制度转换随机波动率模型中的期权定价

因此，T=Stutdt+pVtdWt= St公司utdt+pVt（dWt-ut- rt公司√Vtdt）= St公司rtdt+pVtdWt.再次因为RTI是{Bt}t的漂移≥0过程中，根据上述等式，我们得出结论，贴现股票价格过程*= {S*t} t型≥0，由S给出*t： =StBt，是▄P下的局部鞅。Fur thermore，来自（A1），S*是平方可积的，因此是▄P-鞅。或者换句话说，P是n等价鞅测度。因此，定理的断言遵循定理VII。2c。第2页，共【21】页。2.4最小鞅测度由于股票价格依赖于非交易的附加半马尔可夫过程，市场模型是不完备的。这意味着不存在唯一的风险中性措施，因此终端支付也没有任意价格。这里，我们证明了（2.4）中构造的▄P是最小鞅测度（MMM）。或者换句话说，我们希望证明P下的每个鞅^M是正交的toR·√VsSsdWs，S的鞅部分（如2.2所示）也是▄P下的鞅。现在s ince V和s是正的，上述正交多项式表示^M与W正交。然而，密度过程Z，如定理1中的证明，解方程zt=1-ZtZuuu- 俄罗斯√VudWu。因此是一个积分w。r、 t.W，过程Z具有^M，即h^M，Zi=0的ze-ro二次协方差。另一方面，一般的Girsanov-Meyer定理断言，如果Z是密度过程s，那么|M：=^M-Z·Z-1德赫姆，Ziu。（2.5）是一种低于▄P的马丁酒。正如h^M，Zi=0，从（2.5），^M=^M。因此，正如所声称的，^M本身是^P下的鞅。因此，根据局部风险最小化定价的概念（见[20]），我们得出以下结论。定理2设H：Ohm → R是一个可测的平方可积函数。

当地风险最小化公平价格Ctat时间t≤ 终端付薪函数的T与终端时间T由ct=~E[E]给出-RTtr（Xu）duH | Ft]，其中▄E是上述MMM▄P的预期值。本文的目标是在St的给定函数时，找到CTA的表达式，即St、Vt、Xt、YT的决定函数。我们在一定条件下，使用F¨ollmer-Schweizer分解方法，在模型参数和支付效果上实现了这一点。3价格方程考虑D={（t，s，v，i，y）∈ （0，T）×（0，∞) ×(0, ∞) ×X×（0，T）| y<T}。根据（2.2）并使用命题1（ii），我们推导出马尔可夫过程（S，V，X，Y）={（St，Vt，Xt，Yt）}t的有限生成元≥0asL^1（s、v、i、y）=u（i）ss+κ（i）（θ（i）- 五）v+vss+σ（i）vv+ρσ（i）vssv^1（s、v、i、y）+yИ（s，v，i，y）+Xj6=iλij（y）^1（s、v、j、0）- ^1（s、v、i、y）其中，Д是D上具有紧凑支持的任何平滑函数。我们考虑Lipschitz连续支付函数K：[0，∞) → [0, ∞) 使| K（s）- cs |≤ c对于一些非负常数c、c。与看涨期权、看跌期权和奶油期权相关的支付函数a包含在上述类别中。我们陈述了一个Cauchyproblem：t+L+（r（i）- u（i））ss- ρσ（i）（u（i）- r（i））vД（t，s，v，i，y）=r（i）Д（t，s，v，i，y）（3.1）in D，终端条件Д（t，s，v，i，y）=K（s）。（3.2）需要注意的是，二阶偏导数w。r、 缺少t.y变量。特别是（3.1）是一个线性、非n-局部、退化抛物型偏微分方程组。非局部性是由于存在术语Д（t，s，v，j，0）。此外，终端数据仅仅是Lipschitz连续的，因此不需要对空间变量进行区分。

