金融市场中的调制信息流

根据坐标i，（τ（i）t）的动力学可以分解为连续和不连续部分，其中dJ（i，i）t=0或dJ（i，i）t=1。假设（J（i，i）t）有状态空间{0，1}，当J（i，i）t=1时，我们有τ（i）t=t，当J（i，i）t=0时，τ（i）t<t。因此，对于连续部分，当J（i）t=1时，dτ（i）t=dt，当J（i，i）t=0时，dτ（i）t=0。至于不连续部分，就在跳跃之前，如果J（i，i）t-= 1，则dτ（i）t=dt，因为τ（i）t-= t、 如果在跳之前，J（i，i）t-= 0，则dτ（i）t=（t- t型*) 假设τ（i）t-= t型*对于一些t*< t和τ（i）t=t。为了我们的目的，我们将证明给定ftx的条件分布可以通过时间变化的LRBs来确定。提案2.3。设ξ（i）（u）为（ξ（i）t）在u处的值∈ T、 1。对于任何A∈ B（X）和ti∈ T*,P十、∈ A.{（ξ（i）s）0≤s≤ti}i=1，。。。，n= P十、∈ A.{ξ（i）（ti）}i=1，。。。，n.2、任意t的西格玛代数Ft∈ T等于toFt=σ{（ξ（i）（τ（i）u））0≤u≤t} i=1，。。。，n、 （Ju）0≤u≤t、 X1{t=1}.证据对于第一部分，对于t<1，可以充分显示pHx∈ dx公司ξ（1）t1,1=x1,1，ξ（1）t1，k=x1，k，ξ（n）tn，1=xn，1，ξ（n）tn，kn=xn，kni=PhX∈ dx公司ξ（1）t1，k=x1，k，ξ（n）tn，kn=xn，kni，对于所有ki∈ N+其中i∈ {1，…，n}，所有0<ti，1<···<ti，ki<1，和所有（xi，1，…，xi，ki）∈ 注册护士。我们有PHX∈ dx公司ξ（1）t1,1=x1,1，ξ（1）t1，k=x1，k，ξ（n）tn，1=xn，1，ξ（n）tn，kn=xn，kni=PhTni=1Tkij=1ξ（i）ti，j∈ dxi，jX=xiP[X∈ dx]RXPhTni=1Tkij=1ξ（i）ti，j∈ dxi，jX=xiP[X∈ dx]=Qni=1PhTkij=1ξ（i）ti，j∈ dxi，jX=xiP[X∈ dx]RXQni=1PhTkij=1ξ（i）ti，j∈ dxi，jX=xiP[X∈ dx]。给定X，每个坐标过程（ξ（i）t）是一个L'evy桥。因此，p“ki\\j=1ξ（i）ti，j∈ dxi，jX=X#=f1-ti，ki（x- xi，ki）f（x）kiYj=1fti，j-ti，j-1（xi，j- xi，j-1） dxi，j，其中ft（x）是基础L'evy过程的边际密度函数。因此，我们有以下内容：PhX∈ dx公司ξ（1）t1,1=x1,1。

，ξ（1）t1，k=x1，k，ξ（n）tn，1=xn，1，ξ（n）tn，kn=xn，kni=Qni=1f1-ti，ki（x-xi，ki）f（x）fti，ki（xi，ki）ν（dx）RXQni=1f1-ti，ki（x-xi，ki）f（x）fti，ki（xi，ki）ν（dx）=Qni=1Phξ（i）ti，ki∈ dxi，kiX=xiP[X∈ dx]RXQni=1Phξ（i）ti，ki∈ dxi，kiX=xiP[X∈ dx]=PhTni=1ξ（i）ti，ki∈ dxi，kiX=xiP[X∈ dx]RXPhTni=1ξ（i）ti，ki∈ dxi，kiX=xiP[X∈ dx]=PhX∈ dx公司ξ（1）t1，k=x1，k，ξ（n）tn，kn=xn，kni。对于第二部分，如果P[ξ（i）t=0]=0，对于任何t∈ （0，1），坐标（J（i，i）tξ（i）t）和（ξ（i）（τ（i）t））仅在第i个震源不活动时才不同，在此期间，坐标过程为零，（ξ（i）（τ（i）t））取震源的最后一个活动值。该陈述直接适用于互补情况，其中P[ξ（i）t=0]>0适用于任何t∈ （0，1）.