金融尾部风险预测的贝叶斯实现GARCH模型

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英文标题：
《Bayesian Realized-GARCH Models for Financial Tail Risk Forecasting
  Incorporating Two-sided Weibull Distribution》
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作者：
Chao Wang (1), Qian Chen (2), Richard Gerlach (1) ((1) Discipline of
  Business Analytics, The University of Sydney, (2) HSBC Business School,
  Peking University)
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The realized GARCH framework is extended to incorporate the two-sided Weibull distribution, for the purpose of volatility and tail risk forecasting in a financial time series. Further, the realized range, as a competitor for realized variance or daily returns, is employed in the realized GARCH framework. Further, sub-sampling and scaling methods are applied to both the realized range and realized variance, to help deal with inherent micro-structure noise and inefficiency. An adaptive Bayesian Markov Chain Monte Carlo method is developed and employed for estimation and forecasting, whose properties are assessed and compared with maximum likelihood, via a simulation study. Compared to a range of well-known parametric GARCH, GARCH with two-sided Weibull distribution and realized GARCH models, tail risk forecasting results across 7 market index return series and 2 individual assets clearly favor the realized GARCH models incorporating two-sided Weibull distribution, especially models employing the sub-sampled realized variance and sub-sampled realized range, over a six year period that includes the global financial crisis.
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中文摘要：
为了对金融时间序列中的波动性和尾部风险进行预测，将已实现的GARCH框架扩展为包含双边威布尔分布。此外，作为已实现方差或每日收益的竞争对手，已实现范围在已实现GARCH框架中使用。此外，对实现范围和实现方差都应用了次采样和缩放方法，以帮助处理固有的微观结构噪声和低效率。提出了一种自适应贝叶斯马尔可夫链蒙特卡罗方法，并将其用于估计和预测，通过仿真研究，对其性能进行了评估，并与最大似然法进行了比较。与一系列著名的参数化GARCH、双边威布尔分布GARCH和已实现GARCH模型相比，7个市场指数收益率序列和2个单项资产的尾部风险预测结果明显倾向于采用双边威布尔分布的已实现GARCH模型，尤其是采用次抽样已实现方差和次抽样已实现范围的模型，包括全球金融危机在内的六年期间。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Bayesian_Realized-GARCH_Models_for_Financial_Tail_Risk_Forecasting_Incorporating.pdf (852.31 KB)

2022-6-1 03:14:24 上传

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关键词：GARCH模型 ARCH模型 GARCH 风险预测 ARCH

用于双边Weibulldistribution中金融尾部风险预测的贝叶斯实现GARCH模型北京大学悉尼汇丰银行（University of SydneyHSBC）商学院商业分析学教授王超（Chao Wang），陈倩（Qian Chen），Richard GerlachDisciplin e摘要将实现的GARCH框架扩展为包含双边Weibulldistribution，用于金融时间序列中的波动性和尾部风险预测。此外，已实现的GARCH框架中使用了已实现的范围，作为已实现方差或每日回报的竞争对手。此外，对实现范围和实现方差应用子采样和缩放方法，以帮助处理固有的微观结构噪声和效率。提出了一种自适应贝叶斯马尔可夫链蒙特卡罗方法，并将其用于估计和预测，通过仿真研究，对其性能进行了评估，并与最大似然法进行了比较。与一系列著名的参数GARCH、双侧威布尔分布的GARCH和已实现GARCH模型相比，7个市场指数收益率序列和2个单项资产的尾部风险预测结果明显支持包含双侧威布尔分布的已实现GARCH模型，尤其是采用次抽样已实现方差和次抽样已实现范围的模型，包括全球金融危机在内的六年期间。关键词：已实现GARCH、双边威布尔、已实现方差、已实现随机数、子抽样、马尔可夫链蒙特卡罗、风险价值、预期短缺。1简介自1993年J.P.Morgan在RiskMetrics模型中引入风险价值（VaR）以来，世界各地的许多金融机构和公司现在都采用风险价值（VaR）来协助其资本配置和风险管理决策。Var将市场风险表示为一个数字，并已成为标准的风险度量工具。

