关于单纯形和递归型门限策略的最优性

（31）在[20，引理4.2]中，证明了函数∧（z）在R上是非递增的，满足∧(-∞) = Λ(0-) = Φ（r+q）≥ Φ（r+q）- qW（r）（0）=∧（0）>∧(∞) = Φ（r）>0。显然，假设2.2和假设2.3（i）成立。为了验证假设2.3（ii）也成立，定义（x）=x-∧（x），x>0，因为备注2.4，我们只考虑正x。很容易看出，对于足够小的x>0和h（x），h（x）<0→ ∞ 作为x→ ∞. 此外，简单的计算得到h′（x）=∧（x）∧′（x）+（λ（x））=（λ（x））-2R级∞xe公司-Φ（r+q）yW（r）（y）dyN（x），其中我们定义了任何x>0 that tN（x）=（Φ（r+q））Z∞xe公司-Φ（r+q）yW（r）（y）dy- Φ（r+q）e-Φ（r+q）xW（r）（x）- e-Φ（r+q）xW（r）′（x）。到（58）、（59）和（61）时，我们注意到limx→∞N（x）=0- 林克斯→∞（e）-Φ（r+q）xW（r）（x））Φ（r+q）+limx→∞W（r）′（x）W（r）（x）= 0。（32）另一方面，对于任何x>0N′（x）=- e-Φ（r+q）xW（r）′（x），x>0。通过【11，定理3.4】，我们知道当尾跳测度∏时(-∞, -x） 在（0，∞), 有一个常数*这样的that W（r）′（x）=-eΦ（r+q）xN′（x）<0表示x∈ （0，a*) andW（r）′′=-eΦ（r+q）xN′（x）>0表示x∈ （a）*, ∞). 因此，N（·）严格地增加超过（0，a*), 并且在（a）上急剧下降*, ∞). 假设N（x）→ 0作为x→ ∞, 我们知道N（x）>0，至少所有x∈ [答*, ∞). 利用N（·）的单调性，我们知道，如果N（0+），N（x）>0≥ 0，在这种情况下，h（·）严格地递增超过（0，∞);（ii）或存在x∈ （0，a*) 使得所有x的N（x）<0∈ （0，x）和N（x）>0表示所有x∈ （十），∞). 在这种情况下，因为h（0）=-∧（0）<0，x的h′（x）<0∈ （0，x），x的h′（x）>0∈ （十），∞), 我们知道方程h（x）=0除以（0）有一个唯一的根，∞), 用x表示, 它认为x> x、 因此，我们也有h（·）严格地增加超过（x, ∞).因此，在这两种情况下，假设2.3（ii）适用于有限x.

此外，我们计算=limz→∞zE[电子]-rT+z-qRT+z(-∞,0）（Xs）ds{T+z<∞}] = 通过备注2.4和定理2.2，我们得到如下结果：2.4上的命题。方程x有唯一的根-∧（x）=0除以（0，∞), 我们用x表示.问题（30）的最佳停止时间是上交策略T+x. 此外，（航空化见图2）V（x）=Ex[e-rT+x-qRT+x(-∞,0）（Xs）dsXT+x{T+x<∞}]=x个R∞e-Φ（r+q）yW（r）（x+y）dyR∞e-Φ（r+q）yW（r）（x）+ y） dy，如果x≤ x个,x、 如果x>x.（33）-1.0-0.5 0.5 1.00.20.40.60.81.0图2：这里我们绘制奖励函数f（x）=（x∨ 0）（灰色虚线）和（33）中给出的值函数（黑色实线）。使用的拉普拉斯指数：ψ（λ）=0.18λ+0。02λ- 0.25(λλ+4). 参数：r=0.18，q=2。最佳thr e shold x= 0.8356. 根据定理2.2，平滑fit在x处成立. 黑色do t代表最佳运动发生的粘贴点。3递归最优停止问题在最优停止中，一个自然要问的问题是，对于单个最优排序问题，阈值类型策略的最优性是否意味着对于相应的多个停止版本或递归停止版本的问题。如[3，15]所示，即使对于最流行的rewardfunction（例如- K） +。因此，我们在本节中的目标是为这一问题提供积极的答案。3.1在折扣率、折光次数恒定且无运行成本的情况下，在本节中，我们将讨论具有折光次数但无运行成本的草书最优排序问题中阈值型策略的最优性。更重要的是，对于贴现率大于0的常数，设X·为此后的一般L'evy过程，f（·）为下半连续函数，满足定义2.1中的条件（M）。

