制度转换随机波动率模型中的期权定价

然后在（A1）、（A2）、（A3）、（A4）和（A5）（i）下，ERTξtdhSit<∞,（ii）E（εt）<∞ 对于所有t≥ 0，（iii）LT：=BTK（ST）- ^1（0、S、V、X、Y）-RTξtdS*t到L（P），（iv）L：={Lt=E（Lt | Ft）}与M正交，如（4.1）所示。（v） （ξ，ε）是最优的套期保值策略，（vi）Д（0，s，v，i，y）是具有终值payo ffk（ST）的欧式期权在时间零点的局部ris k最小化价格，当s=s，v=v，X=i，y=y。证明：（i）为了便于记法，我们将ptto表示（t，ST，Vt，Xt-, 年初至今-) p=（0，S，V，X，Y）。注意ZTξtdhSit=ZT^1s+ρσ（Xt）St^1v（pt）dhSit≤ 2ZT^1s（pt）StVtdt+2ρZTσ（Xt）Vt^1v（pt）dt。使用S的平方可积性（这源自（A1））和^1s（见orem 3（iii）），我们得出结论，第一个积分具有有限的预测。第二个积分预期的不确定性也是由于假设（A5）。（ii）我们注意到εt≤ |^1（t、St、Vt、Xt-, 年初至今-) - ξtSt |。至多使用ν的线性增长（见定理3（i）），以及S的平方可积性，期望得到ν的平方（t，St，Vt，Xt-, 年初至今-) 是有限的。再次（A3）确保在zer o附近存在RTVSD的矩母函数。因此，ERTVSD是有限的。因此，这和（i）一起意味着E[（ξtSt）]也是有限的。因此（ii）成立。（iii）这直接源于（i），即BTis以零为界，K最多具有线性生长。（iv）我们用马尔可夫过程{（St，Vt，Xt，Yt）}t的最小生成元L重写方程（3.1）≥0按以下方式t+L- r（一）^1=（u（i）- r（i））s^1s+ρσ（i）（u（i）- r（i））^1v

（4.2）如果Д经典地解（3.1）-（3.2），使用它的o公式，我们从方程（2.2）-（2.3）dBt^1（t、St、Vt、Xt、Yt）= -r（Xt-)BtД（pt）dt+Btt+L^1（pt）dt+BthStpVt^1s（pt）dWt+σ（Xt）pVt^1v（pt）dWt+ZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z） ，则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z） ））- ^1（pt）~（dt，dz）i，（4.3）式中▄（dt，dz）是由▄给出的补偿泊松-随机m测度（dt，dz）：=（dt，dz）- dtdz。（4.3）两侧从0到T w.r.T.T的积分和终端条件的使用yieldK（ST）BT=Д（p）+ZTBtt+L- r（Xt）^1（pt）dt+ZTS*tpVt^1s（pt）dWt+ZTσ（Xt）√VtBt^1v（pt）dWt+ZTBtZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z） ，则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z） ））- ^1（pt）~（dt，dz）（4.4），其中S*t： =StBt。由于Д求解（4.2），因此（4.4）右侧的第一个积分可以重写为获得k（ST）BT=Д（p）+ZTu（Xt）- r（Xt）S*t型^1s（pt）dt+ρZTσ（Xt）Btu（Xt）- r（Xt）^1v（pt）dt+ZTS*tpVt^1s（pt）dWt+ZTσ（Xt）√VtBt^1v（pt）dWt+ZTBtZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z） ，则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z） ））- ^1（pt）~（dt，dz）。通过使用dS*t=S*t型（u（Xt）-r（Xt））dt+√VtdWt公司结合上述等式右侧的第二个和第四个加法项，我们得到k（ST）BT=Д（p）+ZT^1s（pt）dS*t+ρZTσ（Xt）St^1v（pt）（dS*t型- S*tpVtdWt）+ZTσ（Xt）√VtBt^1v（pt）dWt+ZTBtZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z） ，则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z） ））- ^1（pt）~（dt，dz）。（4.5）现在，我们将（4.5）右侧的术语范围缩小到getK（ST）BT=Д（p）+ZTξtdS*t+ZTσ（Xt）√VtBt^1v（pt）载重吨- ρdWt+ZTBtZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z） ，则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z） ））- ^1（pt）~（dt，dz）。（4.6）因此，（iii）-（iv）中的L等于z·σ（Xt）√VtBt^1v（pt）载重吨-ρdWt+Z·BtZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z） ，则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z） ））-^1（pt）~（dt，dz）。因为对于任何t>0，Wt- ρWt与Wt正交，使用（A5）的第一项是与M等正交的Lmartingale。As▄ 独立于Wt，使用定理3（iv），第二项I是有界可预测过程w.r.t的积分。

