累积波动率的精确概率分布函数

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英文标题：
《Exact probability distribution function for the volatility of cumulative
  production》
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作者：
Rubina Zadourian and Andreas Kl\\\"umper
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we study the volatility and its probability distribution function for the cumulative production based on the experience curve hypothesis. This work presents a generalization of the study of volatility in [1], which addressed the effects of normally distributed noise in the production process. Due to its wide applicability in industrial and technological activities we present here the mathematical foundation for an arbitrary distribution function of the process, which we expect will pave the future research on production and market strategy.
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中文摘要：
本文基于经验曲线假设，研究了累积产量的波动率及其概率分布函数。这项工作概括了文献[1]中的波动性研究，该研究解决了生产过程中正态分布噪声的影响。由于其在工业和技术活动中的广泛适用性，我们在此提出了该过程任意分布函数的数学基础，我们期望这将为未来的生产和市场策略研究奠定基础。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Exact_probability_distribution_function_for_the_volatility_of_cumulative_production.pdf (608.7 KB)

2022-6-1 05:39:59 上传

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关键词：概率分布 分布函数 波动率 distribution Quantitative

累积产量波动率的精确概率分布函数鲁比娜·扎杜里亚（Rubina Zadouriand and Andreas Kl¨umperInstitute for New Economic Thinking），牛津马丁学院，UKWuppertal大学，D-42119 Wuppertal，德国（日期：2017年8月10日）在本文中，我们基于经验曲线假设研究了累积生产的波动率及其概率分布函数。这项工作概括了[1]中的波动性研究，该研究解决了生产过程中正态分布噪声的影响。由于其在工业和技术活动中的广泛适用性，我们在此提出了该过程任意分布函数的数学基础，我们希望这将为未来的生产和市场策略研究奠定基础。导言了解工业活动的不稳定行为及其复杂性，吸引了许多研究人员。描述这种现象的程式化事实之一是众所周知的经验曲线。Wright的开创性论文中提出了经验曲线的概念及其经验证据，他在论文中首次发现了成本与数量的关系。赖特曲线在文献中被称为“学习曲线”，因为它基于“多产多学假说”，用于描述价格经验关系。赖特意识到，根据经验，随着产量的复制，成本的降低遵循一个恒定的比例率。

换言之，生产特定产品的经验越丰富，扣除通货膨胀因素后，其成本越低。本文的灵感来自这样一个事实，即经验曲线假设可以提供对市场战略的重要理解，例如，由于经验水平的知识，出口潜力，未来价格的预测，给定一些关于市场成本以某种一致的下降率下降的信息，风险管理的适用性，等。（注意，该概念适用于成本控制或预测ZF的长期战略发展）。这种现象取决于一些关键因素，即称职的管理、技术改进等。此外，必须有一种导致这种现象的特征模式，例如更好地开发更好的工具、自动化、培训计划【3-6】、以前的经验和工作复杂性任务【7、8】。体验曲线的概念也可以描述商业竞争对手之间的影响，例如，谁通过降低成本更快，这是复杂系统交互和网络的一个例子。关于经验曲线的经验信息，有大量文献，包括广泛的工业活动，参见例[9]。上述工作对这一概念的发展产生了重大影响，认为技术学习是在实践学习的基础上获得经验的结果。一些研究人员质疑其对预测和规划工业和技术活动部署的有用性[1，11-14]。在上述文献中发现，考虑到预测误差分布的形状，经验曲线可用于估计未来的技术成本。

（注意，结果取决于一些参数，例如观测时间序列的长度和周期）。尽管经验曲线有各种各样的经验证据，但缺乏这一概念的理论和数学框架。基于这一事实以及存在大量描述复杂现象的分布不是高斯分布的情况，例如大多数金融资产的价格波动[15]，本文提出了一个理论，描述任意噪声概率分布下累积产量波动率概率分布函数的数学框架。与学习曲线的概念类似，学习曲线是学习过程的输入和输出之间的关系，我们的主要发现之一显示了表征其波动性的前一个和下一个概率分布函数之间的关系。了解累积产量及其波动率的分布函数，有助于我们了解系统的复杂行为，并计算各种数量，如均值、方差以及高阶矩、价格波动相关性、，萨哈尔（Sahal）[13]首次发现，累积产量呈指数增长，成本呈指数下降，这给出了经验曲线定律，表明成本与累积产量增长之间存在线性关系。与[1]类似，我们假设生产是一个具有漂移g和方差σa的几何随机游走，从而认为在噪声存在的情况下，经验累积产量增长遵循一个平滑的指数行为。在此模型中，累积产量由以下公式给出：Zt=tXj=0egjea。。。eaj，（1）式中，a，a。。。是随机i.i.d。