对于正整数n≥ 1，我们考虑以下递归最优停止问题SV（l）（x）=supτ∈特克斯[东]-rτf（l）（Xτ）1{τ<∞}], l=1，2，n、 （34）f（l）（x）=f（x）+Ex[e-rδv（l-1） （Xδ）]，（35），其中v（0）（X）≡ 0，δ>0是折射时间。备注3.1。我们指出，为了使（34）中的问题允许有限值函数v（l）（·），l=1，n、 我们只需要v（1）（·）≡ v（·）应定义明确。这是由于超马丁格尔性质，您的方法不适用于一般的CAF贴现，因为折射时间δ和X中相关随机时间ζ定律的可能空间不均匀性造成的“延迟”。更多详细信息，请参见命题3.1的证明。值函数v（·）：f（x）≤ f（2）（x）≤ f（x）+v（x）=> 五（2）（x）≤ v（x）+supτ∈特克斯[东]-rτv（Xτ）1{τ<∞}] ≤ v（x）+v（x）=2v（x），f（x）≤ f（3）（x）≤ f（x）+v（2）（x）=> 五（3）（x）≤ v（x）+supτ∈特克斯[东]-rτv（2）（Xτ）1{τ<∞}] ≤ v（x）+2v（x）=3v（x）。备注3.2。（34）和（35）中定义的递归最优停止问题自然出现在具有多个练习机会的最优停止问题中。特别是，考虑v（n）（x）：=sup ~τ∈T（n）δEx[nXi=1e-rτif（Xτi）]，x个∈ R、 （36）其中T（n）δ是运动时间的容许序列集，定义为asT（n）δ：{~τ=（τn，…，τ）∈ Tn：τi+1+δ≤ τi，i=n- 1.1} 常数δ>0表示分离连续练习的折射时间。然后，这是一个标准参数，表明在（34）中确定的值函数v（n）（·）与（36）中的v（n）（·）相同，受f（·）上的一些（额外）温和条件的约束（参见，例如，[3，15]）。显然，通过定理2.1，我们知道下半连续性和条件（M）意味着上交策略T+x的最优性对于具有报酬函数f（·）的最优停车问题。

如果可以证明在（34）-（35）中描述的递归操作下，下s emi连续性和集合Υerar都是不变的，那么可以通过依次应用定理2.1来证明递归最优停止问题（34）-（35）的阈值型策略的最优性。3.1上的提案。假设奖励函数f（·）是下半连续的，并且属于Υer（定义定义2.1），那么对于所有l=1，2，…，f（l）（·）也是如此。。也就是说，对于每个正整数l，f（l）（·）是下半连续的，并且存在一个非减量函数h（l），使得h（l）（x）>0当且仅当x>x时L某些常数xl∈ [-∞, ∞), 安第斯山脉[| h（l）（Xer）|]<∞, f（l）（x）=Ex[h（l）（Xer）]，x个∈ R、 此外，递归方程成立：对于任何l=1，2。，h（l+1）（x）=h（x）+e-rδE[h（l）（x+xδ）1{x+xδ>xl} ]，x个∈ R、 证明。我们运用数学归纳法来证明这一说法。为此，我们假设，对于某些正整数k，f（l）（·）∈ Υ所有l=1，2，k、 根据定理2.1，我们知道向上函数f（k）（·）的值函数由v（k）（x）=Ex[h（k）（Xer）1{Xer>x给出k} ]=E[h（k）（x+Xer）1{x+Xer>xk} ]，x个∈ R、 让我们用Y表示一个与X·无关的随机变量，其s定律与P下的s定律相同。然后我们有v（k）（X）=E[h（k）（X+Y）1{X+Y>Xk} ]，x个∈ R、 因此，通过（35），我们得到f（k+1）（x）=f（x）+e-rδE[v（k）（x+xδ）]=E[h（1）（x+Xer）]+E[E[E-rδh（k）（x+xδ+Y）1{x+xδ+Y>xk} | Xδ]]=E[h（1）（X+Y）]+E[E-rδh（k）（x+xδ+Y）1{x+xδ+Y>xk} ]=E[h（k+1）（x+Y）]=Ex[h（k+1）（Xer）]，（37），其中h（k+1）定义为比例。因为h（1）（·）和h（k）（·）都是非减量的，我们从h（k+1）（·）的定义中知道它也是非减量的。