然而，VaR受到了批评，因为它无法衡量极端的预期损失，违反回报率，也不是完全一致的：即它可以支持非多元化。Artzner等人（1997、1999）提出的预期亏损（ES）给出了预期亏损，前提是回报率超过VaR阈值，是一个一致的衡量标准。因此，近年来，它已被更广泛地用于尾部风险度量，目前已被巴塞尔资本协议所推荐。准确的波动率估计在参数VaR和ES计算中起着至关重要的作用。在波动率估计模型中，Engle（1982）和Bollerslev（1986）分别提出的自回归条件异方差模型（ARCH）和广义ARCH（GARCH）在近几十年来得到了广泛的应用。在过去几十年中，还开发了许多GARCH类型的扩展模型：例如，引入了EGARCH（Nelson，1991）和GJR-GARCH（Glosten，Jagannathan和Runkle，1993），以捕捉众所周知的杠杆效应（参见e.g.Black，1976）。参数风险估计的第二个关键方面是条件回报或误差分布的规定。大量文献表明，这应该是厚尾的，并且可能是倾斜的，参见Bo llerslev（1987），Hansen（1994），Chen et A l。（2012），Chenand Gerlach（2013）。Bollerslev（1987）提出了有条件学生恐怖分布的GARCH。Hansen（1994）开发了一个倾斜的Student-t分布，采用GARCH模型，也允许条件偏度和峰度随时间变化。Chen等人（2012年）采用非对称拉普拉斯分布（ALD），结合GJR-GARCH模型，发现在GFC期间，与Student-t和Gaussian误差相比，它是唯一一贯保守的尾部风险预测者。

Chen和Gerlach（2013）在Malevergne和So r nette（2004）的工作基础上，开发了一个双边Weibull分布，这是ALD的自然和更灵活的扩展。他们将这种双边威布尔分布作为条件回报分布，说明了它与一系列GARCH型模型相结合时，在指数和资产回报的尾部风险预测中的准确性。考虑到高频日内数据的广泛和日益增加的可用性，已经提出了各种已实现的措施来改进每日波动率估计，包括已实现方差（RV）：Andersen and Bollerslev（1998），Andersen et al.（2003）；和RealizedRange（RR）：Martens和van Dijk（2007），Christensen和Podolskij（2007）。为了进一步处理固有的微观结构噪声，Martens和van Dijk（2007）以及Zhang、Mykland和Ait-Sahalia（2005）分别开发了这些过程的缩放和亚采样方法，旨在提供更平滑和更有效的实现措施。InGerlach、Walpole和Wang（2016）将次抽样方法扩展到适用于实现范围。Hansen等人（2011年）通过提出已实现的GARCH（Re-GARCH）扩展了计量GARCH模型框架，增加了一个同时将未观察到的波动率与已实现的度量联系起来的度量方程。Gerlach和Wang（2016）通过采用RR作为已实现度量，扩展了Re-GARCH模型，并说明与传统的GARCH和r-e-GARCHmodels相比，拟议的Re-GARCH RR度量可以生成更准确、更有效的波动率、VaR和ES预测。Watanabe（2012）考虑了Student-t和倾斜Student-t观测方程的误差，而Contino和Gerlach（2017）也考虑了这些选择，包括测量方程。

Gerlach和Wang（2016）以及Contino和Gerlach（2017）发现，采用实现范围的Student-t-Gaussian观测测量方程组合在预测可能性方面最受欢迎，但在标准分位数测试方法考虑的数据系列中，至少有一半仍然被拒绝。为了改善这种情况，本文根据Chen和Gerlach（2013）以及Gerlach和Wang（2016）的发现，建议在已实现的GARCH框架中采用双边Weibulldistribution。此外，与Hansen et al.（20 11）、Watanabe（2012）和Gerlachand Wang（2016）相比，我们通过合并比例化和亚样本化度量扩展了已实现的GARCH建模框架。此外，针对所提出的模型开发了一种n自适应贝叶斯MCMC算法，扩展了Gerlach和Wang（2016）的算法。为了评估推荐的Re-GARCH TWG模型的性能，采用各种已实现的度量作为输入，将评估相关VaR和ES预测的准确性，并与竞争对手（如CARE、GARCH和标准Re-GARCH模型）进行比较。本文的结构如下：第2节回顾了几种已实现的度量，并提出了次抽样RR。第3节回顾了双边威布尔分布、其标准化过程和相关特性。第4节提出了包含各种已实现测度的已实现GARCH TWG模型；第5节介绍了用于估计和预测的关联似然和自适应贝叶斯MCMC算法。第6节和第7节分别讨论了模拟和实证研究。

