金融尾部风险预测的贝叶斯实现GARCH模型

X=Y/bpis标准化，εt=xt- ξ - ^1ht- τzt- τ（zt- 1).在（11）中的约束和（ω，β，γ）上的正性条件下，现在要估计的参数向量为θ=（ω，β，γ，λ，k，ξ，Д，τ，τ，σε）′；进一步限制0<λ≤ k、 5.2贝叶斯估计方法本节规定了估计参数的贝叶斯方法和MCMC程序。（13）和（14）中的可能性涉及10个未知参数；其中大部分是方程的一部分，涉及潜在的、未观测到的变量。这些可能性的ML估计值的性能和单位示例属性尚未研究。因此，我们也考虑在贝叶斯框架下，在无信息先验条件下，将强大的数值和计算算法hms作为这些模型的竞争估计器。在Chen等人（2017）的“历元”方法的基础上，采用了一种自适应MCMC方法，该方法是对Gerlach和Wang（2016）的方法的扩展和改编。对于磨合期的初始“纪元”，每个参数块都使用了Metropolis算法（Metropolis e t al.，1953），该算法采用了3个高斯概率分布和随机游走平均向量的混合。每个mixtureelement中每个块的建议var cov矩阵为Ci∑，其中C=1；C=100；C=0.01，∑初始设置为t o2.38√（di）Idi，其中di是生成的参数块（i）的尺寸，Idi是尺寸di的标识矩阵。

随后对协方差矩阵进行调整，使目标接受率达到23。4%（如果di>4，或35%（如果2≤ di公司≤ 通过Roberts、Gelman和Gilks（1997）的算法hm，符合标准。为了增强链的收敛性，在第一个历元结束时（比如20000Iterations），在丢弃（比如）前2000个迭代后，计算每个参数块的协方差矩阵，该矩阵用于下一个历元（20000次迭代）的提案分布。在每个历元之后，计算该历元中每个参数链的标准偏差，并将其与前一历元中m的标准偏差进行比较。该过程持续进行，直到平均绝对百分比变化小于预先规定的阈值，例如10%。在实证研究中，平均需要3-4个时期才能观察到这种绝对百分比变化低于10%；因此，在本文的实证部分，这些链作为一个磨合期，总共运行了6000080000次迭代。最后一个纪元是在每个块中使用“独立”的Metropolis Hastings算法，使用三个高斯固有分布的混合，比如10000次迭代。将每个块的平均向量设置为该块最后一次历元迭代（丢弃前2000次迭代后）的样本平均向量；i、 e.三种混合元素中的每一种都是相同的。每个元素中的固有VAR-cov矩阵为Ci∑，其中C=1；C=100；C=0.01，∑是该块最后一次历元迭代的样本协方差矩阵（在丢弃前2000次迭代后）。例如，对于RG-TWG模型，采用了三个blo-cks：θ=（ω，β，γ，Д）′，θ=（ξ，τ，τ，σ）′和θ=（λ，k），其动机是同一块内的参数在后验（似然）中的相关性比块间的参数更强：例如。

平稳性条件导致β、γ、ν的迭代之间存在相关性，因此它们被保存在一个块中。在可能的平稳性和正性区域，例如π（θ），先验被选择为非格式化∝ I（A）是θ在区域A.6模拟研究中的一个优势。模拟研究旨在说明MCMCand ML估计器在参数估计、分位数和预期短期预测精度方面的比较性能。目的是说明这两种方法的偏差和精度特性，突出MCMC估计器的比较性能。从以下特定TWG模型模拟5000个大小为n=3000的复制数据集：模型1 rt=phtzt，zt~ ST W（0.6，1.1）ht=0.02+0.25ht-1+0.75xt-1，xt=0.1+0.95ht+0.1zt- 0.1（zt- 1） +εtεt~ N（0，0.5）。在模型1中，RTI类似于每日日志返回，XTI类似于每日realizedmeasure。故意选择非常接近1的持久性水平（β+γД）；所有真实值都接近真实数据的估计值。Chen a和Gerlach（2013）介绍了每个模型的预测α-levelVaR和ES详细信息。根据巴塞尔协议II和巴塞尔协议III风险管理指南，考虑分位数水平α=0.01。对于两种模拟方法，所有初始参数值都被任意设置为0。表1总结了估算结果。框中表示相对于MCMC和ML的偏差（平均值）和精度（RMSE）的光学测量值。结果明显支持MCMC方法。偏差结果有利于MCMC，10个参数估计中有9个参数估计值和提前一步ES预测；同时，所有10个参数和提前一步的VaR&Esforecast的MCMCmethod精度也要高得多。

