关于单纯形和递归型门限策略的最优性

也就是说，对于单停问题，h（·）所需的唯一条件是h（x）>0当且仅当x>xh（·）是（x）的非减量, ∞). 此外，很容易看出，问题（1）的最佳停止区域包含在setSupp+（f）：={x中∈ R:f（x）>0}如果它是n个空的，那么如果有x∈ 使得Supp+（f）是[x]的非空子集，∞), 然后，只在x>x时应用定理2.1（并验证条件（M））。例如，如果奖励函数为（ex- K） +当K>0时，我们可以取x=log K并验证ex的条件（M）- K、 2.1对于给定奖励函数f（·）的谱负L'evy过程，我们已经看到，最优策略为阈值类型的一个有效条件是寻找定理2.1中规定的表示。一般来说，要获得这样的表示，即使不是不可能，也是一项非常具有挑战性的任务。在本节中，我们重点讨论X·是一个谱负l'evy过程的特殊情况，并基于f上的条件和随机折扣项a·，推导出h函数。备注2.5。如果X·没有正跳，那么从X·和A·的强马尔可夫性质和加性性质来看，我们注意到，对于任何z>z≥ x、 Px（xζ>z）=Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}]=Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}Ez[exp(-在+z）1{T+z<∞}]]=Px（Xζ>z）Pz（Xζ>z）。（12） 因此，Xζ定律表现出一些类似于指数随机变量的性质，即px（Xζ>z | Xζ>z）=Pz（Xζ>z）。此外，在（12）之后，很明显，对于每个x，xζ在px下的累积分布函数在z处是不同的≤ z、 只要x=z保持不变。换句话说，如果e存在，Px下xζ的“危险率”将不取决于起点x。这产生了以下假设。假设2.2。

存在正函数∧（·）∈ Lloc（R），因此，Z∞x∧（z）dz=∞, ∧（z）=-Px（Xζ>z）dPx（Xζ>z）dz，x<z.（13）备注2.6。在贴现因子率为常数r>0的情况下，运行中的最大值Xζ=Xer遵循平均值为1/Φ（r）的指数分布，其中ERI是平均值为1/r的独立指数随机变量，Φ（r）>0是X·的拉普拉斯指数的右倒数，见附录B。因此，对于所有z，我们有∧（z）=Φ（r）∈ R、 推论2.1。在假设2.2下，我们有t hatPx（Xζ>z）=exp(-Zzx∧（y）dy），z>x。特别是，（13）表示Px（xζ<∞) = 1（因此引理2.1支持假设2.1）。此外，在事件{T+z<∞}, 我们有px（Xζ>y | FT+z，Xζ>z）=exp(-Zyz∧（u）du），y>z≥ x、 （14）证明。我们仅证明以下（14）。注意{Xζ>y}={T+y<ζ，T+y<∞} = {AT+y<e，T+y<∞}. 根据指数随机变量的记忆性质，我们得到了px（AT+y<e | F∞, 在+z<e，T+y<∞) = exp（在+y时- AT+z）=exp（AT+yo θT+z）。现在的结论来自给定FT+z的迭代条件期望。为了找到奖励函数f（·）的表示形式，如定义2.1所示，我们做出以下假设。假设2.3。奖励函数f（·）满足以下条件：（i）对于所有足够大的x，f（x）>0；（ii）奖励函数f（·）对于Lebesgue测度是绝对连续的。设h（x）=f（x）-f′（x）∧（x），a.e.x∈ R、 然后是一个x∈ [-∞, ∞] 使（a）h（x）>0 a.e.x>x和h（x）≤ 0 a.e.x≤ x个（如果x= ∞ 然后h（x）≤ 0表示所有x∈ R） ；（b） 函数h（·）在（x）上不减损, ∞).备注2.7。

