基于flash策略的确定利润存在性研究

事实上，定义g’ξ：=supn∈N |ξN |（根据定义2.2，这是一个有界随机变量），它保持thatlimk→+∞supn公司∈N（hn·X）t-k- （hn·X）t-= 利姆→+∞supn公司∈NξnXτnt-k- Xσnt-k- ξnXτnt-- Xσnt-≤(R)ξlimk→+∞supn公司∈N{t-k<τn<t}| Xτn- Xt公司-k |+支持∈N{t-k<σn<t}Xσn- Xt公司-k级|≤ 2〃ξlimk→+∞supu公司∈（t-k、 t）| Xu- Xt公司-| = 因此，根据Mo-ore-Osgood定理，我们可以得出结论，对于每个t≥ 0，（2.2）ζ1{t=τ}=limn→+∞（hn·X）t- 利姆→+∞画→+∞（hn·X）t-k= Xt？hta。s、 ，带“ht：=limn”→+∞hnt=极限→+∞ξn{σn<t≤τn}，对于所有t≥ 0、设ξ=limn→+∞ξn（种子定义2.2），（2.2）的第一个含义是{τ<+∞}  {ξ6=0}和[[τ]] {X 6=0}，直到消失集，因此τ是X的ju mp时间。此外，始终为（2.2），在{τ<+∞}它认为{Xτ>0}={hτ>0}。注意随机变量ξn{σn<τ}和1{τ}的th≤τn}是Fτ--每n可测量∈ N（参见[JS03，§I.1.17]），这意味着1{τ<+∞, Xτ>0}isFτ--也可以测量。为了完成证明，还需要证明τ是一个可预测的时间。对于每个n∈ N、 设An：={σN<τ≤ τn}∩ {ξn6=0}，注意 {τ < +∞}, 自每次打顶时间起，τ均受到限制。此外，它认为→+∞An=limn→+∞{σn<τ≤τn}ξn{ξn6=0}ξn=ζξXτ{τ<+∞}a、 这个恒等式表明序列（An）n∈Nis收敛，带limn→+∞An={τ<+∞} 和ξXτ=ζon{τ<+∞} （最多P-nullset）。停止次数（σn）n∈Nand（τn）n∈Nconvergea。s、 n的toτ→ +∞, 这意味着[[τ]] lim信息→+∞]]σn，τn]] lim支持→+∞]]σn，τn]] [[τ]]，因此[[τ]]=limn→+∞]]σn，τn]]。

由于每个随机区间]]σn，τn]]是一个可预测集（参见[JS03，命题I.2.5]），因此[[τ]]也是一个可预测集，即τ是一个可预测时间。现在，让我们证明，只有当存在一个生成常数pro-fit的flash strategy时，X才会显示出完全可预测的跳跃，就像证明的第一部分一样，遵循一条相似的推理路线。设T为[[T]]的可预测时间 {X 6=0}这样随机变量XT{T<+∞}是英尺--可测量的修正一些常数k≥ 1使得P（T<+∞, |XT |∈ [1/k，k]）>0和通过闪存策略确保利润7确定停止时间τ：=T 1{|XT公司|∈[1/k，k]}+∞1{|XT |/∈[1/k，k]}。根据[JS03，命题I.2.10]，τ是一个可预测的时间，因此，存在一个宣布序列ce（ρn）n∈Nof停止时间满足ρn<τ且ρn增加到τ→ +∞. 与屋顶的第一部分类似，设σn：=ρn∧ n和τn：=τ∧ n、 对于每个n∈ N、 并确定序列（hn）N∈Nby（2.3）hn=ξn]]σn，τn]]，其中ξn：=kE类[Xτ| Fσn]∧kE公司[Xτ| Fσn]，对于每n∈ N、 按照惯例在{τ=+∞} 和=0。通过构造，它认为|ξn |≤ k、 对于每n∈ N、 所以（hn）N∈Nis被定义为一系列买入和持有策略。此外，序列（ξn）n∈n将a.s.收敛到随机变量ξ：=kE类[Xτ| Fτ-]∧kE公司[Xτ| Fτ-]= kXτ∧kXτ={Xτ6=0}Xτ，其中第二个等式利用以下事实Xτ是Fτ--可测量，如下所示Xτ=XT公司{|XT公司|∈[1/k，k]}与FT一起--可测量性XT{T<+∞}. 这表明（hn）n∈Nis是定义2.2意义上的流动战略。