命题2.4.X的Ft条件分布由p[X]给出∈ dx | Ft]=Qigx、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）tν（dx）RXQigx、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）tν（dx），对于t∈ T*假设g（x，y，t）存在。证据首先我们注意到，对于ti∈ T*i=1，n、 使用L（i）tsi=1，…，的相互独立性，n、 我们有十、∈ dx公司nξ（i）tioi=1，。。。，n=Qni=1gx、 ξ（i）ti，tiν（dx）RXQni=1gx、 ξ（i）ti，tiν（dx）。（1） 用于计算条件分布P[X∈ dx | Ft]，第一步是使用{ξ（i）（τ（i）t）}i=1，。。。，要扩大我们正在处理的信息集，然后应用Power属性。我们在此参考提案2.3。P【X】∈ dx | Ft]=EP十、∈ dx公司n（ξ（i）s）0≤s≤τ（i）toi=1，。。。，n、 英尺英尺.σ-代数Ft包含历史（Js）0≤s≤t、 它告诉我们信息坐标{ξ（i）（τ（i）s）0≤s≤ti}i=1，。。。，我一直很活跃。因此，一旦停止时间{τ（i）t}i=1，。。。，n已经发生，我们知道（ξ（i）（τ（i）t））=（ξ（i）s）0≤s≤t对于τ（i）t=ti≤ t。

因此，我们可以将命题2.3应用于obtainEP十、∈ dx公司n（ξ（i）s）0≤s≤τ（i）toi=1，。。。，n、 英尺英尺= EP十、∈ dx公司nξ（i）（τ（i）t）oi=1，。。。，n、 英尺英尺.利用方程（1）和Ft可测性，得出P[X∈ dx | Ft]=EP十、∈ dx公司nξ（i）（τ（i）t）oi=1，。。。，n、 英尺英尺=Qni=1gx、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）tν（dx）RXQni=1gx、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）tν（dx），对于ti∈ T*i=1，n、 这就说明了这一点。我们可以从希尔伯特空间的角度来看新信息源的出现。设h.i为可测集G上平方可积函数L（G）的Hilbert空间上的内积 R、 使v，w∈ 如果hv，wi=0，则L（G）是正交的，其中L（G）=n+1Mi=1Li（G），其中Li（G）和Lj（G）是i 6=j的L（G）的相互正交闭子空间，因此L（G）中的任何函数都可以唯一地表示为i=1，n+1，跨度为L（G）。例如，我们在tn上选择ζ，使得所有i=1，…，ki=1，n并且随机时间集被减少到{$i:i=1，…，n}，其中我们有一个有序集合0<$π（1）<<$π（i）<…<$π（n）<∞, 假设π是（~Jt）坐标上的置换，从而产生这个顺序。设Hα（t）=1（α≤ t） ，表示$π（0）=0，我们定义了一个n+1向量{I}0≤t型≤1byIt=h1- H$π（1）（t），H$π（i-1） （t）（1）- H$π（i）（t）），H$π（n）（t）i>。我们假设X有密度，我们写p（X | Ft）dx=p[X∈ 0的dx | Ft]≤ t<1。注意，如果^pt（x）=pp（x | Ft），则0≤ t<1，则^p∈ L（X×T*). 同样，我们假设p（0）t=pp（x），序列p（i）t（x）=rpx |ξ（π（1））t，ξ（π（i））t,对于i=1。。。，n、 因此，p（1）t（x）=px |ξ（π（1））t, p（2）t（x）=px |ξ（π（1））t，ξ（π（2））t等，andp（i）∈ L（X×T*) 对于i=0，n

