超统计制度之间的过渡：有效性、崩溃和

贝克/Physica A 00（2017）1–21 120.51.01.52.0安德森-Darling distance，公司AA150 170 190 210 250 270 290 310 330 370 390 410 430 450 470 490图10。AA公司安德森-达令距离测量的详细信息。考虑的时间范围是从2.5小时（150分钟）到500分钟（略高于一个交易日）。绿色：伽马分布，红色：对数正态分布。反伽马分布是不包括隐式分布的。01020304040安德森-Darling distance，公司BAC20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150图11。BAC数据集。Anderson–Darling距离度量，用于将PDF作为时间尺度的函数，在20分钟到2分钟的间隔内混合。5小时（150分钟）。绿色：伽马分布，红色：对数正态分布。反伽马分布位于偏远地区，因此不包括在内。4、不同超统计模型之间的区域转换：讨论先前的数值分析表明，在某些层次复杂系统中观察到的统计数据的变化可以理解为两个超统计区域之间的转换。除了所涉及的数值测试相对简单外，这一观察还具有启发性价值，因为它允许人们对潜在的动力学产生一些直觉。为了模拟两种超统计学之间的转换，Xu和Beck提出了inRef。[18] ，即所谓的合成模型，其中单个边际变量β在时间尺度上发生变化，可以调节对数正态超统计和伽马超统计之间的过渡。这可以通过将β定义为满足线性插值ansatzβ=（1）的随机变量来实现- κ） eX0+κni=1X2i，（21），其中κ∈ [0，1]是插值（时间尺度）参数和所有夏尔独立同分布（IID）高斯变量。

X0也是一个高斯变量，但与Xi的方差一般不同。可以预期，动力学变量x0和Xiobey在各自的特征时间尺度上是一些潜在的随机方程。参考文献[18]中提出了此类随机动力学的一些具体模型。这幅图值得进一步阐述。让我们首先考虑公式（21）定义的β对应PDF。我们假设x0取x值∈ R、 而XIV重视xi∈ R、 由此我们得到了Gκ（β）=Rn+1dx0dxδβ - （1）- κ） ex0- κni=1x2iφ0（x0）φ（x），（22），其中dx=ni=1DxAndφ（x）=ni=1φ（xi）是特征函数。φ0和φ都是高斯PDF，分别具有零均值和方差σ20和σ2。在与12p相关的标度特征函数中，与β相关的PDF。Jizba、J.Korbel、H.Laviˇcka、M.Prokˇs、V.Svoboda和C.Beck/Physica A 00（2017）1–21 131234567Anderson-Darling distance，公司BAC150 170 190 210 250 270 290 310 330 370 390 410 430 450 470 490图12。BAC数据集。Anderson–Darling距离度量，用于考虑将PDF作为时间尺度的函数，在2.5小时（150分钟）到500分钟（略高于一个交易日）之间混合使用。绿色：伽马分布，红色：对数正态分布。反Gammadistribution位于外围，因此不包括在内。β的形式为^gκ（t）=Rdx0φ0（x0）expi（1- κ） tex0Rdx1φ（x1）eiκtx21n个=∞0dy0y0φ0（ln y0/（1- κ） ）eity0∞0dy1√y1κφy1/κ1n个=∞0dy0L（y0；ln（1- κ） ，σ0）eity0∞0dy1f（y1；1/2，2κσ2）eity1n个=∞0dy0L（y0；ln（1- κ） ，σ0）eity0∞0dy1f（y1；n/2，2κσ2）eity1. （23）这里L（y0；a，b）是方差为e2a+b2（eb2）的对数正态PDF- 1） 平均值ea+b2/2，而f（y1；α，β）是方差αβ2和平均值αβ的伽马PDF。（23）中的最后一行是Gamma PDF的有限可分性的简单结果。

我们特别看到，（21）中的数字n决定了混合PDFin和Gamma超统计的顺序。4显然，当κ→ 1对数正态分布趋向于δ（y0）和^g1（t）近似于伽马随机变量X的特征函数→ 0然后f（y1；n/2，2κσ2）→ δ（y1）和^g0（t）表示对数正态随机变量的特征函数。当然，这是通过合成模型（21）描述的两个随机变量的凸组合所期望的。通过利用伽马和对数正态随机变量都是可整除的[27]（这对于它们的线性组合也是如此）这一事实，我们可以将插值ansatz（21）改写为等效形式，但出于我们的目的，可以采用更方便的形式，即β=eX0+lm级ni=1X2i- eX0= X+Z=X+li=1Zi。（24）这里X是对数正态随机变量，Z是一个新的有限可分随机变量，具有特征函数^Fl（s）=∞0dy0L（y0；ln(l/m） ，σ0）e-isy0∞0dy1f（y1；n/2，2(l/m） σ2）eisy1. （25）在（24）中，假设κ=l/m是一个有理数l, m级∈ N和0≤ l ≤ m、 特别是l = 我们设置了00i=1Zi=0。因此，任何随机变量zi都具有特征函数[^Fl（s） ]1/l. 这可以转换为获取PDF Gl/m（zi）表示zi。不幸的是，后者不能以封闭的分析形式进行，因为4等价地，可以将n视为χ2超统计中的自由度数。13便士。Jizba，J.Korbel，H.Laviˇcka，M.Prokˇs，V.Svoboda和C.Beck/Physica A 00（2017）1–21 14只有近似或数值方法可用。5注意，（24）中的RHS描述了初始（短时间尺度）对数正态随机变量，我们以等距时间间隔添加1/m均匀分布的随机变量Zi。

