利用银行间流动、借贷和投资对金融系统进行建模

投资金额仍为Xi（t）+Zi（t），但银行不支付或收取任何利息。我们结合这两种情况：第i家银行将时间t的Xi（t）+Zi（t）投资于风险投资组合，并在时间间隔[t，t+dt]内支付利息r（t）（Zi（t））+dt。在时间t，ithbank投资于价值为Si（t）的风险资产组合。第i家银行购买该投资组合的（Xi（t）+Zi（t））/Si（t）单位。时间间隔[t，t+dt]的净利润为（Xi（t）+Zi（t））dSi（t）Si（t）。6 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsev综合以上，我们得到以下方程组：（7）dXi（t）=（Xi（t）+Zi（t））dSi（t）Si（t）- r（t）（Zi（t））+dt i=1，N、 Xi（0）>0。接下来，我们对投资组合过程的动态Si做出一些假设。另一个问题是银行如何利用股票和其他风险资产构建这些投资组合。这个问题与本文的主题是分开的，我们不在这里研究它。相反，我们假定这些是几何布朗运动。这个假设非常简单，但我们相信它在某种程度上反映了投资组合的特征。进程mi（t）=ZtdSi（s）Si（s），i=1，N、 形成一个N维布朗运动，漂移向量u=（u，…，uN），协方差矩阵A=（aij）i，j=1，。。。，N、 特别是，每个Mi，i=1，N、 是漂移系数ui和扩散系数σi=aii的布朗运动，因此可以表示为（8）Mi（t）=uit+σiWi（t），其中wii是一维标准布朗运动。虽然投资组合过程（8）仅由一个布朗运动驱动，但在我们的框架中也可以考虑更一般的表示：（9）dSi（t）Si（t）=uidt+mXj=1σi，jdBj（t），其中（B，…，Bm）是布朗运动。由于σidWi（t）：=Pmj=1σi，jdBj（t），但wii也是一个布朗运动，我们回到原始的组合过程（8）。布朗运动之间的协方差（W。

. . , WN）可以以各种方式建模。（1.a）所有W，WN是独立的。那么矩阵A是对角的：（10）A=对角（σ，…，σN）。这意味着银行的投资组合是独立的。（1.b）所有W，WN相同：W=W=…=WN。这意味着，事实上，所有银行都使用相同的投资组合，它们是完全相关的。那么让u=…=uNandσ=…=σN.（1.c）一种中间情况：对于一些i.i.d.布朗运动Wi，i=0，N、 一些系数ρ，|ρ，ρ+|ρ=1，我们有：（11）Wi（t）：=ρ|Wi（t）+ρW（t），i=1，N、 我们还可以将N个银行拆分为子集，并构建依赖关系，就像每个子集的情况（1.c）一样；假设与不同子集相对应的投资组合过程是独立的。2.2. 驱动随机方程的主要系统。应用It^o公式确定Yi（t）：=log Xi（t）：（12）dYi（t）=dXi（t）Xi（t）的动力学-dhXiit2Xi（t）银行间流动、借贷和投资7将（7）和（12）相结合，我们得到了驱动银行财富的主要随机方程。目前，它不包含银行间流动，即（1）或（5）中的Ornstein-Uhlenbeck型流动：（13）dYi（t）=（1+αi（t））σidWi（t）+hi（αi（t），r（t））dt。这里我们定义了相对投资比率：αi（t）=Zi（t）Xi（t），t≥ 0，i=1，N、 和以下数量：（14）hi（α，r）：=（1+α）ui-σi（1+α）- rα+表示α，r∈ R、 最后，第i家银行还与其他银行进行互动，实现现金流入和流出。在[8]和随后的论文中，这种相互作用是由Ornstein-Uhlenbeck型漂移（15）a（Y（t）模拟的- Yi（t））来自（1），其中Yi（·）=log Xi（·）。这里，我们取漂移（16）NNXj=1cij（t）（Yj（t）- （5）中的Yi（t），比（15）更一般，并将其添加到（13）。请注意，在我们的模型中，如[8]所示，现金流（在原始规模下，而非对数规模下）不一定加起来等于零。考虑可能的特殊情况：（2.a）所有cij（t）≡ 0

