金融市场中的调制信息流

，m<∞ 作为πj的子集，其中jπj-16= 对于j≥ 1，表示um+1=π*m+1- = t、 中兴通讯[X|^ξs，ηs]-^ξs1- sds=mXj=1limuj-1.→(π*j-1） +limuj→π*j-祖朱吉-1E[X|^ξs，ηs]-^ξs1- sds+mXj=1limuj→π*j+limuj+1→(π*j+1）-Zuj+1ujE[X |ξs，ηs]-^ξs1- sds。最后，可以将不连续部分重写为XS≤t型νs（dx）=Xs≤t（νs（dx）- νs-（dx））1{Js\\Js-6= },对于t∈ T*. 该语句后面是对任何A的Lebesgue积分∈ B（X）。（Mt）t的动力学∈T*依赖于状态，随时适应系统的信息配置。过程（νt）t∈T*在没有信息切换或活动源变为非活动源时，会不断演变。只有当信息源处于活动状态时，动力学才会从一个状态相关鞅跳到另一个状态相关鞅。如果所有信息源在随机时间段内都处于非活动状态，则该过程保持不变。提案2.15。设（Wt）为（Ft）自适应过程，定义为：当σt>0.1时，Wt=Mt/σt。让t∈ [πj-1，πj∧ 1） ，其中πj-1和πjare（Ct）的两个连续跳跃时间，其中jπj-16= . 然后（Wt）πj-1.≤t<πjis an（Ft）-布朗运动。设（W（j）t）为上述t的布朗运动∈ [πj-1，πj∧ 1） ，其中JπJ-16= .然后是（Ft）-鞅（Xt）t∈由Xt定义的Tde：=E【X | Ft】，满足性Xt=E【X】+CtXj=1Zπjπj-1Γs^σs（1- s） dW（j）s！1{JπJ-16= }+ZtπCtΓs^σs（1- s） dW（Ct+1）s！1{JπCt6=} +Xs型≤t（Xs- Xs型-)δs，对于t∈ T*, 式中（Γt）t∈T*由Γt=Var[X |^ξt，ηt]给出，ηt是（Ft）-上鞅。（Ft）-鞅（X（k）t）t∈Tde由X（k）t定义：=任何k的E【Xk | Ft】≥ 1统计（k）t=E[Xk]+CtXj=1Zπjπj-1X（k+1）秒- X（k）sXs^σs（1- s） dW（j）s！1{JπJ-16= }+ZtπCtX（k+1）s- X（k）sXs^σs（1- s） dW（Ct+1）s！1{JπCt6=} +Xs型≤t（X（k）s- X（k）s-)δs，对于t∈ T*, 考虑到X∈ Lk+1(Ohm, G、 P）。证据

随机时间πj-1is（Ft）-可测量，t的σt>0∈ [πj-1，πj∧ 1） 当jπj-16= , Wπj-1=0和子流程（^βt-^βπj-1） πj-1.≤t<πjis an（Ft）-布朗桥。因此，t的支架d hWt、Wti∈ [πj-1，πj∧1） 是给定的dt（Ft）。由于路径（Mt）πj-1.≤t<πjand（^σt）πj-1.≤t<πjare连续，（Wt）πj-1.≤t<πjis an（Ft）-由L'evy特征描述的布朗运动。第二部分中给出的动力学直接来自命题2.14，（Mt）的（σt）-标准化和Lebesgue积分。对于（Ft）-超可压缩属性（t），定义（St）0≤t<1by St=Xt。使用伊藤引理，（St）是（Ft）-子鞅。然后从Doob-Meyer分解，EE[X | Ft]- St | Fs= EE[X | Ft]- （年初至今）- It）| Fs≤ Var[X | Fs]，其中（Yt）是一个（Ft）-鞅，（It）是一个递增的可预测过程。最后一部分由以下内容给出：X（k）t=E[Xk]+CtXj=1Zπjπj-1E[Xk+1 |ξs，ηs]- E[Xk^ξs，ηs]Xs^σs（1- s） dW（j）s！1{JπJ-16= }+ZtπCtE[Xk+1 |ξs，ηs]- E[Xk^ξs，ηs]Xs^σs（1- s） dW（Ct+1）s！1{JπCt6=} +Xs型≤t（X（k）s- X（k）s-)δs，源自前两部分，并在命题2.14上使用Lebesgue积分。由于信息流的调节而产生的跳跃差异的内生性来自于（Ft）的行为。跳转是（~Jt）确定的信息坐标激活的直接结果 ξt）。这不同于通过直接将过程本身指定为漂移布朗运动和复合泊松过程之和来产生跳跃差异，例如，参见【11】。推论2.16。对于j=1，…，的（Ft）-布朗运动系统（W（j）t），Ct+1通过（Jt）紧急链接。命题2.15证明了命题1.1。命题1.1中的扩散系数（θt）可以解释为一个带有跳跃的随机波动过程。

