制度转换随机波动率模型中的期权定价

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Option Pricing in a Regime Switching Stochastic Volatility Model》
---
作者：
Arunangshu Biswas, Anindya Goswami and Ludger Overbeck
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  In the classical model of stock prices which is assumed to be Geometric Brownian motion, the drift and the volatility of the prices are held constant. However, in reality, the volatility does vary. In quantitative finance, the Heston model has been successfully used where the volatility is expressed as a stochastic differential equation. In addition, we consider a regime switching model where the stock volatility dynamics depends on an underlying process which is possibly a non-Markov pure jump process. Under this model assumption, we find the locally risk minimizing pricing of European type vanilla options. The price function is shown to satisfy a Heston type PDE.
---
中文摘要：
在假设为几何布朗运动的经典股票价格模型中，价格的漂移和波动保持不变。然而，在现实中，波动性确实有所不同。在定量金融中，赫斯顿模型已成功地用于将波动率表示为随机微分方程的情况。此外，我们考虑了一个制度转换模型，其中股票波动率动态取决于一个潜在的过程，这可能是一个非马尔可夫纯跳跃过程。在此模型假设下，我们得到了欧式香草期权的局部风险最小化定价。价格函数满足赫斯顿型偏微分方程。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：波动率模型 期权定价 波动率 Quantitative Differential

制度转换随机波动率模型中的期权定价*Arunangshu Biswas+，Anindya Goswami&Ludger Overbeck§Abstracts我们考虑一个制度转换随机波动率模型，其中股票波动率动力学是一个半马尔可夫调制平方根均值回复过程。在此模型假设下，我们发现欧洲典型香草期权的局部风险最小化价格。价格函数满足非局部退化抛物型偏微分方程，这可以看作是赫斯顿偏微分方程的推广。涉及偏微分方程的相关柯西问题等价于一个积分方程（IE）。通过研究IE并利用半群理论，证明了偏微分方程解的存在唯一性。关键词和短语：Cauchy问题，F¨ollmer-Schweizer分解，Heston模型，期权定价，制度转换模型SAMS主题分类：91G，60H1简介[8]的制度转换模型是对经典Black-Scholes模型的有益扩展。在那里，市场可以随机持续一段时间，从众多假设状态/注册时间中选择一种。关键市场参数，即利率、平均增长率、波动率在每个制度下保持不变，但因制度而异。因此，资产价格动态取决于一个额外的潜在过程，该过程被允许是一个马尔可夫纯跳跃过程。然而，马尔可夫政权更迭的考虑不仅限于推广Black-Scholes模型。制度转换扩展也成功地应用于许多其他资产价格替代模型。这方面的综合文献调查超出了本文的范围。

尽管如此，我们建议读者查看[2、4、9、14-17、23-28]和其中的参考文献，了解政权转换模型的最新发展。在[10，11]中，将[8]中模型的范围进一步扩展到半马尔可夫区域。在这里，每个区域的逗留时间允许具有比指数分布类别更一般的分布类型。这种概括也带来了一些技术问题。由于状态过程不再是马尔可夫过程，为了获得马尔可夫设置，需要使用Sojour n时间过程来扩充状态过程。在两个状态转换之间，一个状态的年龄或逗留时间会像时间一样确定性地增长，并在下一个状态转换的瞬间跳到零。因此，增广过程的单位生成器仅涉及非局部TERM和一阶微分算子。出于明显的原因，我们也将在本报告中讨论发电机w.r.t.的这种特征。年龄变量导致期权价格方程为退化抛物型非局部偏微分方程（PDE）。因此，相关的考西问题的可行性并不是直截了当的。然而，在区域切换模型中使用半马尔可夫过程有一个优点。由于相应的期权价格方程涉及年龄变量，因此可以在方程中输入年龄变量的经验值，以获得期权价格。另一方面，在马尔可夫机制模型中，期权价格是不敏感的*该研究部分得到了塞族MATRICS（grant MTR/2017/000543）+印度海得拉巴诺华公司的支持。电子邮件：arunb12002@gmail.comIISER，浦那411008，印度。电子邮件：anindya@iiserpune.ac.in§德国吉森大学数学研究所35392。电子邮件：Ludger。Overbeck@math.uni-吉森。确定年龄值。

