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英文标题：
《Consistency of extended Nelson-Siegel curve families with the Ho-Lee and
  Hull and White short rate models》
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作者：
Patricia Kisbye and Karem Meier
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Nelson and Siegel curves are widely used to fit the observed term structure of interest rates in a particular date. By the other hand, several interest rate models have been developed such their initial forward rate curve can be adjusted to any observed data, as the Ho-Lee and the Hull and White one factor models. In this work we study the evolution of the forward curve process for each of this models assuming that the initial curve is of Nelson-Siegel type. We conclude that the forward curve process produces curves belonging to a parametric family of curves that can be seen as extended Nelson and Siegel curves.
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中文摘要：
Nelson和Siegel曲线被广泛用于拟合特定日期观察到的利率期限结构。另一方面，已经开发了几种利率模型，如Ho-Lee和Hull-White单因素模型，其初始远期利率曲线可以根据任何观察数据进行调整。在这项工作中，假设初始曲线为Nelson-Siegel类型，我们研究了每个模型的正向曲线过程的演变。我们得出结论，正向曲线过程产生的曲线属于一个参数曲线族，可以看作是扩展的Nelson和Siegel曲线。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Consistency_of_extended_Nelson-Siegel_curve_families_with_the_Ho-Lee_and_Hull_an.pdf (126.96 KB)

2022-6-1 02:41:45 上传

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关键词：Siegel Ho-Lee Nelson Siege ELS

扩展NELSON-SIEGEL曲线族与Ho-LEE和HULL以及WHITE短期利率模型Spatricia Kisbeye和KAREM MEIERFaMAF的一致性。科尔多瓦国立大学。Nelson和Siegel Curves被广泛用于拟合特定日期中观察到的利率期限结构。另一方面，已经开发了几种利率模型，如Ho-Lee和Hull and White单因素模型，它们的初始远期利率曲线可以根据任何观察数据进行调整。在这项工作中，假设初始曲线为Nelson-Siegel型，我们研究了每个模型的前进曲线过程的演变。我们得出结论，正演曲线过程产生的曲线属于参数曲线族，可以被视为扩展的Nelson和Siegelcurves。关键词：Nelson-Siegel曲线、短期利率模型、一致性。1、简介处理具体利率模型的标准程序是用市场观察数据校准初始远期曲线。Ho和Lee以及Hull和White模型就是这样，通过调整模型p参数，可以完美拟合每条曲线。另一方面，一些参数曲线被广泛用于拟合每日数据，如N el-son-Siegel曲线[8]（1.1）fNS（τ）=z+ze-λτ+zτe-λτ, τ ≥ 0，z、z、zandλ为指定参数。因此，这意味着可以选择Ho Lee和Hull White模型参数，使初始远期利率曲线与s Spec Nelson和Siegel曲线相匹配。在这项工作中，我们展示了在这种特殊情况下，以下远期利率曲线在由特定参数远期曲线生成的流形上移动，这些参数远期曲线可以写成Nelson和Siegelcurve的s u m和线性或指数函数，具体取决于短期利率模型。

ANelson-Siegel曲线可以分解为三个因素：1、e-λτ和τe-λτ. 恒常系数与长期利率水平相关。指数衰减是第二个部分由SeCyT UNC支持，co de编号30720105100227CB。致科尔德奥巴国立大学FaMAF Patricia Kisbeye的信函；电子邮件：patricia。北卡罗来纳州Kisbeye。埃杜。ar.部分由SeCyT UNC支持，公司代码30720105100227CB；和科尼塞特·格兰特。致科尔多瓦国立大学法马夫分校Karem Meier的信函；电子邮件：kam0107@famaf.unc.edu.ar.This论文为最终版本，不会在其他地方发布。2 PATRICIA Kisbeye和KAREM MEIERfactor，如果z>0，则坡度向上，如果z<0，则坡度向下。第三个因素根据z给出了驼峰或低谷。最后，λ被称为形状参数，它确定了第三个因素的临界点和驼峰/低谷的陡度。（见【1】）。我们证明了当从Nelson和Siegel曲线开始时，Ho-Lee模型和Hull-andWhite模型产生的远期利率曲线分解为四个因素。其中三个与Nelson和Siegel曲线相同，第四个是Ho-Lee模型中的线性函数（τ）或指数函数（ce-aτ+ce-2aτ），其中a是模型参数。这个结果扩展了Bjorkand Christensen（见[2]）论文结果s的一部分，他们证明了上述两个模型与严格的Nelson-Siegel流形不一致。在§3和§4节中，我们介绍了Ho-Lee和Hull-White模型，并推导了相应正向曲线的公式。

