使用Malliavin的保险衍生产品定价公式

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英文标题：
《Pricing formulae for derivatives in insurance using the Malliavin
  calculus》
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作者：
Caroline Hillairet (ENSAE ParisTech), Ying Jiao (SAF), Anthony
  R\\\'eveillac (INSA Toulouse, IMT)
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we provide a valuation formula for different classes of actuarial and financial contracts which depend on a general loss process, by using the Malliavin calculus. In analogy with the celebrated Black-Scholes formula, we aim at expressing the expected cash flow in terms of a building block. The former is related to the loss process which is a cumulated sum indexed by a doubly stochastic Poisson process of claims allowed to be dependent on the intensity and the jump times of the counting process. For example, in the context of Stop-Loss contracts the building block is given by the distribution function of the terminal cumulated loss, taken at the Value at Risk when computing the Expected Shortfall risk measure.
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中文摘要：
本文利用Malliavin演算给出了依赖于一般损失过程的不同类别的精算和金融合同的估值公式。与著名的布莱克-斯科尔斯公式类似，我们的目标是用积木表达预期现金流。前者与损失过程有关，损失过程是由索赔的双随机泊松过程所索引的累积和，允许其依赖于计数过程的强度和跳跃时间。例如，在止损合同的情况下，构建模块由终端累积损失的分布函数给出，在计算预期短缺风险度量时，以风险值为准。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Pricing_formulae_for_derivatives_in_insurance_using_the_Malliavin_calculus.pdf (259.29 KB)

2022-6-1 03:40:52 上传

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关键词：Malliavin Mall 衍生产品 AVI 生产品

基于马列文演算的保险衍生品定价公式*Caroline Hillairet+Ying JiaoAnthony Réveillac§2018年11月17日摘要在本文中，我们使用Malliavin演算，为依赖于一般损失过程的不同类别的精算和财务合同提供了一个估值公式。在著名的Black-Scholes公式中，我们旨在用积木表达预期现金流。前者与损失过程有关，损失过程是由索赔的双随机泊松过程所索引的累积和，允许依赖于计数过程的强度和跳跃时间。例如，在止损合同中，构建块由终端计算损失的分布函数给出，在计算预期短缺风险度量时，按风险价值计算。1简介保险或再保险中的风险分析通常基于对所谓累积损失过程性质的研究L:=（Lt）t∈[0，T]在一段时间内[0，T]，其中T>0表示合同到期。通常，L的形式为lt：=NtXi=1Xi，t∈ [0，T]，其中N：=（Nt）T∈[0，T]是一个计数过程，随机变量（Xi）i∈N*陈述索赔金额。再保险中的一个典型合同是止损合同，它可以防止公司损失的严重程度和频率增加（或同时增加）。更准确地说，止损合同为其买方（另一家保险公司）提供了大于给定K级的损失保护，其支付功能由“调用”功能提供。

在某些情况下，也有一些人给出的上限*作者承认Projet PEPSégalité（欧洲项目I NTEGER-WP4的一部分）“近似值：Malliavin et applications of par calcul de Malliavin et applicationsála gestion des risques fifinanciars”的财务支持法国巴黎萨克莱大学，克雷斯特，亨利·勒·沙特尔大道5号，邮编：91120 Palaiseau。电子邮件：caroline。hillairet@ensae.frClaude Bernard大学里昂1号，金融与保证科学研究所，法国里昂69007。电子邮箱：ying。jiao@univ-里昂1。法国图卢兹大学图卢兹分校，法国兰盖尔大道135号，IMT UMR CNRS 5219，邮编31077，法国图卢兹索引4。电子邮件：anthony。reveillac@insa-图卢兹。frreal number M，指定最大报销金额。因此，此类合同的付款由Φ（LT）给出=0，如果LT<K；书信电报- K、 如果K≤ LT<M；M-K、 如果LT≥ M、 （1.1）一般而言，索赔产生的风险既不可对冲，也与金融市场无关，因此止损溢价等于E[Φ（LT）]，即写为asE[Φ（LT）]=ELT{LT∈[K，M]}- KP[升∈ [K，M]]+（M-K） P【LT≥ M）。（1.2）有大量文献描述了如何近似累积损失LT的复合分布函数，以及如何计算止损溢价。aggregateclaims分布函数在某些情况下可以递归计算，例如使用Panjer递归公式，参见Panjer[12]和Gerber[11]。文献中描述了停止损失再保险保费的各种近似值，其中一些假设了特定的依赖结构。与著名的Black-Scholes公式类似，我们在本文中的目的是用表示终端损耗LT分布函数的积木表示（1.2）右侧的模式。