这突出了MLE的收敛性、偏差和精度问题，这些问题通过MCMC方法得到了极大的改进，MCMC方法随后在经验表1中使用：RG-TWG模型的两个估计量的汇总统计数据，模型1中模拟的数据。n=500 0 MCMC MLParameter真平均RMSE平均RMSEω0.02 0.1150 0.1302 0.1514 0.5288β0.75 0.74570.0146 0.7286 0.0896γ0.25 0.22750.0387 0.4149 0.7986ξ0.10-0.3414 0.6840-0.2330 1.0298Д0.95 1.0764 0.20420.9933 0.342 9τ-0.02-0.02000.0098-0.0218τ0.02 0.02 02010.0049 0.0344 0.1497σ0.50 0.50470.0082 0.5126 0.1298λ0.60 0.60030.0288 0.5753 0.0793k1.10 1.10040.0260 1.07770.0908VaRt+1-4.9442-4.9744 0.1990-4.9666 1.7084ESt+1-6.1001-6.13740.2553-6.1402 2.6486注：方框表示基于均值和RMSE的偏好估计数。学习7实证研究7.1数据在1分钟和5分钟f频率下观察到的每日和高频数据，包括每日开盘价、高价、低价和收盘价，可从汤森路透Tick History下载。收集了7个市场指数的数据：标准普尔500指数、纳斯达克指数（均为美国）、恒生指数（香港）、富时100指数（英国）、DAX指数（德国）、SMI指数（瑞士）和ASX200指数（澳大利亚），时间范围为2000年1月至2016年6月；以及两项个人资产：IBM和GE（均为美国）。IBM拥有与7个指数相同的起始数据，而GE的起始数据收集时间是2000年5月，仅在2000年5月3:1的股票分割之后。这些数据用于计算每日收益率。此外，5分钟的数据用于计算每日RV和R R测量值，而5分钟和1分钟的数据用于生成这两个测量值的大规模和亚抽样版本，如第2节所示；q=6 6用于缩放过程，即大约3个月。因此，最终开始时间为数据收集开始时间后的3个月。

图1绘制了标准普尔500指数每日回报的绝对值，以及√RV和√RR，用于展示。0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500标准普尔500 Abosulate ReturnSqrt RVSqrt RR图1：标准普尔500绝对回报，√RV和√RR图s.7.2尾部风险预测和资本效率GFC后，随着投资者信心下降和全球经济增长放缓，廉价资本流动减少；与此同时，更严格的监管（巴塞尔协议III，2019年全面生效）给监管资本的准确性和使用带来了更大的压力。虽然监管机构通常会建议监管资本，但各机构可能会进行内部资本充足率评估，以确定日常业务决策所需的经济资本。因此，经济资本配置通常更具动态性，根据麦肯锡2012年对25多家欧洲银行进行的资本管理调查，经济资本配置可能占监管资本的90%至120%。金融机构可以通过准确计算风险水平，消除过度保守主义，快速筹集大量投资资金。我们的目标是展示我们的模型能够提供这些。Ba sel II和III资本协议支持VaR和ES作为金融机构用于市场风险管理的尾部风险度量。因此，对于机构来说，获得高精度的VaR和ES预测模型，允许准确的资本配置，以避免违约和资金过度配置，是非常重要的。

根据《巴塞尔协议II》和《巴塞尔协议III》的建议，对7个指数和2个资产系列的每日风险价值（Va R）和预期缺口（ES）进行了估计。持有资产的一期VaR和有条件的一期VaR或ES通过α=P r（rt+1<VaRα）正式定义|Ohmt） ；ESα=E[rt+1 | rt+1<VaRα，Ohmt] 其中，rt+1是从时间t到时间t+1的一个周期返回，α是分位数水平，并且Ohm这是时间t的信息集。采用样本数据中具有固定大小的滚动窗口进行估计，以产生每一步超前预测；表2给出了每个系列的样本量n，这是由于每个市场的非交易日造成的。为了查看GFC期间的表现，将预测样本的初始日期选择为2008年初。平均而言，从一系列模型中为每个收益序列生成2111个VaR和ES预测。其中包括拟议的Re-GARCH TWG型模型（用MCMC估计），具有不同的波动性输入度量：RV&RR、标度RV&RR和亚取样RV&RR。为了进行比较，还包括具有Student-t分布的常规GARCH、EGARCH和GJR-GARCH、CARE-SAV（Taylor，2008）和具有RV和Gaussian或Student-t观测误差分布的Re-GARCH。此外，过滤GARCH（GARCH-HS）方法是一种lso方法，其中GARCH-t适用于样本内数据，然后是标准化VaR和ES a r e estimatedvia历史模拟，从收益样本（如r，…，rn）除以其估计的条件标准差（即rt/p^ht）。然后，通过将标准化VaR、ES估计值乘以GARCH-t模型的预测值Q^hn+1，得出VaR、ES的最终预测值。

