超统计制度之间的过渡：有效性、崩溃和

例2：布朗从属关系另一个重要的例子，在L'evy过程理论中，人们可能会遇到与布朗从属关系相关的规范超统计的潜在崩溃。最近讨论了超统计与布朗从属的联系，如参考文献[41]。让我们回顾一下，L'evy过程是具有平稳和独立增量的过程。L'evy过程理论中的一个中心结果是所谓的L'evy–It^o分解[27]，该分解指出，边界方差的任何L'evy过程都可以写成布朗分量、线性漂移（趋势分量）和纯跳跃泊松型过程的和。纯跳跃过程的统计特性完全由L'evy测度ν描述，该测度定义为一般L'evy过程Xtasν（A）=E（νt（A））| t=1，（50），其中随机测度νt计算在时间间隔（0，t）内发生的大小为A的X的“跳跃”，即νt（A）=0<s≤tI公司( Xs型∈ A.Xs，0）。（51）这里Xt=X（t）- X（t-). 因此，度量值ν表示每单位时间的平均跳跃次数。L'evy过程的一个重要子类是由具有（严格）递增轨迹的过程组成的从属过程。从属项没有扩散分量，只有正漂移和正跳跃大小，因此，它会影响ν（R-) = 从属关系可以用作一个新的随机时间，在这种情况下，我们谈论从属关系。从属关系的概念根源可以追溯到Mandelbrot等人[51，52]关于资产收益多重分形模型的一系列开创性论文。当原始过程是布朗运动时，随后的从属关系称为布朗从属关系。让我们考虑一个随机过程Bt=σWt+ut，其中Wt是标准维纳过程。

此外，我们将考虑带有漂移c的从属项ttv和相关的绝对连续L'evy测度ρ（t）dt。然后，我们可以使用布朗排序来定义一个新的过程xt=σWTt+uTt=BTt。（52）可以证明[28]，XT也是一个L'evy过程，其扩散分量cσ和L'evy度量ν（x）由ν（x）给出=∞0dt（x，t）ρ（t），（53），其中（x，t）是由正态概率密度N（ut，tσ2）建模的。这个结果很容易理解；过程x的x大小跳跃的强度是过程B在时间t中改变其值的概率x乘以随机时间t具有值t的强度。然后，对所有t的积分可确保考虑与跳跃值x兼容的所有随机时间。公式（53）的结构形式与规范超统计的定义公式相同——对于每个固定的Xt=BTtis分布，它是高斯分布的混合。我们甚至可以通过与（x，t）和ρ（t），具有显著不同的特征尺度。不幸的是，测度ν（x）、ρ（t）通常不是概率测度。当所讨论的L'evy过程具有有限性（即，每单位时间内泊松型跳跃的有限平均数），例如复合泊松过程时，可以纠正这一点。在这些情况下，L'evy度量值ν=ν（dx）可以写成ν（dx）=λf（x）dx，其中λ是表示跳跃活动的有限常数，f（x）是确定跳跃大小的PDF【28】。用λ进行简单的除法就可以得到一幅统计图。这对于具有有限活动的列维过程是不可能的（过程在任何有限时间间隔内都有有限数量的非常小的跳跃）。在这种情况下，不再可能将活度与密度f（x）分开，因为两者在L'evy度量ν（dx）中非平凡地混合。

在这种情况下，不能使用超统计图。由于可以通过适当改变参数18p，从一个有限的活动传递到另一个有限的活动，因此L’evy过程。Jizba、J.Korbel、H.Laviˇcka、M.Prokˇs、V.Svoboda和C.Beck/Physica A 00（2017）1-21 19在这个过程中，规范超统计学的潜在崩溃可能只会在布朗从属的框架内发生。顺便提一下，我们还可以通过从属的方式从其他L'evy过程（例如，L'evystable过程）构建L'evy过程（参见，例如，参考文献[53]）。这提供了一种建设性的方法，允许获得非规范的超级统计学，其中（x，t）是一些稳定的分布。结论与展望在本文中，我们分析了超统计学框架下统计学的嬗变问题。为了说明涉及的要点，我们使用了七家选定公司的股价日志回报的高频数据。我们首先使用DFA和广义Hurst指数进行诊断检查，以确定是否存在具有不同基础动力学的分离良好的时间尺度。作为下一步，我们将最大似然法与Kolmogorov–Smirnov、Cram'er–von Mises和Anderson–Darling概率距离相结合，以优化三个超统计普适性类别的两个尺度统计行为。在所分析的七家公司中，我们可以肯定地发现四家公司具有两个不同超级统计体系之间过渡的明确特征。特别是，在上述四种情况下，短时间尺度（40到100分钟）对应于对数正态超统计，而在大尺度（大约一个交易日）下，伽马超统计出现。

其余三家公司没有改变超统计数据，但在检查期间仍锁定在对数正态超统计数据内。由于核密度评估和MFDFA在时间尺度小于20分钟时出现数值不稳定性，我们无法分析分钟时间尺度，也无法与参考文献[18]中的最小时间尺度结果进行比较。我们想在此强调的另一个重要问题是，规范的超级统计学可以在许多统计环境中正式出现（通常是这样），在对有关联的动态做出无保证的陈述时应该非常小心。这一点用两个例子加以说明，即时空（双重）分数差和布朗从属。在这两种情况下，相关PDF以模仿超统计学边缘PDF的形式出现（包括分离良好的尺度），但对于某些参数空间，其混合分布为负值或不明确，超统计学图片不适用。然而，这一预警并不是要贬低超统计学范式在层次复杂系统中的明显重要性。它只是为了指出一些概念上的陷阱，任何没有经验的从业者都应该避免。让我们最后提到一个有趣的联系。如前所述，统计数据的嬗变为具有不同（分离良好）时间尺度的分层随机过程提供了一种方便、易于实现的诊断工具，否则无法轻易区分和/或量化。这种识别在不同时间尺度发生的时间序列内结构的能力在精神上与小波技术类似。