因此，经典解的存在性不是先验的。在这一节中，我们建立了（3.1）-（3.2）在一类具有最多线性增长的函数中的类ic-al解的存在性和唯一性。为此，我们考虑另一组SDE的强解sd^St=r（Xt）Stdt+p^Vt^StdWt，d^Vt=κ（Xt）（θt-^Vt）dt+σ（Xt）p^VtdWt，）（3.3），其中^θt：=θ（Xt）-ρσ（Xt）（u（Xt）-r（Xt））κ（Xt）和（X，Y），W，与以前一样。很容易看出，在（A1）下，σ（i）<s2κ（i）θ（i）-ρσ（i）（u（i）- r（i））κ（i）对于所有i，因此^V几乎肯定是正的，因为σ（i）<κ（i）（2ρ+√2） +，^S是平方可积的。与（2.2）相比，马尔可夫过程的最小生成元{（St，Vt，Xt，Yt）}t≥0由^L=L+（r（i）给出- u（i））ss- ρσ（i）（u（i）- r（i））其中，L是马尔可夫过程{（St，Vt，Xt，Yt）}t的最小发生器≥因此，鉴于命题1（ii），（3.1）可以改写为t+^LД=r（i）Д。（3.4）此表格特别有助于编写柯西问题的温和解决方案。我们做出以下假设。（A4）设α：（0，∞)×X个→ [0, ∞) 使（s′，v′）7→ α（s′，v′；u，s，v，i）是给定的随机变量（^Su，^Vu）的条件概率密度函数（^s，^v）=（s，v）和Xt′=i，对于所有t′∈ [0，u]。（i） 然后是α∈ C2,2,1,2,2（（0，∞)×X）。用α和αssr分别表示αw.r.t.s的一阶和二阶偏导数。类似地，αu、αv、αvv、αsv表示其他t阶和二阶偏导数。定义Mα（u，s，v，i）：=RRR+s′α（s′，v′；u，s，v，i）ds′dv′。

类似地定义Mαu、Mαs、Mαss、Mαv、Mαvv和Mαsv。（ii）假设上述所有七张地图均为定值地图。（iii）当其他变量保持不变时，Mαu（·，s，v，i）是连续的。（iv）下列映射Mα（·，·，·，i）、Mαs（u，·，v，i）、Mαss（u，·，v，i）、Mαv（u，s，·，i）、Mαvv（u，s，·，i）和Mαsv（u，·，·，i）在u中均匀连续∈ [0，T）当其他变量保持为x e d时。备注3我们注意到，对于一些特殊的模型参数组合，上述假设可以很容易验证。例如，在极端情况下，如果r（i）=r，一个正常数，并且对于所有i，θ（i）=^V>0和σ（i）=0，则^V是一个常数过程，而^S是一个几何布朗运动。因此，（S′，V′）7→ α（s′，v′；u，s，v，i）成为对数正态密度族，其均值和方差为（u，s，v）上的连续函数。此外，α的所有偏导数都可以表示为α与s′上的次线性函数的乘积。因此（A4）（i-iv）保持不变。尽管（A4）似乎对一些非平凡模型也是可取的，但对任意组合的参数进行验证可能并不那么容易。文献中似乎缺少对αsimilarto（A4）性质的全面研究。然而，C∞αw.r.t.s’变量的规律性出现在[7]中。定理3考虑柯西问题（3.1）-（3.2），并假设（A1）、（A2）（i）-（iii）和（A4）。然后（i）Cauchy问题有一个唯一的经典解，其最大线性增长，（ii）非负，（iii）函数^1s、 解w.r.t.s变量的偏导数有界，（iv）supi′，y′supD（Д（t，s，v，i，y）- ν（t，s，v，i′，y′）是有限的。证明：（i）自^S：={St}t≥0具有有限的期望值（由于（A1）），K具有最多的线性增长，K（^ST）具有有限的经验。