那么银行之间就没有现金流了。（2.b）所有cij（t）≡ c（t）>0。对于常数c，这是[8]中的模型。（2.c）设G是顶点{1，…，N}上的图。那么（17）cij（t）=c（t）1（i<-> j） 对于某些c（t）>0。将这些Ornstein-Uhlenbeck型漂移从（16）叠加到（13）之上后，我们的主要驱动方程采用公式Dyi（t）=（1+αi（t））σidWi（t）+hi（αi（t），r（t））dt+NNXj=1cij（t）（Yj（t）- Yi（t））dt，i=1，N、 （18）方程式（18）类似于[8]中的模型。然而，它也有显著差异：与[8]不同，（18）中的波动性可以控制；（18）中的漂移系数有点复杂。对于均匀速率：cij（t）≡ 式（18）的形式为dyi（t）=（1+αi（t））σidWi（t）+hi（αi（t），r（t））dt+c（t）（Y（t）- Yi（t））dt，（19）对于i=1，N、 其中，Y（t）在（2）中定义。8 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEV2.3。理解如[8]所述，如果Xi（t）<eD，我们认为i银行在t时处于破产状态，其中D是中央银行规定的给定阈值。央行希望通过说服银行承担风险来刺激银行的活动，但不要太多，以免它们破产。方程式（13）意味着中央银行可以将利率r（t）作为货币政策工具来改变私人银行的行为。假设银行开始借入过多资金并将其投资于风险资产（杠杆）。通过这样做，他们增加了违约概率。然后，央行可以提高利率，以阻止私人银行过度借贷。相反，如果银行对未来盈利和风险承担过于谨慎，那么中央银行可以通过降低利率来刺激它们。

正如我们稍后看到的，利率影响着整个系统的状态。参数r（t）由中央银行确定，并提供给所有私人银行。然后，这些私人银行相互独立地确定投资利率αi（t）。根据银行的决策，中央银行需要确定这些参数的最佳值。这种设置类似于委托代理问题，但有许多代理。3、私人银行的最佳行为3.1。问题陈述。我们假设第i家银行将其他银行的资本视为给定值：Xj（t），j 6=i（或者，等效地，Yj（t）：=log Xj（t），j 6=i），以及利率r（t）（货币政策工具）。银行正试图选择相对投资比率αi（t），或等效的借款金额Zi（t），以最大化其预期的最终对数财富：（20）supα即[对数Xi（t）]，其中（20）中的上限接管所有有界自适应控制αi=（αi（t），0≤ t型≤T）。假设利率r（t）已经由中央银行设定。在本节中，我们明确地解决了这个随机控制问题。这与委托代理框架中的代理人问题相对应。在下一节中，我们将讨论中央银行（委托人）的最优政策选择。3.2. 问题的解决方案。效用函数的这种特殊选择，即linearin Yi，以及银行间流动，也就是Yiin（13）中的线性，使得这个优化问题易于处理：我们可以明确地解决这个问题。定理3.1。对于（20）中所述的优化问题，其中αiis有界，适用于[0，T]，第i家私人银行的αiis最优值如下：（21）α*i（t）：=ui-r（t）σi- 1.+, ui≥ σi；uiσi- 1，ui≤ σi.备注1。特别是，如果ui≤ σi，即投资回报不超过其风险，则第i家银行不借入任何资金进行投资。

相反，这家银行把钱留作现金。如果ui≥ σi，投资对借贷有吸引力，但利率足够高：r（t）≥ ui- σican可以阻止第i家银行借款；然后这家银行将只把自己的钱投资到投资组合中。只有在利率足够低的情况下：r（t）<ui- σi，第i家银行借款进行投资。银行间流动、借贷和投资9备注2。请注意，最优策略（21）不取决于流速cij，因为对数效用函数的特殊选择，在Yi中是线性的。虽然对数效用函数会导致近视代理，但这一假设对于结果的数学可伸缩性很重要。CRRA效用函数是文献中使用的另一种流行形式，但即使在平均值情况下，我们也无法评估其最优控制。证据动态规划原理告诉我们，函数Φi（t，y）：=supαiE[Yi（t）| Yi（t）=y]，其中我们取所有αi的上确界，这些αi有界并适应于[t，t]，满足Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：Φit（t，y）+supαi∈RNXj=1NXk=1（1+αj）ajkΦiyj公司yk（t，y）+NXj=1hhj（αj，r（t））+NNXk=1cjk（t）（yk- yj）iΦiyj（t，y）= 0，（22），终端条件Φi（T，y）=yi。我们假设已经选择了所有αj，j 6=i。尝试以下Anzats，在yj中呈线性：（23）Φi（t，y）=gi0（t）+NXj=1gij（t）yj。因为它是线性的，（22）中的二阶导数结果是零。因此，（22）中唯一需要最大化的是h（αi，r（t））。该最大化问题的解由值α给出*ifrom（21）。

