基于非对称成本函数的剩余价值预测

表1总结了与（3）相关的不同错误度量和成本，图2描述了它们如何将预测错误大小和方向与错误成本联系起来。图2：不对称成本函数（实心黑线）与平方误差损失（红色虚线）。LLC的A和b值分别为0.5和1，QQC为0.4和1，LEC为0.22和17。表1：不对称成本函数和相应误差度量的总结。ACEFs仍然是转售价格预测和汽车租赁中实际成本的近似值。例如，他们不计算货币成本。此外，租赁合同的货币损失不能任意大，上述ACEF都没有考虑到这一点。然而，它们比对称误差函数更能体现预测模型支持定价决策的程度。因此，检查在预测模型开发过程中使用ACEF比标准实践提高的程度，可以提供与汽车学习中基于模型的决策支持相关的宝贵见解。以下各节介绍了相应的方法。3.2.  解释不对称成本的线性方法简单降价，也称为“格兰杰简单程序”（Weiss，1996），通过事后调整预测来解释不对称错误成本，这是基于标准成本函数开发的（Tian，2009）。这里使用的是这种方法的稍微修订版本。预测不是添加恒定的绝对偏差项，而是通过添加恒定百分比进行调整。

更具体地说，本文采用了标准预测模型，该模型不考虑成本不对称，并计算了改变预测敞口的最佳百分比，以最大限度地减少ACEF的损失。例如，我们可以使用OLS估计线性回归模型的参数，使用估计的参数计算预测，然后调整预测 通过减去固定百分比:1..（4） 我们获得了 通过最小化降价预测与实际实现ACRF测量的相关变量之间的偏差所产生的预测损失，以QQC函数为例，这等于： 1..（5） 人们可以解释 作为折旧率或由于高估的严重程度更高而导致的退货汽车预计转售价格的降价。我们将使用每一类的最佳预测模型，将此过程应用于线性模型（MBL）、非线性模型（MBNL）和集合（ES\\U md）的情况。从概念上讲，简单的降价程序具有相同的优势。首先，它很容易解释。降价代表从预测中扣除的固定百分比，以说明决策者的偏好以及正负偏差之间的成本不对称。其次，它易于实现，可以应用于任何预测方法。第二种解释不对称成本的线性方法是分位数回归（QR）。与通过最小化残差平方和来估计条件平均值类似，在标准对称损失函数的情况下，可以确定条件分位数作为最小化最佳平均值问题的解决方案。绝对残差的加权和。

特别是-样本中的th分位数,…, 可估计如下（Koenker&Bassett，1978；Koenker&Hallock，2001）：1.||,（6） 在哪里. 是一个指示符函数，如果事件为真，则等于1，否则等于0，并且是一个损失函数。表示实际分位数回归的条件分位数由自变量函数确定，因此预测将落在响应和解释变量定义的空间超平面上。要获得条件分位数回归的估计值，′ 简单替换 在（6）中：.（7） 优化问题类似于最小二乘回归，但它不是最小化残差平方和，而是最小化残差绝对值的加权和。回归拟合′ 描述了-响应变量的th分位数（即汽车转售价格) 鉴于这些特点（即租赁合同期限、里程等）。与OLS相比，可以对正残差和负残差进行不同的加权。方程式7用直接包含偏差分数的损失函数表示。潜在估计偏差-th分位数 从实际值定义为,  具有表示偏差分数。它不是平均值，而是针对aquantile计算的。得到的分位数损失函数为： 1..（8） 损失函数是偏差分数乘以 或1., 汇总数据集中的总体案例。由此产生的-th分位数是 这就得到了分位数损失函数的最低损失。对于0.5示例性偏差分数的相应分位数损失函数4和4都是2。

