用量化字母解码股市

但首先我们讨论回归权重。2.1.3回归权重SSO，回归权重应该是什么？由于这些权重旨在对（10）中的回归残差进行归一化，因此很自然地将ξIso设置为回归残差is时间序列的移动序列方差。然而，让我们首先讨论一下为什么使用历史α波动率（这是一个简单的选择）可能不太理想。让我们首先看看已实现阿尔法回报的历史波动率（1）。当计算序列方差时，我们将混淆已实现股票收益率的非因式贡献，以及预期持股比例从一个日期到另一个日期的变化这一事实。然而，该位置数据是“可预测的”，它是由阿尔法的构造方式确定的，不应影响我们用于规范化回归残差的不确定性测量（即波动性）。另一方面，已实现的阿尔法回报对预测阿尔法所产生的不确定性一无所知，而阿尔法是在预测阿尔法回报的时间序列中编码的（4）。因此，使用ηisis更合理，但我们仍然不能混淆基于ηIs的权重与期望保持率Pias的s依赖性。这是通过对ηisover PiAs（对于每个日期s）进行积分来精确实现的，这会产生回归残差is，设置ξis=Var（is，d）（15）Var（·，d）在（11）中定义。因此，单位重量的回归系数为：vis=1/ξ。2.2线性约束所有受相同风险管理限制的股票头寸可能会受到其他线性约束。E、 假设所有资产都是美元中性的。那么我们有：MXA=1PiAs≡ 0（16）更一般地，我们可以有p个线性约束（通常为p<< M、 所以我们假设这保持）MXA=1PiAsQAα≡ 0, α = 1, . . .

，p（17）在不丧失一般性的情况下，我们可以假设：i）矩阵QAα的p列是线性独立的；和ii）约束条件（17）并不意味着PIA≡ 0对于A的任何给定值（或者，没有一个Alpha交易标有A的股票，我们可以简单地将其从宇宙中删除）。此外，为了保持简单，我们将假设，如果存在Nalpha（N<N）的子集，对于该子集，我们有除（17）之外的其他线性约束，但对于Allphas，则N<< N、 若我们有p>0的线性约束，我们的Alpha不依赖于股票收益的p线性组合。我们可以分解a=R′As+pXα=1QAαRαs（18）MXA=1QAαR′As≡ 0（19），其中rαs=MXA=1eQαARAs（20）和（在矩阵符号中）eQ=（QTQ）-1QT。注意，矩阵QTQ是非奇异的，因为QAα的列是线性独立的。因此，α回报率ρis=MXA=1PiAsR′（21）对因子加载矩阵QAα定义的风险因子的回报率Rα一无所知。E、 例如，在单一美元中立约束的情况下（16），我们有qaα≡ 1（α=1），相应的回报率Rαs=MPMA=1只不过是股票组合的平均回报率，对于较大的M，可以将其视为同等加权的广义市场回报率。美元中性对冲了上涨的市场风险。约束（17）在SO（p）旋转Q下是不变的→ Q U，其中Uαβ是正交矩阵：U UT=UTU=1。基于上述情况，很明显，在存在线性约束的情况下（17），我们无法使用alpha-expectedreturns预测所有股票的预期收益，而只能使用M- 作为alpha por t folios的p线性组合在其余的p线性组合下是中性的。因此，我们需要将股票收益率从M减少到M- p、 实现这一目标有多种方法。2.3消除法因此，我们可以建立一个M- p库存如下。

每一步r≤ Mwe有三组∏r，e∏randΥr。在步骤r=1，我们从∏={A | A=1}，e∏={A | A=2，3，…，M}，和Υ={α|α=1，…，p}开始。在每一步r，其中r<M，我们定义∏′r=∏r∪ {B} ，其中B=min（e∏r）。如果没有β∈ Υrsuchtatxa∈π′rPiAsQAβ≡ 0（22）然后我们定义∏r+1=∏′r（即，我们将B添加到∏r），e∏r+1=e∏r \\{B}（即，我们将B从e∏r中删除）和Υr+1=Υr。如果此类β确实存在，则我们定义∏r+1=∏r，e∏r+1=e∏r \\{B}和Υr+1=Υr \\{β}（即，我们删除βfr omΥr）。在步骤r=M处，以子集∏M结束 {1，…，M}使得在Piasfora上没有线性约束∈ πM。子集J=πMhas | J |=M- p元素。它的补码eJ={1，…，M}\\J有| eJ |=p元素。接下来，我们将使用小写字母a、b、。（从拉丁字母表的开头）标记对应于子集J的股票，以及字符u、ν、。（从希腊字母表的中间）标记与子节相对应的股票。然后我们可以重写（19）viaXu∈eJquαR′us=-Xa公司∈JKaαR′as（23），其中（在矩阵符号中）quα=quα，Kaα=Qaα。因此，我们有r′us=-Xa公司∈JχuaR′as（24）ρis=Xa∈JSiasR′as（25），其中（在矩阵符号中）χ=（qqT）-1qKTandSias=Pias-Xu∈eJPiusχua（26）所以，（25）现在看起来似乎没有线性约束，除了股票普遍较小（M- p股而非M股），S股“头寸”现在由SiasNot给出，不能与α、β、。从希腊字母开始，我们在QAα中使用。（而不是PiAs），以及- p返回值为R′as。通过（24）确定r′u，M返回r′A与原始返回r′A不同，但将其投影到（M- p） -维超平面通过（19）。

