利用银行间流动、借贷和投资对金融系统进行建模

最优中央银行政策在本节中，我们假设中央银行必须以非最优的方式选择利率r，以便在银行如前一节所述做出选择后，实现最优政策选择。我们假设银行（为他们）做出了最佳选择，我们在流程符号中省略了allasterisk。这可以看作是委托代理问题框架中的委托人问题。现在让我们重温一下央行对政策制定的描述。它的工具是利率r，中央银行用它来控制系统中的总资本量，用Y来衡量*自（36）。如果利率较低，增长率银行间流动、借贷和投资15（a）大违约概率：D>60（b）小违约概率：D<5图7。大违约概率和小违约概率的经验估计：分别为P（D>60）和P（D<5），作为不同利率下投资组合过程ρ之间相关性的函数。我们使用以下参数：N=100组，5000个模拟，ui=σi=0.1，i=1，N、 对于i，银行间利率j=0，j=1，N（a）ρ=0.5和r=0（b）ρ=0.5和r=0.03图8。违约银行数量D的经验CDF。我们使用以下参数：N=100组，1000个模拟，ui=σi=0.1，i=1，N、 i的恒定银行间流量cij=a，j=1，N、 其中a∈ （37）中的{0，0.5，1}g（r）和（38）中的波动率ρ（r）都很大。风险厌恶程度较高的中央银行可以选择较大的r。可以对Y应用凹效用函数*（t） ，并解决了该r的随机控制问题。在本节中，我们将指数（CARA：常数相对风险厌恶）效用函数应用于Y*（t） 。私人银行希望最大化其预期对数净值Yi（t）。

换句话说，他们的对数效用U（x）：=对数x，这表明他们厌恶风险。然而，就对数资本而言，它们的效用函数是线性的。现在，如果央行像私人银行一样规避风险，她也会尝试最大化（Y（T）+…+YN（T）），或者EY（T），16 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsev，时间范围T>0。下面，我们展示了央行然后会选择零利率r=0，因为这将产生与私人银行相同的结果。现在，假设央行比私人银行更厌恶风险。这应该表现在效用函数是凹的（而不是线性的），即使在对数项中也是如此。例如，考虑一个常用的指数（CARA）效用函数：（41）Uλ（y）：=-e-λy。假设中央银行最大化预期终端效用：（42）上λ（y（T）），其中（42）中的上确界是在所有有界自适应控制r上选择的。我们也可以选择（43）Uλ（y）=λ来代替（41）效用函数1.- e-λy.当我们试图最大化（42）时，（41）和（43）之间没有差别，但写作（43）突出了央行的风险厌恶。Asλ↓ 0，来自（43）的函数Uλ满足：Uλ（y）→ y、 （43）的常用绝对风险规避计算如下：-Uλ（y）Uλ（y）=λ。换句话说，λ>0是风险规避系数（中央银行相对于私人银行）。对于λ=0，中央银行根本不规避风险（至少不超过私人银行）。定理4.1。问题（42）的最优利率r（t）由常数r=r给出*最大化以下表达式：（44）w（r，λ）：=g（r）-λρ（r）。备注3。有趣的是，最优利率r并不取决于流动利率cij。

这是因为我们用随机过程（t）来衡量系统的大小。该过程满足一个系数与Ij无关的随机微分方程。这些系数确实取决于最优控制α*i、 然而，正如我们在Remark 2中提到的，这些最优控制α*i、 反过来，不要依赖于流速，因为我们特别选择了对数效用函数。证据函数Φ（t，y）的HJB方程：=superUλ（Y（T））| Y（T）=Y其中，上确界接管所有有界自适应控制r=（r（t），0≤ t型≤ T），采用表格（45）Φt+supr≥0Φyg（r）+Φyρ（r）= 0，终端条件Φ（T，y）=Uλ（y）的银行间流量、借贷和投资17。尝试以下形式：（46）Φ（t，y）=f（t）Uλ（y）。从（46）中，我们可以计算关于t和y的导数：（47）Φt=f（t）Uλ（y），Φy=-λΦ,Φy=λΦ。将（47）插入（45）。因为Φ<0，我们可以重写（45）asf（t）+f（t）·infr≥0-λg（r）+λρ（r）= 这反过来等于（48）f（t）λf（t）=supr≥0g（r）-λρ（r）=: k、 因为我们有Φ（T，y）<0和Uλ（y）<0，为了兼容性，我们需要证明f（T）>0对于所有T。从终端条件Φ（T，y）=Uλ（y）结合（46），我们有：f（T）=1。方程（48）可以写成f（t）=λkf（t），这给了我们f（t）=exp（λk（t- T））。因此，f（t）为正。最后，让我们进行验证论证以完成证明。这个想法类似于定理3.1中的验证论证。假设r*= （r）*（t） ，0≤ t型≤ T）是我们的常数controlfrom（44），从（45）中找到，r=（r（T），0≤ t型≤ T）是其他容许（adaptedbounded）控制。将函数Φ（t，·）应用于过程Y。