这是一个简单的代数练习；附录中引理7.3给出了详细的计算。hi（α，r（t））的最大值为（24）h*i（t）：=hi（α*i（t），r（t））=r（t）+（ui-r（t））2σi，r（t）≤ ui- σi；ui-σi，r（t）≥ ui- σi≥ 0;ui2σi，ui≤ σi。这意味着第i组选择控制值αi：=α*i、 该值与终点时间T和Yj值无关，j=1，N、 这与默顿问题的经典解相对应。如果r是常数（与t无关），则α*土地h*我也很坚持。将（23）与终端条件进行比较，我们得到：（25）gij（T）=δij=（1，i=j；0，i 6=j，对于j=0，…，N。接下来，将anzats（23）插入（22）。请注意，anzats的所有二阶导数（23）均等于零，一阶导数为（26）Φiyj=gij（t），j=1，N、 10 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEVIn此外，该值函数Φ从（23）的时间导数为（27）Φt=gi0（t）+NXj=1gij（t）yj。结合（21）、（24）、（26）、（27），我们得到HJB方程（22）的形式为（28）gi0（t）+NXj=1gij（t）yj+NXj=1h*j（t）gij（t）+NNXj=1NXk=1cjk（t）（yk- yj）gij（t）=0。比较（28）中每个yj的系数，我们可以看到（29）gij（t）+NNXk=1gik（t）cjk（t）-NNXk=1gik（t）ckj（t）=0，j=1，N、 （28）中的自由项总计为（30）gi0（t）+NXj=1h*j（t）gij（t）=0。与终端条件（25）一起，N+1线性常微分方程的系统（29）和（30）具有唯一的解决方案gi0，杜松子酒。这就解决了HJB方程。为了完成证明，让我们进行验证论证。取有界自适应控制αj=（αj（t），0≤ t型≤ T）对于每个j=1，N

应用It^o公式计算Φi（t，Y（t））：dΦi（t，Y（t））=Φit（t，Y（t））+NXj=1NXk=1（1+αj（t））ajkΦiyj公司yk（t，Y（t））+NXj=1hhj（αj（t），r（t））+NNXk=1cjk（t）（yk（t）- Yj（t））iΦiyj（t，Y（t））dt+NXj=1Φiyj（t，Y（t））（1+αj（t））dWj（t）。（31）使用αj=（αj（t），0）的有界性≤ t型≤ T），得到随机积分项（31）的期望值为零。结合（22）和（31），我们得到（Φi（t，Y（t）），t≥ 0）对于所有可容许（自适应有界）控制αi是一个上鞅，但对于控制α是一个鞅*i、 回想一下Φi（T，y）=yi。因此，EΦi（0，Y（0））≥ EΦi（T，Y（T））=E Yi（T），控制α相等*i、 从这里开始，紧接着是α*iis确实是最佳控制。3.3。最优投资选择下的银行动态。在最优控制（21）下，过程Yi，i=1，N（我们用Y表示它们*i） 满足以下随机微分方程组：（32）dY*i（t）=dM*i（t）+N“NXj=1cij（t）（Y*j（t）- Y*i（t））#dt，i=1，N、 其中M*, . . . , M*N、 由DM提供*i（t）=hi（α*i（t），r（t））dt+σi（1+α*i（t））dWi（t）。银行间流动、借贷和投资11如果r=常数，则M*是一个N维布朗运动，漂移向量和协方差矩阵由（33）u给出*= （u*, . . . , u*N） ，u*i： =高（α*i、 r）。（34）A*:= （a）*ij）i，j=1，。。。，N=诊断（（1+α*i） ，i=1，N） A.动力学（32）类似于[8]中的动力学。如果r（t）不依赖于t，那么M*=（M）*, . . . , M*N） ，与（M，…，MN）类似，是一个N维布朗运动，但具有不同的裂谷向量和协方差矩阵。如（2）所示，我们定义*（t） =NNXi=1年*i（t）。平均方程（32）并使用对称性cij=cji，我们得到：（35）Y*（t） =NNXi=1M*i（t），利率r控制着系统的总体规模，用Y来衡量。