第8节总结了本文并讨论了未来的工作。2实现的度量本节回顾了流行的实现度量以及子采样实现范围。对于t日，代表每日高点、低点和收盘价的Ht、LT和Ct，最常用的每日对数回报为：rt=log（Ct）- 日志（Ct-1） 其中RTI是相关的波动率估计器。如果每天t被分成N个大小相等的长度间隔, 下标为Θ=0，1，2。。。，N、 可以计算出几种高频电压测量值。对于dayt，将第i个区间收盘价表示为Pt-1+1△和Ht，i=sup（i-1)△<j<i△Pt公司-1+jandLt，i=inf（i-1)△<j<i△Pt公司-1+jas这段时间内的价格高低。Andersen和Bollerslev（1998）提出的RV是：RV△t=NXi=1[对数（Pt-1+1△) -日志（Pt-1+（i-1)△)]（1） Martens和van Dij k（2007年）以及Christensen和Podolskij（2007年）开发了R ealizedRange，它对周期内范围的平方求和：RR△t=PNi=1（对数，i- 日志，i）4日志2。（2） 通过理论推导和模拟，Mart ijns和van Dijk（2007）表明，在某些微观结构条件和水平下，RR是一种有竞争力的、有时比RV更有效的波动率估计器。Gerlach和Wang（2016）证实，当用作Re-GARCH模型中的测量方程变量时，RRP可以提高预测可能性性能，并提高经验尾部风险预测的准确性和效率。为了进一步减少微观结构噪声的影响，Martens和van Dijk（2007）提出了一种缩放过程，如方程（3）和（4）所示。RV△S、 t=Pql=1RVt-lPql=1RV△t型-轻轨车辆△t、 （3）RR△S、 t=Pql=1RRt-lPql=1RR△t型-lRR公司△t、 （4）式中，RVtand rrtre分别表示t天的每日平方收益和平方范围，q被选为66。

这种定标过程的灵感来自这样一个事实，即每日平方收益和范围受微结构噪声的影响均小于其高频率对应项的影响，因此可用于定标和抑制RV和RR，无需创建微结构敏感度量。此外，Zhang、Mykland和Ait-Saha lia（2005年）提出了一个次级抽样过程，也用于处理微观结构影响。对于第t天，将N个大小相等的样本分组为M个大小为N/M=nk的非重叠子集Θ（M），这意味着：Θ=M[M=1Θ（M），其中Θ（k）∩ Θ（l）=, 当k 6=l时，将在子集Θi上执行子采样，其nkinterval为：Θi=i，i+nk。。。，i+nk（M- 2） ，i+nk（M- 1） ，其中i=0，1，2。。。，nk公司- 1、将t天第i个间隔的对数收盘价表示为Ct，i=Pt-1+1△, 带有子组Θiis的theRV：RVi=MXm=1（Ct，i+nkm- Ct，i+nk（m-1)); 其中i=0，1，2。。。，nk公司- 1、我们的T/M RV带有T/N子采样为（假设每天有T分钟）：RVT/M，T/N=Pnk-1i=0RVink，（5）然后，表示区间i+nk（m）期间的高价格和低价格-1） 和i+nkmas Ht，i=sup（i+nk（m-1))△<j<（i+nkm）△Pt公司-1+jand Lt，i=inf（i+nk（m-1))△<j<（i+nkm）△Pt公司-1+j分别，我们提出T/N子采样的T/M RR为：RRi=MXm=1（Ht，i- Lt，i）；其中i=0，1，2。。。，nk公司- 1.（6）RRT/M，T/N=Pnk-1i=0RRi4log2nk，（7）例如，5分钟RV和1分钟二次取样的RR可分别按以下公式计算：RV5,1,0=（logCt5- logCt0）+（logCt10- 日志5）+。。。RV5,1,1=（logCt6- logCt1）+（logCt11- 日志6）+。。。RV5,1=Pi=0RV5,1，iRR5,1,0=（对数0≤t型≤t5级- 日志LT0≤t型≤t5）+（logHt5≤t型≤t10- 日志LT5≤t型≤t10）+。。。RR5,1,1=（logHt1≤t型≤t6- 日志LT1≤t型≤t6）+（logHt6≤t型≤t11- 日志LT6≤t型≤t11）+。。。RR5,1=Pi=0RR5,1，i4log（2）53双边威布尔分布威布尔分布由威布尔（1951）引入，是极值分布和广义伽马分布的特例。

由于其多功能性，它被广泛应用于材料科学、工程和金融领域。Mittnik a ndRatchev（1989）发现，当分别应用于正回报和负回报时，它是标准普尔500指数无条件回报分布最准确的；而相关作者在范围数据建模（见Chen等人，2008）和自回归条件持续时间（ACD）模型（见Engleand Russell，1998）中将其用作误差分布。TW的形状和比例由四个参数调整。aTW分布的一般定义为，Y~ T W（λ，k，λ，k）如果：-Y~ 威布尔（λ，k）；Y<0Y~ 威布尔（λ，k）；Y≥ 0此处，形状参数满足k，k>0，尺度参数λ，λ>0.3。1标准化双侧威布尔分布由于GARCH型模型中的观测误差r需要具有平均值0和方差1，Chen和Gerlach（2013）开发了标准化双侧威布尔分布（STW），随后推导出pdf、cdf、，分位数函数和计算STD分布的似然、VaR和ES度量所需的条件期望函数。标准化TW分布相当于X=Y√Var（Y），其中Y~ T W（λ，k，λ，k）。可以看出：Var（Y）=bp=λkΓ1+k+λkΓ1+k--λkΓ1+k+λkΓ1+k.STW随机变量X=Y的pdf√Var（Y），其中Y~ T W（λ，k，λ，k）为：f（x |λ，k，k）=英国石油公司-bpxλk-1exp--bpxλk; x<0bpbpxλk-1exp-bpxλk; x个≥ 0（8）为确保pdf集成到1：λk+λk=1（9）Chen和Gerlach（2013）设置k=k，以实现相关性和简化：该选项得到了dat a的良好支持；此处也有相同的规定。因此，基于一个等式（9），我们表示一个ST W（λ，k），只需估计两个参数。AsP r（X<0）=λk，因此0<λ≤ k、 λ=k- λ.STW的平均值，uX=-λbpkΓ1+k+λbpkΓ1+k.