通过使用（3）、推论2.1和假设2.3（ii），我们知道→ Ex[e-AT+zf（XT+z）1{T+z<∞}] = f（z）Px（Xζ>z）=f（z）exp(-Zzx∧（y）dy），z>x，几乎在任何地方都是可微的，并且这个函数在[x，x]上是不递减的∨ x] ，并且在[x上是s三次递减∨ x，∞), i、 e.函数在x处最大化∨ x表示每个x。如果贴现率为常数r>0，则对于任何固定的β∈ （0，Φ（r））和K>0，函数（eβx+eΦ（r）x- K） +和（eΦ（r）x- K） +满足假设2.3（i）、（ii），x=βlog（K/（1-βΦ（r）））和x= ∞, 分别地这意味着存在一个非减量函数▄h（·），因此，h（x）=▄h（x），几乎在（x）上的所有位置, ∞).下面的引理解释了为什么假设2.3对于条件（M）成立是必要的。第2.1条提案。假设假设2.2成立，f（·）满足条件（M），并设h（·）为定义2.1中的非减量函数。那么假设2.3中的所有条件都成立。证据通过（5）和Coro llary 2.1，我们知道f（x）=Ex[h（xζ）]=Z∞xh（z）∧（z）e-Rzx∧（y）dydz，x个∈ R、 显然，对于所有x>x，f（x）>0, 因此，假设2.3（i）成立。另一方面，从f′（x）=- ∧（x）h（x）+∧（x）f（x），我们知道f（·）是绝对连续的，h（x）=f（x）-f′（x）∧（x），a.e。。因此，假设2.3（ii）成立。在我们推翻提议2之前。1，我们证明了上交叉策略T+z的值的极限为thr eshold z→ ∞ 定义明确。引理2.2。在假设2.2和假设2.3下，极限C：=limz→∞f（z）e-Rz∧（y）dy=limz→∞E【E】-AT+zf（XT+z）1{T+z<∞}], （15） 存在。如果x< ∞, 我们有c∈ [0, ∞); 如果x= ∞, 那么我们有c∈ (0, ∞].备注2.8。

如果条件（M）对f（·）成立，且f（x）=Ex[h（xζ）]，则从（8）我们得到f（z）e-Rzx∧（y）dy=Ex[exp(-AT+z）f（XT+z）1{T+z<∞}] = Ex[h（Xζ）1{Xζ>z}]，x<z，我们知道上面的极限为z→ ∞ 是零（即c=0），因为随机变量h（Xζ）的可积性。因此，假设2.2中给出的条件比定义2.1中给出的条件更一般。第2.2条提案。假设假设假设2.2和假设2.3成立，并且（15）中定义的cde是有限的。然后它认为ex[| h（Xζ）|]<∞, f（x）- ceRx∧（y）dy=Ex[h（Xζ）]，x个∈ R、 证明。我们只证明了x∈ R、 剩下的情况是x是±∞ 同样可以证明。为了证明E[| h（Xζ）|]的完整性，我们证明了E[h（Xζ）1{Xζ>X}] < ∞ 和- E[h（Xζ）1{Xζ≤x个}] < ∞持有为了确定前者，我们确定x和任何常数D>x, 我们使用推论2.1得到thatEx[h（Xζ）1{D>Xζ>X}] =ZDx公司h（z）Px（Xζ∈ dz）=ZD∨xx号∨xf（z）∧（z）e-Rzx∧（y）dydz-ZD公司∨xx号∨xf′（z）e-Rzx∧（y）dydz=f（x∨ x） e类-接收∨xx∧（y）dy- f（D∨ x） e类-研发部∨xx∧（y）dy，其中最后一步是由于各部分的积分（参见第163页的[6，定理9]）。采用极限asD→ ∞, 我们使用单调收敛定理来获得（也使用Xζ的a.s不确定性）Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}] = limD公司→∞Ex[h（Xζ）1{D>Xζ>X}]= f（x∨ x） e类-接收∨xx∧（y）dy- limD公司→∞f（D）e-RDx∧（y）dy=f（x∨ x） e类-接收∨xx∧（y）dy- ceRx∧（y）dy<∞, （16） 其中最后一步是引理2.2。同样，对于任何固定x，-Ex[h（Xζ）1{Xζ≤x个}] = -Zx公司∨xxh（z）Px（Xζ∈ dz）=Zx∨xxf′（z）e-Rzx∧（y）dydz-Zx公司∨xxf（z）∧（z）e-Rzx∧（y）dydz=f（x∨ x） e类-接收∨xx∧（y）dy- f（x）<∞. （17） 因此，我们知道Ex[| h（Xζ）|]<∞. 此外，从（16）和（17）中，我们还得到了Ex[h（Xζ）]=Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}] + Ex[h（Xζ）1{Xζ≤x个}] = f（x）- ceRx∧（y）dy.这就完成了证明。下面我们给出了本节的主要结果，即定理2.1的推广。定理2.2。