在每种情况下，我们选择Nelson和Siegelcurve作为初始正向曲线，然后证明es上的后续曲线是延伸的Nelson-Siegel曲线，从意义上讲，它们可以写成（1.1）加上线性函数或指数函数。特别地，我们还证明了这两个短速率模型中的每一个都与前向曲线流形Gλ一致，每个λ>0.1.1。符号和事实。在本节中，我们假设一个概率空间(Ohm, F、 Q）。LetW（t），t≥ 0是维纳过程，且{Ft}t≥0是W（t）生成的过滤。让(Ohm, F、 Q，{Ft}t≥0）过滤概率空间。如果α（t）对每个t都是Ft可测的，则称随机过程α为自适应过程≥ 具有漂移u和波动率σ的Ito过程是一个随机过程X（t），使得（1.2）X（t）=X（0）+Ztu（s，X（s））ds+Ztσ（s，X（s））dW（s），t≥ 0，其中u和σ是自适应过程，右侧的第二个积分是Itointegral，[9]。方程（1.2）通常用随机微分方程（1.3）dX（t）=u（t，X（t））dt+σ（t，X（t））dW（t）表示。我们还介绍了Ito与Stratonovich积分形式之间的关系。如果X是（1.3）中的Ito工艺，则其Stratonovich积分形式如下，（1.4）dX（t）=（u（t，X（t））+φ（t，X（t）））dt+σ（t，X（t））o dW（t），其中o 表示积分中的Stratonovich，anφ（t，X（t））是二次协方差项（见[9]）。如果σin（1.3）是确定性的，那么φ（t，X（t））=0。我们假设债券市场存在零耦合{P（t，t），0≤ t型≤ T}，其中p（T，T）表示债券在时间T时的价格。我们称这种键为T键。我们假设对于每个t，曲线t 7→ P（t，t）是可微的，在{P（t，t），t处有正值和th≥ 0}对每个T遵循Ito过程≥ 0

与该债券相关的扩展NELSON-SIEGEL曲线3的远期利率曲线阻力由f（t，t）=- ln P（t，t）T、 短期利率由r（T）=f（T，T）给出。我们假设一个无套利模型，并用Q表示相应的鞅测度。每个Ito过程都应在Q-measure中描述。在Heath，Jarrow y Morton（HJM）[5]框架中，我们假设远期利率曲线动力学由一系列随机微分方程给出，其在Q下的表达式由（1.5）df（t，t）=α（t，t）dt+σ（t，t）dW（t）和α和σ自适应过程给出。无套利市场的假设暗示了α上的HJM漂移条件。更精确地说，（1.6）α（t，t）=σ（t，t）ZTtσ′（t，s）ds，其中σ′中的上标表示向量过程中的转置。给定T键，我们表示τ=T- 债券到期前的时间。Braceand Musiela参数化[3]用t和τ描述了正演曲线过程，如下所示，（1.7）fr（t，τ）=f（t，t+τ），以及so r（t）=fr（t，0）。在这种参数化下，方程（1.5）可以写成（1.8）dfr（t，τ）=τfr（t，τ）+σ（t，τ）Zτσ′（t，s）dsdt+σ（t，τ）dW（t），其中σ（t，τ）=σ（t，t+τ）。特别是，远期利率过程（1.8）可以用Stratonovichintegral形式asdfr（t，τ）表示=τfr（t，τ）+σ（t，τ）Zτσ′（t，s）ds+φ（t，τ）dt+σ（t，τ）o dW（t），（1.9）1.2。一致性Bj"ork和Christensen在[2]中阐述了s短期利率模型和正向曲线模型之间的一致性。为了使这项工作更加独立，我们回顾了他们的一些定义和主要定理。设M是一个给定的单因素检验率模型，指定一个远期利率过程fr（t，·）。

就音乐参数化而言，FRS满足一个随机微分方程：（1.10）dfr（t，τ）=τfr（t，τ）+α（t，τ）dt+σ（t，τ）dW（t），4 PATRICIA Kisbeye和KAREM MEIERt≥ 0, τ ≥ 0，其中α和σ是适应过程。特别是，无套利Heath、Jarrow和Morton（HJM）漂移条件意味着α（t，x）=σ（t，x）Rxtσ（t，s）ds。此外，使用Stratonovich积分形式，（1.10）可以写成DFR（t，τ）=τfr（t，τ）+σ（t，x）Zτtσ（t，s）ds+φ（t，τ）dt+σ（t，τ）o dW（t）。（1.11）比约克（Bj"ork）和克里斯滕斯（Christens en）[2]阐述了短期模型和参数曲线族之间一致性的以下定义。首先，让Z Rdbe是一组参数，设G:Z 7→ C[0，∞) 是一个平滑函数。前向曲线手册G定义为G=Im（G）。也就是说，G={G（·；z）：[0，∞) 7.→ R} ，其中，有一些滥用符号G（·；z）表示函数G（z）。定义1.1。（不变性）。考虑给定的利率模型M，指定远期利率过程fr（t，·）和远期曲线流形G。我们认为t G在frif作用下不变，对于每个固定的初始时间s，条件fr（s，·）∈ G表示fr（t，·）∈ G、 对于所有t≥ s、 a.s.Bj"ork和Christensen还提出了一个更受限制的不变性概念，即frinvariance。定义1。2.（fr不变性）。考虑一个给定的利率模型M，如（1.11）所示，它规定了一个正向利率过程fr（t，·），以及一个正向曲线M anifold G。