与这个超平面垂直的方向Rα是不可能的，但我们可以求解R′As。2.4主成分这是一种处理线性约束的形式上更简单的方法。实际问题是（对于s的每个值），M×M矩阵（14）在存在线性约束（17）时是奇异的。这可以通过以下方式处理。让我们使用主成分V（C）将矩阵XABs分解为：XABs=MXC=1λ（C）sV（C）AsV（C）Bs（27）让我们通过λ（a）s标记正特征值，a∈ J、 | J |=M- p、 以及通过λ（u）s的零特征值，u∈eJ，| eJ |=p。我们可以正则化矩阵XABsviaXABs=Xa∈Jλ（a）sV（a）AsV（a）Bs+Xu∈eJλV（u）AsV（u）Bs（28），其中在一天结束时，我们将取λ→ 0+。注意，根据定义，我们有mxa=1V（a）AsQAα≡ 0（29）MXA=1V（u）AsPiAs≡ 0（30）xabs的倒数由yabs=Xa给出∈J[λ（a）s]-1V（a）AsV（a）Bs+Xu∈eJλ-1V（u）AsV（u）Bs（31）将其插入（13），我们得到EAS=NXi=1MXB=1Xa∈J[λ（a）s]-1V（a）AsV（a）BsvisPiBsη为（32）该表达式与调节器λ无关，我们可以安全地将其取为0。注意，mxa=1EAsQAα≡ 0（33）再次说明，只有与线性约束正交的方向才能实现。3阿尔法风险模型公式（32）、（8）和（9）通过阿尔法预期回报来表示股票组合权重，而不参考阿尔法预期回报权重。现在，我们将通过构建阿尔法投资组合的风险模型，以一种看似无关的方式得出这个结果。因此，正如通常在实践中所做的那样，让我们将N Alpha与一些权重WI结合起来，我们需要以某种方式对其进行fix。让我们看看与这些α权重相对应的基础股票投资组合的风险。

相应的股票权重由给定日期s的was=NXi=1PiAswis（34）给出，（预期）股票组合方差由MXA给出，B=1ΦABwAswBs=NXi，j=1wiswjsFijs（35）Fijs=MXA，B=1PiAsΦABPjBs（36），其中，如上所述，Φabi是股票的正定义（且相当稳定）M×M风险模型协方差矩阵。即使ug hΦABis是可逆的，N×N矩阵fijs（对于s的每个值）也是单数的——字母比股票多得多。事实上，l.h.s.只不过是一个不完整的因子模型，包含M个因子、因子负荷矩阵PiAs和f因子协方差矩阵ΦAB。缺少的是诊断上的特定（也称为特质）风险。一旦我们添加了一个特定的变量，称之为ζis，我们就有了一个n M因子模型，该模型具有nα的正定义模型协方差矩阵：Γijs=ζ是δij+Fijs（37）。我们将讨论一下ζ应该是什么。现在，让我们假设我们知道如何计算它们，并根据α预期回报ηIs和由ijs建模的αportf olio风险确定权重。至于股票，让我们通过最大化阿尔法投资组合的夏普比率[Sharpe，1 994]来确定威斯康星州：威斯康星州=κNXj=1Γ-1ijsηjs（38）此处，对于每个日期s，Γ-1Ijs是与Γijs相反的N×N矩阵，脚注18中的注释也适用于（36）。我们可以将矩阵Γij sin（37）中的特定风险考虑为阿尔法预期收益的不确定性建模，而非股票波动性。后者由系数r isk Fij s建模。我们将在下面讨论前者是否应为对角线。归一化系数κ通过归一化条件nxi=1 | wis |=1（39）确定。我们将立即看到α权重将减少到熟悉的形式。3.1大N限制为了便于我们在这里重写ΓijsviaΓijs=ζjsγijs，其中γijs=δij+MXA=1βiAsβjAs（40），βiAs=eβiAs/ζis。