但是，当0.25，偏差得分4产生1的损失，而4等于3。这表明偏差分数的影响，以及它如何促进预测误差的不对称加权。权重由选择适当的.  负拓扑正偏差的加权关系的特征是.一般来说0.5表示负偏差的成本更高。反之亦然0.5。这说明损失函数和要预测的分位数之间存在直接关系。因此 确定损失函数的不对称性。此外，还可以复制, 通过计算相应的 通过, 哪里1、使用QR来解释不对称成本有四个优点：首先，它是一种基于统计理论的方法，并已成功应用于数项计算条件分位数的研究（如Fitzenberger et al.，2002）。然而，很少有人利用以不同方式处理负残差和正残差的可能性。其次，QR是一种非参数线性方法。模型系数的解释方法与OLSregression中的解释方法相同。在汽车转售价格预测中，这为决策者提供了价值信息，并与之前关于二手车价格特征回归的工作有相似之处（例如，Erdem&Sentürk，2009）。第三，有效的线性规划方法可用于求解（7）。因此，使用QR既不是时间密集型，也不是资源密集型。最后，与事后降价程序不同，QR在事前引入了不对称错误成本，因此处于比降价程序更早的建模阶段。

早期考虑应用程序特性可能会增加预测方法的（业务）价值。3.3.  考虑非对称成本的人工神经网络人工神经网络（NN）是一类非参数、非线性预测方法。最常见的单隐层前馈神经网络（Zhang et al.，1998）有输入（即解释变量),  隐藏层中的节点和一个输出神经元，该神经元对因变量进行建模. 形式表达式为：,,  ,（9） 在哪里. 和. 表示使神经网络能够建模非线性关系的激活函数，以及和表示连接权重（即模型参数，将从数据中估计）。White（1992）为分位数回归与非线性分位数模型估计的神经网络框架的集成提供了理论支持。类似于使用方程（7）拟合线性分位数函数，分位数回归神经网络（QRNN）估计，,,, 的-分位数包括一个可比较的损失函数。可以通过优化以下最小化来找到解决方案：,,,,.（10） 正则化参数和通过惩罚网络的复杂性来避免模型过度拟合（Bishop，1997）。这两个参数与第三个元参数相结合，即隐藏节点的数量, 通过交叉验证确定（例如Donaldson&Kamstra，1996）。由于QRNN方程包含与QR等效的损失函数，因此以相同的方式考虑了过度估计和低估的不对称成本。

分位数 必须设置为模仿正残差和负残差之间的不对称性，这使得QRNN能够更好地捕捉汽车转售价格预测的特征，而不是使用symmetriccost函数训练的NN（例如Taylor，2000）。QRNN的另一个优点是，它能够建模非线性关系，这通常会提高预测精度（例如Crone，2010）。然而，与求解（10）以估计QRNN模型相关的计算成本高于QR或普通NN的情况。将神经网络学习用于显示不对称误差成本的预测任务的另一种策略是直接使用ACEFs进行网络培训（Crone，2002，2010）。我们将此方法应用于汽车转售价格预测。特别是，我们使用QQC调整三层前馈神经网络中的连接权重。鉴于反向传播等神经网络学习算法采用梯度信息，以可微的方式实现非对称误差加权非常重要，我们通过以下QQC的Sigmoidal近似来实现这一点：1.99.（11） 其想法是利用物流功能作为在QQC中建立阶跃函数模型的一种方法，它对正残差和负残差进行不同的惩罚。添加常数99会增加逻辑函数的陡峭度，从而更好地逼近阶跃函数。切换指数符号可确保logistic随e.3.4的减少而减少。基于非对称误差最小化的集合选择许多研究证明了将多个模型的预测相结合以提高精度的优点（例如Timmermann，2006）。

集合选择（ES）是一种预测组合方法，它首先创建一个基础模型库，然后通过加权平均将基础模型的asubset预测汇集在一起（Caruana et al.，2004，2006）。ES已被证明在多个应用中工作良好，包括使用CEF进行汽车转售价格预测（Lessmann，2013）。本文进一步阐述了Lessmann（2013）的方法，即我们使用基于ACEF的预测来扩充模型库。我们发现这大大提高了预测精度（见下文）。ES的第一步包括开发一组替代预测模型。为此，我们采用了不同的预测方法，包括线性、非线性和（齐次）集合方法。我们还考虑了单个预测方法的多个元参数设置。表2总结了模型库。对预测方法的详细描述超出了本文的范围，如Hastie et al.（2009）。Caruana等人（2004、2006）提出了从模型库中选择和组合模型子集的方法。他们使用逐步向前选择启发式来形成集合。第一个候选系综对应于高精度的基础模型。然后，评估所有候选集合，包括该模型和来自图书馆的另一个模型。如果有两个成员的最精确的集合在最佳个体基础模型的基础上进行改进，集合选择将继续进行；并以其他方式终止。表3以三个基本模型的假设库为例说明了该算法,,  他们对三个观察值（如汽车转售价格）和相应的实际值的预测。四个面板中的每一个都对应一个迭代。

