好信号变差：带切换努力的动态信号

部分可观察到的低成本发送者倾向于施加未观察到的效应，但高成本发送者倾向于不施加。只有完全无法观察到的影响才会对市场产生影响。类型是这种隐藏的效果的级别。部分可见的影响是信号活动，市场并不直接关心这些活动。纯马尔可夫平稳策略是一个可测函数（eB，eG）：R→[0，1]将对数似然比映射到类型的影响。状态变量l是市场的对数似然比。形式上，时间t的状态变量值是左极限lt-对数似然比过程（lt），类似于尤什凯维奇（1988）。对数似然比LTI是时间的函数。左极限表示时间从下方接近t。这种假设确保了市场的对数似然比不会预测信号。直觉上，市场并不以“下一刻”的信号实现为条件。公约l0-= lis用于状态变量的初始值。此后，只考虑纯马尔可夫平稳策略，省略“纯马尔可夫平稳”短语。信号过程为泊松速率（1-et）λ+时间t时的d。参数λ∈ （0，∞) 被解释为提供信息，而d≥ 0是最小速率。信号的含义是内生的，信号是否能提高或降低人们对信号类型的信念取决于市场对发送者的预期策略。因此，在不同的对数似然比下，相同的信号可能具有相反的含义。市场观察信号，但不观察发送者的输出类型。

由于信号处理是公开的，更新后的对数似然比是常见的知识。泊松率线性效应在一定程度上失去了一般性，但比最初看起来要小。变量的变化^e=f-1（e）将成本转换为cθ（f（^e）），将信号速率转换为（1-f（^et））λ+d，可能是非线性的。严格递增凸f保持凸性和强单交叉成本。设置的下一部分是市场对数似然比的贝叶斯更新。表示市场期望发送方选择的策略*= （e）*G、 e类*B） 。此符号也用于平衡策略。如果信号以对数似然比l出现∈ R、 然后对数似然比跳到j（l）=l+lnλ(1 - e*G（l））+dλ（1）- e*B（l））+d. （1） 呼叫| j（l）- l |跳跃长度。如果d=0，则（1）中的分数可能会成为某些策略e的分数*这是市场预期的。在这种情况下，更新使用（1）的限制作为d&0。这意味着=1，如果l=±∞, 然后，不管信号如何，l保持不变。请注意，任何e*, 不仅仅是平衡e*下面介绍。卖方可用的策略集独立于d。每个e取限制d和0*单独定义映射到*以及l的信号历史。使用Bayes规则的d&0限制将Bayes规则应用于空事件。以下引理总结了基于贝叶斯规则的信念更新。引理1。Let（e*G、 e类*B） 成为市场预期的战略。修复t≥ 假设信号出现在τ，τn，带0≤ τ≤ . . . ≤ τn≤ t、 然后t islt=l+λZt[e]时的对数似然比*G（ls）- e*B（ls）]ds+nXk=1[j（lτk）- lτk]。（2） 除跳跃外，根据市场预期（e*B、 e类*G） 。在跳转时给定l，跳转长度是确定的。

对数似然过程取决于仅通过信号τ，…，的（随机）定时选择的效果，τn.引理1即使在同一时刻τi出现多个信号也适用，但该事件的概率为零，因为信号过程是泊松过程。如果对于某些^l，策略的特点是e*G（l）>e*B（l）代表l∈ （十一）- ,^l）安第斯*G（l）<e*B（l）代表l∈ （^l，^l+), 那么^l是一个停滞点。附录中详细描述了停滞点。它发生在一个点^l上，该点的对数似然比从^l的正上方和下方漂移到^l。对数似然比不会偏离停滞点，但可能会在另一个方向上跳开。考虑到策略e*= （e）*B、 e类*G） 市场期望发送方选择，从实际选择效用函数eθ（·）中得到的θ型效用是预期的流动报酬贴现总额eθl（e*) = EeθZ∞经验值(-rt）[β（lt）- cθeθ（lt）]dte*, lt=0=l, （3） 其中，期望值超过随机过程（lt）t≥0，给定eθ（·）。根据每种类型最大化（3）的eG，eB是否满足（eG，eB）=（e），由（3）给出平衡路径的支付*G、 e类*B） 。计数率r>0。给定策略e*根据市场对发送方的期望，eθ上的上数（3）表示为Vθ（l）。如果市场期望采用马尔可夫平稳策略，那么每次达到给定的l时，θ型的连续值Vθ（l）都会得到很好的定义，并且与导致l的路径（lt）无关。Vθ（l）对e的依赖性*在符号中被抑制。如果e*G（l）=e*B（l），那么（lt）永远保持在l，Vθ（l）=R∞经验值(-rt）β（l）dt=β（l）r。值Vθ（l）的上边界为βmaxrand，下边界为βminr。定义1。马尔可夫平稳均衡由策略e组成*=（e）*G、 e类*B） 发送方和对数似然比过程（lt）t≥0秒。t、 1。给定（lt）t≥0，e*θ在eθ2上最大化（3）。

