关于单纯形和递归型门限策略的最优性

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英文标题：
《On the optimality of threshold type strategies in single and recursive
  optimal stopping under L\\\'evy models》
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作者：
Mingsi Long and Hongzhong Zhang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In the spirit of [Surya07\'], we develop an average problem approach to prove the optimality of threshold type strategies for optimal stopping of L\\\'evy models with a continuous additive functional (CAF) discounting. Under spectrally negative models, we specialize this in terms of conditions on the reward function and random discounting, where we present two examples of local time and occupation time discounting. We then apply this approach to recursive optimal stopping problems, and present simpler and neater proofs for a number of important results on qualitative properties of the optimal thresholds, which are only known under a few special cases.
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中文摘要：
本着[Surya07\'的精神，我们开发了一种平均问题方法来证明阈值型策略的最优性，用于在连续加性泛函（CAF）贴现的情况下最优停止L挈vy模型。在谱负模型下，我们专门针对奖励函数和随机折扣的条件进行研究，其中我们给出了两个当地时间和占用时间折扣的例子。然后，我们将这种方法应用于递归最优停止问题，并对一些关于最优阈值定性性质的重要结果给出了更简单、更简洁的证明，这些结果仅在少数特殊情况下已知。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_the_optimality_of_threshold_type_strategies_in_single_and_recursive_optimal_s.pdf (423.11 KB)

2022-6-1 04:31:28 上传

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关键词：Mathematical Quantitative mathematica Qualitative QUANTITATIV

L'evy模型下单次递归最优停车门限型策略的最优性*张洪忠+2018年8月9日摘要本着Surya[22]的精神，我们开发了一种平均问题方法，以证明具有连续加性泛函（CAF）贴现的L'evy模型最优停止的保留型策略的最优性。在谱负模型下，我们根据反向函数和随机贴现的条件对此进行了专门化，其中我们给出了两个当地时间和职业时间贴现的例子。然后，我们将这种方法应用于递归最优停止问题，并对关于最优阈值的量化性质的一些重要结果给出了更简单、更简洁的证明，这些结果仅在少数特殊情况下存在[3、15、23]。1引言let X·=（Xt）t≥0be a general L L'evy process，with c'adl'ag path，living on a filtered probability space(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），其中F假设为X·的增强自然过滤。我们研究了一类由X··驱动的最优排序问题中阈值型策略的最优性。特别是，我们用连续加性泛函（CAF）随机贴现和一系列由摆动期权和收缩期权定价引起的递归最优停止问题来解决单次最优停止问题。对于所有这些问题，我们证明了阈值型策略最优性的一个充分条件可以用一个关于双随机时间上X·的运行最大值的辅助平均问题来表示。当X·是一个谱负L'evy过程时，我们证明了这个平均问题可以通过“一阶条件”方程显式求解。

然后，reshold型策略的最优性来自于该平均问题解的单调性。此外，我们还证明了文献[9]中关于对数凹报酬最优停止的一个主要结果可以看作定理2.2的特例。这项工作概括了[1，13，18，22]中的类似观点，其中研究了在恒定贴现率下L'evy过程的最优停止。他们表明，上跨阈值类型策略的最优性源自奖励函数的一种特殊形式，即存在一个非减损函数h（·），使得h（Xer）的期望值等于奖励函数，其中ERI是一个具有参数r的独立指数随机变量≥ 0等于贴现率。在[15]中，作者使用度量变化技术将这种方法推广到负贴现率的情况。该方法在[20]中进一步应用，以评估具有占用时间类型贴现的永久美式看涨期权。*纽约大学数据科学中心，纽约，NY 10011，电子邮件：longmingsi01@gmail.com+美国纽约哥伦比亚大学IEOR系，邮编：NY 10027。电子邮件：hz2244@columbia.edu.By考虑到列维过程-X·，可以很容易地调整参数以合并X·的运行最小值。如【14，第4节】所示，了解阈值类型策略的最优性和最优性阈值的单调性，有助于将最优排序问题中的复杂随机优化简化为参数优化，然后将其发展为有效的数值算法。本研究的目的是在一般情况下，提出平均问题法在随机贴现下的应用。