因此，温和溶液Д至（3.4）和（3.2）可写为Д（t，s，v，i，y）：=E[E-RTtr（Xu）duK（^ST）| ST=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=y]。（3.5）从（3.3）我们立刻知道{e-Rtr（Xu）du^St}t≥0是一个{Ft}t≥0马丁格尔。因此，E[E-RTtr（Xu）du^ST | ST，^Vt，Xt，Yt]=^ST。现在使用上述关系式（3.5），以及K上的条件，我们得到|Д（t，s，v，i，y）- cs |=Ehe公司-RTtr（Xu）duK（^ST）| ST=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=yi-cEhe公司-RTtr（Xu）du^ST | ST=s，^Vt=v，Xt=x，Yt=yi≤ Ehe公司-RTtr（Xu）du | K（^ST）- c^ST | |ST=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=yi≤ c、 （3.6）因此，如（3.5）中所述，Д是一个可测量的函数，具有t最线性的增长。接下来，将显示上述函数满足积分方程（IE）。为了推导IES，我们需要引入一些符号。首先，我们回顾第2.2小节，n（t）=max{n≥ 0 | Tn≤ t} 。因此{ω| Tn（t）+1（ω）>t}表示在[t，t]期间没有跃迁的事件，这等于{τn（t）+1>Yt+（t-t） }因为yt表示当前状态下X的年龄。通过用τn（t）+1进行调节，我们将mild解（3.5）写成Д（t，s，v，i，y）=EhEhe-RTtr（Xu）duK（^ST）| ST，^Vt，Xt，Yt，τn（t）+1i | ST=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=yi。（3.7）仅考虑▄S，▄V满足（3.3），但每个地方的XT都被i取代，t的无风险资产价格为er（i）t。定义，Hest（t，S，V，i）：=E-r（i）（T）-t） K（▄ST）▄ST=s，▄Vt=v]。因此，过程ss，V满足经典Heston模型，而Hes t（t，s，V，i）是Heston模型下K（ST）的价格。

使用函数Hest，我们可以将（3.7）重写如下：Д（t，s，v，i，y）=P[τn（t）+1>Yt+（t- t） | St=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=y]Hest（t，s，v，i）+ZT-tf（y+u | i）1- F（y | i）Ehe-RTtr（Xu）duK（^ST）| ST=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=y，τn（t）+1=y+uidu。通过在时间t+u处使用随机变量进行进一步调节，可以再次将上述内容改写为Д（t，s，v，i，y）=1- F（y+T- t | i）1- F（y | i）Hest（t，s，v，i）+ZT-te公司-r（i）uf（y+u | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+u）×ZR+Д（t+u，s′，v′，j，0）α（s′，v′；u，s，v，i）ds′dv′du（3.8），其中α如（A4）所示。因此，我们证明了温和解（3.5）满足Volterra积分方程（3.8）。接下来，我们将调查（3.8）以确定（3.5）的有效性。设U：={Д：D→ R连续| k|kU：=supD | |（t，s，v，i，y）| 1+s<∞} 是s变量最线性增长时D上函数的线性空间，k·kUas为范数。众所周知，（U，k·kU）是一个Banach空间。注意，（3.8）可以被视为U上收缩的定点问题。为了证明这一点，我们遵循了[11]中引理3.1的方法，我们对其完整性进行了部分推导。如果我们将（3.8）改写为Д=AД，那么对于Д，则∈ UkA^1- A^1k≤ supD | ZT-te公司-r（i）uf（y+u | i）1- F（y | i）k|- νka（u，s，v，i）1+sdu |（3.9），其中（u，s，v，i）：=ZR+（1+s′）α（s′，v′；u，s，v，i）ds′dv′=1+Eh^Su |（s，v）=（s，v），Xt=i，0≤ t型≤ 用户界面。从（3.3）我们得到了^Su=^Sexp祖r（Xt）-^Vtdt+Zuq^VtdWt=^SexpZur（Xt）dtEZuq^VtdWt其中，最后一个乘法项是r·p^VtdWt的Dol\'eans-Dade指数。因此，^的条件期望表明X在区间[0，u]a和（^S，^V）=（S，V）中是常数，等于r（i）uEEZuq^VtdWt|（^S，^V）=（S，V），Xt=i，0≤ t型≤ u= ser（i）u。因此，我们可以重写（3.9）askA^1- A^1k≤ Qk^1- ^1k，其中Q：=supD | ZT-te公司-r（i）uf（y+u | i）1- F（y | i）1+ser（i）u1+sdu |<supD | ZT-tf（y+u | i）1- F（y | i）du |。

