恒弹性方差模型下的希腊解的渐近性

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英文标题：
《Asymptotics for Greeks under the constant elasticity of variance model》
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作者：
Oleg L. Kritski and Vladimir F. Zalmezh
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper is concerned with the asymptotics for Greeks of European-style options and the risk-neutral density function calculated under the constant elasticity of variance model. Formulae obtained help financial engineers to construct a perfect hedge with known behaviour and to price any options on financial assets.
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中文摘要：
本文研究了欧式期权的渐近性和在常弹性方差模型下计算的风险中性密度函数。获得的公式有助于金融工程师利用已知行为构建完美的对冲，并为金融资产的任何期权定价。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Asymptotics_for_Greeks_under_the_constant_elasticity_of_variance_model.pdf (423.8 KB)

2022-6-1 03:17:20 上传

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关键词：Quantitative asymptotics derivatives QUANTITATIV Asymptotic

恒弹性方差模型下希腊人的渐近性俄罗斯弗拉基米尔F.扎尔梅茨克理工大学Oleg L.Kritski摘要本文研究了恒弹性方差模型下欧式期权和风险中性密度函数下希腊人的渐近性。公式化培训帮助金融工程师利用已知行为构建完美的对冲，并为金融资产的任何期权定价。关键词：CEV模型；希腊欧式期权；希腊人的渐近性；标的资产；风险中性密度函数。1、简介希腊人（或期权公允价值衍生品）边际行为的计算在金融风险管理中非常重要。希腊代表衍生证券价格对基础资产价格变化的敏感性，包括一些主要参数，如无风险利率r、履约价格K、波动率σ、到期时间T、到期时间τ。因此，有关希腊人行为的信息具有实践和理论上的重要性，尤其是当经理必须对冲其证券以降低风险时，因为未来的基础价格没有很好的评估，或者无法估计所选期权策略的管理质量。希腊人和他们的渐近线采用了许多不同的方法，例如盈亏分配、奇异的合同设计，以及根据市场价格校准参数。例如，它可以用于发现Black-Scholes隐含方差行为【11，公式（3.5），第28页】： DTFSEFSETTKTCTT0020222）（）（1，，其中22TTСSC是一种希腊gamma欧式看涨期权，价格为 tttSCC公司, σ是相应的作者。俄罗斯托木斯克市列宁大道30号托木斯克理工大学，邮编634050。电话：+73822 606-335。

传真：+73822 705-691。电子邮件地址：olegkol@tpu.rulocal波动，  TttF，0是由标准布朗运动Wt生成的过滤，E是预期值。希腊人的边际行为也有助于计算近期价格，即当前价格1tCfromTaylor级数 ...2121 tCtCttttSSCCCdC，其中TTСSC是买入期权的希腊delta。此外，Black-Scholes方程[12]给出了希腊和看涨期权价格CTCTCTRCTSCR之间的关系222，其中TCTС是买入期权的希腊θ。在金融数学中，不仅希腊人的渐近性，而且其他一些期权公平价格衍生品的限制行为都是有益的。这是正确的，例如，对于风险中性密度函数 TSST，0对于最终价格ST，它汇总了有关衍生品持有人偏好和基础价格动态的所有适当信息。正如大家所知[4]， TSST，0认购期权价格二阶导数的比例 TKSCCtt，，0关于执行价格K：  TSKtrTTKTKSCeTSS2020,,,,.在这项工作中，我们计算了恒方差弹性（简而言之，CEV）模型下欧式期权的希腊渐近（第2节）和风险中性密度函数（第3节）。它是文献[7]中提出的一种标的资产价值的随机波动率模型。它考虑了股票收益率和已实现股票波动率之间的负相关（杠杆效应）；履约价格与隐含波动率之间的负相关关系【10】，而经典的Black-Scholes模型【12】没有。

此外，有一些证据[19]表明，风险中性的欧洲看涨期权价格可以是到期时间τ的非单调函数，在该函数中，增加时间t最初会增加看涨期权的价格，但在某一点后开始降低该看涨期权的价值，因此，其价格可能与BlackScholes的标准结果大不相同。由于其重要性，CEV模型在各种各样的背景下都有很多金融应用：通过Barone Adesi和Whaleyformula的扩展为美式期权定价【2】或通过Laplace-Carson变换【20】或通过Laplace逆变换【13】；期权价格的渐近展开[16]；美国期权的静态对冲【6】和美国式可违约股票的敲入期权【15】；二叉树方法[9]；基于时变copulas和CEV方法的非线性多变量利率过程建模【5】和许多其他方法。2.CEV模型下希腊人在概率空间（Ω，Ft，P）的概率测度P下的渐近性  TttF，0,CEV过程由标准布朗运动W=Wt生成，假设资产价格{S=St，0≤t型≤T} 由以下随机微分方程【7】描述：dWSdtSdS2/,其中S（0）=Sis已知，μ是预期回报率，δ是波动率，0<β<2是波动率的规模效率或弹性，这使得局部波动率12 当资产价格上涨时，ST下降。请注意，案例β=2对应于Black-Scholes模型，案例β=0是绝对扩散过程，案例β=1是平方根扩散模型，这两种模型均在[8]中描述。让我们从现在开始 tT,21和  )2（扩展rm。

