使用Malliavin的保险衍生产品定价公式

R+-值有界随机变量（εi，θi）i∈N*和独立于（εi，θi）i的R+-随机变量（ε，θ）∈N*, 式中（ε，θ）L=（ε，θ）（其中L=表示概率分布相等）。我们设定u对定律（ε，θ）。假设3.1。我们假设λ独立于（εi，θi）i∈N*, 和（ε，θ）。Fλ=（Fλt）t∈[0，T]是由随机过程λ生成的正确连续完全过滤。此外，我们设置∧t：=Ztλsds，t∈ [0，T]。（3.1）设Fε，θ是由（εi）i生成的σ-代数∈N*和（θi）i∈N*. 注意，只有（εi）i∈N*和（θi）i∈N*将参与损失过程，ε和θ只是起辅助作用的独立副本。我们用u表示偶的概率定律（εi，θi）。假设3.2。在本文中，我们得出：∧T<+∞, P- a、 s。。3.1.2双随机泊松过程我们现在考虑乘积空间(Ohm := Ohm×Ohm, F：=FC∞A、 P：=PP） 。通过滥用旋转，任意随机变量YOhm可以视为随机变量Ohm 其中ω=（ω，ω）到Y（ω）。类似地，任何随机变量ZOhm可以视为arandom变量Ohm 它将ω=（ω，ω）发送到Z（ω）。我们定义了一个计数过程N：=（Nt）t∈[0，T]打开Ohm 通过使用时间变化asNt（ω，ω）：=C∧t（ω）（ω）=CRtλs（ω）ds（ω），t∈ [0，T]，（ω，ω）∈ Ohm.请注意，对于任何t，Ntis FC∞ FλT-可测随机变量。此外，对于任何固定ωOhm, Nt（.，ω）是一个非齐次泊松过程Ohm强度为t 7→ λt（ω）相对于过滤（FC∧t（ω））t∈[0，T]读作asEheiu（Nt-Ns）Fλsi=E经验值（eiu- 1） ZtsλrdrFλs, 0≤ s<t≤ T、 式中，E表示过程（ut）T对测量值P的期望值∈[0，T]这样：utis F-可测量，t∈ [0，T]，对于a.e。

ω∈ Ohm, （ut（·，ω））t∈[0，T]是（FC∧T（ω））T∈[0，T]-可预测，EhRT | ut | dti<+∞,（3.2）我们表示为RTUSDN（ω，ω）u（ω，ω）对测度N（ω，ω）的Lebesgue-Stieltjes积分。对于任何i∈ N、 我们让τibe为过程N的第i个跳跃时间，即ω = (ω, ω) ∈ Ohm, τi（ω）：=inf{t>0，Nt=C∧t（ω）（ω）≥ i} ，在约定τ=0.3.2 Malliavin分部积分公式的情况下，我们现在可以在乘积空间上陈述Malliavin分部积分公式。对于anyt∈ [0，T]和ω∈ Ohm长度有限或极限大于t的，我们定义ω∪ {t} 在中Ohm作为递增序列，其基础集是ω和t的并集。该算子的作用是在时间t向泊松过程N添加一个跳跃。最后，对于ω：=（ω，ω）∈ Ohm, 和t∈ [0，T]，我们设置ω∪ {t} ：=（ω∪ {t} ，ω），前提是ω∪ {t} 定义明确。下面的引理是[13，Corollaire 5]或[14]中所述引理的直接扩展（另见[15]）。引理3.3。让u：Ohm ×【0，T】→ R是一个随机过程，享有（3.2），F：Ohm → Rbe有界F-可测随机变量。然后是随机过程（ω，t）7→ F（ω∪ {t} ）定义明确P dt-a.e.安第斯山脉FZTUSNS公司FλT∨ Fε，θ= EZTutF（·）∪ {t} ）λtdtFλT∨ Fε，θ. （3.3）3.3主要结果在本节中，我们通过稍微滥用符号E，给出了关于计算量Eh^LTh（LT）i的主要结果·FλT:= E·常设费用 FλT和E·FλT∨ Fε，θ:= E·常设费用 （FλT∨ Fε，θ）.其中h:R+→ R+是一个E[h（LT）]<∞ （2.1）和（2.2）中分别定义了Lt和^Lt。我们设置Дhλ（x）：=Ehh（LT+x）| FλTi，x∈ R+。（3.4）乍一看，考虑构建块中给定的条件期望λ可能会令人惊讶。事实上，由于N的强度λ是随机的，因此可以将其与具有独立随机波动率的Black-Scholes模型进行比较。