因此，鉴于计算能力的提高和统计推断技术的进步，将半马尔可夫过程用于市场机制已成为更合理的选择。早期文献中也提出了半马尔可夫模型及其变化。例如，在[5]中，作者使用隐半马尔可夫模型来模拟每日时间序列值的平方日收益中自相关函数的缓慢衰减。在[13]中，金融市场是一个半马尔可夫切换模型，其中持有时间分布为伽马随机变量。对于其他示例和应用，可以看到例如[3]和其中的参考文献。众所周知，半马尔可夫过程可能会表现出与时间相关的传递，而时间齐次马尔可夫链或齐次马尔可夫链中的时间则不会。商业cyc LE的持续时间依赖性过渡的经验评估也很常见，例如参见【6】。由于上述每种模型的市场都是不完整的，因此无套利价格不是唯一的。局部风险最小化是作者在此类不完全市场中为欧式期权定价所采用的许多其他方法之一。在本文中，我们通过制度转换市场模型中的局部风险最小化方法来解决理论期权定价问题，该模型可视为赫斯顿模型的推广[12]。经典的Hes-ton模型是一种股票价格模型，其中瞬时波动率本身就是一个平方根均值回复过程（也称为Cox、Ingersoll和Ross（CIR）过程）。长期平均值作为参数出现在CIR过程的随机微分方程（SDE）中。SDE还包含另外两个参数，即均值回归的速度和波动率的波动率。

在制度转换扩展中，允许资产价格的所有或部分参数和漂移系数演变为有限状态纯跳跃过程。这种建模背后的理由是通过附加参数节省额外的随机性，以更好地拟合。[23]研究了Heston模型的区域切换推广。在【23】中，切换是通过给定速率矩阵的有限状态连续时间马尔可夫链建模的。对于经典Heston模型的类似或进一步扩展，我们参考[24，28]。上述文献调查只是指示性的，但无论如何都不是详尽的。然而，据我们所知，在Hesto n模型中考虑参数的半马尔可夫分布是文献中的空白。不用说，如果考虑半马尔可夫切换，马尔可夫子类也不会被排除在考虑之外。半马尔可夫调制连续时间模型的主要目标是对制度转换的持续时间依赖性动力学进行综合评价，例如在[1 0，11]中，该模型无法解释波动率参数的连续可变性。在这两个文献[10，11]中，波动率被建模为一个逐段恒定的脉冲跳跃过程。期权定价问题尚未在市场模型中进行研究，该市场模型可以预测股票波动的持续时间相关的连续运动。目前的模型填补了这一空白，并提供了进一步扩展的可能性。我们已经确定了一组关于模型参数的有效条件，以便拟定的市场模型不存在任何偏差。此外，还证明了最小等价鞅测度的存在性。为了更广泛的范围，我们考虑了一个抽象的欧式路径独立期权，其中未定权益是终端股票价值的Lipschitz连续函数。

这类索赔包括call、put和butter fly等。我们已经用F¨ollmer-Schweizer分解证明了这种索赔的局部风险最小化原则可以表示为一个适当chosenCauchy问题的解。这里，相应的PDE也可以看作是赫斯顿PDE的推广。这个柯西问题不具有闭式解。此外，经典解的存在也不能立即从文献中现有的结果中得出。本文证明了该问题经典解的存在唯一性。在这一部分中，我们使用半群理论的处理方法来解决抽象的柯西问题。首先，价格方程有一个满足积分方程的连续温和解。通过对积分方程的研究，证明了弱解是充分光滑的，并经典地求解了偏微分方程。本文安排如下。第2节介绍了基础资产价格动态。接下来，我们在第3节中提出了期权价格方程。在这一节中，我们展示了方程经典解的存在性和唯一性。在第4节中，我们证明了解决方案确实是相关欧式期权的局部风险最小化价格。我们在第5.2节模型描述中对本文件进行了总结。本节分为四小节。风险资产价格的动态如FirstSubsection所示。第二种方法提供了半马尔可夫过程的详细公式。