CEV看涨期权价格Ct与行权价格K和到期时间T表示为[17]    yxQKexyQSCrt2,2；212,22;2.,        （1） 在哪里2mkSx，2kKy， )1(222mrk，（2） xyQ 2,2；2.是一个具有2ν自由度和非中心参数2x的互补非中心χ分布函数。它可以表示为       112/122/2,1,22212,2;2nyuxynGxngduxuIxuexyQ，其中 )（，1nxexngnx）是互补伽马分布函数的密度， n是agamma函数， ynG，1是一个互补的伽马分布函数，   DTT妇科学 ,1,1和   021!4/2JJQQJQJZZZ是第一类订单q的修正贝塞尔函数。CEV看跌期权价格PTI很容易从“看涨期权”平价中找到，如下所示    xyQSyxQKePrt2,22；212,2;2..

（3） 在CEV模型下计算希腊欧式期权的封闭式解决方案如【14】所述：       YXPKEXXYPXXYQSCRTС2,2；2222,24;2222,22;2.,  （4a）1CtPSP，（4b）     XYPSXXYPXXSCTС2,26；2222,24;2232222222    22222222,22;2222,2;222SpyXpkesxyXpkesxprr,  (5)   xySpmrxxyQKreCtCrttС2,24；21222,22;2. yxpKer2,2；2.,         （6a）     yxpkexyspmrxyxqkretprtp2,2；22,24;21222,2;2.,   （6b）    yxpkexyspxpegacvegartptc2,2；22,24;240,  (7)       yxpKexySpmrxyxQeKrCrrtC2,2；22,24;212122,2;21,  （8a）      yxpKexySpmrxyxQeKrCrrtP2,2；22,24;212122,2;2.,  （8b）其中     2/）2（4/22/）（/21，；Iep，ω>0，是一个互补的非中心χ–密度函数。让我们研究欧式看涨期权和看跌期权价格的边际行为，以及它们在方程（1）、（3）–（8b）中的梯度，当0,,KrT、 案例a.0.从式（2）可以明显看出YXK000LIMLIM。此外，1lim0m、 为了获得所需的限制，我们应该发现所有通向表达式（1）、（3）–（8b）的函数的渐近性。   Duxuixyqyux22212,22；22/22/2=（sub u=2xz）=  xyzxdzxzIzex/11222，（9）    duyuIyueyxQxuy22212,2；212/122/2=（sub u=2yz）=  yxzydzyzIzey/11222。（10） 此外，我们使用修改后的贝塞尔函数渐近，当其参数z、 如【1，等式（9.7.1）】所示： 泽齐兹2~.

（11） 因此，在将（11）代入（9）、（10）并完成平方后，分布函数重写为  xyzxdzzexxyQ/2/112～2,22；2=（subxpz21) = 21212xyxpdpxpxpe，2012年1月22日 21212xyxpxOdpe；(12)  yxzydzzeyyxQ/2/1122,2；2=（subypz21)==   Yodpedpyyxypyx2121211/221/22/1222。（13） 从式（13）中，我们得到  yOdpexyQyxyp21211～2,22；21/222.使用公式（11），我们可以发现密度分布函数在0时的所有渐近性，这些渐近性在（4a）–（8b）之间: 442222~1~2;2.2xyecxyceeyxpemskyxyx,      （14a）  41414122222~~1~2,24;2xyecexycxyceexypemskyxyx,  （14b）   xypxyp 2,26；2~2,24;2.,        （14c）   yxpyxp 2；22;2~2;2.2.,        （14d）其中C和Care常数，与τ无关。取（1）、（3）–（8b）中的极限，并使用公式（2）和渐近（12）–（14d），我们得到 kskskskskkscsct，，0,1,0,1,0lim0； Kskskskskskpt，0，，0,1,0,1lim0； 4100222lim22,1,0limxyexksksksemskc KSKSxyeCxSKEmSk，1,0LIM24022；KSKSCP，0,11limlim00；     CSKxCSxCxSxPС222122120002222223223223limlim 0122422222xyeCSKxyEmSk；  KSKSRKXYEMCKESCRXKSRKEMSKRС，1,01）（22lim，1,0lim4100222；KSKSrKP，0,1lim0；0Lim4Lim410000222xyeCKeSCxVegaVegaEmSkrPC。因为极限的有限性 KSKSyxQ，0,12；2.2lim0，我们得到 0121lim20lim4100222xyeCKeSCmrxEmSkrC；0lim0案例b。.从式（2）可以明显看出，0limlimyxk。