在这种情况下，Black-Scholes公式将根据给定波动率的股票终值的条件定律来编写（这将是一个简单的对数正态分布，方差由波动率给出）。再次说明，对于第2.2.1节中所述的保险合同，h：=1【K，M】，因此，Дhλ与LT的条件分布函数一致。在开始陈述和证明主要结果之前，请注意^LT=ZT^ZsdNs，（3.5）与^Zs：=+∞Xi=1g（s，λs，εi，θi）e-κ（T-s） （τi-1，τi]（s），s∈ [0，T]。（3.6）此外，在现场{sN=0}，一个有^Zs=g（s，λs，ε1+Ns，θ1+Ns）e-κ（T-s） 。（3.7）由于∧是一个连续过程，则^Z满足关系（3.2），前提是EZT |^ZT | dt< +∞.我们从下面的引理开始分析。引理3.4。根据假设3.1和3.2，对于任何t∈ [0，T]，它认为g（t，∧t，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t） ，LT（·）∪ {t} ），λtL=g（t，∧t，ε，θ）e-κ（T-t） ，LT+f（t，∧t，ε）e-κ（T-t） ，λt.证据我们设置：=NtXi=1f（τi，λτi，εi）e-κ（T-τi），L+t：=NtXi=1f（τi，λτi，εi+1）e-κ（T-τi），t∈ [0，T]。我们首先精确计算LT（ω）的值∪ {t} ）对于固定元素t∈ （0，T）和ω：=（ω，ω）inOhm 使t 6∈ ω和ω∪ {t} 定义良好（此类ω的集合具有概率1）。根据定义，我们有lt（ω∪ {t} ）=NT（ω∪{t} ）Xi=1f（τi（ω∪ {t} ），λτi（ω）∪{t} ）（ω），εi（ω））e-κ（T-τi（ω∪{t} ））请注意我∈ N、 τi（ω∪ {t} （）=τi（ω），如果i≤ Nt（ω），t，如果i=Nt（ω）+1τi-1（ω），如果i>Nt（ω）+1。因此我们可以写出LT（ω∪ {t} ）作为以下三项之和lt（ω）∪ {t} ）=Nt（ω）Xi=1f（τi（ω），∧τi（ω）（ω），εi（ω））e-κ（T-τi（ω））+f（t，∧t（ω），ε1+Nt（ω）（ω））e-κ（T-t） +NT（ω）+1Xi=NT（ω）+2f（τi-1（ω），∧τi-1（ω）（ω），εi（ω））e-κ（T-τi-1(ω)).（3.8）根据定义，总和中的第一项仅为Lt（ω）。此外，通过改变指数，我们可以写出第三项asNT（ω）Xi=Nt（ω）+1f（τi（ω），λτi（ω）（ω），εi+1（ω））e-κ（T-τi（ω））=L+T（ω）- L+t（ω）。