其中，βiAs=PMB=1PiBsφBA，φ是Φ的Cholesky分解，因此（在矩阵符号中）φφT=Φ。然后我们得到wis=κζisNXj=1γ-1ijηjsζjs=κζis“ηisζis-NXj=1MXA，B=1βiAsQ-1ABsβjBsηjsζjs#（41），其中（对于每个日期）Q-1Abs是M×M矩阵，与QABs=δAB+QABs和QABs=PNi=1βiAsβiBs相反。该矩阵的对角线元素为QAAs=1+PNi=1βiAs。稍后，我们将讨论所有qAAs=PNi=1βiAs>> 1.然后我们可以展开Q-1ABsas如下：Q-1ABs=q-1ABs-MXC=1q-1ACsq-1CB s+O（q-3） （42）此处（针对每个日期）q-1Abs是与qABs相反的M×M矩阵。第一个TERMIN（42）给出了1/N阶对Q的主要贡献-1ABs，第二项是1/N阶的领先贡献，其余的项在扩展中，我们示意性地表示为O（q-3） ，的顺序为1/N、1/N等。我们稍后将看到，我们需要保留的不仅仅是前导项q-1ABs，但也是（42）中领先（第二）的下一个学期，我们可以放心地放弃其余的。那么，为什么所有的qAA>> 1.当【Kakushadze和Yu，2017a】：i）N较大，且ii）向量sβiA中没有“聚类”时，就是这种情况。也就是说，对于指数i的大多数值，我们没有消失或较小的βiA值，只有其中的一小部分具有βiA~>1、没有这种在实践中未观察到的“聚类”，就有qAA~<1，我们必须有βiA<< 1，即γijand，因此，Γijand几乎是对角的。这种风险模型无法描述现实的Alpha。这里需要注意的一点是，qABsis（目前）被假定为可逆的。下面我们来放松一下。实际上，Alpha的相关性不太高——这是因为没有人希望交易高度相关的Alpha。然而，从经验上看，lphas之间的平均相关性并不是很小（确切地说，不是1/N阶）[Kakushadze，2016b]。3.2库存PortfolioLet us现在将（41）和（4 2）插入（34）。

直接代数产量：wAs=κNXi=1MXB，C=1Φ-1ABeYBCsevisPiCsη为+。（43）其中，省略号表示与O（q）对应的转载条款-3） （42）中的贡献，evis=1/ζis，AndeyAbs是矩阵的倒数xabs=NXi=1evisPiAsPjAs（44），即，这里我们得到了与（13）、（8）和（9）中给出的结果完全相同的结果，前提是我们用ξis来识别ζis。更准确地说，这种识别取决于一个总体（s依赖）常数，这不会影响最终结果。该总体归一化常数在（37）中起到了特定风险和因子风险之间相对归一化的作用，并且是非平凡的，因为它取决于构建股票风险模型协方差matr ixΦAB时使用的归一化。然而，大N极限的美妙之处在于，我们不需要知道这个归一化常数，因为它只影响被1/N幂抑制的次级项（即，与（43）中的省略号对应的项）。此外，请注意，（43）中的领先贡献来自（42）中领先（第二）项的下一项。这有一个简单的原因。假设我们只保留（42）中的领先（第一）项。然后我们会得到≡ 实际上，保持（42）中的领先项减少了（41）t oa加权横截面回归[Kakushadze和Yu，2017a]的ηisover-PiAs（权重为1/ζis）。然后，wisare自动与PiAs正交，所以（由（34）给出）自动消失，即使wisare不！这是因为t healpha投资组合完全对冲了风险因素，而这些风险因素与股票回报无关。因此，合并后的alpha por tfolio的股票持有量为零。为了获得一个非平凡的股票投资组合，我们必须放松这种完美的对冲，即从精确回归到优化。保持第二个领先的终端（42）正是实现了这一点。