快递（35）as：（36）dY*（t） =g（r（t））dt+ρ（r（t））dW（t），其中W是标准布朗运动，系数g（·）和ρ（·）定义为：（37）g（r）：=NNXi=1gi（r），gi（r）：=（ui-r） 2σi+r，r≤ ui- σi；ui-σi，r≥ ui- σi；ui2σi，ui<σi.（38）ρ（r）：=NNXi=1NXj=1aijρi（r）ρj（r），ρi（r）：=ui-rσi，0≤ r≤ ui- σi；1, 0 ≤ ui- σi≤ ruiσi，ui≤ σi.（a）r=0（b）r=0.12（c）r=0.20图1。我们使用以下参数进行模拟：N=30银行，时间范围T=1，无相关性ρ=0，无银行间流动ci，j=0，1000个时间步长和ui，σi，i=1，N i.i.d.统一[0.1，0.2]，以说明投资比率α的最佳选择*i=αi，i=1，N、 我们做了一些模拟。取N=30组，ui，σi，i=1，N i.i.d.均匀【0.1、0.2】。然后ui≥ σi对于所有i；也就是说，所有投资组合都可以进行投资，至少在零利率12 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEVr=0的情况下。首先，在图1中，我们假设（10），即投资组合过程S，SN，是独立的。我们还假设没有洪水：cij（t）≡ 0，i，j=1，N、 我们取三个利率r：分别为0%、12%和20%。正如预期的那样，提高利率迫使银行减少借贷，从而获得最佳投资比率α*在图1（C）中变为0，而在图1（A）中变为2到12。（a） 所有银行（b）i=1，10（c）j=11，30图2。银行对数资本Yi（t）的演变，i=1，N、 我们使用以下参数：利率r=0，N=30家银行，时间范围T=1，无相关性：ρ=0，银行间流动ci，jare，如方程（39）所示，1000个时间步长，以及ui，σi，i=1，N是[0.1，0.2]上的i.i.d.一致（a）所有银行（b）i=1，10（c）i=11，30图3。

银行对数资本的演变：Yi（t）。我们使用以下参数：利率r=8%，N=30家银行，时间范围T=1，相关系数ρ=0.5，银行间流动ci，方程（39）中的jas，1000个时间步长和ui，σi，i=1，N i.i.d.统一[0.1，0.2]接下来，在图2中，我们假设投资组合过程是独立的，如（10）所示，但也有流动：（39）cij=（10，i，j=1，…，10；0.5，其他。我们观察到，有重大流动的银行往往有财富动态，这些财富动态更“联系”在一起。此外，这增加了系统的稳定性，因为我们观察到i=1，…，10的违约率低于j=11，…，30。最后，在图3中，我们假设投资组合过程是相关的，如（11）所示，ρ：=0.5时，流量由（39）给出，利率r为8%。与图2相比，通过紧密联系在一起的财富动态的变化，可以清楚地看到相关性对银行动态的影响。银行间流动、借贷和投资133.4。系统性风险。当前的许多研究都致力于系统性风险，即多重银行违约的可能性，以及违约在系统中的传播（换句话说，传染）。为了说明不同情景下银行的违约概率，我们给出了N=100家银行和1000个模拟的违约次数的直方图和经验累积分布函数。我们假设默认阈值D=-1对数财富。也就是说，如果某些t的Yi（t）<D，则公司违约∈ [0，T]。表示默认值的（随机）数D：（40）D：=NXi=1最小0≤t型≤类型（t）<D,首先，在图4中，我们假设在不同利率情景下没有银行间流动和独立的投资组合过程：（a）r=0（b）r=0.05（c）r=0.08图4。违约银行数量，其在某一时间的对数资本Yi（t）∈ [0，T]低于D=-1.

我们使用以下参数：N=100家银行，1000次模拟，无相关性：aij=σiδij，无银行间流动：cij=0表示i，j=1，N，100时间步，和ui，σi，i=1，N是图5中[0.1，0.2]的i.i.d.均匀。D的经验CDF，违约银行数量，N=100家银行，1000次模拟，ui=σi=0.1，i=1，下一步，在图5中，我们给出了违约银行数量的经验累积分布函数（CDF），假设相关投资组合且不同利率无银行间流动。相应的直方图如图6所示。正如之前的研究所述，相关性的增加增加了大额违约的概率，同时降低了小额违约的概率，类似于各种生物学研究中的违约行为。因此，在图7中，我们给出了14家ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEVN=100家银行的P（D>60）和P（D<5）的经验估计，作为不同利率下其投资组合过程之间的相关性的函数。正如预期的那样，我们观察到，随着相关性的增加，大违约和小违约的概率都会增加。然而，提高利率降低了大规模违约的可能性，而牺牲了小型违约的可能性。最后，在图8中，我们给出了违约银行数量的经验CDF，假设相关的投资组合过程和恒定的银行间流动cij=a for i，j=1，N、 其中a∈ {0, 0.5, 1}. 我们观察到，银行间流动有助于稳定系统，降低违约概率。（a） r=0，ρ=0（b）r=0，ρ=0.5（c）r=0.03，ρ=0.3（d）r=0.05，ρ=0.3图6。违约银行数量的柱状图。我们使用以下参数：N=100组，1000个模拟，ui=σi=0.1，i=1，N、 和nointerbank FLOWS:cij=0表示i，j=1，N4。