我们让不相交集Ti，对于i=0。。。，n使t={t∈ T*: t<$π（1）}，Ti={t∈ T*: $π（i）≤ t<$π（i+1）}对于i=1。。。，n- 1，andTn={t∈ T*: $π（n）≤ t} 。最后，对于下一个陈述，我们定义了可测量函数Bφ（i）∈ L（X×T*) 对于i=0。。。，n bybφ（i）t（x）=（p（i）t（x）如果t∈ Ti，否则为0。提案2.5。设^pt（x）=p（x | Ft），如上所述。那么，^p=bφ（0）+····+bφ（n）。因此，p（x | Ft）=（p（0）t（x））I（1）t+··+（p（n）t（x））I（n+1）t证明。利用命题2.3和命题2.4，我们可以重写bφ（i）∈ L（X×T*) asbφ（i）t（x）=（pp（x | Ft）如果t∈ Ti，否则为0。对于i=0。。。，n、 因此*=Sni=0Ti，G=X×T*作为i=0的可测函数^p和p（i）的域，n、 我们可以考虑正交分解l（X×T*) =n+1Mi=1Li（X×T*),式中bφ（i）∈ Li+1（X×T*) 对于i=0，n、 因此，对于X×T上的i 6=j，hbφ（i），bφ（j）i=0*, 我们有声明的第一部分。第二部分紧随其后，因为I（I）tI（j）t=0表示I 6=Jan，I（I）tI（I）t=It（I）表示I=1，n+1。由于每个φ（i）t（x）取R中i=0的值，n和x∈ 十、 我们也可以处理与Rn+1同构的任何希尔伯特空间H，并将^p规范地表示为n+1中的（n+1）-元组，并将I（I）=ei=[0，…，1，…，0]>写入I=1，n+1。因此，对于H~=Rn+1，sinceei∈ H为i=1，…，形成一个完整的正交序列，n+1，我们有^p=n+1Xi=1h^p，eiiei=n+1Xi=1p（i-1） ei，因此，对于i=0，…，p（i）\'s，n是^p的傅立叶系数。从希尔伯特空间获得的见解带来了几何解释。函数^p是一个非负函数，对于固定时间t，^pton X的平方的积分是单位。因此，^ptdeterminesa点位于单位球面S的正正正切点上+ 五十、 其中，对于i 6=j，p（i）和p（j）s之间的测地线是黎曼流形（s+，h.i）上的圆。

请注意，这里，p（i）和p（j）分别根据活动信息源的i和j数量定义。备注2.6。新信息源的非边际影响可以通过傅里叶系数p（i）和p（i+1）之间的球面距离来衡量，对于i=0，n- S+上为1。2.1内生跳跃差异我们关注的是一个典型案例，其中（L（i）t）是布朗运动，因此L（i）t~ N（0，σit）对于某些σi>0，对于i=1，n、 原因有两个：（i）布朗情形在推导动态表示时提供了有价值的分析可处理性，（ii）我们明确显示了即使（ξt）是一个连续过程，条件期望鞅也可能表现出跳跃。推论2.7。Let（Lt）0≤t是一个多元布朗运动，使得L（i）t~ N（0，σit），σi>0。那么，P[X∈ dx | Ft]=Qihx、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σiν（dx）RXQihx、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σiν（dx），对于t∈ T*, 其中，变换h:R×R×T*×R+→ R+是由h（x，y，t，σ）=exp{（xy）给出的高斯映射- tx/2）/（σ（1- t） ）}。证据自L（i）t起~ N（0，σit）是布朗运动，对于某些σi>0，我们可以写出ξ（i）tlaw=tX+σiβ（i）tf，对于i=1，n、 式中（β（i）t）0≤t型≤1是标准的布朗桥；均值函数为零，协方差函数（s，t）为7的高斯过程→ 最小值【s，t】- st，用于s，t∈ T、 由于（i）ξ（i）具有边际定律ν，且（ii）对于所有m∈ N+，每0<t<…<tm<1，每（y，…，ym）∈ Rm和ν-a.e.x，P（ξ（i）t∈ dy（i），ξ（i）tm∈ dy（i）m |ξ（i）=x）=P（L（i）t∈ dy（i），L（i）tm∈ dy（i）m | L（i）=x）。