这一特征隐藏在Black-Scholes模型中，因为股票的终值具有明确的对数正态分布。更具体地说，我们的目标是计算LT{LT∈[K，M]}使用构造块x 7→ P【LT∈ [K]- x、 M级-x] 】。请注意，在信贷衍生品市场上，支付功能（1.1）也可能与集合债务（CDO）相关，其中有多个部分，因此有多个Kand M级别，这些级别以给定资产组合损失的基础比例表示。止损合同是再保险合同的范例，但我们的目标是处理更一般的支付，其估值涉及数量h^LTh（LT）i，（1.3）的计算，其中h:R+→ R+是一个Borelian图，其中，L的形式为^LT：=PNTi=1^Xi，涉及索赔^Xi，这些索赔与原始损失LT的Xi相关。更准确地说，^LT将是再保险公司承保的有效损失，而LTI是激活合同的损失数量。第2.1节将给出典型示例。同样，这与CDO份额的估值类似，在CDO份额中，回收率通常被认为是平均为40%的贝塔分布的arandom变量，而实现率（通常在正式破产后公布）不一定与该值匹配。在本文中，我们根据构建块x 7提供了（1.3）的精确公式→E【h（LT+x）】（或更一般情况下的相关数量（1.3），请参见（3.4）中的精确说明）。这一目标将通过使用一种适用于跳跃过程的Malliavin演算来实现。在对模型进行阐述之前，我们强调，该方法超出了定价分析的范围，并确定了在计算风险度量领域的或有债权预期缺口时的应用。

事实上，预期亏损是一个有用的风险衡量指标，它考虑了预期亏损超过风险价值的规模。正式定义为α(-LT）=E[-LT公司|-LT>V@Rα(-LT）]，α∈ (0, 1).众所周知，预期缺口与风险平均值一致(AV@R)，即α(-LT）=AV@R(-LT）：=1-αZαV@Rs(-LT）ds，当且仅当P[-书信电报≤ q+-LT（t）]=t，t∈ （0，1），其中q+-LT（t）表示levelt的分位数-LT（精确定义见第2.2.2节）。然而，在这个简单的例子中，当尺寸要求夏尔常数等于1时，这个属性就失效了，因为LT=nTi是一个泊松随机变量，它表现出不连续的分布函数。然而，我们的方法给出了E[LT{LT<β}]的另一种显式计算，从而给出了ESα的另一种显式计算(-LT）asESα(-LT）=-E[LT{LT<β}]P（LT<β），β：=-V@Rα(-LT）。在本节结束时，我们对Xiand^Xi索赔的mo deli-ling进行了一些评论。在经典的Cramer-Lundberg模型中，索赔是独立的、同分布的（i.i.d.），并且与计数过程N无关，计数过程N恰好是一个非齐次泊松过程。在这项工作中，我们考虑了一个双随机泊松过程，并且我们允许索赔的大小、索赔的到达和索赔的强度之间存在依赖关系。特别是，我们不假设马尔可夫环境。再保险文献（如Albers【1】、Denuit等人【9】或De Lourdes Centeno【8】等）研究了特定依赖结构对止损保费的影响，但这些工作通常假设连续索赔规模和到达间隔之间存在依赖关系。然而，在破产理论文献中，一些贡献已经提出了到达时间和索赔规模之间的违约依赖关系，如Albrecher和Boxma【2】、Boudreault、Cossette、Landriaultand Marceau【7】和相关著作。