因此Z=X- ux是一个均值为0、方差为1的移位ST-W（λ，k）分布。Chen和Gerlach（2013）发现了CDF以及STW分布的其他相关特征，如偏度和峰度。通过在GARCH f框架中采用STW，Chen和Gerlach（2013）发现，他们提出的模型在VaRforecasting方面的表现至少与其他分布一样好，但在2008年全球金融危机之前、期间和之后的预测缺口方面表现最为有利。4提出的模型Hansen et al.（2011）实现的GARCH模型可以写成：rt=phtzt，（10）ht=ω+βht-1+γxt-1，xt=ξ+Дht+τzt+τ（zt- 1） +σεεt，其中rt=[对数（Ct）- 日志（Ct-1） ]×100是第t天的日志返回百分比，zti。i、 d。~D（0，1）和εti。i、 d。~ D（0，1）和XT是一个已实现的度量，例如RV；D（0，1），D（0，1）表示均值为0，方差为1的分布。模型（10）中的三个方程依次为：收益率方程、波动率方程和计量方程。计量方程是第二个观测方程，它捕获了潜在波动率和已实现计量之间的同期相关性。术语τzt+τ（zt- 1） 用于捕获杠杆效应。Hansen等人（2011年）利用RV作为xtin模型（10）的实现测量值；和choseGaussian误差，例如D（0，1）=D（0，1）≡ N（0，1）。渡边（2012）允许D（0，1）成为标准化学生t；Contino和Gerlach（2017）允许其为偏斜的tof Ha nsen（1994），也允许D（0，1）为标准化学生-t。Gerlach和Wang（2016）通过选择xt=RR，提出了实现范围e-Re-GARCH（RR-RG）△t、 Martijns和van Dijk（2007）提出将RR作为推动波动性的信息。在本文中，我们通过将D（0，1）作为STW分布来扩展已实现的GARCH模型。

这类拟议模型随后被称为ReGARCH TWG o r RG-TWG。此外，在本文的已实现GARCH框架中，采用了第2节所述的sca引导的和子抽样的已实现度量作为XT。平稳性是时间序列建模中的一个重要问题。根据Hansenet al.（2011）和Gerlach and Wang（2016）的推导，一般实现的GARCH模型所需的平稳性条件是：ω+γξ>0，（11）0<β+γД<1为了确保每个ht的正性，ω、β、γ都是正的。此外，如第3.1节所述，约束0<λ≤ kis也成立了。在本文中使用STW分布对所有提出的已实现GARCHModel进行估计时，这组条件随后被强制执行。5可能性和贝叶斯估计5.1 Ha nsen等人（2011）的可能性，其中D=D≡ N（0，1），模型（10）的对数似然函数为：l（r，x；θ）=-nXt=1对数（2π）+对数（ht）+rt/ht|{z}l（r；θ）-nXt=1对数（2π）+对数（σε）+εt/σε|{z}l（x | r；θ）（12），其中εt=xt- ξ - ^1ht- τzt- τ（zt- 1); 待估计的参数向量为θ=（ω，β，γ，ξ，Д，τ，τ，σε）′。Hansen等人（2011年2月）推导了该对数似然函数的一阶和二阶导数，允许通过Hessian矩阵计算估计的渐近标准误差。随后，该模型被表示为RG-GG（用高斯-高斯误差实现的G ARCH）。根据我们的选择D~ ST W（0，1）；D≡ N（0，1），如方程（8）所示，模型（10）的对数似然函数为：l（r，x；θ）=nlog（bp）+nXt=1（k- 1） 日志-bpxλ-nXt=1-bpxλk{z}l（r；θ）（13）-nXt=1对数（2π）+对数（σε）+εt/σε|{z}l（x | r；θ）；当x<0时，以及l（r，x；θ）=nlog（bp）+nXt=1（k- 1） 日志bpxλ-nXt=1bpxλk{z}l（r；θ）（14）-nXt=1对数（2π）+对数（σε）+εt/σε|{z}l（x | r；θ）；当x≥ 0。此处，bp=V ar（Y），λ=k- λ.