这一过程自然产生于系统，这是拟议框架的一个受欢迎的结果，没有对波动性动力学的优先假设。在应用中，在资产定价和金融风险管理方面，波动过程及其动力学方程至关重要。准确估计波动率对于衡量金融资产风险非常重要。提案2.17。设Kt=Jt\\Jt-. 时间t时（Xt）的跳转大小为Xt-Xt公司-= g（Z）-Xt公司-,其中，条件正态随机变量Z由Z=Xi给出∈Ktξ（i）tσi（1- t） ，以及函数g:R→ R、 对于t∈ T*, 由g（z）=RXx exp（xz）Qi给出/∈Kth公司x、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σi气∈Ktexp公司-tx2σi（1-t）ν（dx）RXexp（xz）Qi/∈Kth公司x、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σi气∈Ktexp公司-tx2σi（1-t）ν（dx）。证据对于i∈ Kt，我们有以下ξ（i）t十、 英尺-~ Nξ（i）（τ（i）t-) + （t- τ（i）t-)十、 σi（t- τ（i）t-)(1 - t）.给定X，变量{ξ（i）t}i=1，。。。，相互独立。因此，Z的条件分布也是高斯分布，即Z | X，Ft-~ NXi公司∈Ktξ（i）（τ（i）t-) + （t- τ（i）t-)Xσi（1- t） ，Xi∈Ktt公司- τ（i）t-σi（1- t） ！。因此，Z的密度由Z 7给出→√2πVZx∈呼气阻力-（z）- U（x））2Vνt-（dx），其中我们定义了以下内容：U（x）=Xi∈Ktξ（i）（τ（i）t-) + （t- τ（i）t-)xσi（1- t） ，V=Xi∈Ktt公司- τ（i）t-σi（1- t） 。注意，可以根据kt和writeP[X]分解X的条件分布∈ dx | Ft]=exp（xZ）Qi/∈Kth公司x、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σi气∈Ktexp公司-tx2σi（1-t）ν（dx）RXexp（xZ）Qi/∈Kth公司x、 ξ（i）（τ（i）t），τ（i）t，σi气∈Ktexp公司-tx2σi（1-t）ν（dx）。因此，声明如下。对于下一个语句，对于t<1，我们表示u（^ξt，ηt，t）=（E[X^ξt，ηt]-^ξt）/（1- t） 当NJT6=, u（^ξt，ηt，t）=0，否则。当Jt=.提案2.18。设（λt）为（Nt）的强度过程，ψ：R→ R和φ：R→ R是连续有界函数。1.