此外，它认为→+∞（hn·X）t=limn→+∞ξn（Xτn∧t型- Xσn∧t）= ξXτ{τ≤t} =1{τ≤t} a.s.，从而表明（hn）n∈n生成关于c=1的常数。相反，设（hn）n∈Nbe a FL ash策略，hn=ξn]]σn，τn]]，n∈ N、 生成关于c>0和停止时间τ的恒常曲线。与确定利润的情况类似，它保持c=Xτlimn→+∞hnτa.s.{τ<+∞}. 这意味着[[τ]] {X 6=0}直到消失集，所以τ是X的跳跃时间。此外，它认为Xτ=c/（limn）→+∞ξn{σn<τ≤τn}）a.s.{τ<+∞}, 其中Fτ--可测量性Xτ{τ<+∞}跟随。最后，在确定的情况下，τ的可预测性可以如上所示。备注2.5。[Rol77，Ges79，Wha81]中介绍的股息模型（另见[HJ88]中的分析）给出了允许通过现金策略实现恒定利润的模型示例。事实上，此类模型考虑了在已知日期支付确定性股息的资产，并假设除息价格下降固定分数δ∈ 股息支付日股息的（0，1）。这对应于过程X的完全可预测的排放量，因此，从定理2.4来看，可以通过排放策略利用这一点来产生恒定的利润。重要的是要指出，尽管一种流动策略（hn）n∈如果生成一个确定的收益率并不能解决限额内的任何风险，那么每个买入并持有策略HN都会承担潜在损失的风险。然而，正如我们将在本节的其余部分中所示，可以以损失一致有界的方式构建流动策略。这是飞行策略的一个重要特性，尤其是考虑到其实际适用性。根据定理2.4，当且仅当X表现出可预测的跳跃时，通过FL-ash策略有一定的收益。

因此，让T是[[T]]的可预测时间 {X 6=0}，这样1{T<+∞, XT>0}是8 C.FONTANA、M.PELGER和D E.PLATENFT--可测量的假设事件A（N，C）：={T≤ N、 | XT-| ≤ CXT>0}∈ 英尺-, 对于某些常数N>0和C≥ 1使得P（A（N，C））>0，并确定可预测时间τ：=T 1A（N，C）+∞1A（N，C）C。然后确定停车时间序列（σn）n∈Nand（τn）n∈Nbyσn：=ρn∧ n和τn：=τ∧ n、 对于每个n∈ N、 式中（ρN）N∈是τ的宣告序列。与（2.1）类似，我们构造了买入并持有策略hn=ξn]]σn，τn]]，其中（2.4）ξn：=P（τ<+∞ |Fσn）1+（| Xσn |- C） +，每n∈ N、 自XσN起→ Xτ-a、 s代表n→ +∞ 和| Xτ-| ≤ C在{τ<+∞}, 序列（ξn）n∈Nconvergesa。s、 toξ=1{τ<+∞}. 定理2.4证明的第一部分中给出的相同论点允许证明（hn）n∈n在τ处生成安全系数。Fur thermore，在{τ<+∞}, 对于每n∈ 确认n≥ N，它认为（hn·X）τ=ξN（Xτ- Xρn）=ξn(Xτ+Xτ-- Xρn）≥ -C-|Xρn | 1+（| Xρn |- C）+≥ -2C a.s.因此，我们已经证明，即使每个单独的买入和持有策略HN确实涉及一些风险，交易的潜在损失在{τ<+∞} 对于所有足够大的n，可以证明类似的结果适用于产生恒定利润的浮动策略，将策略（2.3）修改为（2.4）。备注2.6（关于卖空限制）。在引入卖空限制的情况下，可预测的跳跃会通过流动性策略带来可靠的收益，除非X的可预测跳跃为a.s.负值。