有人将时间序列分成几个子序列，这些子序列可能与一个特定的时间尺度相关，然后用或普通的时间序列方法进行分析。因此，人们可以考虑一种混合方案，其中小波方法将代表一个“镜头”，可以用来放大时间序列的细节，然后超级统计学将分析每个尺度动力学，并绘制时间序列的整体图。当然，这里需要做出一个隐含的假设，即嵌套的尺度动力学可以通过超统计学来描述。目前正在调查这些方面的工作。致谢很高兴与D.Xu和H.Kleinert进行有益的对话。P、 J.、J.K.、M.P.和V.S.Weres获得捷克科学基金会（GAˇCR）第17-33812L号拨款的支持。C、 B.由EPSRC通过授权EP/N013492/1支持。附录A：文本中使用的公司词汇在本附录中，我们提供了主要文本中考虑其股价回报的公司的简要词汇表。19便士。Jizba、J.Korbel、H.Laviˇcka、M.Prokˇs、，V.Svoboda和C.Beck/Physica A 00（2017）1–21 20公司部门股票交易所AA Alcola Inc.基本材料NYSEKO可口可乐公司消费品NYSEBAC美国银行公司金融NYSEJJ强生保健NYSEGE通用电气公司工业品NYSEWMT沃尔玛故事股份有限公司服务NYSEINTC英特尔公司技术NASDAQTable 3。分析中使用的公司列表参考文献[1]P.Anderson，Science 177（1972）393。[2] R.B.Laughlin，《不同的宇宙：自下而上重塑物理学》（基础书籍，伦敦，2005）。[3] I.Licata，A.Sakaji，《涌现与组织物理学》（World Scientic，London，2008）[4]c.Beck，E.G.D.Cohen，《物理学》A 322（2003）267。[5] A.雷诺兹，物理系。修订版。利特。91 (2003) 084503.[6] S.M.D.奎罗斯，巴西。J、 物理。

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我们讨论了导致对数正态分布和伽马超统计的可能原因，以及它在真实金融序列中的反映。20分钟以下短期内的对数收益动态我们报告了核密度的一种特殊结构形式的出现，这可能是由于当个别股票（甚至分析中使用的大公司）的流动性受到质疑时，数据记录非常不准确。KO公司的人工结构如图1所示。该图显示了在不同时间尺度下，前2000个日志返回的概率密度的核密度估计值。请注意，2000个数据点已经足够清楚，因此可以认为离散水平很重要。这种艺术结构也发生在时间序列中的不同时间位置，即不一定在开始时，所有研究的时间序列都具有相同的曲线。值得注意的是，这种结构的发现相当偶然，因为整个序列的对数收益概率密度估计并没有显示出对数收益的任何离散性。解释可能是，在一段时间后，离散水平略有变化。从物理角度来看，我们可以说，对于分钟尺度，系统尚未在细胞中达到平衡，即假设τ>τr，其中细胞的τris松弛时间不成立。一个可行的解决方案是将数据聚合到一个更高的时间尺度中，在这个时间尺度中，单只股票变为流动股票，并且日志返回连续到记录精度。通过连续聚合，我们可以看到一个方便的采样间隔可以选择为20分钟，因为在这个尺度下，艺术结构消失了。

值得强调的是，在与MFDFA分析相关的正文第3.1节中，也观察到了在相同时间尺度上的不稳定性。电子邮件地址：p。jizba@fjfi.cvut.cz（彼得吉兹巴），korbeja2@fjfi.cvut.cz（Jan Korbel），lavicka@fjfi.cvut.cz（HynekLaviˇcka），proks@fjfi.cvut.cz（Martin Prokˇs），svoboda@fjfi.cvut.cz（V'aclav Svoboda），c。beck@qmul.ac.uk（克里斯汀·贝克）1P。Jizba，J.Korbel，H Laviˇcka，M.Prokˇs和V.Svoboda/Physica A（2017）1–3 2-4.-2 0 2 40.00.20.40.60.8刻度1分钟-4.-2 0 2 40.00.10.20.30.40.50.60.7刻度5分钟-4.-2 0 2 40.00.10.20.30.40.50.60.7刻度7分钟-4.-2 0 2 40.00.10.20.30.40.50.6刻度12 min-4.-2 0 2 40.00.10.20.30.40.5刻度20分钟-4.-2 0 2 40.00.10.20.30.4比例尺30 min图1。日志中的人工结构返回时间序列。示例来自KO公司。多重分形衰减分析的技术细节本节讨论多重分形衰减分析的一些技术细节。我们讨论了为分析准备数据所必需的几个步骤。第一步是时间序列的预处理。为了进行分析，时间序列必须是平稳的。不幸的是，并非所有调查的时间序列都是固定的（金融市场价格就是一个例子）。为了得到平稳级数，我们使用级数的离散导数D或积分I。其实现如下：DX（t）=X（t）- X（t- 1） IX（t）=t∑i=0X（i），其中X（t）是原始序列。这导致每一次操作的光谱移到±1。如正文中所讨论的，如果频谱偏移过大，这也是有利的。在本次分析中，我们清理了原始数据集FormsMeasurements，并准备数据集作为MFDFA实现的输入。