扩展Nelson-Siegel曲线族与Ho-Lee和

必须注意的是，流形Gλ并不包含每条Nelson和Siegel曲线，只包含指数项等于t o e的曲线-λτ, τ ≥ 如果考虑一个参数集为Z=Rsuch thatG（τ；β）=βτ+β+βe的更宽流形G-βτ+βτe-βτ, τ ≥ 0，则漂移一致性条件不满足，因为它要求β=λ。赫尔和怀特模型赫尔和怀特[7]提出的短期利率模型（以下简称HW）或扩展的瓦西塞克模型具有以下随机微分方程：（3.1）dr（t）=（θ（t）- ar（t））dt+σdW（t），其中a，σ是正实数，θ是det-erm-inistic函数。θ的选择方式应确保初始正向曲线f（0，·）与观测数据在t=0时吻合。Letf公司*（0，·）是在t=0时观察到的特定正向曲线。

那么θ定义为：（3.2）θ（t）=f*T（0，T）+af*（0，t）+σ2a（1- e-2at）NELSON-SIEGEL扩展曲线的一致性9赫尔和怀特短期利率模型也属于非线性模型，在这种情况下，方程（2.2）中的函数A和B由【4】给出：B（t，t）=A（1- e-a（T-t） ）（3.3）A（t，t）=ZTtσB（s，T）- θ（s）B（s，T）ds（3.4）相应的远期利率曲线如下所示：f（t，t）=-A（t，t）T型+B（t，t）r（t）T=-TZTt公司σB（s，T）- θ（s）B（s，T）ds公司+ r（t）e-a（T-t） （3.5）现在，莱布尼茨·鲁尔（Leibniz rul e）表示：TZTtσB（s，T）ds=σB（T，T）+ZTtσB（s，T）Tds=σZTtB（s，T）B（s，T）Tds=σZTt（1- e-a（T-s） ）ae-a（T-s） ds=-σB（t，t）=-σ2a（1- e-a（T-t） ）（3.6）TZTtθ（s）B（s，T）= θ（T）B（T，T）+ZTtθ（s）B（s，T）Tds=ZTtθ（s）e-a（T-s） ds。我们现在假设初始正向曲线符合Nelson和Siegel参数曲线f*（0，T）=z+z-λT+zT e-λT，T≥ 0然后，（3.1）的解和函数nθ由以下表达式给出：r（t）=r（0）e-at+中兴通讯-a（t-u） θ（u）du+σZte-a（t-u） dW（u）=r（0）e-at+α（t）- α（0）e-at+σ中兴通讯-a（t-u） dW（u）θ（t）=az+（z- zλ+az）e-λt+（az- zλ）te-λt+σ2a（1- e-2at），其中α（t）=f*（0，t）+σ2a（1- e-位于）。10 PATRICIA Kisbeye和KAREM MEIERNow w e可以明确地计算出yzttθ（s）e-a（T-s） ds=α（T）- α（t）e-a（T-t） =f*（0，T）+σ2a（1- e-aT）- α（t）e-a（T-t） （3.7）将远期利率曲线公式（3.5）中的表达式（3.6）和（3.7）替换为：f（t，t）=-σ2a（1-e-a（T-t） ）+f*（0，T）+σ2a（1-e-aT）-α（t）e-a（T-t） +r（t）e-a（T-t） 通过上述计算，我们得出了下一个定理。定理3.1。设r表示动态状态为DIN（3.1）的船体和白色短速率模型。

然后，如果初始正向利率曲线是Nelson和Siegel参数曲线asin（2.7），则时间t对应的正向利率曲线由公式f（t，t）=-σ2a（1-e-a（T-t） ）+f*（0，T）+σ2a（1-e-aT）-α（t）e-a（T-t） +r（t）e-a（T-t） 。设τ=T- t到期时间。使用支撑和Mus iela参数化，我们可以得到fHW（t，τ）=f（t，t+τ）给出的正向电流。那么远期利率曲线Fhwha是表达式（3.8）fHW（t，τ）=C1（t）e-aτ+C2（t）e-2aτ+C3（t）+C4（t）e-λτ+C5（t）τe-λτ式中，C、C、C、C和C系数取决于t、r（t）和Nelson-andSiegel曲线p参数：C（t）=σa（1- e-at）- α（t）+r（t），C（t）=σ2a（e-2at- 1） ，C（t）=z，C（t）=ze-λt+中兴通讯-λt，C（t）=ze-λt.函数τ7的表达式→ 公式（3.8）中给出的fHW（t，τ）是一个指数函数加上Nelson和Siegel参数曲线的和。定义3.2。设λ>0，g：[0，∞) 7.→ R是定义为asg（τ）=ce的函数-aτ+ce-2aτ+zτ+z+ze-λτ+ze-λτ，带c，c，z，zand，zconstant实数。我们称g为指数扩展的Nelson-Siegel曲线。特别是，在下一小节中，我们研究了Hull和Whitemodel与一系列由指数扩展的Nelson-Siegel曲线生成的前向曲线流形Gλ的一致性。NELSON-SIEGEL扩展曲线的一致性113.1。Hull和White模型与前向曲线流形之间的一致性。根据Ito积分公式Bydf（t，t）=σae给出了前向曲线过程的动力学-a（T-t） （1）- e-a（T-t） ）dt+σe-a（T-t） dW（t），0≤ t<t<∞, 在Musiela参数化中τ=T- t、 （3.9）dfHW（t，τ）=τfHW（t，τ）+σae-aτ（1- e-aτ）dt+σe-aτdW（t）τ≥ 0，t≥ 由于波动率项是一个确定性函数，Stratonovich和Ito积分公式是相同的。我们陈述下一个定理：定理3.3。