这仅仅是通过注意到如果T是一个可预测的时间[[T]] {X 6=0}，这样1{T<+∞, XT>0}为英尺--可测量和P(XT>0）>0，然后在定理2.4证明的第一部分中，fl-ash策略（hn）n∈NCA的选择可以考虑资产中的多头头寸，如（2.4）所示。在适当定义可预测时间τ之前，类似的推理适用于产生恒定利润的流量策略。3。进一步的性质和影响在本节中，我们通过现金策略研究了确定和不变利润概念的进一步性质。我们首先证明了价格过程X的权利连续性要求的必要性。然后，我们讨论了在交易成本较低的情况下，通过价格策略确定利润的概念的行为。最后，我们将结果专门化为半鞅情形，并讨论了与其他无套利条件的关系。3.1. 右连续性和确定性。如第2.1节所述，过程X可以是完全通用的，达到路径规则性的温和要求，即右连续性和左极限的存在。人们可能想知道，如果只假设X有l\'adl\'ag路径（即，从左到右都有有限的限制），右连续性是否可以放松。如下文所示，这是不可行的，因为权利的连续性代表着通过FLASH STRATEGIES 9任何无套利价格过程获得稳定利润的不可或缺的要求。对于l\'adl\'ag进程X=（Xt）t≥0，我们通过Xt+t处的右手极限+Xt：=Xt+- Xt，用于t≥ 0、提案3.1。假设进程X是l\'adl\'ag。如果X不能正确连续，则存在一个流动策略（hn）n∈确保（hn·X）t将a.s.收敛到1{τ<t}，对于所有t≥ 0，对于P（τ<+∞) > 0

相反，如果存在这样一种流动策略，那么xc就不可能是正确的连续性。证据这个论点类似于定理2.4证明的第二部分。假设存在一个停止时间T，使得[[T]] {+XT6=0}。固定常数k，使p（T<+∞, |+XT |∈ [1/k，k]）>0，定义τ：=T 1{|+XT公司|∈[1/k，k]}+∞1{|+XT |/∈[1/k，k]}，设置+在{T=+∞}. 由于过滤F是右连续的，因此τ是一个停止时间。确定有界停车时间（σn）n的顺序∈Nand（τn）n∈Nbyσn：=τ∧ n和τn：=（τ+n-（1）∧ n、 对于每个n∈ N、 它支持thatWn∈NFσn=Fτ。的确，对于任何A∈ Fτ，确定设置A：=A∩ {τ=σ}，An：=\\j<n（A∩ {τ=σn}∩ {τ>j}）和A∞:= A.∩ {τ = +∞}.可以检查∞∈ Fτ-=西尼罗河∈NFσn-西尼罗河∈NFσ与An∈ Fσn，对于每个n∈ N、 SinceA=A∞S(∪+∞n=1An），这表明Fτ西尼罗河∈NFσn.相反，因为σn≤ τ、 对于everyn∈ N、 inclusionWn公司∈NFσn Fτ明显。现在确定买入并持有策略（hn）的顺序∈Nby hn：=ξn]]σnτn]]，wher eξn：=kE类[+Xτ| Fσn]∧kE公司[+Xτ| Fσn]，对于每n∈ N、 根据鞅收敛定理，随机变量（ξN）N∈Nconverge a.s.toξ：=kE类[+Xτ| Wn∈NFσn]∧kE公司[+Xτ| Wn∈NFσn]=kE类[+Xτ| Fτ]∧kE公司[+Xτ| Fτ]={+Xτ6=0}+Xτ，其中我们使用了过滤F的右连续性。观察（hn）n∈Nis是定义2.2意义上的流动战略。此外，对于每t≥ 0，它认为limn→+∞Xσn∧t=Xτ∧坦德利姆→+∞Xτn∧t=Xτ+{τ<t}+Xt{τ≥t} ，所以，林→+∞（hn·X）t=limn→+∞ξn（Xτn∧t型- Xσn∧t）= ξ+Xτ{τ<t}=1{τ<t}a.s.，从而证明了命题的第一部分。为了证明逆蕴涵，设（hn）n∈Nbe的流动战略包括（hn·X）t→ 1{τ<t}a.s.as n→ +∞, 对于所有t≥ 0，对于P（τ<+∞) > 然后，直截了当的10 C.FONTANA、M.PELGER和D E。