根据It^o公式，dΦ（t，Y（t））=Φt（t，Y（t））+Φy（t，y（t））g（r（t））+Φy（t，y（t））ρ（r（t））dt公司+Φy（t，y（t））ρ（r（t））dW（t）。（49）通过（45）与（49）的比较，我们得出Φ（t，Y（t））对于控制r是一个上鞅，但对于控制r是一个上鞅*. 事实上，根据r（t）的有界性，（49）中的随机积分的期望值为零。由于Φ（T，y）=Uλ（y），我们得到：E Uλ（y（T））=EΦ（T，y（T））≤EΦ（0，Y（0）），控制r相等*. 结果就在这里。让我们找出对应于（48）右侧最大值的r。这取决于向量g和矩阵A的结构。如果ui≤ σi对于所有i=1，N、 那么，所有的投资都太不可靠，无法为它们借钱。那么，利率政策就不能影响私人银行的行为。这与流动性陷阱的情况相当，当时传统的货币政策已经失效。从现在起直到本节结束，让我们假设所有投资都具有吸引力：ui≥ σi，i=1，N、 （3.a）假设S=…=SN：所有投资都是一样的。那么我们有：g=…=gn=：g，σ=…=σN=：σ；g（r）-λρ（r）=（（u-r） 2σ（1- λ） ，r≤ u - σ;u -σ（1+λ），r≥ u - σ.18 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsevλ<λ时，在r=0时达到最大值*:= 1.- 2.uσ+ 1-1，且在任何r≥ u-λ>λ的σ*. 其含义如下：情况λ<λ*与风险厌恶程度较低的央行相对应，为了增加系统中的资本总量，央行希望将利率降至零。对于λ>λ的情况*, 然而，中央银行非常规避风险，它提高利率以防止过度借贷和金融系统过热。（3.b）独立投资组合过程：aij=σiδij。

Theng（右）-λρ（r）=NNXi=1gi（r）-λ2Nσiρi（r）.该函数达到最大值：在r=0时，λ<λmin：=N mini=1，。。。，N“1- 2.uiσi+1-1#，在r=maxi=1，。。。，Nui- σi对于λ>λmax：=N max=1，。。。，N“1- 2.uiσi+1-1#.在一般情况下，对于λ情况下的最优r，我们没有明确的形式∈ [λmin，λmax]。如果u=…=uN=u，σ=…=σN=σ，我们有λmin=λmax。注意，这里中央银行选择扩张性货币政策（零利率r=0），λ的值大于案例（3.b）。这有以下解释：如果银行的投资组合是独立的，那么这将在系统中创造多样化并降低风险。因此，即使是相对规避风险的央行（大λ）也可以追求积极的扩张性货币政策。（3.c）具有相同增长率u=ui和波动率σ=σi的相关投资组合过程。假设这些投资组合过程的驱动布朗运动如（11）所示相关。经计算得到：g（r）=（（u-r） σ+r，r≤ u - σ;u -σ、 r≥ u - σ;ρ（t）：=cu - rσ∧ σ, c：=λN- 1Nρ+N.然后我们可以找到最佳的r：这个isr*=（0，c<1- 2.uσ- 1.-1.u - σ、 c>1- 2.uσ- 1.-注意，对于ρ=1，我们得到情况（3.a），对于ρ=0，我们得到情况（3.b）。案例（3.c）处于中间阶段：私人银行投资组合之间存在差异，但这种差异并不完全。因此，一个厌恶风险的央行可以追求比案例（3.a）更多的扩张性货币政策，但比案例（3.b）更少。为了说明风险规避λ对最优利率的影响，我们模拟了三种情况。首先，在图9中，我们假设不相关的投资组合过程，每个过程都具有相同的均值和波动率ui=σi=0.1，对于i=1，N、 这就是案例（3.a），上文在《银行间流动、借贷和投资》19（a）最优利率（b）w（r，λ）图9中讨论了该案例。