（3.10）根据命题1（iii），我们得到F（y | i）=1- e-Ry∧i（u）du。从A2（i），∧i（·）在[0]上连续，∞). 因此，它在每个有限区间上都有界。因此e-y∧i（u）du>0表示所有y>0。或者，换句话说，F（y | i）<1表示所有y>0。因此，0≤ F（y+T- t | i）- F（y | i）<1- F（y | i）。因此| ZT-tf（y+u | i）1- F（y | i）du |=| F（y+T- t | i）- F（y | i）1- F（y | i）|<1。因此，（3.10）的右侧小于或等于1。这证明了Q严格小于1，即A是一个牵引算子o n U。因此，直接应用Banach不动点定理可以确保（3.8）存在唯一的连续解，且线性增长最多。由于（3.5）是一个可测函数，具有最线性的增长和满意度（3.8），如果（3.5）在收缩下的图像是连续的，则可以获得（3.5）的连续性。在这种情况下（3.5）是U中（3.8）的唯一解决方案。（3.8）右侧有两个附加项。我们通过只考虑（3.8）右侧的第二项来讨论正则性的改善，因为第一项具有所需的正则性。事实上，从（A2）（i）和命题1（iii）来看，F（·| i）是一个C函数，并且Hest可以写成Hest（t，s，v，i）=RR+K（s′）α（s′，v′；t-t、 s，v，i）ds′dv′。由于K最多呈线性增长，因此Hest的C1、2、2调节性直接遵循假设（A4）（i-iv）。注意，第二项的被积函数具有有界且连续的偏导数w.r.t.y变量，其积分在有限区间上[0，t- t] 。因此，第二项在y变量中是连续可微的。我们援引假设（A4）来确定所有其他变量的连续性和差异性。从（A2）（i）、命题1（iii-v）和假设（A4）（i）中，我们可以看出，第二项中的被积函数是ν、未知和u变量C函数乘积的有限和。

没有te，即Д，取决于t变量作为t+u的函数。因此，这个未知w的部分差异。r、 t.t和W一样。r、 t.u.最后，通过使用分部积分，至多是线性增长，以及对Mα和Mαu的假设（A4），可以将该偏导数转移到光滑系数和积分上。r、 t.（s′，v′）获得连续函数。虽然第二项积分的上限也涉及t变量，但被积函数是连续的。因此，积分极限中的t-依赖性在证明正则性w.r.t.t变量方面没有额外的困难。因此，第二项在t中是连续可微的。第二项的连续一阶和二阶偏导数w.r.t.s变量的存在遵循s′中的最大线性g增长和（A4）（iv）Mα和Mαss的假设。类似地，（A4）（iv）中关于Mαv、Mαvv和Mαsv的假设暗示了连续偏导数的存在vvand公司s第二学期的vof。从而建立了温和溶液的连续性。或者在其他ter ms中，（3.5）确实是美国（3.8）的唯一解决方案。此外，（3.5）还具有C1、2、2、1调节性。因此，温和溶液是经典溶液。因此（i）成立。（ii）非负性源自（3.5）中表示的K的非负性。（iii）注意，在线性偏微分方程（3.1）中，所有系数都是光滑的，与s无关的部分导数的系数独立于s。特别是^1vand公司^1变量独立于s。因此函数^1salso满足线性抛物线偏微分方程。此外，终端条件（3.2）是s变量中的Lipschitz连续函数。这意味着^1sis有界。因此，由此产生的Cauchy问题^1将有一个有界解。或者换句话说，^1sis有界。