给定e*, （lt）t≥0派生自（2）。此后，“均衡”指的是纯马尔可夫平稳均衡。池均衡由e定义*B（l）=e*G（l）l、 很明显，它是马尔可夫式的（独立于以l为条件的过去游戏）和固定式的（独立于日历时间）。所有参数值都存在池均衡，因为ife*B（l）=e*G（l），则对数似然比永远保持在l不变。如果对数似然比对效应无反应，则对信号没有益处。这意味着没有动机在l施加影响。唯一的最佳反应是eB（l）=eG（l）=0。因此，可以保证Def中平衡概念的存在。本文的重点是e*B（l）>e*G（l）=0，表示l的另一个开集。在引言中，此类平衡称为切换效应平衡。导言还描述了这种平衡的作用路径，如图1所示。切换的出口均衡不能是唯一的，因为联营均衡总是存在的。下面将显示，如果存在一个切换平衡，则存在此类平衡的连续体。不能使用均衡来选择均衡，因为如上所述，贝叶斯规则适用于所有地方。3、切换效用均衡对于某些参数值，存在这样的均衡，即对于市场的某些对数似然比，B型的效用高于G型，尽管效用的边际成本一致较高。这一结果让人想起Feltovich等人（2002年）的Countersignaling，但其机制却大相径庭。在这个模型中，未来信息泄露的威胁会激励某人发出信号。

这种威胁对G来说并不那么严重。切换后的出口模式e*B（l）>e*G（l）=0是违反直觉的，因为较高的对数似然比带来的流量效益对于这些类型是相同的，但B具有较高的信号边际成本。强大的单交叉使得结果更加明显。切换后的输出模式要求在somel处Vb降低，因为如果e*B（l）>e*G（l），那么j（l）>l和B为避免跳跃付出了代价。为了达到最佳效果，需要VB（j（l））<VB（l）。VBinl的减少意味着B类型的贴现支付降低了接收者分配给他作为G的概率。转换支付均衡的构建如下：首先，假设采用了适当的策略；第二，计算值函数；最后，检查策略是否在每个l处都是最佳响应。图2给出了切换效应平衡的示意图，其中假设初始对数似然比在区间（l，l）内。为了最大限度地延长转换工作的持续时间，letl→ l、 图2：切换式出口均衡中的价值函数和战略。早期职业制度：e*B> e类*G=0，l∈ （l，l），内幕人士：e*B=e*G=0，l=l，详细审查：e*G=1，e*B=0，l>l，污染：e*B=e*G=0，l<l.lVθ-∞le公司*B=e*G=0 e*B> e类*G=0无信号*G=1，e*B=0无信号信号VBVvgvgprop。下文2提供了切换平衡存在的充分条件。这些涉及值函数，它们是内生的，但所有条件都可以使用原语表示，如后面的Prop中所示。3、对于l的值，其中e*B（l）=e*G（l）（图1中的内幕和污点状态），激励是微不足道的，因为l不响应（1）中的信号。因此，唯一的最佳响应为eB（l）=eG（l）=0。