第三部分证明了模型的无套利性，而第四小节证明了最小鞅测度的存在性。2.1资产价格动态如果S={St}t≥0表示风险y资产的价格动态，然后根据经典的赫斯顿模型求解以下SDEdSt=uStdt+√VtStdWt，S>0dVt=κ（θ- Vt）dt+σ√VtdWt，V>0。（2.1）和dhW，对于某些ρ，Wit=ρdt∈ [-1，1]其中θ（>0）被称为挥发度的长期平均值yv={Vt}t≥此外，参数κ和σ是正常数，Feller条件σ<2κθ成立。当Feller条件确保V为正时，另一个条件，即σ≤κ(2ρ+√2） +确保S的平方可积性（见[1]）。在本文中，我们允许漂移系数u、s速度参数κ、波动率的波动率σ和参数θ根据潜在的半马尔可夫过程essX={Xt}t进行演化≥0有限状态空间X={1，2…，k} R和瞬时转移率函数λ={λij:[0，∞) → （0，∞) | i 6=j∈ 十} 。除了风险资产（即股票）外，我们假设市场还包括另一个在时间t时每单位货币价格为Bt的本地无风险资产。在时间t时，无风险资产的瞬时利率Rto为r（Xt）。更确切地说，股票和货币市场工具价格的模型如下所示：st=utStdt+√VtStdWt，S>0dVt=κt（θt- Vt）dt+σt√VtdWt，V>0。（2.2）dBt=RTBTDT，其中ut=u（Xt），θt=θ（Xt），κt=κ（Xt），σt=σ（Xt）。我们假设κ（i）、σ（i）、θ（i）、u（i）和r（i）是u（i）的正常数≥ r（i）使得（A1）σ（i）<最小值p2κ（i）θ（i）+ρ（u（i）- r（i））- ρ（u（i）- r（i）），κ（i）（2ρ+√2)+ 我∈ 十、 工艺应与之前相同，并适应过滤{Ft}t≥0满足通常的假设，并定义在概率空间上(Ohm, F、 P）。

半马尔可夫过程也被认为是{Ft}t≥0适应并独立于Wand和W。我们注意到，方程（2.2）与经典Heston模型（2.1）的区别仅在于参数u、κ、σ和θ，这些参数是非爆炸、有限状态的纯跳跃过程。因此，V的正性和S的平方可积性在（A1）下类似。注意，（A1）是字符串ent，而不是REQUIRED。我给出了较弱的假设σ（I）<最小值p2κ（i）θ（i），κ（i）（2ρ+√2)+总的来说，i对于V的正性和S的平方可积性是足够的。然而，假设（A1）是为了确保第3节中考虑的另一个CIR过程的正性，这将在适当的时候得到澄清。从今以后，我们自始至终假定（A1）。2.2半马尔可夫过程的公式设tn为纯跳跃过程X的n次跃迁的时刻，T=0。时间t的年龄值由t给出- Tn（t），其中n（t）表示到时间t的跃迁次数。也让τn+1：=Tn+1- tn表示n次和（n+1）次转换之间的持续时间。瞬时过渡速率函数λij:[0，∞) → [0, ∞), i 6=j∈ 半马尔可夫过程X的X，如果存在，由λij（y）给出：=limδ→0δPXTn+1=j，τn+1∈ （y，y+δ）|XTn=i，τn+1>y其中右侧的条件概率与n的选择无关。我们考虑半马尔可夫过程的类别，该类过程允许每个非负y的上述限制。除此之外，我们进一步假设（A2）（i）对于每个i 6=j∈ 十、 λij：[0，∞) → （0，∞) 是一个连续可微分的函数。（ii）如果λi（y）：=Pj∈X \\{i}λij（y）和∧i（y）：=Ryλi（y）dy，然后是limy→∞∧i（y）=∞.备注1 i.请注意，对于有限状态连续时间马尔可夫链的特殊情况，瞬时转移率为正常数。因此，（A2）中的假设包括所有有限状态连续时间马尔可夫链。二。我们要求[0]上存在转移率，∞).