这意味着决定β形式的统计影响是在给定的时间实例中l/m、 0个≤ l ≤ m、 完全相同。分布G的实际形式l/m（z）在每个实例上取决于所考虑的时间间隔的1/m大小。之后l 加法这将我们带到时间κ=l/m、 associatedPDF根据（24）表格l/m（β）=dxdzδβ - x个-li=1ziL（x；0，σ0）li=1Gl/m（zi）。（26）在这个阶段，可以方便地传递到新变量βi∈ [0, ∞) via变换：x=β1- β0，z1=β2- β1，z2=β3- β2,...zl-1= βl- βl-1，zl= βl+1.- βl. （27）这里β0=0。转换（27）转换平稳时间序列{zj}lj=1到随机行走（L'evy扩散轨迹），其中时间k的样本路径值=l/m是βl+1= β1+lj=1zj。用（27）我们可以把（26）改写成l/m（β）=∞0dβ1dβ2。dβl+1δ(β - βl+1） L（β1；0，σ0）li=1Gl/m（βi+1- βi），（28）或更明确地表示yg0（β）=L（β；0，σ0），gl/m（β）=∞0dβ1dβ2。dβlGl/m（β- βl)l-1.i=1Gl/m（βi+1- βi）L（β1；0，σ0），（29）表示l , m、 andg1（β）=∞0dβ1dβ2。dβmG1（β- βm）m-1.i=1G1（βi+1- βi）L（β1；0，σ0）=f（β；n/2，2mσ2），（30）用于l = m、 请注意，g1（β）的构造就是伽马分布f（β；n/2，2mσ2）。特别是从（29）和（30）中，我们看到li=1Gl/m（βi+1- βi）L（β1；0，σ0）≡ (β1, β2, . . . , βl+1） ，（31）表示β1，…，的联合PDF，βl+1、对于时间尺度κ=l/我们可以这样写l（A）=∞0dβ1。dβl+1.l（A |β1，β2，…，βl+1)(β1, β2, . . . , βl+1)=∞0dβ1。dβl+1.l（A |β1，β2，…，βl+1)(β1, β2, . . . , βl|βl+1） g级l/m（βl+1)=∞0dβl（A |β）gl/对数正态PDF特征函数的m（β），（32）5A闭式公式在分析上未知，只有Lambert-W函数的近似公式可用[27，29]。14便士。吉兹巴、J.科尔贝尔、H.拉维奇卡、M.普罗克、V.斯沃博达和C。

Beck/Physica A 00（2017）1-21 15其中，在最后一行中，我们定义了快速变量{βi}上的平均条件PDFli=1：l（A |β）=∞0dβ1。dβl（A，β1，β2，…，βl|βl+1) . （33）注意，（32）中的最后一个等式对应于时间尺度s的规范超统计l, 前提是l（A |β）是一种有利的条件概率。根据构造，这里的情况仅适用于l = 0和l = m、 现在让我们看到，上述具有合理插值时间κ的合成模型的重新表述可以自然地嵌入到多尺度超统计框架中（4）。这将提供一个简单的随机图，将两个渐近的“规范”超统计学联系起来。为此，我们将考虑一系列标度{si=s0+i/m；i=0，l} 是{βi+1}的特征li=0。最短标度s0~ 50分钟（由滋扰参数β1描述）观察到的超统计由关系式描述0（A）=∞0dβ1（A |β1，s.v.）1（β1 | s.v.）。（34）这里的缩写“s.v.”表示比β1慢的变量。涂抹PDF在我们的例子中，1（β1 | s.v.）是对数正态PDF。另一方面，在中等尺度下，κ=l/m<1（即当sl<< sm~ 500分钟）我们可以从联合PDF开始（A，β1，β2，…，βm+1），并在短于s的短时间尺度上积分l（这相当于粗粒化或快速变量平均）。这导致l（A，βl+1，s.v.）=∞0dβ1。dβl（A，β1，β2，…，βm+1）=l（A |βl+1，s.v.）l+1(βl+1，s.v.）。（35）（35）中的最后一个等式来自于德菲内蒂-科尔莫戈罗夫关系。首字母缩略词“s.v.”表示时间尺度大于s的变量l, i、 e.，慢6变量{βi+1}mi=l+因此，当一个人专注于s级的行为时l,“s.v.”在PDF中仅作为外部参数显示。

