利用银行间流动、借贷和投资对金融系统进行建模

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英文标题：
《Modeling Financial System with Interbank Flows, Borrowing, and Investing》
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作者：
Aditya Maheshwari, Andrey Sarantsev
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In our model, private actors with interbank cash flows similar to, but nore general than (Carmona, Fouque, Sun, 2013) borrow from the outside economy at a certain interest rate, controlled by the central bank, and invest in risky assets. Each private actor aims to maximize its expected terminal logarithmic utility. The central bank, in turn, aims to control the overall economy by means of an exponential utility function. We solve all stochastic optimal control problems explicitly. We are able to recreate occasions such as liquidity trap. We study distribution of the number of defaults (net worth of a private actor going below a certain threshold).
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中文摘要：
在我们的模型中，银行间现金流与（Carmona，Fouque，Sun，2013）相似但不一般的私人行为者以一定利率从外部经济中借款，由中央银行控制，并投资于风险资产。每个私有参与者的目标是最大化其预期的终端对数效用。反过来，央行的目标是通过指数效用函数控制整体经济。我们明确地解决了所有随机最优控制问题。我们能够重现流动性陷阱等情况。我们研究了违约数量的分布（私人行为者的净值低于某个阈值）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Modeling_Financial_System_with_Interbank_Flows,_Borrowing,_and_Investing.pdf (2.52 MB)

2022-6-1 03:10:25 上传

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关键词：金融系 银行间 distribution Quantitative Applications

用银行间流动、借贷和投资为金融系统建模Ditya MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEVAbstract。在我们的模型中，银行间现金流与nore generalthan（Carmona，Fouque，Sun，2013）相似的私人行为者以一定利率从外部经济中借款，由中央银行控制，并投资于风险资产。每个私有参与者的目标是最大化其预期的终端对数效用。反过来，中央银行的目标是通过指数效用函数来控制整体经济。我们明确地解决了所有随机最优控制问题。我们能够重现流动性陷阱等情况。我们研究了违约数量的分布（私人行为者的净值低于某个阈值）。1、简介我们感兴趣的是建立效用最大化的私人行为者（为了简单起见，我们称之为私人银行或简称银行）与通过利率监管借贷活动的中央银行之间的互动模型。私人银行交换（外生）现金流，并从一般经济中借款，投资于可盈利但有风险的资产。中央银行可以降低利率以刺激私人行为体的金融活动，或者提高利率以冷却这种活动。然而，有时可供投资的项目并不多。然后，私人行为体根本不借贷，而央行甚至无法通过将利率降至零来弥补这一点；这就是所谓的流动性陷阱。我们使用效用最大化方法：私人行为者借贷和投资以最大化其对数效用，中央银行将其自身的指数（有时称为CARA=恒定绝对风险厌恶）效用函数应用于某个变量，该变量衡量整个金融系统的规模。

选择效用函数是为了使中央银行（对整个系统的稳定性感兴趣）比私人行为者（只对自己的净值感兴趣）更厌恶风险。由于效用函数的特殊选择，我们能够显式求解所有相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。如【13】所示，对数效用对应于近视决策；换句话说，私人行动者是短视的。央行更倾向于规避风险，有时需要通过降低利率来降低总体风险。我们提到了系统性风险的概念，它可以非正式地描述为大量银行违约或陷入财务困境的可能性。我们了解日期：2018年10月9日。版本26.2010数学科目分类。60H10、60H30、60J60、60K35、91A15、91B70、91G80、93E15。关键词和短语。系统风险，随机控制，委托代理问题，随机博弈，平稳分布，随机稳定性，李亚普诺夫函数。2017年JEL分类。C61、E43、E44、E52、G11。第一和第二作者部分得到了NSF拨款DMS 1736439和DMS 1409434的支持。我们感谢雷内·卡莫纳、扎卡里·范斯坦、让·皮埃尔·福克、马修斯·格拉塞利、伊奥尼斯·卡拉萨斯、安德烈亚·明卡和苏米克·帕尔进行了有益的讨论。2 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsev银行的违约或倒闭，因为其净值（资产减去负债）低于给定的持股。我们对这一不良事件的可能性感兴趣；这种故障的机理；以及金融危机的蔓延，少数银行的倒闭导致更多的银行倒闭。我们建议读者参考手册【15】，其中包含许多不同的系统风险方法。