Albrecher、Constantinecu和Loisel[4]提出了依赖性的一般框架，其中依赖性通过所谓的脆弱性参数混合而产生。最近，Albrecher等人[3]将保险风险模型中的生存概率和破产概率与“对应”排队模型中的等待时间分布相关的对偶结果进行了扩展。风险过程es在排队理论的工作负荷模型中有对应的过程，并且在queueingcontext中考虑了类似的混合依赖结构。此外，我们的框架扩展了[4]和[3]的混合方法，允许对索赔金额使用不可交换的随机变量族。同样，在信贷风险建模中，我们也可以假设回收率取决于潜在违约强度，如Bakshi、Madan和Zhang[5]。我们的工作如下。我们首先在第2节中明确了我们的损失过程模型，并提出了我们将提出定价公式的保险合同。后者将在第3节中作为定理3.5加以说明和证明。本节还给出了几种保险合同的特殊情况。最后，第4.2节模型设置中给出了明确的示例。在本节中，我们描述了损失过程以及我们将研究的相关再保险合同。在本文中，T将表示一个表示最终地平线时间的正整数。2.1损失过程我们首先介绍损失过程L：=（Lt）t∈[0，T]其中索赔的规模与其竞争时间相关。Let（Nt）t∈[0，T]是具有随机强度（λT）T的Cox过程（也称为双随机泊松过程）∈[0，T]，其跳跃时间由（τi）i表示∈N*,对索赔的到达时间进行建模。

我们假设索赔规模Xidepends取决于∧t=Rtλsds定义的累积强度和索赔到达时间τi。此外，它还取决于一些随机变量εi，其中我们假设（εi）i∈N*是独立于考克斯过程N的正i.i.d.随机变量序列。更准确地说，损失由t给出：=NtXi=1Xie-κ（t-τi），其中Xi：=f（τi，λτi，εi），t∈ [0，T]，（2.1），其中κ是贴现因子，f:R+→ R+是一个有界确定性函数。下面我们提供几个例子。示例2.1。在经典破产理论中，索赔额通常被认为与到达和强度过程无关。在这种情况下，我们有f（t），l, x） =x.2。在第二个例子中，我们假设f对外生因子ε的依赖性是线性的，线性系数是累积强度∧随时间变化的函数，即∧tt，它代表某种平均强度水平。例如，letf（t，l, x） =rltx.在本例中，如果εi服从参数为1的指数分布，则Xi=f（τi，∧τi，εi）遵循参数为qτi∧τi的指数分布，该分布与向量（τi，∧τi）相关。2.1.1广义损失过程我们还可以考虑一种更一般的情况，即实际索赔额（Xi）i∈N*不完全是为激活再保险合同而计算的。更准确地说，假设除了系数（εi）i∈N*, 存在一系列i.i.d.正随机变量（θi）i∈N*这可能取决于随机变量εi。设g:R+→ R+是确定性有界函数。我们可以将修改后的累积损失过程定义为^Lt：=NtXi=1g（τi，λτi，εi，θi）e-κ（t-τi），t∈ [0，T]。（2.2）更准确地说，虽然保险合同是由损失过程L触发的，但赔偿金额可以取决于其他一些外部因素（θi）i∈N*.

例如，这意味着θi的金额远低于εi。美国东海岸的住房保险市场就是一个典型的例子。事实上，该地区季节性地暴露在不同程度的飓风中。大多数损失都会影响到被保险人的房屋，他们也可以购买其他财产的合同，比如价值很低的汽车。飓风发生后，再保险止损合同将根据房屋的总损失（由索赔εi表示），而有效损失也将包括所有其他投保财产（由εi建模）。在函数g不依赖于第四个变量的特殊情况下，一般损失^Ltreduces为（2.1）中定义的标准损失。下面我们给出一些联合分布的例子（εi，θi）。示例2.2。第一种自然情况是，εi和θi是独立的随机变量。例如，它们都可以遵循指数分布（或Erlang分布），具有不同的正参数θ和θ。2、我们可以使用[4]中的混合方法引入εiandθiby之间的依赖关系。设εiandθi分别服从帕累托边际分布，并根据克莱顿copula建立依赖结构（根据【4】中的示例2.3，这可以通过混合两个帕累托边际分布来实现，其中混合参数服从阿加玛分布）。3、明确相关的情况：让εi遵循帕累托分布，θi遵循Weibulldistribution，其形式或缩放参数取决于εi.2.2再保险合同和相关数量2.2.1广义止损合同我们在引言中看到了止损合同，其支付由Φ（LT）给出，其中Φ已在（1.1）中定义，并对应于看涨期权价差，也就是说，两个调用函数的差异。