虽然在arandom折扣设置中，阈值型策略的最优性往往无法保持（如[5，20]所示），但利用这项工作中的结果对广泛的问题给出结论性答案仍然很有价值。另一个同样重要的考虑是，通过遵循平均问题方法，可以很容易地证明最优多重停止问题和递归最优s Toping问题（例如阈值类型策略的最优性、最优阈值的单调性等）中许多重要但难以证明的定性结果。尽管这种方法多年来一直为人所知，但据我们所知，上述应用是新颖的，将有助于在实践中更广泛的问题中传播这种强大的方法。具有随机贴现的最优停止问题在许多领域都有应用，如金融和应用概率（例如，由连续时变马尔可夫过程驱动的问题[4]，或具有随机成熟度的问题[20]）。Dayanik[5]利用Dynkin对过度函数的凹刻画，研究了具有随机贴现率的时间齐次微分的永久最优停止。特别是，作者设法直接“构造”了值函数，而没有假定（和验证）任何关于最优停止区域结构的先验信息。虽然这是一种在差异框架内非常有前途的方法，但当跳跃出现时，它显示出了局限性。例如，对于指数L'evy模型上的永久美式看涨期权，在占用时间型贴现下【20】，可以发现连续区域和停止区域都有两个不相交的成分，它们交替出现。

因此，可能的超调使得直接应用[5]的方法变得困难。在金融和运筹学的许多应用中，具有多次运动和折射时间的最优停车问题都存在。例如，Carmona和Touzi[3]在Black-Scholesmodel下，将swingput期权的估值表述为具有恒定折射周期的最优多重停止问题。在一项相关的研究中，Zeghal和Mnif【24】在Spectrypositive-Positional-evy模型下对永久美式摇摆看跌期权进行了定价。后来，Leung等人[15]认为具有多重还款的股票贷款是一个具有负贴现率和一般i.i.d.正折射期的最优多重停止问题。其中，[3]和[24]随后建立了不执行永久l美式摆动看跌期权的阈值型策略的最优性，并在两种特殊模型下利用次梯度技术证明了最优性阈值的单调性。通过使用数学归纳法和值函数的超鞅性质，[15]证明了在具有任意负跳和相位型正跳的一般L'evy模型下，多重行使看涨期权的类似结果。此外，Yamazaki[23]研究了具有运行成本的最优多重停止问题，以解决分阶段退出项目的最佳时机。特别是，在特别负的L'evy模型下，[23]根据所填充的尺度函数明确计算了下穿阈值类型策略的值，然后将其与平滑函数结合使用，以显示阈值类型策略的最优性。其余文件的结构如下。在第二节中，我们用平均问题方法研究了具有随机分布的单个最优停止问题。

在第2.1节中，我们将L'evymodel具体化为谱负过程的L'evymodel，并给出了平均问题解的显式构造。为了说明这一观点，我们在第2.2节中给出了两个例子：局部时间的推广[24，命题3.1]证明了阈值类型策略的最优性，使用值函数的单调性和凸性，这是不完全合法的，因为多重最优停止问题中的奖励函数可以是曲线、凸函数，基于put Payoff的保留参数无效。将[5]中研究的最优停车问题折现为谱负β-稳定过程，以及占领时间折现下的Novikov-Shiryaev问题（见[13，19]）。在第3节中，我们将平均问题方法应用于递归最优停止问题，并在此背景下对一些重要结果给出更简单的证明。具体而言，在一般L'evy模型下，我们在第3.1节中研究了无确定贴现率和折射时间但无运行成本的情况，并在第3.2节中研究了arandom贴现和运行成本的情况。省略的技术证明可在附录A中找到。关于光谱负L’evy过程的标度函数的一些有用事实在附录B中重新审查。在整篇文章中，我们使用px和Exto表示概率定律和相应的期望，给定X=X，我们将抑制px中的下标，Exif X=0.2随机折扣的单最优s Topping问题。我们考虑以下最优停止问题：V（X）：=supτ∈特克斯[东]-Aτf（Xτ）1{τ<∞}], （1） 其中，T是所有F-stopping时间的集合，其值为[0，∞], f（·）是奖励函数，它是低半连续的，满足以下定义2.1中的条件（M）。这里A·=（At）t≥0是X·的连续加法函数或CAF。