此外，从（37）中，我们还发现h（k+1）（·）的可积条件成立。另一方面，对于任何x>x, 我们从h（k）（·）1{·>x知道k} >0 thath（k+1）（x）≥ h（1）（x）>0。（38）这意味着存在一个xk+1∈ [-∞, x个] 使得h（k+1）（x）>0当且仅当x>xk+1。最后，我们需要证明t f（k+1）（·）是下半连续的，或者等价地，是左连续的，因为它是非减量的。利用引理A.3，我们知道v（k）（·）是非减量的，并且是下半连续的。因此，对于ny x>x，我们有P-a.s，v（k）（x+xδ）≥ lim supx公司↑xv（k）（x+xδ）≥ lim infx↑xv（k）（x+xδ）=v（k）（x+xδ），这意味着v（k）（x+xδ）=limx↑xv（k）（x+xδ）保持P-a.s。此外，通过值函数v（k）（·）的超鞅性质，我们知道非负随机变量v（k）（x+xδ）具有有限的经验。根据支配收敛定理，我们得到了limx↑xE[v（k）（x+xδ）]=E[limx↑xv（k）（x+xδ）]=E[v（k）（x+xδ）]。因此，E[v（k）（x+xδ）]在x中是左连续的。f（k+1）（·）的左连续性现在遵循（37）的第一行。这就完成了证明。3.2上的提案。序列{xl} 1个≤l≤命题3.1在l中是非递增的。函数序列{h（l）（·）}1≤l≤nin命题3.1在l.Proof中是不减损的。首先，从命题3.1的论证中，我们已经知道l=1，2的主张成立。假设I为l=1，2，k代表一些k≥ 特别是h（k）（x）≥ h（k-1） （x），x个∈ R、 和xk≤ x个k-那么，从h（k+1）（x）=h（1）（x）+E[E-rδh（k）（x+xδ）1{x+xδ>xk} ，h（k）（x）=h（1）（x）+E[E-rδh（k-1） （x+xδ）1{x+xδ>xk-1} ，我们知道h（k+1）（x）- h（k）（x）=e-rδE[h（k）（x+xδ）1{x+xδ>x*k}- h（k-1） （x+xδ）1{x+xδ>xk-1} ]=e-rδE[（h（k）（x+xδ）- h（k-1） （x+xδ））1{x+xδ>x*l-1} ]+E[h（k）（x+xδ）1{xk-1.≥x+xδ>xk} ]≥e-rδE[（h（k）（x+xδ）- h（k-1） （x+xδ））1{x+xδ>x*l-1}] ≥ 因此，我们有xk+1≡ sup{x∈ R:h（k+1）（x）≤ 0 } ≤ sup{x∈ R:h（k）（x）≤ 0 } ≡ x个k

（39）这就完成了证明。备注3.3。存在容易验证的有效条件，这些条件会导致严格递减的阈值序列> x个> . . . .例如，如果X·有无界变化，h（1）在R上是连续的，那么我们就是这种情况。为了看到这一点，我们应用数学归纳法证明，对于所有l，h（l）在R上是连续的≥ 另一方面，通过【21，定理24.10（i）】，我们知道随机变量Xδ在R上得到支持。因此，第一个不等式（38）成为严格不等式，尤其是对于所有X，h（2）（X）>h（1）（X）∈ R、 因此，我们知道x< x个. 通过相同的参数，我们可以看到序列{xl} l≥1在l中严格递减。总之，我们得到以下结果。定理3.1。假设奖励函数f（·）=f（1）（·）是下半连续且满足条件（M）。然后采用上交策略ST+x求解递归最优停止问题（34）和（35）l、 这些阈值满足-∞ ≤ x个n≤ x个n-1.≤ . . . ≤ x个< ∞.最后，我们给出了gene-ral L'evy过程下摆动期权的一个例子。推论3.1。假设贴现率为常数r>0，使得E[eX]<er。对于任意K，K＞0，如果奖励函数f（1）（·）可以写成x的凸组合，则定理3.1中的结果成立- K和K- e-x、 证明。必须证明f（x）=ex- Kand f（x）=K- e-X满足条件（M）。凸组合αf（x）+βf（x）的要求见备注2.1。从[18，定理1]我们知道，对于h（x）=Ex/E[eXer]，f（x）=Ex[h（Xer）]- K、 和h（x） 0 i仅当x 日志（KE[执行]）。类似地，从[18，定理2]我们知道E[E-Xer]=E[einfs∈[0，er](-Xs）]>0。