描述生产过程中存在噪音的变量。让我们首先考虑特殊情况，其中a、a、，。。。均为正态分布的i.i.d.变量，平均值为零，方差σa。在计算[1]中的累积产量及其波动率时，使用鞍点法。鞍点的主要思想是通过只考虑被积函数取其最大值的积分范围来近似积分。首先，这只能适用于小方差σA。在[1]中，首先计算了累积产量的期望值及其方差，从而得出aiE（log Z）=R上的多重积分∞-∞log ZQti=1dai√2πσaexph-ai2σai=R∞-∞Qti=1dai√2πσaeS（{ai}），（2）S（{ai}）=log（log Z）-Pti=1ai2σa。对于σa 1鞍点法产生明确的结果，例如log Z（t）Var（log Z（t））=E（logZ）的方差- E（对数Z）=σa2eg+11-e2g+t+ O（σa）。（3） 最后，该方法的主要结果是波动率，即波动率变量的方差 对数Z：=对数Zt-日志Zt-1对于大时间t→ ∞ 由以下表达式给出（对g>0和小σa有效）：Var( log Z）=σatanhg级+ O（σa）。（4） 有关推导的详细信息，请参阅[1]。辛塞坦g级< 1我们始终( log Z）<σaan不等式，这意味着累积产量的波动率低于产量的波动率。我们已经使用经验数据测试了这一非常简单但潜在强大的关系，我们发现它运行得相当好。一般情况下的波动性本文的核心结果是研究了文献[1]中考虑的艾坦更一般分布函数的累积产量波动性。让我们假设在等式（1），a，a。。。是随机i.i.d。

根据任意形状和宽度的分布函数ρao分布的变量。我们对累积产量zt的分布函数感兴趣：=log zt，我们称之为ρzt。来自图。1、不同时间步的高斯分布ρafo的对数Ztof概率分布函数图，其中g=0.2，σa=1。插图显示了大时间尺度上的曲线。这个分布函数可以计算系统的所有重要特征量。令人惊讶的是，分布函数可以显示为满足连续时间的有用递归关系：ρzt+1（x）=1- 经验值(-x） 。ρa* ρzt（对数（exp（x））- （1）- g） 。（5） 详细推导可在附录A中找到。通常，公式（5）必须通过递归进行数值求解。数值分析可以达到很高的精度，并完全取代模拟，因为模拟非常耗时，有时甚至不准确。至少有两种情况可以得到分析结果。在ρa的分布中，主权重约为x，且g值为g，使得g+x>0的情况下，我们发现大t的渐近解。在这种情况下，只有x物质和（5）的大值线性化为ρzt+1（x）=ρa*ρzt（x-g） 。第二种情况是ρa的窄分布，我们稍后会对此进行评论。公式（5）在数值计算中非常有用，特别是因为卷积积分可以有效地执行，并且随着时间的增加收敛速度很快。当然，最好将任意t的概率分布函数的时间演化完全分析，如[16]中所述。分析解决方案是当前研究的主题。图1、图2和图3显示了不同类型噪声和多个时间步的累积产量分布。图2：。

不同时间步对数Ztof高斯分布噪声的概率分布函数图，其中g=0.2，σa=0.1。插图显示了大时间尺度上的曲线。图3：。不同时间步洛伦兹分布噪声对数Ztof的概率分布函数图，其中g=0.2，宽度等于1。插图显示了大规模的曲线。波动率的分布我们的兴趣量就是波动率，它是通过定义分布函数的方差来定义的- zt公司-1、我们观察zt：=zt- zt公司-1=对数Zt- 日志Zt-1= -日志1.-Zt公司- Zt公司-1Zt. （6） 图4：。ρa和不同时间步长的高斯情况下波动率变量的概率分布函数图，其中g=0.2，σa=1。插图被考虑用于大时间尺度。图5：。ρa和不同时间步洛伦兹情形下波动率变量的概率分布函数图，其中g=0.2，宽度等于1。Inset以较大的时间刻度显示曲线。我们定义：Yt：=ZtZt- Zt公司-1.（7）在附录B中，我们显示了以Ztin等式（1）和g分布的Ytis→ -g和ai→ -ai，见等式（22）。从上面的表达式中，我们得到变量yt=log yt的分布函数的以下结果：ρzt（x）=exp（x）- 1ρyt(-日志（1- 经验值(-x） ），（8）图6。波动率数值精确值和鞍点近似值与噪声方差σaof的各种值之比的曲线图，固定漂移，g=0.1。其中，如上所述，改变g和ai的符号后，ρyt满足与ρzt相同的递归。式（8）的详细解释见附录B图。4和5说明了波动率分布ρzt，考虑ρ异常分布和洛伦兹分布。图中显示了ρzt（x）的不同行为，在x=0 fori时具有奇异（但可积）特性。e、 g级≥ 0