N=30不相关投资组合过程的最优利率：ρ=0，ui=σi=0.1，i=1，N（a）最适酯（b）w（r，λ）（c）ui- σi图10。N=30个不相关资产的最优利率。平均值和标准偏差ui，σi，i=1，N i.i.d均匀分布在[0.1，0.2]（a）最适酯（b）w（r，λ）（c）ui上- σi图11。N=30组合过程的最优利率，相关系数ρ=0.8，ui，σi，i=1，本节[0.1，0.2]上的N i.i.d均匀。20 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEVNext，在图10中，我们假设独立的投资组合过程，但平均值和标准偏差ui，σi，i=1，N i.i.d均匀分布在[0.1，0.2]。这就是案例（3.b），本节将对其进行讨论。然而，令我们惊讶的是，当我们增加风险规避参数λ时，我们观察到最优利率只有一个跳跃。最后，在图11中，我们假设相关投资组合过程ρ=0.8，平均值和标准偏差ui，σi，i=1，N取自i.i.d均匀【0.1，0.2】。这是上述案例（3.c）的一般化版本。我们观察到，由于投资组合过程中的相关性，即使风险厌恶程度相对较低的央行也被迫提高利率。5、长期稳定性在本节中，我们分析了中心过程的长期行为：（50）~Y=Y，YN,Yi（t）=Yi（t）- Y（t），i=1，N、 它取超平面∏中的值：={y∈ RN | y+…+yN=0}。换言之，我们正试图发现，随着时间的推移，银行的原始资本是保持在一起，还是分裂成两个或多个“云”。对于基于RANK的金融市场模型，[1]提出了一个类似的问题，并在[2]中得到了解决。

在这篇论文中，股票的对数资本化被建模为布朗粒子，漂移和扩散系数仅取决于该粒子相对于其他粒子的当前排名。这类系统，也称为一阶模型或竞争布朗粒子，是最近许多研究的主题。关键参数是银行间现金流的利率。在这些速率的某些相当普遍的条件下，过程（50）是遍历的：它具有唯一的静态分布；对于任何初始条件，它都会收敛到这个分布→ ∞. 本节有两个结果。定理5.1涉及与时间无关的流速cij的情况：cij（t）≡ cij。引理5.2涵盖了一般情况。假设中央银行已经选择利率r=r*, 如上所述。那么Y是漂移系数为g（r）的布朗运动*) 和扩散系数ρ（r*). 我们有：（51）dYi（t）=dMi（t）+NNXj=1cij（t）（Yj（t）- Yi（t））dt，i=1，N、 这里，过程：M=（M，…，MN）是具有漂移向量和协方差矩阵u的N维布朗运动*= （u*, . . . , u*N） 和A*= （a）*ij）i，j=1，。。。，Nfrom（33）和（34）。中心过程（50）满足SDE（52）dYi（t）=dMi（t）+NNXj=1cij（t）Yj（t）-Yi（t）dt，i=1，N、 此处，~Mi（t）：=Mi（t）- M（t）对于i=1，N、 注意，M=（~M，…，~MN）是∏值布朗运动。其漂移矢量（53）~u*= (~u*, . . . , ~u*N） ，￠u*i： =u*我- u*, u*:=NNXi=1u*协方差矩阵（54）~A*= （a*ij）：=V A*五、 V=英寸- N-1ee，e=（1，…，1）∈ 注册护士。因此，Y是一个马尔可夫过程。用Pt（x，·）表示其过渡函数。定义函数V∏的以下度量范数：∏→ [1, ∞):kνkV：=sup | f|≤五、Z∏fdν.我们表示向量x=（x，…，xd）的欧几里德范数∈ Rdbykxk：=x+…+除息的1/2.定理5.1。

假设流速cij（t）=cijare常数。定义顶点集{1，…，N}上的图G：i<-> j i ff cij>0。如果G是连通的，则：（a）~Y在∏上有唯一的平稳分布π，这是多元正态分布；（b） 过渡函数满足某些常数c，λ，k>0：（55）kPt（x，·）- π（·）kV≤ cV（x）e-kt，V（x）：=expλkxk;（c） 对于任何有界可测函数f：∏→ R我们有，a.s.：limT→∞TZTf（~Y（s））ds=Z∏f（Y）π（dy）。证据从SDE解的性质和协方差矩阵的非退化性*对于M，我们有以下正性性质：（56）Pt（x，C）>0，对于所有t>0，x∈ π，C 带mes的∏（C）>0。所有两次连续可微分函数f∏的▄Y生成器→ R由以下公式得出：（57）Lf（x）：=~u*+NMx公司· f+NXi=1NXj=1a*ij公司fxixj。这里，M=（mij）i，j=1，。。。，Nis以下矩阵：（58）mij=cij，i 6=j；-Pk6=icik，i=j。现在，将（55）中的函数V插入到生成器（57）中，以获得合适的λ。然后（59）V=λxV，五、xixj公司=λxixj+λδij五、 结合（59）和（57），我们得到：（60）LV=λ~u*· x+λNxMx+λ（x~A）*x） +λtr（￠A*)五、 利用下面的引理7.4，我们得到：（61）N[xMx]≤ -ckxk，c：=c（M）N。存在一个常数a>0，这样对于所有x∈ π，我们有：xA*x个≤ akxk。结合（60）和（61）的观察，我们得到：22 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEV（62）LV≤λ~u*· x个- λckxk+aλkxk+λtr（≈a*)五、 选择λ：=c/a，然后（62）采用形式（63）LV（x）≤ K（x）V（x），K（x）：=cau*· x个-c2akxk+catr（▄A*).注意，作为kxk→ ∞, 我们有：K（x）→ -∞. 因此，对于某些常数c，c>0，（64）K（x）≤ -c、 kxk公司≥ c、 回想一下（6）中球B（c）的定义。由于LV和V是连续的，我们有：（65）maxx∈B（c）[LV（x）+cV（x）]=：c<∞.将（63）与（64）和（65）结合，我们得到：（66）LV（x）≤ -cV（x）+cB（c）（x）。最后，将（66）与▄Y的Feller性质相结合（即。