我们说，如果存在一个随机过程Z和状态过程Z，并且具有形式为dZ（t）=γ（t，Z（t））dt+ψ（t，Z（t））的Stratonovich微分，则G在远期利率过程fr（t，·）的作用下是fr不变的o dW（t），因此，对于初始时间s的每个固定选择，无论何时y（s，·）∈ G、 由y（t，τ）=G（τ；Z（t））定义的随机过程，t型≥ s、 x个≥ 0，满足初始条件fr（s，·）=y（s，·）的SDE（1.11）。在这种情况下，我们说短期利率模型M和流形G是一致的。很容易证明fr不变性意味着不变性。此外，比约克和克里斯滕斯提出了以下定理。定理1.3。前向曲线流形G对于M中的前向速率过程fr（t，·）是fr不变的，当且仅当Gτ（·；z）+σ（t，·）z（·）σ′（t，s）ds+φ（t，·）∈ Im[Gz（·；z）]（1.12）σ（t，·）∈ Im[Gz（·；z）]（1.13）表示所有（t，z）∈ [0, ∞) ×Z。Gτ和gz表示G对τ和Z的Frechet导数，假设存在。NELSON-SIEGEL扩展曲线的一致性5定义1.4。利率模型M与一致的drif t和波动性条件（1.12）-（1.13）下的远期利率流形一致。HO-LEE短期利率模型HO和LEE[6]提出的短期利率模型（此后为HL）通过r过程（2.1）dr（t）=θ（t）dt+σdW（t）动态给定。在（2.1）中，{W（t），t≥ 0}是维纳过程，σ>0，θ是确定性函数。HL模型属于一系列的短期利率模型。也就是说，如果P（t，t）表示到期日为t的零息票债券在t时的价格，则利率的期限结构如下所示：（2.2）P（t，t）=eA（t，t）-r（t）B（t，t），对于某些函数A和B。特别是在Ho-Lee模型的情况下，A和Bare由以下公式给出：（2.3）B（t，t）=t- t（2.4）A（t，t）=ZTtθ（s）（s- T）ds+σ（T- t） （参见示例[4]）。

远期利率曲线通过以下公式与期限结构相关：（2.5）f（t，t）=- ln（P（t，t））T=-A（t，t）T型+B（t，t）r（t）T、 然后，在这种情况下，用（2.4）和（2.3）中的表达式替换A和B，我们得到：f（T，T）=T-ZTtθ（s）（s- T）ds-σ（T- t）+ r（t）T（T- t） =-θ（T）T-ZTtθ（s）ds- Tθ（T）-σ（T- t） +r（t）=ZTtθ（s）ds-σ（T- t） +r（t）。（2.6）特别是，它认为f（t，t）=r（t）。如果T 7→ f*（0，T）是观察到的初始正向曲线，θ定义为θ（T）=σT+f*T（0，T），然后f（0，T）=f*（0，T）。也就是说，可以调整模型参数，使初始正向曲线与观测到的曲线吻合。我们现在假设初始正向曲线的th由Nels-on和Siegel参数曲线给出。也就是说，我们定义：（2.7）f*（0，T）=z+z-λT+zT e-λT，T≥ 0,6 PATRICIA Kisbeye和KAREM MEIERwhere z，z，zandλ是固定实数，λ>0。我们想研究这个初始曲线在t变量中的演化。th是f的特殊选择*, θ的计算公式为：θ（t）=σt+（z- zλ）e-λt- zλte-λtand Ho-Lee随机微分方程（2.1）的解由：r（t）=r（0）+σt给出-z- zλλe-λt-zλ（1- e-λt（λt+1））+σW（t）=r（0）+σt-zλ+[z+zt]e-λt+σW（t），其中r（0）是t=0时的短期利率值。我们计算（2.6）中的积分项：ZTtθ（s）ds=ZTtσs+（z- zλ）e-λs- zλte-λsds=σ（T- t） +（z+zT）e-λT- （z+zt）e-λt。我们现在可以导出远期利率曲线过程的显式公式a：f（t，t）=σ（t- t） +（z+zT）e-λT- （z+zt）e-λt-σ（T- t） +r（t）=σt（t- t） +（z+zT）e-λT- （z+zt）e-λt+r（t）。（2.8）上述计算允许我们陈述以下定理。定理2.1。设r表示HL短期利率，动态如（2.1）所述。然后，如果初始远期利率曲线是Nelson和Siegel参数曲线，如（2）所示。