我们的方法允许我们超越止损合同的情况。考虑再保险公司支付Φ（LT，^LT）的合同=0，如果LT≤ K^LT- K、 如果K≤ 书信电报≤ 毫米- K、 如果LT≥ M、 （2.3）如果先验损失Lt超过某个量K或属于某个区间[K，M]，则使用（2.2）中定义的^Lt。那么这样一个合同的价格是：Eh^LT{LT>K}i- KP[升∈ [K，M]]+（M- K） P【LT≥ M）。（2.4）2.2.2预期亏损预期亏损是一种重要的风险衡量指标，它考虑了高于风险价值的预期亏损规模。我们回顾了αasESα水平的预期短缺(-LT）=E[-LT公司|-LT>V@Rα(-LT）]，α∈ (0, 1).式中，V@R isV@Rα（X）=-q+X（α）=q--X（1- α） q+X（t）=inf{X | P[X≤ x] >t}=sup{x | P[x<x]≤ t} q-X（t）=sup{X | P[X<X]<t}=inf{X | P[X≤ x]≥ t} 。众所周知，ESα（X）等于AV@R（X）：=1-αRαV@Rs（X）ds当且仅当ifP[X≤ q+X（t）]=t，t∈ （0，1），如果Xis的分布函数是连续的，这一点尤其令人满意（参见例如[10，R关系（4.38）]）。然而，在大小要求夏尔常数的情况下，后一个属性已经失效。因此，不能依赖于上述关系，必须直接计算条件期望ESα(-LT）。我们将为预期短缺提供一个替代表达式。我们用β表示：=-V@Rα(-LT），thenESα(-LT）=-ELT{LT<β}P【LT<β】，其中β=q+-LT（α）=inf{x | P[LT>-x] >α。}所以再次计算的关键项是期望值ELT{LT<β}.2.3一般付款通常，我们对计算公式h^LTh（LT）i的数量感兴趣，其中h:R+→ R+是一个E[h（LT）]<∞.

由于在我们的模型中，计数过程是由具有随机强度的Cox过程给出的，因此构建块通过使用条件期望X 7成为以下映射→ Eh（LT+x）|（λt）t∈[0，T].请注意，第2.2.1节（分别为第2.2.2节）的示例包含在此设置中，选择h：=1【K，M】表示一些-∞ ≤ K<M≤ +∞ （分别为h：=1[-∞,β] 和^LT=LT）。我们的方法需要一些随机分析材料，我们将在下一节中介绍这些材料。3使用Malliavin演算的定价公式在本节中，我们使用Malliavin演算建立我们的主要定价公式。为此，我们首先精确计算与损失过程相关的泊松空间。然后，我们为微积分中的Malliav提供了基本工具。3.1泊松空间的构造3.1.1计数过程和强度过程我们记得损失过程涉及Cox过程（Nt）t∈[0，T]及其强度和跳跃时间，以及随机变量族（εi）i∈N*. 我们首先介绍一个通用计算过程，该过程将有助于（Nt）t的构造∈[0，T]在适当的空间上。允许Ohm是[0]中严格递增的（有限或有限）序列集+∞[.我们定义了集合上的连续时间随机过程COhm像（t，ω）∈ [0, +∞[×Ohm, Ct（ω）：=卡（[0，t]∩ ω).设FC=（FCt）为过程C生成的过滤，即FCt：=σ（Cs，s≤ t） 。已知存在唯一的概率测度Pon(Ohm, 常设费用∞) 在此情况下，过程C是强度为1的泊松过程，即对于每个（s，t）∈ [0, +∞), 当s<t时，随机变量Ct-Csis独立于带参数t的FCS和泊松分布-s、 然后我们考虑一个概率空间(Ohm, A、 P）定义：（i）正随机过程（λt）t∈[0，T]使得ztλsds<+∞, P-a.s。。（ii）i.i.d.集合。