在假设2.2和假设2.3下，我们得到v（x）=supτ∈特克斯[东]-Aτf（Xτ）1{τ<∞}] = Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}] + ceRx∧（y）dy.（18）如果x< ∞, 然后，可通过停止时间T+x获得上述值. 如果∧（·）连续且c<∞,在x的情况下< ∞ 我们还有f（·）是连续可微的，那么V（·）也是连续可微的。特别是，sm ooth fit在x=x时有效如果x∈ (-∞, ∞).证据首先假设x< ∞ c=0。在这种情况下，定理2.1已经给出了值函数和最佳停止时间，因此我们只需要证明当x是有限的。为此，我们注意到v（x）=Z∞x个h（z）∧（z）e-Rzx∧（y）dydz=e-接收x∧（y）dyZ∞x个h（z）∧（z）e-Rzx公司∧（y）dydz，x个≤ x个,这在以下方面是连续可区分的(-∞, x个). 实际上，V′（x）=∧（x）V（x），所以我们有V′（x-) = ∧（x)V（x）) = ∧（x)f（x). 因此，V′（x-) - V′（x）+) = V′（x）-) - f′（x）) = ∧（x)f（x) -f′（x）)∧（x)= ∧（x)h（x) = 0，表示在x=x时，V（·）满足平滑fit如果x∈ (-∞, ∞).让我们假设x< ∞ a和c>0。在这种情况下，我们可以将定理2.1应用于奖励函数f（x）- ceRx∧（y）dy，得到thatEx[h（Xζ）1{X>X}] = supτ∈特克斯[东]-Aτ（f（Xτ）- ceRXτ∧（y）dy）1{τ<∞}]= Ex[e-在+x处（f（XT+x) - cexp（ZXT+x∧（y）dy）1{T+x<∞}]= Ex[e-在+x处f（XT+x)1{T+x<∞}] - ceRx公司∨x个∧（y）dyEx[e-在+x处{T+x<∞}]= Ex[e-在+x处f（XT+x)1{T+x<∞}] - 另一方面，附录A中的引理A.2证明了（exp(-At+RXt∧（y）dy））t≥0是一个非负的局部鞅，因此它是一个超鞅。因此，对于任何停止时间τ∈ T，通过使用可选抽样定理和Fatou引理，我们得到了0≤ Ex[e-Aτ+RXτ∧（y）dy{τ<∞}] ≤ eRx∧（y）dy.So0≤ supτ∈特克斯[东]-Aτ·ceRXτ∧（y）dy{τ<∞}] ≤ eRx∧（y）dy。

（20） 利用上确界的著名性质，我们从（19）和（20）中得到了thatsupτ∈特克斯[东]-Aτ·f（Xτ）1{τ<∞}]≤ supτ∈特克斯[东]-Aτ（f（Xτ）- ceRXτ∧（y）dy）1{τ<∞}] + supτ∈特克斯[东]-Aτ·ceRXτ∧（y）dy{τ<∞}]≤ Ex[h（Xζ）1{X>X}] + ceRx∧（y）dy=Ex[e-在+x处f（XT+x)1{T+x<∞}].因此，上述所有不平等事实上都是平等的。这证明了T+x的最优性. 最后，在x处平滑当x可以像以前一样证明is FINITE。如果x= ∞ 和c∈ (0, ∞), 然后通过脚注4和支持位置2.2，我们知道0=Ex[h（Xζ）1{X>X}] = supτ∈特克斯[东]-Aτ（f（Xτ）- ceRXτ∧（y）dy）1{τ<∞}].使用与上述相同的参数，我们得到supτ∈特克斯[东]-Aτf（Xτ）1{τ<∞}] ≤ ceRx∧（y）dy.（21）另一方面，我们有（z>x）supτ∈特克斯[东]-Aτf（Xτ）1{τ<∞}] ≥ Ex[e-AT+zf（XT+z）1{T+z<∞}] = f（z）e-Rzx∧（y）dy→ ceRx∧（y）dy，（22）as z→ ∞, 多亏了引理2.2。因此，（21）中的不等式是一个等式。价值函数是可以连续区分的。如果x= c=∞, 然后到（22），我们知道最佳值是∞.从定理2.2的证明中，我们立即得到以下结果。推论2.2。积极的过程（经验(-At+RXt∧（y）dy））t≥0是真鞅。最后，我们证明了定理2.2与文献[9，定理3.1]中关于固定贴现率r＞0且谱负L'evymodel的最优停止问题中thres-holdtype策略的最优性的结果是一致的。推论2.3。由于奖励函数f（·）是对数凹的、递增的、非负的。定义函数h（x）：=f（x）-f′（x）-)Φ（r）。然后有一个常数x∈ [-∞, ∞] 使得h（x）>0当且仅当x>x, h（·）是非减损的（x, ∞).