相应的边缘PDF读取l（A）≡ l（A，s.v.）=∞0dβl+1.l（A |βl+1，s.v.）l+1(βl+1，s.v.）=∞0dβ1。dβl+1.li=1i（βi |βi+1，βi+2，…βl+1，s.v.）（A |β1，β2，…，βl+1，s.v.）。（36）在最后一行中，我们使用了公式（3）和（35）。这里，“s.v.”表示比β慢的变量l+1，即{βi+1}mi=l+因此，当一个人专注于s级的行为时l, “s.v.”在PDF中仅作为外部参数显示。在最大特征尺度下~ 500分钟（即l = m或等效κ=1）我们有m（A）≡ （A）=∞0dβ1dβ2。dβm+1f（βm+1）mi=1i（βi |βi+1，βi+2，…，βm+1）（A |β1，β2，…，βm+1）=∞0dβm+10（βm+1）（A |βm+1），（37）其中，在第二个等式中，我们使用了公式（3）和β1上的边缘化，βm，即∞0dβ1。dβm（A，β1，β2，…，βm+1）=（A，βm+1）=（A |βm+1）0（βm+1）。（38）（38）中的最后一个等式也是德菲内蒂-科尔莫戈罗夫关系的结果。对于股票价格回报athand，经验证据表明，在SMS尺度下，边际PDF遵循Gammasuperstatistics的“规范”形式，允许识别污损PDF0（βm+1），伽马PDF。6时标s的慢度l可通过在瞬间的L'evy扩散过程中样本路径阵列β的典型分布进行量化l. 可以使用局部方差或适当的局部分数矩来衡量价差。15便士。Jizba，J.Korbel，H.Laviˇcka，M.Prokˇs，V.Svoboda和C.Beck/Physica A 00（2017）1-21 16通过比较（29）-（30）与（34）-（37），我们可以做出以下识别：l（A |βl+1） g级l/m（βl+1) = l（A |βl+1，s.v.）l+1(βl+1，s.v.），l（A |β1，β2，…，βl+1) = （A |β1，β2，…，βl+1，s.v.），Gl/m（βi+1- βi）=i（βi |βi+1，βi+2，…βl, s、 v.），i>1，L（β1；0，σ0）=g0（β1）=1（β1 | s.v.）、f（βm+1；n/2，2mσ2）=g1（βm+1）=0（βm+1）。

（39）特别要注意的是，合成模型可以与马尔科·维安近似中的多尺度超统计进行识别（4）。最后，让我们对等式（32）进行评论。这里有有效的条件PDFl（A |β）是通过整合过快变量{βi}确定的li=1，即达到时间刻度sl+1[参考公式（33）]。事实上，只有l = 0和l = m有效条件概率密度函数（conditionalPDF）被证明是真正的条件概率密度函数，只有在这些情况下（32）才代表真正的规范超统计学。这类似于重整化群（RG）方法【31】，在临界点附近，关联长度是唯一重要的（长度）尺度，微观（长度）尺度是不相关的。在我们的情况下l（A |β）遵循一种非常相似的行为模式，即在标准超统计出现的尺度上，只有一个尺度是相关的（即β1或βm+1），而所有其他尺度都是无关的。7因此，规范超统计的临界点——稳定的固定点——可以被理解为尺度。此外，两个临界点之间的插值公式（32）可以理解为RG流量方程。目前正在调查这些方面的工作。5、超级统计的分解：有效性阈值在前两节中，我们已经看到超级统计可能是一种有用的工具，可以指示和分析统计在不同时间尺度上的变化，在本节中，我们将简要讨论一些不加批判地使用它所涉及的危险。值得注意的是，在许多复杂系统中，可以以与超统计边际分布（1）非常相似的形式表达一些相关PDF。