功能性Ehe-Rtψ（s）dsφ（X）因此，v（^ξt，ηt，t）：=Ehe-Rtψ（s）dsφ（X）ξt，ηt，X1{t=1}i，满足偏微分方程（PDE）v（ξt，ηt，t）t+u（^ξt，ηt，t）v（ξt，ηt，t）^ξt+^σtv（ξt，ηt，t）2^ξt- ψ（t）v（ξt，ηt，t）+（v（ξt，ηt，t）- v（^ξt）-, ηt-, t型-))λt=0，边界条件v（^ξ，η，1）=φ（X）。2、选择随机点域ζ，使得▄J（i）t=1表示▄J（i）u=1表示u≥ t、 t=0时至少有一个活动信息源。那么，v（ξt，t）=E经验值-Ztψ（s）dsφ（X）^ξt,满足与v（^ξt，ηt，t）相同的PDE，边界条件v（^ξ，1）=φ（X）。证据对于第一部分，通过使用Doob-Meyer分解，我们可以写出Nt=^Nt+∧t，其中（^Nt）是一个（Ft）自适应鞅，∧t=Rtλsds是补偿过程。通过将条件期望v（^ξt，ηt，t）与相应的指数函数相乘来转换，我们定义了鞅v（^ξt，ηt，t）=e-Rtψ（s）dsv（^ξt，ηt，t）。然后，在将其分解为连续和不连续的部分后，将Ito\'slemma应用于^v（^ξt，ηt，t），我们得到了^v（^ξt，ηt，t）tdt+^v（^ξt，ηt，t）^ξtdMt+u（^ξt，ηt，t）dt+ ^σt^v（^ξt，ηt，t）2^ξtdt+^v（^ξt，ηt，t）- ^v（^ξt）-, ηt-, t型-)（d^Nt+d∧t）。注意，对于连续部分，我们有dηt=0和d hηt，ηti=0。因此，一旦对Ft进行条件检验，则（Mt）的连续部分和不连续部分（int）消失，e-Rtψ（s）dsv（ξt，ηt，t）t型- ψ（t）v（ξt，ηt，t）+u（ξt，ηt，t）v（ξt，ηt，t）^ξt+^σtv（ξt，ηt，t）2^ξt！dt+e-Rtψ（s）ds（v（ξt，ηt，t）- e-Rt公司-ψ（s）dsv（^ξt-, ηt-, t型-))λtdt=0，一旦我们将两边除以e-Rtψ（s）dsdt，跳跃部分仍为v（ξt，ηt，t）- eRtt公司-ψ（s）dsv（^ξt-, ηt-, t型-)λt，然而，Rtt-ψ（s）ds=0，由于连续性，因此，eRtt-ψ（s）ds=1。最后，X1{t=1}确保即使J=.对于第二部分，活动源从不停用。

因此，对于非活动状态i∈ Jct，所有t的补充信息为ηt=1∈ [0，1]，因为ξ（i）（0）=0和τ（i）t=0必须适用于所有t∈ [0, 1]. 因此，我们可以写E经验值-Rtψ（s）dsφ（X）英尺= v（ξt，t）。由于（Jtξt）的至少一个坐标始终在t.2.2多个点域上有效，因此边界条件如下，作为对[6]的扩展，我们考虑一个系统，其中随机变量X由多个因素的函数给出，观察者有不同的信息。也就是说，对于一些m∈ N+，我们引入一个相互独立的随机变量Xα的向量X∈ L(Ohm, G、 P）对于α=1，…，使用定律να，m、 分别使用状态空间（X，B（X）），其中X R、 对于一些有界可测函数g:Xm，我们讨论了X=g（X，…，Xm）的情况→ 十、 因此，我们引入了Rn（α）值（Gt）自适应多元随机过程（ξαt）t∈T、 对于α=1，m、 其中，n（α）强调了（ξαt）s的尺寸在α之间可能不同。如前所述，我们通过ξα，（i）tlaw=tXα+σαiβα，（i）t定义信息坐标，对于σαi>0和i=1，n（α）。对于简约性，我们假设标准布朗桥{βα，（i）t}是相互独立的，Xαs穿过i=1，n（α）和α=1，m、 接下来，我们引入一组相互独立的随机点域ζα，α=1，m onTn（α），也独立于（ξαt）s，对于i=1，…，每个生成{$α，i，…，$α，iki}的时间集合，n（α）和fifine ki∈ N、 对于每个（α，i），我们将随机序列{$α，i，…，$α，iki}与状态空间={0，1}N（α）的（Gt）自适应c ` adl ` ag跳跃过程（~Jαt）的坐标相关联。然后，我们通过Jα定义Rn（α）×n（α）值过程（Jαt），（i，J）t=δijJαt。与之前一样，（Jαt）是一个对角矩阵值过程，表明（αξt）的哪些坐标通过（Jtαξαt）激活，对于α=1，m。