上面用同样的理由来说明池均衡的存在。仍需使用e检查对数似然比区域*G（l）=1，e*B（l）=0（图1中详细说明）和e*B（l）>e*G（l）=0（图1中的早期职业）。对于这两种类型，每个l都有激励约束，但这个连续体可以简化为五个不等式，如图3所示。在审查区域，每种类型都有一个不平等；职业生涯早期G的一个不平等；B在职业生涯早期还有两个不平等。检查最佳响应是否为eG（l）=1，e时eB（l）=0*G（l）=1，e*B（l）=0，足以验证两个条件：（i）当回避动机（跳跃前负后的值）最小时，G有避免跳跃的动机；（ii）当回避动机最大时，B没有这种动机。G发挥最大作用的条件是Prop。2（a）以下，且B选择零作用力的条件为道具。2（b）。这些也如图3所示。在e*B（l）>e*G（l），必须检查G没有避免跳跃的激励，B没有太多或太少的激励，因此B的最佳响应是内部。定义>θ=sup{Vθ（l）：e*B（l）>e*G（l）}，V>θ=inf{Vθ（l）：e*B（l）>e*G（l）}，Vθ=sup{Vθ（l）：e*G（l）=1，e*B（l）=0}，Vθ=inf{Vθ（l）：e*G（l）=1，e*B（l）=0}。G在职业生涯早期避免跳跃的最大诱惑发生在跳跃到略高于l的最大值V>G（见图3）。如果V>和VG（l）=VGD之间的差异没有激励G施加影响（支柱中的条件（c））。2） ，则这些区域中的其他VG（l）和VG（j（l））也不存在。决定早期职业中B影响的平衡条件λ[VB（l）- VB（j（l））]=cB（e*B（l））和j（l）=l+λ+dλ（1-e*B（l））+d。第一个是B的FOC，确保B在给定跳跃长度的情况下得到优化。

第二个条件确定了给定平衡力的跳跃长度*B（l），使用e*G（l）=0。当e时，B选择平衡水平的充分条件*B（l）>e*G（l）=0如下所示：在V>B跳到VBdo时，不会激励B发挥最大的作用（第2（d）项），在V>B跳到VBdo时，会激励积极的作用水平（第2（e）项）。然后，通过中值定理，可以找到内部作用力水平和跳跃长度，从而使用（1）从作用力导出跳跃，并且作用力是对跳跃的最佳响应。图3：d=0时，切换的出口平衡中的激励。道具2（a）–（e）是垂直双端箭头。lVθ-∞l ll公司∞VBVBVGVGVG（b）（a）（e）（c）（d）提案2。固定l，l∈ R，l<land fix l∈ （l，∞]. If（a）infnVG（l）-β（j（l））r:l≤ l<lo≥cG（1）λ，（b）supnVB（l）-β（j（l））r:l≤ l<lo≤cB（0）λ，（c）V>G- VG公司≤cG（0）λ，（d）V>B- VB<cB（1）λ，（e）V>B- VB≥cB（1-d/λ-（λ+d）exp（l-l） /λ）λ，（f）liml→lj（l）≤ l、 那么在whiche中存在一个平衡*B（l）>e*G（l）=0，如果l∈ （l，l），e*B（l）=0，e*G（l）=1如果l∈ （l，l），e*B（l）=e*G（l）=0，如果l/∈ （l，l）。证据见附录。道具的有效条件。2与成本的强单交叉保持一致（B的边际成本一致高于G），这使得结果更令人惊讶。当道具中的d=0时。2，e的上界l*G（l）=1，e*B（l）=0区域必须为∞. 否则VB（l）-βminris足够大，可以诱导B对l施加影响。如果在审查区域，永远需要施加影响，则B型的值会降低，这有助于恢复激励。支柱中的条件（a）–（e）。2对避免LHS跳跃的边际效益有一个界限，对RHS跳跃频率的每单位边际成本有一个界限。边际收益是跳跃前后对数似然比之间的值差。

边际成本cθ在边界上进行评估。无作用力跳跃的速率为λ，这也是单位作用力跳跃速率的降低。每种条件下θ型函数的不等式和界确保了所需的函数水平。例如，在（a）中，避免跳跃的边际效益下限大于审查区域内最大效益1时G的边际成本。在（e）中，e的下界*Bis不是0，因为与e一起*G=0，这将使跳跃长度为零。相反，下限1-dλ-λ+dλexp（l- l） 在e上*Bensures认为，从职业生涯早期区域跳转到审查区域。所需的最大跳跃长度为l- l、 支柱中的条件（f）。2确保跳转结束于一个区域，该区域的值函数可以以闭合形式计算，这在技术上很方便。道具2有助于在数值计算完价值函数后检查激励。在l区域，其中e*G（l）<e*B（l），通常无法以闭合形式找到valuefunctions。必须使用数值模拟。图4显示了一个切换作用力平衡的数值示例。信念u=exp（l）1+exp（l）用于x轴而不是l，以便在所有l处显示Vθ（l）。y轴具有对数刻度。职业早期开始时，G的先验概率为0.6（l=ln（1.5））。当信念u降至0.4时，即l=ln，即获得内幕人士身份.将β的假设放宽到有界和弱递增，对于某些β，可以找到闭合形式的值函数。这种β可以选择为图4：β（l）=exp（l）exp（l）+exp（4.2），cG（e）=e，cB（e）=200e，d=0，r=，λ=2的切换效应平衡。