而且，令人高兴的是，正是因为N很大，所有其他术语都被抑制了，我们甚至不需要确定特定风险和因子风险之间的相对归一化，这只会影响这些被抑制的术语。我们需要解决的一个问题是，上面我们假设qABis是不可逆的。如果没有线性约束，情况就是这样。当线性约束（17）存在时，qABis单数。它可以按照第2.4小节的规定进行规范化，然后论证的其余部分继续进行。最终结果是：was=κNXi=1MXB，C=1Xa∈JΦ-1AB[λ（a）s]-1V（a）BsV（a）CsvisPiCsη为+。（45）如果符号与第2.4小节中的符号相同（省略号=转载条款）。3.3调整阿尔法风险模型（37），我们将头寸数据视为因子加载矩阵（针对每个日期），从而将股票回报与风险因子回报率进行识别。风险的其余部分被假定为对角线特定风险，并且ζ被确定为总体（s依赖）归一化因子，由于上述原因，我们不需要计算该因子，d日移动方差ξ等于回归残差（见上文）。这相当于（对于每个日期s）建模（d天移动）样本协方差矩阵Ξijs=Cov（is，js，d）=d- 1s+dXs′=s+1（is′）-is）（js′）-js）（46）is=ds+dXs′=s+1is′（47）回归残差通过对角矩阵diag（Ξijs）=Ξiisδij=ξisδij。这里还有其他的可能性。只要是正定义，我们可以将Ξijsvia近似为非直径GonalMatrixΞijso。通常，N×N矩阵的秩是d- 1.<< N、 设其特征值为正的主分量θ（r）sbe U（r）为，r=1，d- 让我们按降序排列特征值：θ（1）s>θ（2）s>···>θ（d）-1） s。

然后，我们可以使用第一个Ks<d构建Ξijsa Ks因子统计风险模型（参见[Kakushadze and Yu，2017b]）- 1主要成分：eΞijs=eξisδij+KsXr=1θ（r）sU（r）isU（r）js（48）eξis=ξis-KsXr=1θ（r）shU（r）isi（49）或者，我们可以建模样本相关矩阵ψijs=Ξijs/ξisξjs（ψiis≡1） 通过Ks因子统计风险模型：eΞijs=ξisξjseψijs（50）eψijs=eψisδij+KsXr=1φ（r）sS（r）isS（r）js（51）eψis=1-KsXr=1φ（r）shS（r）isi（52），因此，在不影响最终结果的情况下，为了便于注释，我们将其设置为1。这相当于假设股票风险模型协方差矩阵Φabi被适当地归一化，尽管这种总体归一化在一天结束时并不重要。这里φ（r）s（r=1，…，d- 1） 是样本相关矩阵ψijs（φ（1）s>φ（2）s>···>φ（d）的正特征值-1） s）和s（r）是与r相对应的特征向量。根据【Kakushadze和Yu，2017b】，可以使用有效秩（或eRank）确定因子k的数量【Roy和Vetterli，20 07】：Ks=fl oor（eRank（Aijs））或Ks=round（eRank（Aijs）），其中A表示样本协方差矩阵Ξ或样本相关矩阵ψ。在这里，我们可以稍微简化一下，并对s的所有值都有统一的K，例如，K=min（Ks）。在下面的讨论中，为了保证不确定性，让我们假设统一的Ks≡ K在基于样本协方差矩阵主成分的因子模型（48）中（这不是关键）。因此，现在我们给出了α风险模型协方差矩阵，而不是（37），由Γijs=eΞijs+Fijs=eξisδij+XeA，eB∈HePieAseΦeAeBePjeBs（53），其中集合H={A}∪ {r} （所以| H |=M+K）是指数A，B，···=1，…，的值的并集，M和特征值标签r=1，K、 andePiAs=PiAs，ePirs=[θ（r）s]1/2U（r）is。

此外，eΦAB=ΦAB，eΦrr′=δrr′，其他分量消失。现在，回归残差isby定义与PIA正交，因此我们有PNI=1isPiAs≡ 0。这意味着PNI=1U（r）isPiAs≡ 直接代数得出了一个简单的结果：股票组合权重仍然由（45）给出，唯一的区别是现在vis=1/eξ是（相对于vis=1/ξ是）。一、 例如，对matr ixΞijsvia及其主成分进行建模的影响只会减少到修改回归权重。因此，visencodes的选择显示了模型之间的差异！4结论性意见如上所述，在（37）（以及（53））中，特定风险和因子风险之间存在总体归一化系数。事实上，这种总体规范化通常是s依赖的。这与股票风险模型协方差矩阵ΦABa先验的归一化与预期股票收益的归一化不同有关。然而，如上所述，出于alpha portfoliooptimization的目的，我们不需要确定这种总体规范化。这是因为我们实际上并没有反转Γijs；相反，我们使用通过特定风险ξis确定的权重对头寸数据进行回归。这与股票风险模型构建不同，在股票风险模型构建中，我们构建了一个完整的多因素风险模型matr ixΦAb，没有未确定的归一化因子等。那么，为什么股票风险模型和α风险模型之间存在如此显著的差异？答案很简单。在股票风险模型中，基于行业的风险因素发挥着重要作用，人们可能会想知道如何控制股票组合的换手率，因为高换手率可能会增加换手率。一种简单的方法是抑制高营业额Alpha的权重Vis。有关一般光盘的使用和参考，请参见，例如，【Grinold和Kahn，2000年】。