对于有界连续函数f，映射x 7→ Ptf（x）对于转移函数P（Y）也是有界和连续的，并且具有正性（56）。将附录中的引理7.1应用于Lebesgue referencemeasureψ和（55）中的函数V。这就完成了（a）（平稳分布的唯一性）和（b）的证明。这个平稳分布π是多元正态分布的事实，源于观察到Y是超平面∏上的多维OrnsteinUhlenbeck过程。为了完成定理5.1的证明，让我们展示（c）：这类似于[2，定理1]的证明。取任意r≥ c、 调整上述（66）的证明，我们发现存在一个正常数d（r），使得LV（x）≤ -cV（x）+d（r）1B（r）（x）。设τB（r）：=inf{t≥ 0 | Y（t）∈ B（r）}是球的击球力矩B（r），对于固定的r>0。应用[24，定理4.3（a）]，函数V来自（55），f：=1，δ：=0。ThenExτB（r）≤ c-1V（x），x∈ Π.利用V在紧致子集上有界的事实来验证引理7.2中的假设（b）。这个引理的假设（a）来自于观察到的▄Y的协方差矩阵是恒常的。现在应用引理7.2，引自【19，定理4.1，定理4.2】，引自【2，命题1】。这就完成了定理5.1第（c）部分的证明。引理5.2。假设流速由Cij（t）=cijf（￠Y（t）），i，j=1，N、 i 6=j；t型≥ 0，其中f：π→ R是这样一个函数，limkzk→∞f（z）>0，以及定理5.1中的cijare实数。那么定理5.1的结论是相同的，减去π是多元正态的结论。银行间流动、借贷和投资证明。与定理5.1相似，但有以下变化：我们没有（60），而是：LV（x）=λ~u*· x+λf（x）NxMx+λ（x~A）*x） +λtr（￠A*)五、 存在c，c>0，使得f（x）≥ C或x∈ ∏，kxk≥ c

因此，对于这样的x，估计值（63）保留为cc，并更改为cc。其余的证明类似于第5.1条。然而，请注意，如果图G断开连接，那么这种稳定性就会失效。事实上，假设G有连接组件和G（为了符号简单起见，只有两个；对两个以上连接组件的分析是相同的），如果i和j相邻，流速Cijar正常数，如果不相邻，流速Cijar=0。根据定理5.1，我们得到：（Yi- Y） 我∈G、 （易- Y） 我∈Gare遍历，即它们满足一个类似于（55）的不等式。这里，（67）Y（t）：=| G | Xi∈GYi（t），Y（t）：=| G | Xi∈GYi（t）。但（67）中的这些平均值实际上是布朗运动，具有一定的漂移和差异系数，很容易从（51）中计算出来。它们相互关联，但并不完美。因此，Y- Yi不是遍历的，并且（50）中定义的过程也不是遍历的。私人银行被分为两类，它们相互“漂移”。6、总结性评论我们研究了一个模型，即N家私人银行通过银行间资金交换货币，在央行设定的利率下从一般经济中借款，以及投资由风险资产组成的投资组合；这些投资组合由相关的几何布朗运动建模。这代表了模型（1）的增强，该模型是在[8]中获得的，是银行相互借款的结果。我们概括了[8]中的银行间流动，使其具有异质性。每个私人银行都将其预期的终端对数效用最大化。中央银行最大化系统总规模的指数效用函数。由于这种特殊的效用函数选择，我们能够解决每个私人银行和中央银行的控制问题。