补偿随机测度▄ 也是与M正交的可重新整合的鳞片。因此（iv）如下。（v） 为了证明（v），我们证明（ξ，ε）ful满足定义1中给出的所有三个条件。前面已经显示了前两个平方可积条件。使用ε的定义，定义条件转换为检查是否存在常数a，使得P（ν（pt）≥ -一 t） =1。使用定理3（ii）断言φ是非负的。因此，上述条件在a=0时成立。（vi）这是根据上述F¨olmer-Schweizer分解（4.6）得出的。5结论本文研究了当标的股票价格服从半马尔可夫调制的赫斯顿模型时，欧式看涨期权的期权定价问题。该模型改进了文献中现有的半马尔可夫调制模型，例如[11]，因为股票波动率是一个有限状态纯跳跃过程。应该注意的是，本文中的推导不同于标准方法，例如，[24]。这里，我们从一个柯西问题开始，我们证明它具有一个经典解。然后，我们利用解的一阶偏导数构造对冲策略，以获得与欧元期权相关的未定权益的F¨ollmer-Schweizer分解。从de组合中，我们得出结论，解决该问题的方法确实是将相应欧洲期权的本地风险最小化。这种方法避免了对期权价格函数期望可微性的先验默认，该函数是使用关于等价最小鞅测度的条件经验来表示的。

我们还得到了期权价格的积分方程。据我们所知，这是关于随机波动模型参数根据半马尔可夫过程变化的模型的首次工作。我们希望这项工作将在未来开辟新的领域。致谢：我们感谢Anup Biswas进行了一些有益的讨论。我们还感谢匿名裁判和副主编提出了一些非常有意义的建议。参考文献[1]Andersen，Leif B.G.和Piterbarg，Vladimir V.，随机波动率模型中的矩爆炸，Finance Stoch，11（2007），29-50。[2] Antoliy Swishchuk、Maksym Tertychyni和Robert Elliott，利用Markovmodulated L’evy dynamics为货币衍生品定价。链接地址：https://arxiv.org/pdf/140 2.1953。pdf【3】Assonken Patrick和Ladde Ga ngaram，《a'evy型随机动态和半马尔可夫切换机制过程下期权价格的模拟和校准》，应用经济学和金融，4,1（2017），93-126。[4] Basak G.K.、Ghosh Mrinal K.和Goswami A.，《马尔可夫调制市场中一类exoticoptions的风险最小化期权定价》，Stoch。安。应用程序。29:2(2011), 259-281.[5] Bulla Jan和Bulla Ingo，《金融时间序列和隐半马尔可夫模型的程式化事实》，计算统计和数据分析，51（2006），2192-2209。[6] Chang Jin Kim和Charles R.Nelson，《商业周期转折点，一种新的重合指数，以及基于政权转换的动态因素模型的持续时间依赖性检验》，《经济学和统计学评论》，80:2（1998），188-201。[7] del Bano Rollin Sebastian，Ferreiro-C astilla Albert，Utzet Frederic，《关于赫斯顿波动模式l中的对数点密度，随机过程及其应用》，12 0（2010），2037-2063。[8] DiMasi G.B.、Kabanov Y.和Runggaldier W。

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