上述所有模型均通过ML进行估计，使用Matlab中的计量经济学工具箱（GARCH-t、EGARCH-t、GJR-t和GARCHHS）或作者开发的代码（CARE-SAV和Re-GARCH）。还包括Chen和Gerlach（2013）的GARCH-TWmodel，并根据本文提出的MCMC模式进行了估计。表2给出了每个系列中的实际预测样本量m。VaR违规率（VRate）用于初步评估VaR预测准确性。VRate只是预测期内超过预测VaR水平的回报比例，如等式（16）所示：首选VRate最接近无分位数水平α=0.01的模型。对于溶质距离与1%标称分位数水平相同的VRate模型，首选保守的模型，例如0.95%为首选，而1.0.5%为首选。VRate=mn+mXt=n+1I（rt<VaRt），（15）ESRate=mn+mXt=n+1I（rt<ESt），（16）其中n是样本量，m是预测样本量。还采用了几种标准分位数准确性和独立性测试：例如，Kupiec（1995）和Christo Offersen（1998）的无条件覆盖（UC）和条件覆盖（CC）测试；Engle和Manganelli（2004）的动态分位数（DQ）检验；以及Gaglione等人的风险值分位数回归（VQR）检验。(2011).7.3 VaR和ES对于双侧Weibull，STW的逆cdf或分位数函数（VaR）在（17）f中给出，或STW分布：f-1（α|λ，k，k）=-λbph-自然对数kλαik；0≤ α<λkλbph-自然对数kλ（1- α)ik；λk≤ α<1（17）在实践中，收益率只有轻微的偏差，因此，估计值f或λkareclose为0.5。因为风险管理关注极端尾部，例如α≤ 对于长仓，0.05，因此此处仅与α<λkin（17）相关。

在这种情况下，TW的ES为：ESα=ZV aRα-∞xf（x | x<V aRα）dx，其中f（x | x<V aRα）是条件密度函数，变为：ESα=-λαbpkZ∞-bpV aRαλk“-bpxλk#k+1-1exp“--bpxλk#d-bpxλk级=-λαbpkΓ1+k，-bpV aRαλk0≤ α<λk（18），其中Γ（s，x）=R∞xts公司-1e级-tdt是上不完全gamma函数。衍生细节可在Chen和Gerlach（201 3）中找到。7.3.1风险值表2给出了9个回报序列中每个模型在1%分位数处的VRATE，而表3总结了这些结果。方框表示每个市场中观察到的VRate最接近1%的车型，粗体表示VRate最接近1%的车型。如第5节所述，G-t、EGARCH-t、GJR-t、CARE-SAV、Re GARCH-GG和带有RV的Re GARCHtG用ML进行估算，Re GARCH TWG型模型用MCMC进行估算。从表2可以明显看出，Re GARCH TWG模型作为一个整体，拥有大多数最优VaR预测序列，并且在9个收益序列中，始终保守，最接近1%的VRate。根据表3，采用RV的Re GARCH TWG模型的平均VRate（0.869%）次之，中位数（0.804%），采用STW分布的GARCH（Chen和Gerlach，2013）的平均VRate为1%，最接近1%。首先，我们将比较Re-GARCH-TWG和G-TW指数，并提供证据说明为什么在VaRforecasting中首选Re-GARCH-TWG型模型。

不同模型的VaR违约率进一步按指数和资产进行划分，以确定指数和资产首选哪种模型，如图2所示，并观察到类似的结果。除RG-TWG和G-TW外，所有模型在这一指标上都是反保守的，VRATE的平均值（和中位数）都在1%以上：Re GARCH GG最具反保守性，产生的违规行为比预期的多80-90%，这并不奇怪，因为它是唯一采用高斯观测误差分布的模型。Chang et al.（2011）和McAleer et al.（201 3）建议使用不同模型的VaR序列预测组合，以利用预测组合的相关经验观测效率，同时也对GFC等金融危机的影响进行潜在的稳健性验证。此处采用这种方法：具体而言，考虑通过取所有14个模型每天的VaR预测的平均值（“FC均值”）、中位数（“FC-Med”）、最小值（“FCMin”）和最大值（“FC-Max”）创建的四个系列。此处考虑了较低的尾部VaR预测，因此“FC Min”是14个预测中的最大值（即距离0最远），而“FC Max”是最不极端的。表2和表3还列出了“FC平均值”、“FC平均值”、“FC最小值”和“FC最大值”系列的Vrates。在这些方面，“FC Min”方法在每个系列中都是高度保守的，几乎没有违规，而“FC Max”系列产生的反保守VAR预测产生了太多违规。

14款车型中的“FC均值”和“FC中值”产生了极具竞争力（有时是最好的）VRATE的系列，这并不奇怪，因为我们有大约50%的个别车型（GTW和RG-TWG型车型）是一贯保守的，而50%的车型是相反的。采用多项测试对ecast模型的每个VaR的预测准确性和违规的独立性进行统计评估。表4显示了在5%显著性水平下进行的每次测试中，每个预测模型的1%VaR均被拒绝的returnseries数（共9个）。除了RG-RV-GG之外，与其他单个模型相比，Re-GARCH型模型通常不太可能被回测拒收，而G-TW和RG-RV-tG的拒收次数最少（3），其次是byRG-SubRV-TWG、RG-SubRR-TWG和Gt-HS（拒收4次）。“FC-Mean”和“FC-Med”具有非常有竞争力的结果。G-t、“FC最小值”和“FC最大值”组合在所有9个系列中均被拒绝，EG-t和Re-GARCH GG模型分别在8个系列中被拒绝。此外，在表4中，我们添加了一个额外的列UC*，显示UC拒绝的数量，不计算违规率过于保守时的数量。