此外，如果x< ∞,V（x）=supτ∈特克斯[东]-rτf（Xτ）1{τ<∞}] = Ex[h（Xer）1{Xer>x }] = Ex[e-rT+xf（XT+x)1{T+x<∞}].如果x= ∞, 然后值函数由v（x）=supτ给出∈特克斯[东]-rτf（Xτ）1{τ<∞}] = 林茨→∞Ex[e-rT+zf（XT+z）1{T+z<∞}] = c·eΦ（r）x，其中cis在（15）中定义。证据首先，假设2.2和假设2.3（i）显然成立。因此，为了应用定理2.2，我们只需要验证假设2.3（ii）也成立。Let Supp（f）：={x∈ R:f（x）>0}是对R向函数f（·）的支持。由于log f（·）在Supp（f）上是连续的，我们知道f（·）是绝对连续的，并且是左手导数日志f（x-)′=f′（x）-)/f（x）不超过Supp（f）。另一方面，h（x）>0<=> f（x）-f′（x）-)Φ（r）>0<=>f′（x）-)f（x）<Φ（r）<=>日志f（x-)′< Φ（r），（23），其中第二步来自{x∈ R:h（x）>0} Supp（f），由于f′（x-) ≥ 0、通过日志f（x-)′, 让我们定义一下:= inf{x∈ R:日志f（x-)′< Φ（r）}∈ [-∞, ∞].如果x= ∞, 然后h（x）≤ 0表示所有x∈ R所以没有什么需要验证的了。下面我们假设x< ∞,并证明h（·）是非减损的（x, ∞). 为此，请考虑r任意x< x个≤ y、 那么我们有f′（y-) - f′（x）-) =日志f（y-)′f（y）-日志f（x-)′f（x）≤日志f（y-)′-日志f（x-)′f（y）+日志f（x-)′[f（y）- f（x）]≤日志f（x-)′[f（y）- f（x）]，其中最后一个不等式成立，因为log f（·）是凹的日志f(·-)′是非增量的。然而，我们知道f（y）≥ f（x），对于x>x我们有日志f（x-)′≤ Φ（r）。因此，我们有f′（y-) - f′（x）-) ≤ Φ（r）（f（y）- f（x）），仅当且仅当h（y）成立- h（x）=f（y）-f′（y）-)Φ（r）-f（x）-f′（x）-)Φ（r）≥ 因此h（·）在（x）上是不递减的, ∞), 因此，假设2.3（ii）成立。2.2示例2.2.1当地时间贴现我们考虑了[5]中研究的当地时间贴现问题的推广。

更具体地说，welet X是一个指数为β的光谱负β稳定过程∈ （1，2），Ltbe是0级X·的当地时间，定义为0级的占用时间密度。也就是说，Lt=lim↓02Zt(-，）（Xs）ds，P-a.s.（24）由于当X·具有无界变化时，0本身是正则的（参见，例如，[2，Cor ollaryVII.5]），我们从[2 1，第327页]中知道，（24）中定义的职业密度存在。固定常数r，α>0，我们的目标是解决以下最优存储问题：V（x）：=supτ∈特克斯[东]-r Lτ（Xτ∨ 0)α{τ <∞}]. （25）【5，第4.2节】在β=2的特殊情况下研究了该问题，即标准布朗运动。我们的目标是将这一结果推广到一般β∈ （1，2）.我们通过推导上交策略T+z，z>0处停止的当地时间定律开始。引理2.3.设X·是一个具有无界变化的一般谱负L'evy过程（因此W（0）=0），我们得到了-r LT+z{T+z<∞}] =eΦ（0）x+rW（x）eΦ（0）z+rW（z），z>x≥ 0，（26），其中W（·）是X·（见附录B）的0标度函数。在X·是光谱负β稳定过程的特殊情况下，众所周知Φ（0）=0，因此Px（T+z<∞) = 任何z>0时为1。Mor eover，从[12，第233页]我们知道tW（x）=xβ-1Γ（β）{x≥0}, x个∈ R、 因此，从引理2.3我们知道，对于任何z>x≥ 0，Px（Xζ>z）=Ex[e-rLT+z{T+z<∞}] =Γ（β）+rxβ-1Γ（β）+rzβ-1，其中ζ=inf{t>0：rLt>e}。使用上述方程的极限作为z→ ∞, 我们还知道，由于引理2.1，加性泛函满足假设2.1。