因此（iii）成立。（iv）从（3.6）我们得到supi′，y′supD |Д（t，s，v，i，y）- ^1（t，s，v，i′，y′）|=supi′，y′supD |Д（t，s，v，i，y）- cs+cs- ^1（t，s，v，i′，y′）|≤ supi′，y′supD |Д（t，s，v，i，y）- cs |+supi′，y′supD |Д（t，s，v，i′，y′）- cs公司|≤ 2这是有限的。备注4方程（3.1）-（3.2）的解没有封闭式表达式。因此，我们应该找到这方面的数值解。直接方法包括现场差异法。为s ame开发Crank-Nicolson型稳定隐式格式并不困难。然而，还有其他一些间接方法，我们将在下面讨论。在上述证明中，我们已经证明了温和解（3.5）是（3.8）的唯一连续解，并且它具有所需的光滑度，可以成为（3.1）-（3.2）的经典解。因此，（3.1）-（3.2）和（3.8）是等效的。因此，通过采用求积方法进行数值求解，可以获得（3.8）的数值解。还有另一种间接数值方法，涉及（3.5）的直接计算。设‘α：（0，∞)×X个→ [0, ∞) 使（s′，v′）7→ α（s′，v′，u，s，v，i，y，t）是随机变量（^Su，^Vu）的条件概率密度函数，如（3.3）所定义（^St=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=y），约0≤ t<u。然后按照定理3证明中的方法，可以证明‘α’满足积分方程：’α（s′，v′，u，s，v，i，y，t）=1- F（y+u- t | i）1- F（y | i）α（s′，v′，u- t、 s、v、i）+Zu-tZR+Xj6=i'α（s′，v′，u，'s，'v，j，0，t+'u）α（'s，'v，'u，s，v，i）pij（y+'u）f（y+'u'i）1- F（y | i）d'sd'vd'uα如（A4）所示。当α已知时，上述方程可用于计算条件密度函数α。如果r是常数，则可直接使用‘α来确定条件期望（3.5）。

这就产生了另一种计算柯西问题（3.1）-（3.2）解的数值方法。4 F¨ollmer-Schweizer分解的推导在本节中，我们发现贴现终端支付（ST）的F¨ollmer-Schweizer分解，其中S和B如第2.1小节所示。或者换句话说，我们会证明存在一个{Ft}自适应过程ξ={ξt}t≥0使BTK（ST）=H+ZTξtdS*t+LT，其中他的F-可测和L：={LT:=E（LT | Ft）}是M的均方可积鞅和正交鞅：={Mt}t≥0，S的鞅部分，由mt给出：=ZtSupVudWu。（4.1）众所周知（见【20】），被积函数ξ构成未定权益K（ST）的最佳对冲，且H给出了索赔时间零点的局部风险最小化价格。因此，定价和对冲问题归结为找到ξ和H的适当选择。通常，欧式路径无关期权的这些量的精确表达式涉及相关Black-Scholes-Merton型方程的解及其偏导数。当然，方程式的确切形式取决于资产价格动态。在这一节中，我们证明了上一节得到的经典解确实是局部风险最小化期权价格。我们作出以下假设。（A5）如果Д表示（3.1）-（3.2）的唯一经典解，则^1v（t、St、Vt、Xt-, 年初至今-)dt<∞.备注5注意，上述条件断言了权利要求K（ST）的期权的希腊织女星的平方可积性。在经典的B-S模型下，看涨期权和看跌期权的Vega是平方可积的。定理4假设ν是柯西问题（3.1）-（3.2）的唯一经典解，最多为线性增长。设（ξ，ε）由ξt给出：=^1s+ρσ（Xt）St^1v（t、St、Vt、Xt-, 年初至今-) εt：=e-Rtr（Xu）du（Д（t，St，Vt，Xt-, 年初至今-)-ξtSt）。