然后很容易验证f（x）=Ex[h（Xer）]，对于h（x）=K- e-x/E[电子]-Xer]，a和h（x） 0当且仅当ifx 日志（KE[e-Xer]）。3.2具有随机折扣和运行成本的案例在最近的工作中【23】，作者考虑了以下类型的多重停止问题：supτ（1）≤...≤τ（n）τ（l）∈TnXl=1Ex[Zτ（l）τ（l-1） e类-rt公司(-Cl（Xt））dt+e-rτ（l）fl（Xτ（l））1{τ（l）<∞}],其中，我们将Cl（·）解释为（l- 1） -第次和第1次止损，第1次止损后为fl（·），贴现率为r>0。特别是，在谱负L'evy模型下，使用显式计算（和平滑原理）表明，最优策略τ（L）为阈值类型。在本节中，我们将X·设为一般的L'evy过程，并使用平均问题方法证明阈值型策略对于相关的递归最优停止问题是最优的。形式上，考虑v（l）（x）=supτ∈TEx[Zτe-在(-Cl（Xt））dt+e-Aτf（l）（Xτ）1{τ<∞}], l=1，2，n、 （40）f（l）（x）=fl（x）+v（l-1） （x），（41），其中C（0）（x）=v（0）（x）≡ 0和以前一样，A·是CAF rando m折扣。假设3.1。适用于所有1≤ l≤ n、 成本函数Cl（x）满足x[Z∞e-在| Cl（Xt）| dt]<∞.备注3.4。例如，当Cl（·）是一致有界的andEx[e]时，第3.1节中的条件成立-At]可积于t上∈ (0, ∞). 如果X·是负的，并且它保持在≥ rt，对于所有t≥ 0保持Px-a.s.对于一些r>0，那么到[12，推论8.9]我们有0≤ Ex[Z∞e-在| Cl（Xt）| dt]≤ Ex[Z∞e-rt | Cl（Xt）| dt]=Z∞-∞Φ′（r）e-Φ（r）（y）-x）- W（r）（x）- y）|Cl（y）| dy，其中W（r）（·）是X·的r尺度函数，Φ′（r）是Φ（r）的导数（见附录B）。因此，假设3.1支持ifR∞-∞（Φ′（r）e-Φ（r）（y）-x）- W（r）（x）- y） ）| Cl（y）| dy<∞.

更多的有效条件见【23】。要应用平均问题方法，我们需要将问题（40）-（41）重新转换为一个没有运行成本的问题-Cl（·）。为此，我们定义了≤ l≤ n thatCl（x）：=Ex[Z∞e-AtCl（Xt）dt]。我们还定义了C（x）≡ 0 . 因此，对于任何停止时间τ∈ T和1≤ l≤ n因此，f（l）（·）可以用（41）很好地定义，我们有ex[Zτe-在(-Cl（Xt））dt+e-Aτf（l）（Xτ）1{τ<∞}]=Ex[Z∞e-在(-Cl（Xt））dt- 1{τ <∞}Z∞τe-在(-Cl（Xt））dt+e-Aτf（l）（Xτ）1{τ<∞}]=Ex[Z∞e-在(-Cl（Xt））dt- e-AτEXτ[Z∞e-在(-Cl（Xt））dt]1{τ<∞}+ e-Aτf（l）（Xτ）1{τ<∞}]= -Cl（x）+Ex[e-Aτg（l）（Xτ）1{τ<∞}],其中，我们在第二个等式中使用了强马尔可夫性质o f X·和定义g（l）（X）：=Cl（X）+f（l）（X）。（42）由此得出（使用（41）和（42））v（l）（x）=-Cl（x）+supτ∈特克斯[东]-Aτg（l）（Xτ）1{τ<∞}], （43）g（l+1）（x）=Cl+1（x）- Cl（x）+fl+1（x）+supτ∈特克斯[东]-Aτg（l）（Xτ）1{τ<∞}], （44）每当右侧a重新定义好时。通过（43）和（44），我们得到了本节的主要结果。3.3的提案。根据假设3.1，并假设CL（·）- 氯-1（·）+fl（·）是连续的，对于所有1≤ l≤ n、 然后为1≤ l≤ n、 函数g（l）（·）定义明确，属于Υζ；此外，g（l）（·）满足→∞g（l）（Xτn）=g（l）（Xτ）{τ<∞}, （45）对于任何停止时间τ∈ T和停止时间的非递增序列（τn）n≥1此类tτn↓ τasn→ ∞. 还有阈值{xl} 1个≤l≤确保v（l）（x）+Cl（x）=g（l）（x）当且仅当x≥ x个l、 即阈值型策略T+x问题（40）和（41）的最佳lis。证据根据（42）和定理2.1，l=1的说法是显而易见的。