7） ，时间t对应的远期利率电流由公式f（t，t）=r（t）+σt（t）给出- t） +（z+zT）e-λT- （z+zt）e-λt.Letτ=t- t到期时间。使用支撑和Mus iela参数化，我们得到了由fHL（t，τ）=f（t，t+τ）给出的ward曲线。然后，远期汇率曲线fhla是（2.9）fHL（t，τ）=σtτ+C（t）+C（t）e的表达式-λτ+C（t）τe-λτ，t≥ 0, τ ≥ 0，其中C，C，依赖于t的护理系数以及Nelson和Siegel参数：C（t）=r（t）- （z+zt）e-λtC（t）=（z+zt）e-λtC（t）=ze-λt防护。证明遵循用τ+T替换T后的排列项（2.8）函数τ7的表达式→ 公式（2.9）中给出的fHL（t，τ）是线性函数加上Nelson和Siegel参数曲线的和。NELSON-SIEGEL扩展曲线的一致性7定义2.2。设λ>0，g：[0，∞) 7.→ R是定义为asg（τ）=zτ+z+ze的函数-λτ+ze-λτ，其中z，zand，zare常数实数。我们称g为线性扩展的纳尔逊西格尔曲线。特别是，在下一小节中，我们研究了Ho-Lee模型与线性扩展Nelson-Siegelcurves生成的一系列前向曲线流形Gλ的一致性。2.1. H L模型和前向曲线流形之间的一致性。（2.8）中给出的正向速率曲线f满足Heath、Jarrow和Morton漂移条件：α（t，t）=σ（t，t）ZTtσ（t，s）ds=σ（t- t） 随机微分方程df（t，t）=α（t，t）dt+σ（t，t）dW（t）=σ（t- t） dt+σdW（t），带t≥ 0和0≤ t型≤ T就支撑和Musiela参数化而言，FHLsaties：（2.10）dfHL（t，τ）=τfHL（t，τ）+στdt+σdW（t），t≥ 0, τ ≥ 从方程（2.9）和（2.10）出发，我们推测存在一个包含线性扩展Nelson-Siegel曲线的正向曲线流形，该曲线流形与HL模型一致。

事实上，这是由以下定理陈述和证明的。定理2.3。设Z=R，λ>0，gλ（τ；β）=βτ+β+βe-λτ+βτe-λτ, τ ≥ 设fHL（t，·）为Ho Lee远期利率过程。然后，对于每个λ>0，前向曲线模Gλ是fHL不变的。证据我们应用定理1.3来证明Gλ是fHL不变量。由于（2.10）中的挥发率是确定性的，因此ITO和Stratonovich积分公式的标准微分方程是相同的。Gλ的Frechet导数由以下公式给出：Gλβ（τ，β）=[τ，1，e-λτ，τe-λτ]Gλτ（τ，β）=β+(-βλ+β）e-λτ- βλτe-λτ为了证明Gλ是fHL不变的，我们必须检查漂移和波动一致性条件（1.12）和（1.13）。我们首先证明Gλτ（·，β）+σ（·）∈ Im[Gλβ（·，β）]。这意味着必须有实数A、B、C和D，以便：β+(-βλ+β）e-λτ- βλτe-λτ+στ=Aτ+B+Ce-λτ+Dτe-λτ.8 PATRICIA Kisbeye和KAREM MEIERIn事实上，这可能取a=σ，B=β，C=-βλ+β和D=-βλ，满足条件（1.12）。为了证明条件（1.13），我们必须找到σ=Aτ+B+Ce的A、B、C和d-λτ+Dτe-λτ，这可以通过A=B=D=0和B=σ来实现。定理2.3暗示前向曲线流形Gλ是fHL不变的，因此下一个循环如下：推论2.4。对于每个λ>0，前向曲线流形Gλ与Ho-Lee短期速率模型一致。推论2.4表明，在（2.1）中的θ为cho sen s uch的特殊情况下，初始远期利率曲线符合Nelson和Siegel曲线*（0，τ）=z+ze-λτ+zτe-λτ, τ ≥ 那么，对于每个t≥ 0相应的远期利率曲线fHL（t，τ）可以写为Alinerly扩展Nelson和Siegel曲线。即：fHL（t，τ）=βτ+β+βe-λτ+βτe-λτ, τ ≥ 0，β，β，β，β仅取决于t和r（t）。备注2.5。