（3.9）因此，通过（3.8），以下等式几乎可以确定f（t，∧t，ε1+Nt）e-κ（T-t） =（LT（。∪ {t} （）- Lt）- （L+T- L+t）。（3.10）此外，从分解公式（3.8）中，我们还观察到ε1+Ntis与T+L+T无关- L+T激活FC∞ FλT。此外，根据假设3.1，ε1+Ntfc的条件定律∞ FλT符合ε定律，因为Fε与FλT无关。我们现在计算两个感兴趣的随机向量的特征函数。设χ为随机向量的特征函数g（t，∧t，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t） ，LT（·）∪ {t} ），λt.Let（u，u，u）∈ R、 一个有χ（u，u，u）：=Eheiug（t，λt，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t） +iuLT（。∪{t} ）+iuλti=Eheiuλteiug（t，λt，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t） +iu（Lt+e-κ（T-t） （f（t，∧t，ε1+Nt）+L+t-L+t）i=Eheiuλteiu（Lt+L+t-L+t）eiue-κ（T-t） f（t，∧t，ε1+Nt）eiue-κ（T-t） g（t，∧t，ε1+Nt，θ1+Nt）i.因为ε1+Nt和θ1+Nt与Lt+L+t无关- L+T激活FC∞ FλT，我们得到χ（u，u，u）=Eheiuλteiue-κ（T-t） f（t，∧t，ε）eiue-κ（T-t） g（t，∧t，ε，θ）Eheiu（Lt+L+t-L+t）常设费用∞ FλTii，其中我们还使用（ε1+Nt，θ1+Nt）的概率定律给定FC的事实∞Fλtcocincidewithu（我们记得，这是（ε，θ）的概率定律）。此外，从（3.9）中，我们观察到Lt+L+T- L+THA与FC上的LTC条件相同∞ FλT。因此，我们得到χ（u，u，u）=E[eiuλteiue-κ（T-t） f（t，∧t，ε）eiue-κ（T-t） g（t，∧t，ε，θ）eiuLT）=E[eiue-κ（T-t） f（t，∧t，ε）eiu（e-κ（T-t） g（t，∧t，ε，θ）+LT）eiuλt]，表明χ与向量的特征函数一致g（t，∧t，ε，θ）e-κ（T-t） ，LT+f（t，∧t，ε）e-κ（T-t） ，λt.由此证明了引理。现在，我们来讨论本文主要结果的陈述和证明。定理3.5。回想一下（εi，θi）i∈N*和（ε，θ）是具有普通法u的i.i.d。

根据假设3.1和3.2，它认为eh^LTh（LT）i=中兴通讯-κ（T-t） Ehg（t，λt，ε，θ）λtДhλf（t，∧t，ε）e-κ（T-t）idt=ZR+中兴通讯-κ（T-t） Ehg（t，λt，x，y）λtДhλf（t，∧t，x）e-κ（T-t）iu（dx，dy）dt，（3.11），其中^lti在（2.2）中定义，映射φhλ（x）：=Eh（LT+x）| FλT定义见（3.4）。证据假设3.1和3.2有效。利用关系式（3.5）和泊松空间（3.3）上的分部积分公式，它认为eh^LTh（LT）i=eh^LTh（LT）Fε，θ∨ FλTii=EEh（LT）ZTZtdNtFε，θ∨ FλT= EZTZth（LT（·）∪ {t} ））λtdt通过关系式（3.7）和{tN 6=0}可忽略，我们得到了h^LTh（LT）i=EZTg（t，∧t，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t） h（LT（·）∪{t} ））λtdt=ZTEhg（λt，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t） h（LT（·）∪ {t} ））λtidt。最后，通过引理3.4，上述公式得出LT{LT∈[K，M]}=ZTEhg（t，λt，ε，θ）e-κ（T-t） h类LT+f（t，λt，ε）e-κ（T-t）λtidt。因为ε与FλT无关∨ Fε，一相HLT+f（λt，ε）e-κ（T-t）FλT∨ σ（ε）i=Дhλf（t，∧t，ε）e-κ（T-t）.因此，eh^LTh（LT）i=ZTEhg（t，∧t，ε，ε）e-κ（T-t） λt~nhλf（t，∧t，ε）e-κ（T-t） ，f（t，∧t，ε）e-κ（T-t）idt=ZR+中兴通讯-κ（T-t） Ehg（t，λt，x，y）λtДhλf（t，∧t，x）e-κ（T-t）idtu（dx，dy），如定理所断言。备注3.6。1、注意，从等式（3.11）可以清楚地看出，我们的方法只要求了解给定λ的条件定律（通过映射Дλ），而不是一对（LT，^LT）。这对于上述表达式的数值近似似乎特别有用。上述定理为我们提供了定价公式与强度过程（λt）t的关系≥计数过程的0。关系式（3.11）允许我们在假设h为凸（分别为凹）的情况下给出价格的下界（分别为上界）。推论3.7。