我们的工作受到了【8】中介绍的模型的启发，并在【5，第5.5节】中进行了描述。如果Xi（t）是财富，Yi（t）：=log Xi（t），那么在[8]中，作者将银行系统建模为N个连续时间随机过程Y，YN，多维OrnsteinUhlenbeck动力学。随机微分方程如下所示：（1）dYi（t）=aY（t）- Yi（t）dt+σdWi（t），i=1，N、 i.i.d.布朗运动W，WN，常数a，σ>0，（2）Y（t）=NNXi=1Yi（t），t≥ 常数a被称为银行间流动率。在文献[8]中，这些均值回复漂移是由银行决定相互借款产生的。他们的决策是通过最小化一定的成本函数来完成的，粗略地说，该函数衡量的是一家银行向其他银行借款，而不是向中央银行借款。作者讨论了系统性风险背景下问题的最终参与者解决方案和平均场极限。一个重要的观察结果是：应用It^o公式，以Xi（第i家银行的实际净值）而不是Yi=log Xi改写方程式（1）。然后，由Ornstein-Uhlenbeck型条款a（Y（t））衍生的银行间流动- Yi（t））dt之和不等于0。人们可以认为，其余部分来自（或流向，取决于符号）实体经济。尽管如此，模型（1）因其简单性和分析可处理性吸引了大量的关注。在本文中，我们将在此基础上，将这些Ornstein-Uhlenbeck类型的术语扩展到beheterogeneous；见下文。我们进一步探讨了私人银行的个人决策，并扩大了中央银行的作用。此外，我们还分析了这种决策如何影响系统的稳定性。

更具体地说，我们通过假设每家私人银行投资于风险资产组合，从一般经济中借款投资于该组合（利率由中央银行控制），将利润收入囊中，并支付利息来扩展模型。与文献[8]中未分析中央银行决策的情况不同，在我们的模型中，中央银行将利率作为政策工具（用于管理私人银行的行为）。它是作为中央银行解决的控制问题的解决方案推导出来的。在我们的模型中，我们假设了两种参与者：私人银行和中央银行。私人银行希望最大化终端对数财富：（3）sup E[log Xi（T）]=sup E[Yi（T）]，i=1，N、 通过借贷和投资风险资产组合。为简单起见，我们假设私人银行的投资组合是相关的几何布朗运动。通过选择对数效用函数，我们可以显式求解相应的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。银行间流动、借贷和投资3另一方面，央行希望控制金融系统的总体规模，将利率r>0作为货币政策工具，衡量银行借贷和投资的吸引力，而不是坐拥现金。正如我们在第4节中看到的，这个利率r控制着系统的总体规模，由（2）中的Y来衡量。这不是银行的平均净值；这是净值对数的平均值。这项措施有些不标准；然而，当dynamicsin（1）以净值Xi的对数yi来表示时，它更适合我们的模型。这一衡量标准在[8]和随后的论文中都有使用，所以我们觉得在这里使用它很合适。

中央银行选择r来最大化预期指数效用（有时在文献中称为CARA：恒定相对风险厌恶）：（4）E- 经验值(-λY（T））对于某些λ>0。这对应于央行比私人银行更厌恶风险：私人银行的效用函数在Yi（t）中是线性的，而央行的效用函数在这些变量中是凹的。对于私人参与者，我们可以显式求解相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并找到最优利率r。这是由于利率r的特殊选择，我们可以显式解决每个参与者的随机最优控制问题：私人银行和中央银行。这是由于（3）中私人银行和（4）中中央银行对对数效用函数的特殊选择。对于效用函数的其他选择，可能不可能显式地解决这个最优控制问题。然后可以尝试使用平均场限值，如[9、10、21]所示。这是一个有待进一步研究的课题。这种设置在某种程度上类似于委托代理问题：委托人（现在的中央银行）允许私人银行从经济中借款，而私人银行（代理人）最大化其预期的对数终端效用（他们的合同）。在参与者的这种最优选择下，我们研究了银行对数净值的动态变化以及违约的分布。第i家银行违约的理解与上文相同：当该银行的净值Xi（t）低于某个固定的正持有额时。

这使我们能够理解该模型中的系统性风险：少数银行的违约如何导致许多其他银行的违约，见第3.4小节。除了纳入中央银行的最优策略外，我们还通过允许i银行到j银行的银行间流动利率取决于i银行、j银行和时间t来概括模型（1），并通过cij（t）表示该利率：（5）dYi（t）=NNXj=1cij（t）（Yj（t）- Yi（t））dt+dWi（t）。这里，我们假设流速满足cji（t）=cji（t），i6=j；cii（t）=0，i=1，N、 这种异质性与Ornstein-Uhlenbeck动力学在某种程度上类似于[20]的模型。如第4节所示，银行间流动率矩阵（cij（t））与系统的稳定性相对应。我们还考虑了布朗运动W，WNto有要关联的漂移和：即，我们假设W=（W，…，WN）是一个具有漂移向量u和协方差矩阵A的N维布朗运动。4 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsev上述对（1）的观察结果可以应用于（5）：如果我们使用它的公式（根据Xi（实际净值），而不是Yi=log Xi，重写这些方程，那么银行间流量加起来不等于0。与之前一样，人们可以认为其余部分来自实体经济。但我们将以[8]中的模型（1）为基础，该模型因其易处理性和清晰性而吸引了许多研究兴趣。总之，本文的主题是私人银行的最优决策，以及这些决策之间以及与中央银行决策之间的相互作用。系统风险是中央银行和私人银行在经济中做出最佳决策的结果。1.1. 贡献。我们在这里的工作受到了[8]的启发，然而，与他们不同的是，我们考虑了中央银行和私人银行的效用最大化。