另一方面，根据停止时间T+时X·的强马尔可夫性质，对于任何X<0，Px（Xζ>z）=Ex[e-rLT+z{T+z<∞}] = Ex[外部+[e-rLT+z{T+z<∞}]] = E【E】-rLT+z{T+z<∞}] =Γ（β）Γ（β）+rzβ-因此，“ha zard rate”o fXζ由∧（z）=-Px（Xζ>z）zPx（Xζ>z）=r（β- 1） zβ-2Γ（β）+rzβ-1.z>x>0-2-1 20.20.40.60.81.01.2图1：这里我们绘制奖励函数f（x）=（x∨0）α（灰色虚线）和（28）中给出的值函数（黑色实线）。模型参数：α=0.3，β=1.5，r=1。最佳阈值x= 1.7672.根据定理2.2，平滑fit在x处成立. 黑点代表最佳运动发生的粘贴点。所以我们知道假设2.2成立。显然，假设2.3（i）也成立。为了验证假设2.3（ii），我们考虑奖励函数f（x）=xα{x>0}，并确定任何x>0，h（x）：=xα-αxα-1∧（x）=xα- αxα-1Γ（β）+rxβ-1r（β- 1） xβ-2=β - α - 1β - 1xα- Γ(β - 1） αrxα-β+1.让我们首先假设α∈ (0, β - 1). 然后很容易看出（·）满足以下性质（注意β- α - 1.≥ 0，α>0）：h′（x）=α（β- α - 1)β - 1xα-1+ (β - α - 1)Γ(β - 1） αrxα-β> 0，h（x）>0当且仅当x>x≡αΓ（β）r（β- α - 1)β-1.（27）因此，当α∈ (0, β - 1） ，假设2.3（ii）适用于有限x. 此外，我们计算c=limz→∞zαE[E-rLT+z{T+z<∞}] = 0、如果α=β- 1，那么我们有h（x）=-Γ（β）/r<0，所有x>0。因此，假设2.3（ii）适用于X= ∞. 此外，我们计算c=limz→∞zαE[E-rLT+z{T+z<∞}] =Γ（β）r.Ifα>β- 1，然后从h（0）=0和h′（x）<0，对于所有x>0，我们知道对于所有x>0，h（x）<0。Henceasumption 2.3（ii）与x保持一致= ∞. 此外，我们还计算了c=limz→∞zαE[E-rLT+z{T+z<∞}] = ∞.通过注2.4和定理2.2，我们得到如下结果：2.3上的命题。如果α∈ (0, β - 1） ，问题（25）的最佳停止时间是上交策略t+x.

此外，（可视化见图1）V（x）=Ex[exp(-r LT+x)（XT+x)α{T+x<∞}] =（十）)αΓ（β）+r（x∨ 0)β-1Γ（β）+r（x)β-1，如果x≤ x个,（x） α，如果x>x,（28）其中x定义见（27）。如果α=β- 1，则问题（25）的值函数由v（x）=Γ（β）r+（x）给出∨ 0)β-1.x个∈ R、 （29）如果α>β- 1，则问题（25）的值函数为∞.2.2.2占用时间折扣我们让X·为任何光谱负的L'evy过程，L'evy三重态（u，σ，π），这样尾跳测量∏(-∞, -x） 在（0，∞). 对于固定r，q>0，我们考虑以下最优停止问题：V（x）：=supτ∈特克斯[东]-rτ-qRτ(-∞,0）（Xs）ds（Xτ∨ 0) 1{τ <∞}], x个∈ R、 （30）职业时间过程明显符合假设2.1。请注意，问题（30）对应于Novikov Shiryaev一级最优停止问题的随机折扣推广（参见，例如，[12，第9.4节]和[13]，s e e[19]，了解离散时间内的sa me问题的研究）。本着[16]的精神，我们可以将这个问题视为对风险资产的美式阶梯期权的评估·=（eXt）t≥0奖励体验(-qRτ（0,1）（Ss）ds）（log Sτ∨ 0).我们通过推导出在n个交叉点停止的占领时间定律来乞求。根据[20，命题4.1]（或[17，推论2（ii）]，我们知道对于x≤ z、 Ex[e-rT+z-qRT+z(-∞,0）（Xs）ds{T+z<∞}] =R∞e-Φ（r+q）yW（r）（x+y）dyR∞e-Φ（r+q）yW（r）（z+y）dy，其中W（r）（·）是X的r标度函数（见附录B）。因此，对于ζ=inf{t>0的随机变量xζ：rt+qRt{(-∞,0）}（Xs）ds>e}，我们有px（Xζ>z）=R∞e-Φ（r+q）yW（r）（x+y）dyR∞e-Φ（r+q）yW（r）（z+y）dy，z>x，由[20，等式（4.5）]给出的“危险率”变为∧（z）=-Px（Xζ>z）zPx（Xζ>z）=Φ（r+q）-W（r）（z）r∞e-Φ（r+q）yW（r）（z+y）dy，z>x。