也就是说，A·是一个适应F的过程，几乎可以肯定是非负的、连续的和令人满意的esA=0，As+t=As+Ato θs，s，t≥ 0 a.s.其中θ是常用的马尔可夫移位算子，即Xto θs=Xt+s对于所有t，s≥ 0（有关CAF的更完整定义，请参见[8，第133页]）。从定义上看，很明显，咖啡馆是不减损的。自始至终，我们作出以下长期假设。假设2.1。为了所有的x∈ R、 我们有Px（A∞= ∞) = 1或P（lim支持→∞Xt<∞) = 给定一个独立的单位平均指数随机变量e，让我们通过a·：ζ：=inf{t>0：At>e}引入e的左逆，其中，像往常一样，我们设置inf = ∞. 因为px（ζ=∞) = Px（在≤ et>0）=Px（A∞≤ e） =Ex[exp(-A.∞)],根据假设2.1，我们得出如下结果：（i）ζ<∞ 几乎可以肯定；或（ii）lim支持→∞Xt<∞ 如果（i）未能持有，则绝对有效。我们让T+zb表示给定thre-shold z上X·的首次通过时间，即T+z：=inf{T>0:Xt>z}，（2），并用Xt表示运行的最大进程：=sups∈[0，t]Xs。然后，对随机变量Xζ进行了充分定义，并确定了a.s.和satifiespx（Xζ>z）=Px（T+z<ζ，T+z<∞) = Px（在+z<e，T+z<∞) = Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}], z≥ x、 （3）事实上，我们有以下等价性：如下面的定理2.1所示，这将保证问题（1）得到很好的定义。引理2.1。假设2.1相当于托利姆兹→∞Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}] = 0, x个∈ R、 （4）定义2.1（条件（M））。我们说，如果存在一个非减损函数h，使得h（x）>0当且仅当x>x，则奖励函数f（·）满足条件（M）为randomtimeζ对于一些constantx∈ [-∞, ∞), 它认为ex[| h（Xζ）|]<∞, f（x）=Ex[h（xζ）]，x个∈ R、 （5）其中xζ=sups∈[0，ζ]Xs。此外，我们将用Υζ表示满足条件（M）的所有奖励函数集，其随机时间为ζ。备注2.1。集合Υζ是一个凸锥。

也就是说，如果f（·），g（·）∈ Υζ，然后（i）αf（·）∈ Υζ，对于任何α>0；（ii）f（·）+g（·）∈ Υζ.备注2.2。在贴现因子率为常数r>0的情况下，随机时间ζ是平均值为1/r的指数随机变量，我们将其表示为er。注意，如果f（·）∈ Υer，即f（x）=Ex[h（Xer）]=e[h（x+Xer）]，对于一些非减量函数h（·），那么我们有f（x）≤ f（y）对于任何x<y。因此，Υeris中的每个元素都是非减量的。下面我们陈述我们的主要结果。定理2.1。假设奖励函数f（·）是下半连续的，并且属于Υζ（定义为2.1），那么我们有v（x）=supτ∈特克斯[东]-Aτf（Xτ）1{τ<∞}] = Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}]. （6） 即值函数V（·）∈ Υζ. 此外，最优停车时间为上交叉策略τ= T+x.也就是说，Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}] = Ex[经验(-在+x处)f（XT+x)1{T+x<∞}].证据让我们定义函数v（x）：=Ex[h（xζ）1{xζ>x}].我们首先证明（e-Atv（Xt））t≥0是任何x的Px超级鞅∈ R、 作为Atis添加剂，随机变量ζ具有无记忆和Px（ζ>t | Fs，ζ>s）=Px（As+At）的关键特性-soθs<e | Fs，As<e）=PXs（At-s<e）=EXs[e-在-s] 对于t>s，在事件{t<ζ}上，标识符xζ=Xt∨ sups公司∈[t，ζ]Xs≥sups公司∈[t，ζ]X几乎肯定成立，h（Xζ）1{Xζ>X也成立}≥ h（辅助∈[t，ζ]Xs）1{sups∈[t，ζ]Xs>x}, 由于h（·）1{·>x的非递增性质}. 因此，对于任何x∈ R、 v（x）=Ex[h（xζ）1{xζ>x}]≥ 前任Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}{t<ζ}英尺，t<ζ]≥ 前任{t<ζ}Ex[h（sups∈[t，ζ]Xs）1{sups∈[t，ζ]Xs>x}|Ft，t<ζ]= 前任{t<ζ}EXt[h（M）1{M>x}]= Ex[1{t<ζ}v（Xt）]=Ex[exp(-在v（Xt）]，如果奖励函数f（·）满足条件（M），但带有x= ∞, 那么我们有f（x）≤ 0表示所有x∈ R、 所以valuefunction V（x）通常为0。在这种情况下，等式。