考虑到中央银行设定的利率，我们首先解决私人银行在其资产组合中的最佳投资。接下来，考虑到私人银行的策略及其自身的风险规避，我们将回头寻找中央银行的最佳利率。与[8]中银行间流动率保持不变的情况不同，这里我们概括了每对私人银行的流动率是不同的。我们考虑违约分布对风险资产之间的相关性以及中央银行设定的利率的依赖性。1.2. 论文的组织结构。在第2节中，我们用随机微分方程组的随机控制问题来描述该模型。在第3节中，我们解决了每家私人银行的仓促控制问题，在第4节中，我们解决了中央银行的仓促控制问题（对每家私人银行给予临时控制）。特别是在第3节中，我们研究了违约数量的分布。这就是我们触及系统性风险概念的地方：我们感兴趣的是它对系统参数的依赖，例如各种风险投资之间的相关性。第5节包含了系统长期稳定性的结果：银行的资本倾向于保持紧密，而不是分裂成两个或多个集团。第6节是总结和对未来研究的建议。附录包含一些技术证明。1.3。审查相关模型。该模型的基本财富动态（1）已在不同环境下进行了研究。例如，在文献[7]中，研究了一个具有时滞的类似系统。【16】中研究了大偏差。在不进行详尽调查的情况下，让我们提及以下论文，这些论文使用随机微分方程和相互作用的布朗粒子来模拟银行或其他金融机构资本的动力学。

[14] 使用带有贝塞尔型扩散系数的随机微分方程系统对同时违约进行建模（在此模型中，违约是指资本达到零时）。[3，27]中的作者将此类贝塞尔型扩散系数与平均场型漂移项相结合，[3]中有一个额外的跳跃项（因此存在跳跃差异的过程）。在文献[25]中，金融系统由独立的几何布朗运动建模，违约发生在一些较低阈值的命中时间。一旦一家银行违约，其他银行的资本就会减少一定数量，可能会引发一系列违约。[6] 引入时间的平均场游戏。“计时游戏”一词指的是每个玩家选择一个最佳停止时间的游戏。平均场计时游戏是指一名球员与其他经纪人的“人群”竞争，而不是单独的竞争对手；这可以非正式地看作是游戏时间的限制，因为玩家的数量趋于一致。这是一个银行挤兑的模型，在一篇著名的论文中继续研究[11]。银行间流动、借贷和投资5让我们再提一下论文【22】，该论文通过几何布朗运动对动力学进行建模，研究平均场相对性能标准：代理人与“人群”竞争。与“人群”的表现相比，我们最大限度地提高了代理人的表现。在最近的一篇论文[4]中，银行是按集群组织的。银行间交易动态是通过一组相互作用的度量值过程建模的。研究了集群中冲击的含义。1.4. 符号对于向量或矩阵a，其转置用a表示。我们通常将向量视为列向量。两个向量a和b的点积用a·b表示。术语标准布朗运动表示漂移系数为0、扩散系数为1的一维布朗运动。

对于V≡ 1，这称为总变化范数。固定尺寸N≥ 2、然后e∈ RN是一个具有单位分量的向量（1，…，1），我们在RN中定义了以下超平面：∏：={x∈ RN | x·e=0}={x∈ RN | x+…+xN=0}。定义以原点为中心的∏上半径r的（闭合）球：（6）B（r）：={x∈ ∏kxk≤ r} 。（N- 1） -在∏上的尺寸勒贝格度量由mes∏（·）表示。如上所述，符号1（A）或1A2代表事件A.2的指示器功能。模型2.1的说明。正式描述。考虑一个由N个代理人（我们称之为私人银行）组成的系统，他们不断地相互借钱，从外部经济中借款，偿还利息，并投资于一些风险投资组合。我们在过滤概率空间上操作(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），过滤满足通常条件。我们考虑的所有过程都适用于（Ft）t≥0、设Xi（t）>0为第i家银行在t时的净值（资产减去负债），i=1，N、 设Zi（t）为第i家私人银行当时从外部经济体借入的金额。假设此类借款的利率为r（t）≥ 0，由中央银行控制。然后在时间间隔[t，t+dt]内，第i家银行偿还利息r（t）Zi（t）dt。在时间t时，该银行可支配的金额为Xi（t）+Zi（t）：其自有资本加上借款金额。该金额Zi（t）≥ 0由第i个银行控制。或者，第i家银行可能决定不借入任何东西，甚至将自己的一些钱存为现金（不赚取任何利息）。如果投资不太有利，或者更准确地说，如果回报不超过风险，就会发生这种情况。在这种情况下，我们让Zi（t）<0，并定义-Zi（t）是存放的现金数量。