最初的几个时间步骤显示了相当大的变化，其中只有较小的变化发生在较大的时间。为了证明式（5）和式（8）的有用性，让我们从式（4）中推导出来，式（4）是鞍点近似的结果：我们取ρaa的窄分布，平均值为0，方差为（小）σaan，根据“yt=log（Ptj=0e-jg）和σtar是窄ρyt分布的平均值和（待计算）方差。利用变量变换和卷积下方差可加性的优良性质，我们得到了式（4）中特殊情况下的波动率的推导。我们将上述陈述的详细推导推迟到附录C。我们还将σA的一般值的数值结果与方程式（4）中获得的鞍点结果进行了比较。这些分析表明，对于小方差σa，概率分布的一般处理和鞍点近似是一致的。图6表明，对于σa的小值，分析近似和数值结果是一致的，而对于较大的σawe，可以看到相当大的偏差。σa的中间（大）值的波动率比鞍点近似的结果大（小）。总结经验曲线的概念已广泛应用于不同领域，如工业工程和运营管理服务，旨在估计未来成本、降低生产成本、评估工人的学习成绩等。它在一些与产能、定价和就业相关的战略任务中也起着重要作用。此外，存在大量描述复杂现象的分布不是高斯分布的情况。对于这种多样的应用，我们找到了一种基于模型概率分布函数的综合分析方法。

我们推导了积分型递归关系，用高精度数值积分代替模拟。结果表明，基于边做边学假设，不同类型的噪声如何影响模型内的累积产量。波动率的分布函数几乎没有均值和方差的特征，并且表现出相当有趣的，有时是奇异的行为。了解如此重要的数量有助于加深对工业活动的了解。它还使我们能够了解系统的不稳定和复杂特征，并相应地计算出重要数量，通过设想模型在未来风险管理调查中的机会。***RZ感谢J.Doyne Farmer和Francois Lafond的支持和讨论。附录A：分布函数的推导ρz这里我们将推导递归表达式（5）。请注意，修改的对象▄Zt：=tXj=0egjea。。。eaj+1（9）具有与Zt相同的分布函数，因为我们使用了不同但独立且分布相同的ai。因此Zt：=对数Zt根据ρZt=ρZt分布。请注意，1+eg+aZt=1+tXj=0eg（j+1）eaea。。。eaj+1=1+t+1Xi=1GIEEEA。。。eai=Zt+1。（10） 因此，我们有zt+1=log（1+exp（g+a+zt）=f（g+a+zt）（11），其中我们使用了函数f的定义：f（x）：=log（1+exp（x））。（12） 随机变量a+~zt根据ρaw与ρzt的卷积分布。g+a+~zt的分布是自变量随后移位的卷积：ρa+~zt=ρa* ρИzt=ρa* ρzt，ρg+a+~zt（x）=ρa* ρzt（x- g） 。（13） 利用（11）和（13），我们可以计算zt+1的分布函数ρzt+1。如果我们使用参数x表示ρg+a+~zt，y=f（x）表示ρzt+1，我们会发现ρzt+1（y）dy=ρg+a+~zt（x）dx，（14），并且从ρzt+1（y）=[f（x）]-1ρg+a+~zt（x）=[f（x）]-1ρa* ρzt（x- g） 。

（15） 现在我们使用f（x）=exp（x）/（1+exp（x））和x=f-1（y）=对数（exp（y）-1） 并得出我们的主要结论之一：ρzt+1（x）=1- 经验值(-x） 。ρa* ρzt（对数（exp（x））- （1）- g） 。（16） 附录B：波动性变量分布函数的推导Zt根据Yt的定义，我们有Yt=ZtQt，其中Zt：=tXj=0Qj，Qj：=egjea。。。eaj（17），其中g是常数，a，a。。。是随机的。i、 d.根据某个分布函数ρa分布的变量。幸运的是，如果我们将常数g和随机变量aiby g和-ai：Yt：=ZtQt=tXj=0QjQt，QjQt=eg（j-t） e类-aj+1。。。e-在（18）下一步，我们定义g：=-g、 a：=-在，▄a：=-在-1.在：=-a（19）和索引Qjqt=eg（j-t） e类-aj+1。。。e-at=eg（t-j） 电子签名。。。eat-j（20）HenceYt=tXj=0eg（t-j） 电子签名。。。eat-j=tXj=0egjea。。。如上所述，通过考虑g和ai的符号变化，我们发现yt:=log yt的分布函数对应于zt:=log zt的分布函数。Henceit满足App中导出的递归关系。A： ρyt+1（x）=1- 经验值(-x） 。ρ-一* ρyt（对数（exp（x））- 1） +克）。（22）附录C：箭头分布的分析处理从一般递归关系中获得鞍点公式公式（4），我们需要回忆公式。（5） 和（22）。ρais由0和方差σa附近的窄分布给出，相应的ρyti由平均值yt=log（Ptj=0e）定义-jg）和σt。由于方差的可加性特征，较窄的ρa* ρy作为方差方程σt+σa。让我们使用公式（22）中的变量转换。然后我们得到（σt：=σyt）d（log（ex- 1） +g）dxσt+1=pσt+σa，（23），其中x=(R)yt。对于大时间t→ ∞ 我们得到σ∞=e2g公司- 1σa.（24）现在让我们计算主要结果，即σzt，窄分布的波动率。为此，我们需要转换等式中的变量。