定理2.4证明的最后一部分中给出的参数的平台适应可以表明+在{τ<+∞}, 从而证明了该主张。命题3.1表明，权利连续性的失败会导致价格过程偏离权利的任何时候都可以实现的价格策略的持续收益。这一结果在很大程度上取决于过滤F的正确连续性，这影响到+Xtisknown在时间t，即跳转发生之前。因此，通过快速有效地交易并在从右侧跳转后立即平仓，交易者可以利用此信息并实现恒定利润。从这个意义上说，权利连续性是任何无套利价格过程的必要条件。3.2. 交易成本下现金流策略的利润行为。在实践中，交易成本和市场摩擦会显著影响交易策略的可行性，从而降低套利策略的可行性。在本节中，我们研究了在小交易成本方面，通过流动策略确定和固定利润的行为。为此，让我们制定以下定义（见[GR15]）。定义3.2。对于ε>0，两个严格正过程X=（Xt）t≥0andeX=（外部）t≥0表示为ε-如果1+ε，则关闭≤eXtXt公司≤ 所有t的1+εa.s≥ 该定义对应于考虑比例交易成本，买入（卖出）价格等于Xt/（1+ε），卖出（买入）价格等于Xt（1+ε）。

该定义还嵌入了模型规格错误的可能性，即模型价格过程X对应于一些真实的价格过程X，模型误差达到ε量级。在这种情况下，假设一个严格的正价格过程X，我们应该说，如果在ε-接近X的每个过程中，对于ε>0的足够小的过程，通过价格策略确定/恒定价格是稳健的。这种鲁棒性属性通过以下命题变得精确。提案3.3。假设过程X是严格正的，并允许通过流动策略获得恒定利润。然后，存在一个流动策略（hn）∈和一个可预测的时间τ，对于ε-接近X的非常严格的正过程，它保持（3.1）limn→+∞（hn·eX）t≥ \'c 1{τ≤t} a.s.适用于所有t≥ 0，对于非常小的ε>0，c>0。证据假设X接受一个fl-ash策略（^hn）n∈n其生成关于停止时间^τ的常数曲线。根据定理2.4，^τ是一个可预测的时间，X在^τ处表现出完全可预测的跳跃。设N>0为常数，使得P（^τ<+∞, |X^τ-| ≤ N） >0，定义可预测时间T：=τ1{τ<+∞,|X^τ-|≤N}+∞1{^τ =+∞}∪{^τ <+∞,|X^τ-|>N} 。显然，X仍然通过FLASH策略获得利润，这是完全可以预测的T增长。因此，根据定理2.4，存在一个流动策略（hn）n∈N、 由元素hn=ξN]]σN，τN]]，N组成∈ N、 带|ξN |≤ k a.s.适用于所有n∈ N、 对于一些常数大于0的情况，这会产生一个常数，即c>0，关于[[τ]]的可预测时间τ [[T]]和P（τ<+∞) > 0