然而，这种表述通常只是形式上的，即使它们可能有一些启发性的价值，它们有时也会导致虚假的经验签名，而这反过来又表明一种毫无根据的超统计图景的崩溃。下面我们将用两个例子来说明这一点。5.1。示例1：时空分数差异的超统计解释在这里，我们将集中讨论时空分数差异过程。这些过程基于广义（福克-普朗克型）扩散方程，其中普通导数被所谓的分数导数所取代。有关时空分数差及其在金融中的应用的详细信息，如参考文献中所述。[32, 33, 34].通常是以表格形式写的*0Dγt-θDαx（x，t）=0，（40），其中*t0Dγtf（t）=1Γ(γ - γ）tt0fγ（τ） （t- τ)γ+1-γdτ，（41）(···表示上限函数）是所谓的Caputo分数导数，θDαxis是所谓的（一般化）Riesz分数导数，它是通过傅里叶变换8f[θDαxf（x）]（k）=定义的伪微分算子-θψα（k）F[F（x）]（k）=-|k |αexpisign（k）θπ/2F[F（x）]（k）。（42）7这里的意思是，当RG流被吸引到固定点时，可以忽略不相关的自由度。8传统的Riesz分数导数θ=±1.16P。Jizba，J.Korbel，H.Laviˇcka，M.Prokˇs，V.Svoboda和C.Beck/Physica A 00（2017）1–21 17有趣的是，具有伪微分算子θDαxleads的空间分数阶微分方程的解为α稳定微分Lα，θ（x，t）。参数必须满足0<γ≤ α ≤ 2为了得到 （即。， 是L1（R，dx）空间上定义的正函数）。方程（40）的解可通过拉普拉斯-傅立叶变换（tL）找到<-> s、 xF车型<-> k） ：^\'\'θα，γ（k，s）sγ- sγ-1+θψα（k）^′θα，γ（k，s）=0。

（43）这微不足道地给出了θα，γ（k，s）=sγ-1sγ+θψα（k）。（44）可以通过应用Mellin–Barnes积分变换找到解决方案【35】。让我们集中精力进行不同的演示θα,γ. 借助Schwinger的技巧【15】我们可以将（44）改写为‘’θα，γ（k，s）=∞0dl sγ-1e级-lsγe-lθψα（k）=∞0dl^γ（l，s）“”θα（k，l）。（45）在逆傅里叶-拉普拉斯变换之后，我们得到θα，γ（x，t）=∞0dlγ（l，t）θα（x，l）。（46）此处θα（x，l）是α稳定分布γ（l，t）可被视为涂抹核，其中l可被视为滋扰参数（基本上是伪时间）。有趣的是，两者θα（x，l）和γ（l，t）是（单）-分数方程的解θα（x，l）dl=θDαxθα（x，l），（47）dγ（l，t）dl=Dγtγ（l，t），（48）及其结果θα，γ（x，t）由式（46）给出。Schwinger积分表示形式上对应于式（4）中的超统计公式。另一方面，在我们得出结论，可以将给定系统视为真正的超统计系统之前，需要讨论几个方面：o概率解释：为了对涂抹分布给出清晰的解释γ（l，t），它必须是正的归一化函数。这仅适用于γ<1的情况。对于γ>1，即使时间尺度很好地分离，γ（l，t）也不能解释为超统计涂抹核。让我们注意到，这仅适用于一维差异。对于多变量情况，情况更为复杂，请参见参考文献。[36, 37].o 分离的时间尺度：即使γ<1，也不能自动保证解决方案来自超级统计。为了使超级统计学发挥作用，必须有两个完全分离的时间尺度。

对于较短的时间尺度，解可以用α-稳定分布很好地描述θα（x，t），而对于长时间尺度，我们必须使用涂抹分布θα，γ（x，t）。因此，公式（46）中参数的微小变化可能导致超统计转变，甚至崩溃。这可以在参考文献[34]中描述的不同阶次的时空分数扩散模型上加以说明。这个简单的时间相关模型考虑了不同的时间间隔Ti=[tt-1，ti]。在每个区间内，系统由具有参数（αi、θi、ωi）的时空双分数差描述。让我们进一步假设θi=θ是常数（在物理应用中通常θ=0[32]或θ=-1金融应用【33，34】）和γi/αi=Ohm ∈ （0，1）也是描述分布比例的常数，所以（x，t）=t-OhmFxt公司-Ohm. 因此，每个区间的分布由单个参数αi描述。为了简单起见，我们假设| Ti |=τ是常数。然后对于大时间t>> τ可以假设参数α的特定选择是由PDF f（α）的随机变量描述的。由此产生的长期分布可以理解为三尺度超统计θOhm（x，t）=20dα∞0dl f（α）αOhm（l，t）θα（x，l）。（49）17便士。Jizba、J.Korbel、H.Laviˇcka、M.Prokˇs、V.Svoboda和C.Beck/Physica A 00（2017）1–21 18自然，此类描述的有效性始终取决于手头的特定系统。在这里，我们必须补充，与前面的观点不同，对不同尺度及其可分性的假设。实际上，对于时间t<< τ、 系统由α稳定分布描述；对于t≈ τ演化由给定时间间隔上的时空分数差给出>> τ我们在α上还有另一个污点。5.2.