特别地，（45）中的条件遵循g（1）（x）=C（x）+f（x）的下半连续性。假设对于某些k，该声明适用于l=k≥ 1，那么我们知道在定义2.1中有h（k）g（·）满足条件，并且g（k）（x）=Ex[h（k）g（xζ）]，x个∈ R、 h（k）g（x）>0当且仅当x>xK对于某些xk∈ [-∞, ∞). 以获得SUPτ的类似表示∈特克斯[东]-Aτg（k）（Xτ）1{τ<∞}], 我们不能直接应用定理2.1（即使我们已经知道t+xkis最优），因为我们不知道g（k）（·）是否是下半连续的（k=1时除外）。然而，如备注2.3所述，g（k）（·）在（45）中的性质确保定理2.1的证明得以通过，因此我们得到了-Aτg（k）（Xτ）1{τ<∞}] = Ex[h（k）g（Xζ）1{Xζ>Xk} 】。另一方面，根据假设，定义2.1中存在满足条件的h（k+1）f（·），ndCk+1（x）- Ck（x）+fk+1（x）=Ex[h（k+1）f（xζ）]，x个∈ R、 （46）和h（k+1）f（x）>0当且仅当x>xsomex的k+1k+1∈ [-∞, ∞). 从（44）开始，我们得到g（k+1）（x）=Ck+1（x）- Ck（x）+fk+1（x）+Ex[h（k）g（xζ）1{xζ>xk} ]=Ex[h（k+1）f（Xζ）+h（k）g（Xζ）1{Xζ>Xk} ]=Ex[h（k+1）g（Xζ）]，（47），其中h（k+1）g（X）：=h（k+1）f（X）+h（k）g（X）1{X>Xk} 。（48）通过备注2.1，我们知道g（k+1）（·）∈ Υζ. 特别是，有一个独特的xk+1∈ R使得h（k+1）g（x）>0当且仅当x>xk+1.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.51.01.52.0（a）C（x）≡ -0.020.2 0.4 0.6 0.8 1.00.51.01.52.0（b）C（x）≡ 0.02图3：这里我们绘制了奖励函数f（l）（·）（紫色、绿色和灰色虚线d线）和（40）中给出的价值函数v（l）（·）（蓝色、红色、黑色实线），分别为l=3、2、1。使用的L'evy过程：拉普拉斯指数为ψ（λ）=0.18λ+0.02λ的谱负L'evy过程- 0.25(λλ+4).

参数：恒定disco unting rate r=0.18（因此，所有t的At=0.18t≥ 0），奖励函数f（x）≡ f（x）≡ f（x）≡f（x）=1- e-x和公共成本函数C（x）≡ C（x）≡ C（x）≡ C（x）与C（x）≡ -0.02（左）orC（x）≡ 0.02（右）。通过使用定理2.2和数学归纳法，我们知道平滑fit适用于粘贴点。黑点代表最佳运动发生的粘贴点。在左图中，x= 0.6207=x= x个< x个= 0.7384; 在右图中，x= 0.5153，x= 0.5666，x= 0.5843 andx= 0.6207.我们现在证明g（k+1）（·）满足（45）中的性质。为此，表示dg（k）（x）：=v（k）（x）+Ck（x）=supτ∈特克斯[东]-Aτg（k）（Xτ）1{τ<∞}].我们已经知道（e-Atdg（k）（Xt））t≥0是右连续过程的斯内尔包络（e-Atg（k）（Xt））t≥0（由于（45）），所以它是c\'adl\'ag（见[10，第353页]）。特别地，使用引理A.1，我们得到了{τ<∞} 那个limn→∞dg（k）（Xτn）=exp（Aτ）·limn→∞经验值(-Aτn）·limn→∞dg（k）（Xτn）=exp（Aτ）·limn→∞经验值(-Aτn）dg（k）（Xτn）=exp（Aτ）·exp(-Aτ）dg（k）（Xτ）=dg（k）（Xτ），（49），其中第三步是由于c\'adl\'ag特性。因此，在{τ<∞},画→∞g（k+1）（Xτn）=limn→∞Ck+1（Xτn）-Ck（Xτn）+fk+1（Xτn）+ 画→∞dg（k）（Xτn）=Ck+1（Xτ）- Ck（Xτ）+fk+1（Xτ）+dg（k）（Xτ）=g（k+1）（Xτ）。（50）通过数学归纳，该权利要求适用于所有l=1，2，n、 备注3.5。根据命题3.3中的条件可以方便地检查的一个特例是，当我们有相同的成本函数和相同的奖励函数时，即Cl（·）≡ C（·）、fl（·）≡ f（·），l≥ 2，（51）其中假设C（·）+f（·），f（·）是连续的，并且属于Υζ。在贴现率r＞0的谱负evy的情况下，我们可以构造一类C（x）=C·eβxf或C＞0和0的这样的例子≤ β<Φ（r）和f（x）∈ Υer。3.4的提案。