在定理3.5的假设下，它认为：（i）如果h是凸的，则eh^LTh（LT）i≥ZR+中兴通讯-κ（T-t） Ehg（t，λt，x，y）λthE[LTFλT]+F（T，∧T，x）e-κ（T-t）iu（dx，dy）dt。（i） 如果h是凹的，则Neh^LTh（LT）i≤ZR+中兴通讯-κ（T-t） Ehg（t，λt，x，y）λthE[LTFλT]+F（T，∧T，x）e-κ（T-t）iu（dx，dy）dt。证据我们证明（i）正如语句（ii）所遵循的一样。当h被假定为凸时，Jensen不等式意味着Дhλ（x）≥ h类E[LTFλT]+x, x个∈ R+。然后，通过将该估算值与（3.11）的关系代入，得出结果。4应用和示例在本节中，我们提供了一些主要结果的应用示例，特别是对于（广义）止损合同。这种明确的计算也将有助于CDOtranches和预期短缺风险度量。4.1构建块的计算当h：=1{[K，M]}：Дλ（x）：=Дhλ（x）=PhLT时，我们首先关注构建块Дhλ（定义见（3.4））∈ [K]- x、 M级- x] | FλTi，x∈ R+，对应于止损合同或CDO部分的支付。设Fε：=σ（εi，i∈N*). 对于任何i∈ N*, 我们在R+中设置Xi：=f（τi，∧τi，εi）和x，我们有phlt∈ [K]- x、 M级- x]FλT∨ Fεi=P“NTXi=1Xieκτi∈ [（K- x） eκT，（M- x） eκT]FλT∨ Fε#=+∞Xk=1E“kXi=1Xieκτi∈ [（K- x） eκT，（M- x） eκT]NT=k，FλT∨ Fε#P[NT=k | FλT]=+∞Xk=1e-RTλsdsZSkP“kXi=1Xieκti∈ [（K- x） eκT，（M- x） eκT]FλT∨ Fε#λtdt··λtkdtk=+∞Xk=1e-RTλsdsZSkZRk+{Pki=1xieκti∈[（K-x） eκT，（M-x） eκT]}L |λx（1:k）（dx，…，dxk）λtdt··λtkdtk，（4.1），其中Sk：={0<T<··<tk≤ T}，X（1:k）：=（X，…，Xk）和l |λX（1:k）（dx，…，dxk）：=P“X（1:k）∈ （dx，…，dxk）FλT#。只需计算不同情况下索赔X（1:k）的联合分布。特别是，我们在下面提供了一个明确的示例。εi模型：我们假设（εi）i∈N*是i.i.d。

具有帕累托分布的随机变量P（αε，βε）具有（αε，βε）∈ （R）*+)其密度ψε定义为ψε（z）=βεαβεεεεzβε+1！{z≥αε}dz。选择f（t，l, x） ：=qltx，与（4.1）相关的条件分布L |λX（1:k）（dx，…，dxk）变为L |λX（1:k）（dx，…，dxk）=P“r∧ttε，··，r∧tktkεk！∈ （dx，…，dxk）FλT#=kYi=1P“r∧titiεi∈ dxi公司FλT#=kYi=1βεqti∧tiαεβεzβε+1izi公司≥rti∧tiαεdzi。计算关系式（3.11）右侧的下一步是指定（ε，θ）的联合法则。（εi，θi）模型：我们假设（εi，θi）i∈N*是i.i.d.随机向量，边缘分布分别遵循帕累托分布P（αε，βε）和P（αθ，βθ）（对于一组参数αε，βε，αθ，βθ>0）。依赖结构通过参数θ>0的Clayton copula建模。我们记得Clayton copula是C（u，v）：=u-θ+v-θ- 1.-θ和克莱顿copula的密度c由c（u，v）：=（1+θ）（uv）给出-1.-θ（u-θ+v-θ- 1)-θ-（ε，θ）的联合分布由u（dx，dy）=c（Fε（x），Fθ（y））ψε（x）ψθ（y）dxdy和Fε（z）给出=1.-αβεεzβε和Fθ（z）=1.-αβθθzβθ.（λt，λt）的联合定律：计算关系式（3.11）的最后一步是精确计算（λt，λt）的联合定律。更准确地说，我们需要计算hg（t，λt，x，y）λtДλK- f（t，∧t，x）e-κ（T-t） ，M- f（t，∧t，x）e-κ（T-t）i总结强度过程（λt）t∈[0，T]由λT=λexp（2βWt）给出，其中W是布朗运动，βa常数（非空）。