最右边的列描述了相应迭代的集合组成。考虑MSEas性能度量，基本模型预测最准确。因此，第一次迭代后的集合对应于.  第二个面板显示当前集合（即M）和另一个基本模型的所有可能组合的均方误差。以, 面板2中所示的预测是作为预测的简单平均值计算的和. 面板2显示和误差小于.因此将添加到集合。总之，第二次迭代后的集合包括和综合预测是他们预测的简单平均值。小组3预测了大小为3的所有集合，包括和和插图显示第二次添加进一步提高了综合预测的准确性。这表明ES有效地计算了基础模型预测的加权平均值（Caruana et al.，2004）。当进一步增加在合成预测中，通过将其第三次添加到集合中。然而，与前一次迭代的集合相比，此添加并没有提高预测精度(33.5232.80). 因此，ES在四次迭代后终止。最终合奏包括, 和. 集合预测相当于权重为的加权平均值对于,对于0表示.表2：基本模型库中包含的回归方法概述。表3：使用三个基本模型的假设库进行集合选择的示例。ES为预测者提供了很大的自由，让他们可以自由地实施候选培训的评估。表3说明了使用MSE作为性能标准的ES。

然而，可以纳入预测准确性的任意指标。更一般而言，Lessmann（2013）建议为优化业务绩效保留选择阶段。与AR转售价格预测和ACEFs相关的实证结果说明了这种方法的潜力。因此，wefollow Lessmann（2013）并使用QQC函数来指导ES。这种方法在概念上的优势在于，它集成了已确立的预测原则（以库中基本模型的形式）和实际业务应用程序的特征（以汽车转售价格预测中的不对称误差成本表示）。4、实验设计实验设计旨在调查将误差-成本不对称纳入预测开发的可能性，并确定最合适的策略。为此，我们使用与租赁合同定价相关的真实数据集，对上述预测方法进行了实证比较。为了构建分析，我们提出了四个研究问题，实证研究将回答这些问题。4.1.  研究问题为了引导读者进行实证评估，我们开发了一套四个研究问题（RQ）。本文中，预测模型开发的目标是支持汽车租赁的定价决策。一般来说，决策支持模型的价值取决于它提高决策质量的程度。鉴于汽车租赁中的定价决策显示出不对称的错误成本，我们建议通过ACEF来近似业务目标和相应的决策质量。然后，首先要回答的问题是，预测模型的开发是否应该考虑成本不对称。

这导致了RQ1：RQ1：考虑成本不对称的预测方法是否比使用对称损失函数的标准方法更有效？可以在不同的建模步骤中考虑成本不对称（见图1）。大体上，可用选项分为事前和事后方法。后者偏向于预测，但不影响预测模型的开发。前者体现了更直接的方法，并改变了模型的开发方式。这些机会加上暴露修正更容易实施这一事实，激发了第二个RQ：RQ2：在预测模型开发构建期间是否有必要考虑成本不对称，或者事后修正是否足够？在汽车转售价格预测中，因变量与价格之间的关系可能是非线性的（Desai&Purohit，1998）。例如，二手车在使用期开始时会失去其原始价值的大部分，这表明了一种阻尼效应。此外，新车型的引入或重大的重新设计极大地影响了旧车型的转售价格，并导致转售价格与年龄之间的关系不连续（例如，Purohit，1992）。另一方面，估计非线性模型很复杂，这可能会削弱它们相对于简单线性模型的优势。一般来说，非线性预测方法的相对优点在文献中受到了广泛关注。然而，我们还没有意识到有系统地比较线性和非线性建模策略来解决不对称错误成本。