设ε>0，并考虑一个严格正的过程，其中ε-接近X。类似于[CT15，第2节]，我们可以计算，对于所有n∈ N和t≥ 0：（hn·eX）t=ξn（eXτn∧t型-eXσn∧t）≥ ξn{ξn≥0}Xτn∧t1+ε- （1+ε）Xσn∧t型+ ξn{ξn<0}（1+ε）Xτn∧t型-Xσn∧t1+ε= 1{ξn≥0}（hn·X）t1+ε+1{ξn<0}（1+ε）（hn·X）t- |ξn |ε2+ε1+εXσn∧t型≥ 1{ξn≥0}（hn·X）t1+ε+1{ξn<0}（1+ε）（hn·X）t- 2εkXσn∧t、 （3.2）如定理2.4证明的第一部分所示，它认为Xσn→ Xτ-a、 在{τ<+∞}对于n→ +∞ . 因此，使用定义2.2并取n的限值→ +∞ 在（3.2）y ieldslimn中→+∞（hn·eX）t≥ 1{ξ≥0}c1+ε+1{ξ<0}c（1+ε）- 2εkXτ-≥c1+ε- 2εk N=：(R)c a.s.{τ≤ t} 。对于非常小的ε，它将th保持在\'c>0。此外，它可以在（hn·eX）t下轻松验证→ 0a。s、 关于n的{τ>t}→ +∞, 从而证明了该主张。最后一个命题表明，完全可预测跳跃的存在违反了在小交易成本下持续存在的无套利原则。该结果与[Ted17]中报告的经验证据一致（与备注2.3相比）。我们还想指出，同样的推理应用程序也适用于命题3.1，因此，这意味着就较小的交易成本而言，权利连续性的必要性是不现实的。此外，命题3.3证明中给出的一个论点可以表明，通过流量策略获得的恒定利润对于小额（而非比例）交易成本而言是稳健的。备注3.4。一般来说，命题3.3不能扩展到产生确定（但不是常数）绩效的浮动策略。作为一个简单的反例，考虑过程X：=1+η1[[1+∞[[在其自然过滤F中，例如η是指数随机变量。显然，X通过流量策略来增加利润。

对于ε>0，leteX：=1+ε+（η- ε)1[[1,+∞[[，ε-接近X。然而，eX不承认通过fl-ash策略获得的肯定收益，因为{eX>0}={η>ε}/∈ 一层楼-= F、 财务直觉是，如果跳跃的方向是已知的，但其规模是不可预测的，则流动策略产生的利润可能无法补偿产生的转移成本。3.3. 半鞅情形。定理2.4适用于任何c\'adl\'ag适应的过程X。如果假设附加X是半鞅，那么（完全）可预测跳跃的缺失又是一个简单的刻画。对于一个半鞅X，我们说，对于一个有界的可预测过程h，如果它的形式为h=ξ1[[τ]]，对于一些有界的随机数，h是一个瞬时策略12 C.FONTANA，M.PELGER，and D E.PLATENvariableξ和一个停止时间τ。本着定义2.2的精神，我们说如果（h·X）t=ζ1{τ，瞬时策略h会产生确定的结果≤t} a.s.每t≥ 0，对于一些随机变量ζ，使得{τ<+∞}  {ζ > 0}. 如果P（ζ=c）=1，对于某些常数c>0，则瞬时策略h被称为生成一个常数的推论3.5。假设过程X是一个半鞅。那么以下是等效的：（i）X不具有可预测性（分别为完全可预测性）跳跃；（ii）不确定（常数，分别）通过现金策略获得利润；（iii）不确定（常数，分别）通过即时策略获得利益。证据为简洁起见，我们只考虑可预测跳跃和确定收益的情况。（ii）=> （i） ：此含义源自定理2.4。（三）=> （ii）：let（hn）n∈Nbe a fl ash策略，由元素hn=ξn]]σn，τn]]组成，这样limn→+∞（hn·X）t=ζ1{τ≤t} a.s.每t≥ 0，对于某些随机变量ζ和{τ<+∞}  {ζ > 0}. 如定理2.4证明的第二部分所示，对于n，hn将a.s.收敛到h：=ξ1[[τ]]→ +∞.