假设x和布朗桥{（β（i）t）}i=1，。。。，n、 相互独立，P十、∈ dx公司nξ（i）tioi=1，。。。，n=Qni=1exp“-ξ（i）ti-tixσi√ti（1-ti）#ν（dx）RXQni=1exp“-ξ（i）ti-tixσi√ti（1-ti）#ν（dx）=Qni=1expxξ（i）ti-tix/2σi（1-ti）ν（dx）RXQni=1expxξ（i）ti-tix/2σi（1-ti）ν（dx）。其余的证明遵循命题2.4。因此，除非另有说明，否则我们应将ξ（i）tlaw=tX+σiβ（i）tf设置为i=1，n、 堡垒∈ （0，1），ξ（i）t/t等于X加上一些方差为σi（1）的独立高斯噪声-t） /t，ξ（i）=X，i=1，n、 从随机过滤的角度来看，这种函数形式也是自然的。如果{（β（i）t）}i=1，…，之间存在线性相关性（具有非奇异协变量），。。。，n、 然后将存在（ξt）的线性变换，该变换将符合该框架。因此，允许{（β（i）t）}i=1，。。。，NDOE并没有丰富模型。使用（▄Jt ξt），我们通过构建我们所称的有效和补充信息过程来保持分析的可处理性。对于（￠Jt）的随机演化活动坐标 ξt），该参数化允许将多维信息系统简化为动态构建的一维（有效）信息过程，其中包含任何给定时间的所有活动信息。这一想法大大降低了信息流模型的复杂性，同时又不影响其有效性或丰富性。定义2.8。设集值随机过程（Jt）由Jt={i:J（i，i）t=1}给出。对于非空，有效信息处理（ξt）t∈Ton R由^ξt=^σtXi定义∈Jtσ-2iξ（i）t有效波动率参数^σt=圆周率∈Jtσ-2i-1/2. 对于Jt=, 设置^ξt=0和^σt=0。向JT中添加元素会减小^σt的大小，因此，添加信息源会降低系统中的有效噪声。

有效信息处理的动态取决于当前状态Jt∈ S、 我们可以通过如下方式编写有效信息，使这种依赖性更加明确：^ξt=如果Jt=0，则为0，否则ξ>tJtρ>Jtρ，其中ρ=（σ-2.σ-2n）>和1=（1，…，1）>。引理2.9。如果Jt6=, 然后，有效信息过程由^ξtlaw=tX+^σt^βt给出，其中（^βt）t∈T、 定义为βT=σtPi∈Jtσ-1iβ（i）t是（Jt）跳跃之间的标准布朗桥。证据根据定义，对于Jt6=, 有效信息处理为ξt=tX+σtPi∈Jtσ-独立布朗桥的线性组合是一个布朗桥。此外，我们还有“^σtXi”∈Jtσ-1iβ（i）t#=0，Var“σtXi∈Jtσ-1iβ（i）t#=t（1- t） 因此，（^βt）是（Jt）跳跃之间的标准布朗桥。每次（~Jt）改变状态时，有效信息处理都会跳跃。这种跳跃是由定义有效信息过程的布朗桥数量以及定义有效波动过程的波动控制参数数量（σt）的变化引起的。定义2.10。设集值互补过程（J{t）由J{t={i:J（i，i）t=0}给出。互补信息过程（ηt）t∈这是由ηt定义的函数值过程：x 7→易∈J{thx、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σi,其中ηt：=1，如果J{t=.互补信息过程在状态变化之间是分段常数（~Jt）。下一个关于有效和互补信息过程的联合马尔可夫性质的陈述将非常有用。对于这项工作的其余部分，我们定义了度量值过程（νt）t∈T*乘以νt（A）=P[X∈ A | Ft]表示∈ B（X）。提案2.11。度量νt（A）满足νt（A）=P[X∈ A |^ξt，ηt]，对于t∈ T*对于任何A∈ B（X）。证据