（6） 仍然有效。其中M是一个随机变量，其在PXtis下的定律与给定Ftand{t<ζ}的sup[t，ζ]xsunderpx的条件定律相同。其次，我们将v（·）确定为上交策略T+x的预期收益. 也就是说，v（x）=Ex[exp(-在+x处)f（XT+x)1{T+x<∞}]. （7） 事实上，对于任何z∈ R、 通过调节，Ex[h（Xζ）1{Xζ>z}]=Ex[h（Xζ）1{T+z<ζ，T+z<∞}] = Ex[h（Xζ）1{AT+z<e}{T+z<∞}]=Ex[1{T+z<∞}{AT+z<e}Ex[h（Xζ）| FT+z，T+z<ζ]]。在事件{T+z<ζ}上，恒等式xζ=XT+z∨支持∈[T+z，ζ]Xt=支持∈[T+z，ζ]XT几乎肯定成立，因为EXT+z=XT+z，因此我们有ex[h（Xζ）| FT+z，T+z<ζ]=EXT+z[h（M）]=f（XT+z，其中M是一个随机变量，其在PXT+z下的定律与supt的条件定律相同∈[T+z，ζ]Xtunder px给定FT+zand{T+z<ζ}，从中得出最后的等式。它遵循条件期望的塔性质，即Ex[h（Xζ）1{Xζ>z}]=Ex[Ex[1{T+z<∞}{AT+z<e}f（XT+z）| FT+z]]=Ex[经验值(-AT+z）f（XT+z）1{T+z<∞}]. （8） z=x时应用（8）我们得到（7）。因此，我们知道，对于任何x≥ x个, v（x）=Ex[h（xζ）]=f（x）。很容易看出f（x）- v（x）=Ex[h（xζ）]- Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}] = Ex[h（Xζ）1{Xζ≤x个}] ≤ 0，自h（Xζ）1{Xζ≤x个}是非正随机变量。总之，我们已经证明，对于任何x∈ R、 （e）-Atv（Xt））t≥0是正的Px上鞅，ndv（x）≥ 最大{f（x），0}≥ f（x）表示所有x∈ R、 为了证明这一点，我们需要知道，对于任何停止时间τ∈ T，我们有v（x）≥ Ex[e-Aτf（Xτ）1{τ<∞}], x个∈ R

（9） 建立上述不等式（不知道是否（e-Atv（Xt））t≥0是c\'adl\'ag），我们让n∈ N为正整数，且定义τN：=最小{mn:m∈ N、 明尼苏达州≥ τ} 无论何时τ<∞.然后将可选抽样定理和Fatou引理应用于离散时间上鞅（exp(-A kn）v（X kn））k=0,1，。。。，我们得到V（x）≥Ex[e-Aτnv（Xτn）1{τn<∞}] ≥ Ex[e-Aτnmax{f（Xτn），0}1{τn<∞}], x个∈ R、 （10）如果最后一个不等式来自v（x）≥ 所有x的最大{f（x），0}∈ R、 另一方面，请注意{τn<∞} = {τ < ∞} 适用于所有n∈ N、 和作为N→ ∞, 我们有τn↓ τon{τ<∞}. 因为L'evyprocess X·几乎肯定有c'adl'ag路径，而A·是连续且不递减的，所以我们知道，作为n→ ∞,Xτn→ Xτ和Aτn↓ 事件{τ<∞}. 此外，我们还知道函数max{f（x），0}是下半连续的，所以事件{τ<∞}, 我们有lim infn→∞最大{f（Xτn），0}≥ 最大{f（Xτ），0}。weapply Fatou的le mma和liminf的一个属性（见L e mma a.1）一起获得thatlim infn→∞Ex[e-Aτnmax{f（Xτn），0}1{τn<∞}] ≥ Ex[线性信息→∞（e）-Aτnmax{f（Xτn），0}）1{τ<∞}]= Ex[限制→∞e-Aτn·lim infn→∞最大{f（Xτn），0}·1{τ<∞}]≥ Ex[e-Aτmax{f（Xτ），0}1{τ<∞}]≥ Ex[e-Aτf（Xτ）1{τ<∞}], （11） 其中，最后一个不等式从fa ct得出，max{f（x），0}≥ f（x）表示所有x∈ R、 将（10）与（11）结合，得到（9）。这就完成了证明。备注2.3。仔细观察证明，下半连续性仅用于（11）的第二个不等式。更一般地说，如果奖励函数f（·）是thatlim infn，则最终结果仍然成立→∞f（Xτn）≥ 事件{τ<∞}, 对于停止时间{τn}n的任何非递增序列≥1几乎肯定会收敛到τ。备注2.4。从上述证明可以看出，如果我们放弃h（·）的单调性条件，定理2.1的结果仍然成立(-∞, x个] 定义2.1。