根据CEV模型的定义，其如下222 S、 0<2, i、 e。像.就像这个案子一样0我们发现，当. 我们使用等式。（9） ，（10）和修正的贝塞尔函数渐近性z、 asit由【1，等式（9.6.7）】给出 )1(~2zzI。（15） 那么 xyzxdzzeexxyq/1212）1（2~2；22；2=（subxtz/) =YTXDTTE）1（；（16） yxyzydzzeeyyxQ/122）（2~2,2；2=（subytz）/)=xtydtte1）（（17）使用（15）我们发现，当: 1)2(21~2,24;2 yexypyx，（18a） 1)(21~2,2;2 xeyxpyx，（18b） 2)3(21~2,26;2 yexypyx，（18c）  xeyxpyx）1（21～2,22；2。

（18d）取（1）、（3）–（8b）中的极限，并使用渐近（16）–（18d），我们得到1） （1）1（lim，RytxxTyrtkedtteesdtteeekep）1（1）（限值1； 1） 2（2lim）1（LIM YEXDTEEYXYTXC 1） （2英寸xeKeSyxr；01limlim内容提供商； 12） 2（232limlim yexSxyxPС     0)1(2)(2)3(2221222222xeSKexyxeSKexyeSxyxryxryx； 0）2（lim12）（lim11xekeyexsmrdteekreyxryxxtyrС； ryxryxxtyrPKrexeKeyexSmrdtteeKre）（）2（lim12）（lim11；0）（）2（lim1lim10xeKeyexSVegaVegayxryxPC； 11） 2（lim121）（1limlim yexSmrdtteeeKyxxtyrC0）(xeKeyxr； 11） 2（lim121）（limlim yexSmrdtteeeKyxxtyrPryxreKxeKe）（.案例c。K、 从式（2）可以明显看出YXKKKKLIM、constlim、constlim。因此我们使用等式。（12） ，（13）作为分布函数渐近，等式（11）作为修正的贝塞尔函数渐近。我们有  2/)1(4241~2,24;2xyxyexypyx，（19a）  2/)2(4241~2,26;2xyxyexypyx，（19b）  2/)1(4241~2,2;2yxxyyxpyx，（19c）  2/4241~2,22;2.yxxyyxpyx。

（19d）取（1）、（3）–（8b）中的极限，并使用渐近（12）、（13）、（19a）–（19d）得到yxpKrxypKtKdpeKedpeSC222/222/22211lim21lim21lim=  0222lim2111lim222222/22yxeKedpeKeyxKryxpKr，as2～2122/22EDPEPIWHEN;xypKyxpKrtKdpeSdpeKeP222/222/22211lim21lim21lim；  2/）1（4222/22Lim2221LimxyxyExdpeyxkxypkСK  0lim222/）1（42yxxyeKSexyxKr；11limlimCKPK；    xypSxxypxSxKKPKСK2,26；2lim222,24；2LIM2322LIM222    0lim22lim222/4222/）1（422222yxxyyksxeyxxykexsexyxkryxkr；yxpKrСKDPEKRE222121LIMLIM公司  2/）1（2/）1（42lim）1（22yxKexySxyemrxryxK=  0222lim2222yxeKreyxKr，as2～2122/22EDPEPIWHEN;YXPKrpkdpekre22221limlim； 2/）1（2/）1（402Limlimyxkexysxyexvegavegaryxkpkck=0；YXPKrckdpeke22221limlim  2/）1（2/）1（42lim1212yxKexySxyemrxryxK  022lim22222yxeKeyxKr，as2～2122/22EDPEPIWHEN;YXPKrpkdpeke22221limlim；案例d。r、 从式（2）可以明显看出，0lim，lim，0limyxkrrr，0limxyr。此外林女士。因此，我们具有与等式中相同的渐近性。（12） ，（17），（18a）–（18d）。