获得GAO的显式边界，我们需要获得变换度量值Q下的XT分布。我们在以下命题中对此进行了说明（c.f.[2]和[48]）。提案8。方程式（7.29）中定义的Wishart过程X在变换测量Q下的动力学由DXT给出=βQTQ+H（t）Xt+XtH（t）tdt+pXtdWtQ+QTdWTtpXt，t≥ 0，（7.45），其中H（t）=H- QTQ？ψ（τ，R+M），（7.46）X=X∈ S+d，β≥ d- 1，H∈ MDA和Q∈ GLd。下一步~ 西部数据β、 V（0），V（0）-1ψ（0）Txψ（0）, （7.47）式中，Wd表示非中心Wishart分布，参数为d、β、V（0）和ψ（0）Txψ（0），最后一个参数为非中心性参数，用Θ表示。此外，V（t）和ψ（t）求解以下常微分方程组（ddtψ（t）=-H（t）tψ（t），ddtV（t）=-ψ（t）TQTQψ（t），（7.48），终端条件ψ（t）=Idand V（t）=0。现在，我们在非中心Wishart分布的背景下陈述了两个命题，这对于Wishart案例中GAO边界的推导非常重要（c.f.[49]和[50]）命题9。

（非中心Wishart分布的拉普拉斯变换）Let XT~ Wd（β，V（0），Θ），Θ=V（0）-1ψ（0）Txψ（0）。然后，由l（U）=EheT r给出Xt的拉普拉斯变换[-U XT]i=det（Id+2V（0）U）-βeT r[-Θ（Id+2V（0）U）-1V（0）U]（7.49），其中U∈ S+d。提案10。（非中心Wishart分布的特征函数）考虑XT~Wd（β，V（0），Θ），Θ=V（0）-1ψ（0）Txψ（0）。然后，通过φXT（λ）=EheT r[i∧XT]i=det（Id）给出xts的特征函数- 2iV（0）∧）-βeT r[iΘ（Id-2V（0）∧）-1V（0）∧]（7.50），其中∧∈ Md.7.2.7在Wishart设置下的下限GAOLB（W IS），方程式（5.7）中获得的下限GAOLB降低到非常低的形式。在得出公式之前，我们按照第4节的精神定义了以下符号。S（i）T=S（i）eX（i）T；i=1，2。。。，n- 1，（7.51），其中（i）=e-（（\'r+\'u）i+~φ（i，r+M））（7.52）和x（i）T=-T rh|ψ（i，R+M）XTi，（7.53），其中|ψ（i，R+M）和|φ（i，R+M），对于i=1，2。。。，n- 1由方程组（7.42）给出，τ=i。此外，Xt具有非中心Wishart分布，拉普拉斯变换在方程（7.49）中给出。这个结果与公式（5.8）一起，Wishartcase的下限表现为以下形式。GAOLB（W IS）=gP（0，T）n-1Xi=1e-（（\'r+\'u）i+~φ（i，r+M））检测Id+2V（0）～ψ（i，R+M）-β×eT rh-Θ（Id+2V（0）～ψ（i，R+M））-1V（0）～ψ（i，R+M）i！- （K）- 1)!+（7.54）7.2.8上限GAOUB（W IS）根据Wishart案（7.51）-（7.53））中篮子资产的公式，我们有（n-1)= -（\'r+\'u）n-n- 1n-使用对数几何平均值Y（n）的定义，1Xk=1|φ（k，R+M）（7.55-1） t参见第6节方程式（6.4）。

此外，在Wishart设置中获得GAO的上界是一个简单的练习，可以通过计算方程式（7.49）中给出的拉普拉斯变换，利用方程式（6.23）中给出的一种情况下的GAO上界公式，使得k=1，2。。。，n- 1，LИψ（k，R+M）= det公司Id+2V（0）～ψ（k，R+M）-βeT rh-Θ（Id+2V（0）～ψ（k，R+M））-1V（0）～ψ（k，R+M）i（7.56）并计算φXT-(η-i（δ+1））n-1Pn-1k=1|ψ（k，R+M）和φXT在里面-1Pn-1k=1|ψ（k，R+M）从公式（7.50）中，将∧替换为-(η-i（δ+1））n-1Pn-1k=1|ψ（k，R+M）andin-1Pn-1k=1|ψ（k，R+M）。8数值结果现在，我们研究了前几节推导的理论的应用。在第5节和第6节中，我们成功地获得了保证年金期权的一些下界和上界。我们现在测试这些与GAO的著名蒙特卡罗估计值的对比。我们为两个更通用的a ffine模型执行此操作。边界的命名已在第5、6和7节中详细说明。在所有示例中，我们有以下“合同规格”：g=11.1%，T=15，n=35；8.1多CIR模型首先，我们考虑一个三维CIR过程X：=（Xt）t≥0具有独立组件（Xit）t≥0，i=1，2，3（c.f.[2]详细信息）。我们假设利率过程和死亡率过程具有以下动力学。rt=\'r+X1t+X2t（8.1）和ut=\'u+mX2t+mX3t，（8.2），其中\'r，\'u，mand-mare常数。我们使用类似于[2]的模型规格，并在参数集中进行了细微的筛选。我们计算mand的值，并获得Ms的值，从而将死亡率的预测值固定到Cx（T）表示的特定水平，Cx（T）由bye预测。g、 Gompertz-Makeham模型（c.f。

[51]）对于时间为0的年龄为x的个体，在x+T时，即[uT]=Cx（T），（8.3）应用等式（8.2）两侧的期望值，并在（8.3）中进行替换，我们得到‘+mE[X2t]+mE[X3t]=Cx（T），（8.4），其中为Xit；i=1，2，3是使用（7.1）给出的随机微分方程（SDE）得到的，我们有e【Xit】=Xi，0e-套件+θi1.- e-配套元件. （8.5）使用本节开头所述的合同规范，我们将（8.3）中的预期值乘以C（15）=0.0125。关于死亡率模型的有效性，一个非常好的讨论出现在[2]。事实上，该模型已在[52]中完全校准。使用方程式（8.1）-（8.2）确定的设置，在（rt）t≥0和（ut）t≥0表示为ρt，表示ρt=mσX2tpσX1t+σX2tpmσX2t+mσX2t给出的随机过程。（8.6）我们改变了mand的值，因此得到了musing方程（8.3）的值，这最终得到了ρ的值。进一步根据【2】，我们制定了以下参数规范'r=-0.12332，(R)u=0表2描述了不同mand值的GAO价格的下界、上界和蒙特卡罗估计，因此，对于初始成对线性相关系数ρ的不同值。我们发现ρ值的增加会提高GAO的值。下界非常尖锐。另一方面，上限稍宽一些。

表2的结果如图1-3所示。图2反映了相对差异（=|界-MC | MC）随着死亡率和利率之间相关性的增加，上界和基准蒙特卡罗估计值之间的MC | MC）减小，而下界的相对差异几乎保持不变，CIR过程参数xk=0.3731θ=0.074484σ=0.0452 X1,0=0.0510234Xk=0.011θ=0.245455σ=0.0368 X2,0=0.0890707Xk=0.01θ=0.0015 X3,0=0.0004表1： 三维CIR过程的参数值变化ρ。另一方面，图3描述了GAO价格的蒙特卡罗估计值与或多或少保持不变的导出界限之间的绝对差异。lowerbound比GAOUB好得多。