蓝色虚线：VG，紫色线：VB，黑色线：e*B、 使切换的输出区域无限大（在信念空间中，从 至1-  对于任何 ∈ (0,)).下一个命题从原语的角度提供了切换效应平衡的充分条件。当e*B、 e类*G∈ {0，1}，但以其他参数为界。边界使结果不如在Prop中紧密。支柱中的（a）–（f）部分。3和支柱。2对应，在这个意义上，每一个不等式在Prop。3是Prop中相应不等式的界。2、道具直觉。因此，第3项（以及下文第6项）与第6项相同。2，如上所述，如图3所示。提案3。固定l，l∈ l<l时的R。如果（a）R∞lβ（z）-cG（1）λexp-rz公司-lλdz公司-βminr≥cG（1）λ，（b）βmaxr+λ+λβminr（r+λ）-βminr≤cB（0）λ，（c）β（l）r-R∞lβ（z）-cG（1）λexp-rz公司-lλdz<cG（0）λ，（d）β（l）r-hβmaxr+λ+λβminr（r+λ）i<cB（1）λ，（e）β（l）r-R∞lhβ（z）λ+βminriexp-（r+λ）z-lλdz>cB（1-exp（l-l） ）λ，（f）d=0，则存在l∈ （l，l）和whiche中的平衡*B（l）>e*G（l）=0，如果l∈ （l，l），示例可根据要求提供。e*B（l）=0，e*G（l）=1如果l∈ [l，∞),e*B（l）=e*G（l）=0，如果l/∈ （l，l）∪ [l，∞).证据见附录。道具3需要d=0，因此存在一个使信号速率为零的有效电平。道具附录中的6涵盖了d>0的情况，因此跳跃长度是统一边界的。表达变得更加复杂，但想法与道具相同。3、无论何时，只要存在一个切换的出口平衡，就会存在一个连续统一体：如果切换的出口区域的端点发生轻微移动，并且*调整B（l）以确保附录中的（A.2）保持不变，然后得出平衡结果。更正式地说，道具的有效条件。3和支柱。

6保留一组非空的开放参数。如果d>0，则对数似然比永远不会达到±∞, 因此，类型永远无法确定。当学习结束时，B型达到l>或G型达到l<l的概率是正的，因此可能存在“错误”的永久声誉。3.1. 在某些区间内，B施加最小作用力，G施加最大作用力的其他平衡，在这两种类型之外施加最小作用力的平衡称为极端作用力平衡。极端效应发生在切换效应平衡的审查区域。存在极值效应平衡的充分条件是Prop的（a）、（b）部分。2或后续命题。（A.3）附录中以封闭形式给出了值函数。如果d=0，则检查区域（其中e*B（l）=0，e*G（l）=1）可以从一些l∈ R至∞, 如道具所示。3（a）、（b）。对数似然比越大，施加影响的动机越大。这与关于布朗噪声信号的文献不同，在布朗噪声中，中间信念的效应最高，随着类型的确定，效应趋于零。原因是，当对该类型的不确定性减少时，信念对布朗信号的反应就会减少。在本文中，效率激励由跳跃长度决定。从l跳到-∞ 当d=0时，e*B（l）=0和e*G（l）=1。如果d>0，则审查区域上下有界，如附录中所示。中间业务的效率最高，随着市场对这类业务的确定，效率将降至零。引理4。如果d>0，则sup{l:e*B（l）=0，e*G（l）=1}<∞ andinf{l:e*B（l）=0，e*G（l）=1}>-∞.平衡，其中e*G（l）=e*对于某些l，B（l）>0不存在，因为当e*G（l）=e*B（l）。这两种类型都可以通过最大限度地减少影响来节省成本。