则累积强度为∧t=λZtexp（2βWs）ds。Borodin和Salminen[6]（第169页）给出了（t，Wt）的联合定律∈ dv，重量∈ dz）=λ|β| 2vexp-λ（1+e2βz）2βviβt/2λeβzβv{v>0}dvdz，其中函数i（z）=zeπ4yπ√πyZ∞经验值-zch（x）-x4y型sh（x）sin（πx2y）dx。方程（3.11）右侧的期望项为ehg（t，λt，x，y）λtДλK- f（t，∧t，x）e-κ（T-t） ，M- f（t，∧t，x）e-κ（T-t）i=ZRg（t，v，x，y）ДλK-rvtxe-κ（T-t） ，M-rvtxe-κ（T-t）λ|β| 2ve2βzexp-λ（1+e2βz）2βv！iβt/2λeβzβv！{v>0}dvdz。4.2克拉姆-隆伯格广义止损合同的Black-Scholes型公式作为一个例子，我们通过在经典的克拉姆隆伯格模型中指定我们的结果来结束我们的分析。更准确地说，我们假设Cox过程是一个齐次poisson过程，其常数强度λ>0，且集h：=1[K，M]，K<M。建筑砌块简化为分布函数Дλ（x）：=Дhλ（x）=P【LT∈ [K]- x、 M级-x] ]，x∈ R+。（4.2）在这种情况下，我们省略了映射f和g对∧的依赖关系（因为∧t=tλ）。推论4.1。在定理3.5的假设下，它保持seh^LTLT∈[K，M]i=λZTZR+e-κ（T-t） g（t，x，y）Дλf（t，x）e-κ（T-t）u（dx，dy）dt，（回想一下u：=L（ε，θ））。如果我们进一步假设f（t，x）=g（t，x，y）=x且κ=0，则损失过程与经典Cramer-Lundberg模型的累积损失相对应。在这种背景下，大量文献涉及破产概率和相关数量的计算，例如破产时的贴现惩罚函数（Gerber-Shiu函数）。还有一些论文关注的是止损合同的定价问题。

定价依赖于公式rmkydf（y）中的一个项的计算，其中F是损失过程LT的累积分布函数，文献中的讨论主要集中于复合分布函数F的推导（通常使用Panjer递归公式和数值方法/近似进行递归计算）cf【12】和【11】。我们的Malliavin方法提供了另一个公式，即asEh^LTLT∈[K，M]i=λTZR+x（F（M- x）- F（K- x） ）u（dx）。（4.3）注意，我们的结果确实与[11]中得到的结果一致。如果一个平移在一般设置公式[11，（6）]（因为u被限制在[11]中的N中有一个有限的支撑）中，则F满足度df（y）=λTZR+xdF（y- x） u（dx），由此推断出thatZMKydF（y）=λTZMKZR+xu（dx）dF（y- x） =λTZR+xZMKdF（y- x） u（dx）=λTZR+x（F（K- x）- F（米- x） ）u（dx），正好是（4.3）。参考文献[1]威廉·阿尔伯斯。独立情况下的止损保费。《保险：数学与经济学》，24（3）：173–1851999年。[2] Hansj"org Albrecher和Onno J Boxma。索赔额与索赔间隔相关的破产模型。《保险：数学与经济学》，35（2）：245–254，2004年。[3] Hansj"org Albrecher、Onno J Boxma和Youri Raaijmakers。具有混合依赖项的单服务器队列。2017年提交。[4] Hansj"org Albrecher、Corina Constantinecu和Stéphane Loisel。风险依赖模型的显式破产公式。《保险：数学与经济学》，48（2）：265–270，2011年。[5] Gurdip Bakshi、Dilip Madan和Frank Zhang。理解恢复指数风险模型的作用：经验比较和隐含恢复率。2006年，FDIC金融研究中心第2006-06号工作文件。[6] Andrei N Borodin和Paavo Salminen。布朗运动事实和公式手册。

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