使用命题2.4并注意到如果i∈ Jt，我们有P[X∈ dx | Ft]=Qi∈Jth公司x、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σi气∈J{thx、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σiν（dx）RXQi∈Jth公司x、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σi气∈J{thx、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σiν（dx）=Qi∈Jtexp公司xξ（i）（τ（i）t）-τ（i）tx/2σi（1-τ（i）t）ηt（x）ν（dx）RXQi∈Jtexp公司xξ（i）（τ（i）t）-τ（i）tx/2σi（1-τ（i）t）ηt（x）ν（dx）=expnPi∈Jtxξ（i）t-tx/2σi（1-t） oηt（x）ν（dx）RXexpnPi∈Jtxξ（i）t-tx/2σi（1-t） oηt（x）ν（dx）=hx、 ^ξt，t，^σtηt（x）ν（dx）RXhx、 ξt，t，σtηt（x）ν（dx），其中h（x，0，t，0）：=1，其中我们采用具有空索引集的乘积等于1的约定。现在，我们将推导条件期望过程的动力学方程，稍后我们将以该方程为例来建模资产价格动态。条件预测过程的动力学结果是跳跃差异。这些跳跃来自于产生过滤的新信息源的激活。对于（νt）的演化，我们引入了两个（Ft）自适应计数过程（Ct）t∈坦德（Nt）t∈T、 给定byCt=Xs≤t1{Js6=▄Js-}, Nt=Xs≤tδs，其中δs=1{Js\\Js-6= }.因此，CTI是在时间t之前（包括时间t）改变状态的次数（~Jt），NTI是至少一个非活动信息进程变为活动状态的状态改变次数。鉴于提案2.14，我们定义如下。定义2.12。设πj=inf{t:Ct=j}，其中π=0。工艺（Mt）t∈T*定义为MT=Ct+1Xj=1M（j）t+Zt（^ξs-^ξs-) dNs，其中（M（j）t）t∈T*由m（j）t给出=0，对于t<πj-1，（^ξt）∧πj--^ξπj-（1）-Zt公司∧πj-πj-1E[X|^ξs，ηs]-^ξs1- sds，对于JπJ-16= ,0，对于JπJ-1= .为了为（Mt）的连续部分的动力学指定有效结构，使过程{（M（i）t）}i=1，…，以下陈述很重要，。。。，对于随后的提议，nare有很好的定义。提案2.13。

让t∈ [πj-1，πj∧1） ，其中πj-1和πjare（Ct）的两个连续跳跃时间，其中JπJ-16= . 然后，（Mt）πj-1.≤t<πjis an（Ft）-鞅。证据可积条件E[| Mt |]<∞ 对于t∈ T*令人满意。接下来，我们显示E[亩|英尺]=MTU≥ t、 其中我们考虑随机区间（t，u）∈ [πj-1，πj∧1） ，带JπJ-16= , 其上方（Mt）没有间断性。如果JπJ-1= , 然后（Mt）πj-1.≤t<πj0就是0。首先，请注意，我们有E【Mu | Ft】=E【Mu- Mt | Ft]+Mt=Mt+Eh^ξu-^ξtξt，ηti+E“Zutξs1- 十二烷基硫酸钠^ξt，ηt#- E“ZutE[X|^ξs，ηs]1- 十二烷基硫酸钠ξt，ηt。明确编写术语并使用tower属性，我们得到了[Mu | Ft]=Mt+EhXu+σu^βu^ξt，ηti- EhXt+σtβt^ξt，ηti+EhX^ξt，ηtiZuts1- sds+E“Zut^σs^βs1- 十二烷基硫酸钠^ξt，ηt#- EhX公司^ξt，ηtiZut1- sds。注意，所有涉及X的项都消失了，剩下e[Mu | Ft]=Mt+Eh^σu^βu^ξt，ηti- Eh^σt^βtξt，ηti+ZutE[σs，βs，ξt，ηt]1- sds=Mt+σtEhβu^ξt，ηti- Eh^βtξt，ηti+ZutE[βs，ξt，ηt]1- sds！