这比我们所需要的更简单。因为我们唯一关心的是对到期日为T的欧式期权进行定价，所以我们只要求λ在[0，T]上存在。iii.通过定义τ=T，我们默认X在时间T=0时没有内存。这也可以通过设置ting Ta负值来缓解。在此，我们回顾了[11]中的以下结果。命题1给出一个集合λ={λij:[0，∞) → （0，∞) | i 6=j∈ 十} 在满足（A2（ii））的有界可测映射中，下列条件成立。i、 给定一个可测X和一个非正常数T，在X×[0]上有一个有限区间i和分段线性映射hλ和gλ，∞) ×I使得耦合随机积分方程组xxt=X+ZtZIhλ（Xu-, 于-, z）（du，dz），Yt=（t- T）-ZtZIgλ（Xu-, 于-, z）（du，dz），（2.3）其中, 具有均匀强度的泊松随机测度与X无关，且适用于{Ft}t≥0具有强rcll解（X，Y），因此X是X上的s emi马尔可夫过程，λ是瞬时转移率函数，Y是年龄过程。二。（X，Y）的最小生成元A由A（i，Y）给出=^1y（i，y）+Pj6=iλij（y）^1（j，0）-^1（i，y）对于每个连续可微分函数：X×[0，∞) → R、 iii.考虑F：[0，∞) ×X个→ [0，1]，定义为F（y | i）：=1- e-∧i（y），其中∧iis如（A2）（ii）所示。下式（A2）（i）F（·| i）是一个连续两次不同的函数，并且是保持时间X的条件c.d.F，假设当前状态为i.iv。对于每个j 6=i，pij（y）：=λij（y）λi（y），对于所有i和y，pii（y）=0。然后，pij（y）表示转换到j的条件概率，假设过程在y.v时从i过渡。让F（y | i）：=ddyF（y | i），那么λij（y）=pij（y）f（y | i）1-F（y | i）保持所有i 6=j。我们还假设以下不可约性条件n.（A2）（iii）Se t^pij：=R∞pij（y）dF（y | i）。

矩阵（^pij）k×kis是不可约的。注意，（^pij）k×kdenotes嵌入离散时间马尔可夫链的转移概率矩阵。2.3无市场模型套利此后，我们考虑SDE（2.2）和（2.3）。很明显，满足（2.2）-（2.3）的S、V、X、Y被改编为{Ft}t≥定义1可接受策略定义为可预测过程π={πt=（ξt，εt）}0≤t型≤t如果满足以下条件（i）ξ：={ξt}0≤t型≤Tis平方可积w.r.t.S，即EZTξtdhSit< ∞;（ii）E（εt）<∞  t型∈ [0，T]；和（iii）如果Jt（π）：=ξtSt+εtBt，则P（Jt（π）≥ -一 t型∈ [0，T]）=1对于一些实a.很明显J（π）：={Jt（π）}0≤t型≤定义1（iii）中的TA表示与投资组合策略π相对应的投资组合价值过程。备注2等价鞅测度（EMM）的存在性是容许策略下无套利（NA）的一个充分条件（见[21]的定理VII.2c.2）。然而，一般来说，随机波动性模型不需要接受EMM。有关缺乏EMM的s-tochastic波动率模型的详细讨论，请参见[22]。我们在本文中使用的假设下建立了EMM的存在性。（A3）设c：=最大值∈X（u（i）- r（i））。然后E（eRTVsds）c<∞.（A1）和（A3）下的定理1上述市场模型在可接受策略下没有套利（定义1）。证明：考虑Zt：=exp-Rtuu-俄罗斯√VudWu-Rt（uu-ru）Vudu. 使用（A3）和Novikov条件（参见，例如[18]），我们得到Z={Zt}t≥0是一个P鞅。这意味着EP（ZT）=EP（Z）=1。现在定义一个度量值P，使得dP=ZTdP。（2.4）因此，P是一个与P等价的概率度量。根据Girsanov-Meyer定理（例如，见定理III.39【19】），W={▄Wt}t≥0是▄P-鞅，其中▄Wt：=Wt+ut-rt公司√及物动词。