设Z=每个λ>0的随机数设Gλ：Z 7→ C（0，∞) 定义为（3.10）Gλ（τ；β）=βe-aτ+βe-2aτ+β+βe-λτ+βτe-λτ.设fHW（t，·）为标准微分方程（3.9）给出的hull和White远期利率过程。然后，前向曲线manif old Gλ是fHW不变的。证据我们注意到，Frechet导数Gλβ和Gλτ由以下公式给出：Gλβ（τ；β）=[e-aτ，e-2aτ，1，e-λτ，τe-λτ]Gλτ（τ；β）=β(-a） e类-aτ+β(-2a）e-2aτ+(-βλ+β）e-λτ- βλτe-λτ.因此，首先我们证明Gλτ（·，β）+σae-a（·）（1）- e-a（·））∈ Im[Gλβ（·，β）]。所以我们寻找实数A，B，C，D和E，这样β(-a） e类-aτ+β(-2a）e-2aτ+(-βλ+β）e-λτ- βλτe-λτ+σae-aτ（1- e-aτ）=Ae-aτ+Be-2aτ+C+De-λτ+EτE-λτ.这是真的setti ngA=-aβ+σa，B=-2aβ-σa，C=0，D=-βλ+β，E=-βλ.我们接下来证明σe-a（·）∈ Im[Gβ（·，β）]，或者等效地，我们寻找σe这样的实数-aτ=Ae-aτ+Be-2aτ+C+De-λτ+EτE-λτ.设定A=σ，B=C=D=E=0，则一致性如下。作为结论，我们有以下推论：推论3.4。对于每个λ>0，Hull和White s短期速率模型与（3.10）中给出的正向曲线流形Gλ一致。12 PATRICIA Kisbeye和KAREM MEIERRemark 3.5。与HL模型的情况一样，我们看到，如果初始正向曲线是Nelson-Siegel曲线，则以下正向曲线是指数扩展的Nelson-Siegel曲线，属于特定的流形Gλ。必须注意，即使前向曲线过程在更宽的流形H上移动，参数集Z=R，H（τ；β）=βe-aτ+βe-2aτ+β+βe-βτ+βτe-βτ, τ ≥ 0，则此局部流形与HW模型不一致。参数β必须等于（1.1）中的参数λ，以获得漂移一致性条件（1.12）。结论在前面的章节中，我们提出了两组参数曲线，分别与Ho-Lee和Hull和White短期利率模型一致。

这些族包含Nelson和Siegel经典曲线的扩展曲线，即每个元素可以写成Nelson和Siegel曲线加上τ中的线性函数或τ中的指数函数之和。我们证明了这些短速率模型都与一系列前向曲线流形Gλ相一致。此外，对于每个λ，Gλ是由四个因子驱动的一组正向曲线。其中三个是theNelson和Siegel因子1，e-λτ和τe-λτ. 在HL模型中，第四个因素是τ乘以σ（短期利率波动率）的线性函数。在HW模型中，它是一个指数衰减函数ce-aτ+ce-2aτ，其中a是模型参数。在某些情况下，形状参数λ沿正向速率过程保持不变。Ho Lee、Hull和White短期利率模型属于无套利模型。这意味着初始远期利率曲线可以拟合到任何观察到的曲线。在具有固定利率结构的均衡模型中，如Vasicek和Cir，不可能将初始曲线选择为Nelson-Siegel曲线，这是因为漂移项具有常数参数。尽管如此，我们的推测和进一步的研究工作是，有可能确定一种代数方法，以找到最接近模型远期利率曲线的Nelson-Siegel远期曲线的参数。参考文献【1】J.Annaert、A.G.P.Claes、de Ceuster和H.M.J.K.，Zhang。使用theNelson-Siegel模型估计收益率曲线：岭回归方法h.《国际经济与金融评论》（27）：4 82–4962013。[2] T.比约克和B.克里斯滕森。利率动态和一致的远期利率曲线。MathematicalFinance，9（4）：323–3481999。[3] A.Brace和M.Musiela。

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