，我们使用了（σs）t≤s≤u=σt，因为我们位于[πj-1，πj∧ 1） 因此，^σt保持不变。通过回顾X和所有{（β（i）t）}i=1…之间的相互独立性。。。，n、 对于塔的属性，我们可以写以下内容：Eh^βu^ξt，ηti=EhEh^βu十、 ^βt，ηti^ξt，ηti=EhEh^βu^βti^ξt，ηti=1- u1级- tEh^βtξt，ηti。有了上面的表达式，我们就有了eh^βu^ξt，ηti- Eh^βtξt，ηti+ZutE[βs，ξt，ηt]1- sds=0，证明E[μ| Ft]=Mtfor（t，u）∈ [πj-1，πj∧ 1).提案2.14。度量值过程（νt）满足νt（A）=ν（A）+CtXj=1Zπjπj-1xAX- E[X^ξs，ηs]σs（1- s） νs（dx）dM（j）s！1{JπJ-16= }+ZtπCtZAx- E[X^ξs，ηs]σs（1- s） νs（dx）dM（Ct+1）s！1{JπCt6=} +Xs型≤t（νs（A）- νs-（A） ）δs，对于t∈ T*对于任何A∈ B（X）。证据

由于ζon tn具有有限的跳跃次数，（νt）可以通过分解νt（A）=νct（A）+Ps由连续分量和不连续分量之和表示≤t型νs（A）。对于连续零件νct（dx），νct（dx）=hx、 ξct，t，σctηct（x）ν（dx）RXhx、 ξct，t，σctηct（x）ν（dx）。如果Jt=, 然后h（x，0，t，0）=1，dνct（dx）=0，因此我们考虑Jt6=.因此，波动率的连续部分（σct）在不连续和满足（σct）>0之间是恒定的。然后，我们定义了^ξct、ηctand t asg的函数^ξct，t，ηct；x、 σct，dx= h类x、 ξct，t，σctηct（x）ν（dx），以及x上的积分，其中g^ξct，t，ηct；^σct=ZXg公司^ξct，t，ηct；x、 σct，dx.利用伊藤引理，我们得到了dg^ξct，t，ηct；x、 σct，dx=g级tdt公司+g级ξctdξct+g2级（ξct）d（ξct）+g级ηctdηct+g2级（ηct）d（ηct）+g级ξctηctdξctdηct=g级tdt公司+g级ξctdξct+g2级（ξct）（σct）dt=g^ξct，t，ηct；x、 σct，dxx^ξct（σct）（1- t） dt+x（σct）（1- t） d^ξct！，因为（d^βct）的二次变化是dt，而ηct（ηt的连续部分）在连续之间是常数。然后利用Fubini定理，我们可以写出^ξct，t，ηct；^σct=ZXg公司^ξct，t，ηct；x、 σct，dxx^ξct（σct）（1- t） dt+x（σct）（1- t） d^ξct！=G^ξct，t，ηct；^σctE[X^ξct，ηct]ξct（σct）（1- t） dt+E[X |ξct，ηct]（σct）（1- t） d^ξct！。最后，对于括号hG，Gi，我们有hG，Gi=G^ξct，t，ηct；^σctE[X^ξct，ηct]（σct）（1- t） dt和括号hg，Gi满足hg，Gi=g^ξct，t，ηct；x、 σct，dxG^ξct，t，ηct；^σctxE[X|^ξct，ηct]（σct）（1- t） dt。使用商规则和重新排列项，我们得到dνct（dx）=x- E[X^ξct，ηct]（σct）（1- t） νct（dx）dMct，用于t∈ T*和Jt6=, 式中，Dmct=d^ξct-E[X^ξct，ηct]-^ξct1- tdt。关于Lebesguemeasure，在[0，t]上很好地定义了（Mt）连续部分的积分。也就是说，有π*j∈ [0，t）对于j=0。