我们定义了一个子代数Ht GtbyHt=σ（▄Jαu ξαu）0≤u≤t、 （Jαu）0≤u≤t、 X1{t=1}；α = 1, . . . , m级,对于t∈ T、 或同等Ht=σ（Jαuξαu）0≤u≤t、 （Jαu）0≤u≤t、 X1{t=1}；α = 1, . . . , m级.我们定义了R值有效信息过程（ξαt）t∈t对于α=1，m乘以ξαt=（σαt）Xi∈Jαt（σαi）-2ξα，（i）t，其中^σαt=xi∈Jαt（σαi）-2.-1/2，其中Jαt={i:Jα，（i，i）t=1}。当Jαt=. 以类似的方式，我们定义了函数值互补信息过程（ηαt）t∈t对于α=1，m乘以ηαt:xα7→易∈Jα{thxα，ξα，（i）（τα，（i）t），τα，（i）t，σαi,其中Jα{t={i:Jα，（i，i）t=0}和τα，（i）t=0∨ sup{u:Jα，（i，i）u=1，u∈ [0，t]}对于i=1，n（α），其中按惯例sup = -∞. 当Jα{t=.提案2.19。测量值νt（dx）=P[X∈ dx | Ht]satifiesνt（dx）=mYα=1P[Xα∈ dxα|^ξαt，ηαt]，对于t∈ T*, 式中，（ξαt）和（ηαt）如上文所述定义为α=1，m、 证明。利用上面给出的独立性性质，我们得到νt（dx）=mYα=1P[Xα∈ dxα|σ（Jαuξαu）0≤u≤t、 （Jαu）0≤u≤t、 Xα{t=1}]=mYα=1Qi∈Jαthxα，ξα，（i）（τ（i）t），τα，（i）t，σαi气∈J{，αthxα，ξα，（i）（τα，（i）t），τα，（i）t，σαiν（dxα）RXQi∈Jαthxα，ξα，（i）（τα，（i）t），τα，（i）t，σαi气∈J{t，αhxα，ξα，（i）（τα，（i）t），τα，（i）t，σαiν（dxα）=mYα=1hxα，ξαt，t，σαtηαt（xα）να（dxα）RXhxα，ξαt，t，σαtηαt（xα）να（dxα），按照命题2.11中的类似中间步骤进行。我们定义παj=inf{t:Cαt=j}，其中πα=0，其中Cαt=Ps≤t1{Jαs6=~Jαs-}, alsoNαt=Ps≤tδαs，其中δαs=1{Jαs\\Jαs-6= } 对于α=1，m、 提案2.20。设（Wα，（j）t）是相互独立的（Ht）-布朗运动，穿过α=1，m代表t∈ [παj-1，παj∧1). （Ht）-鞅（Xt）t∈由Xt定义的Tde：=E[X | Ht]，满足性Xt=E[X]+mXα=1CαtXj=1Zπαjπαj-1Θαs^σαs（1- s） dWα，（j）s！1{JαπαJ-16= }+mXα=1ZtπCαtΘαs^σαs（1- s） dWα（Ct+1）s！1{JαπαCt6=} +mXα=1Xs≤t（Xs- Xs型-)Δαs，对于t∈ T*, 式中（αt）t∈对于α=1，…，由αt=Cov[X，Xα| Ht]给出，m、 证明。

设ναt（dxα）=P[Xα∈ 对于α=1，…，dxα|^ξαt，ηαt]，m、 然后，使用上面给出的独立性性质，命题2.19，并遵循与命题2.14相似的步骤，在随机周期t上存在一组（Ht）-布朗运动（Wα，（j）t）∈ [παj-1，παj∧ 1） ，在α=1，…，之间相互独立，m、 其中，对于a，b，括号shdwa，（j）t，dWb，（j）ti=0∈ {1，…，m}，使得（νt）满足νt（dx）定律=ν（dx）+mXα=1CαtXj=1Zπαjπαj-1xα- E[Xα|ξαs，ηαs]σαs（1- s） mYα=1ναs（dxα）dWα，（j）s！1{JαπαJ-16= }+mXα=1ZtπCαtxα- E[Xα|ξαs，ηαs]σαs（1- s） mYα=1ναs（dxα）dWα，（Ct+1）s！1{JαπαCt6=}+mXα=1Xs≤t（νs（dx）- νs-（dx））Δαs，对于t∈ T*. 根据命题2.19，我们得到了νt（dx）=Qmα=1ναt（dxα）。因此，由于g:Xm→X是有界可测函数，我们有xt=ZXmg（X，…，xm）νt（dxα）。νmt（dxα），然后通过Lebesgue积分进行陈述。（Xt）的扩散系数采用随机协方差过程的形式，当任何信息源打开时，其自身会跳跃。因此，（Xt）在一组新的主动信息配置下适应系统的新协方差状态。下一个陈述概括了泛函E[.| Ht]的命题2.18。如前所述，fort<1，我们设置uα（^ξαt，ηαt，t）=（E[Xα|ξαt，ηαt]-^ξαt）/（1- t） 当Jαt6= 和uα（^ξαt，ηαt，t）=0否则，对于α=1，m、 提案2.21。设ξt=[ξt，…，ξmt]，ηt=[ηt，…，ηmt]，和（λαt）为（Nαt）的强度过程。Letψ：R→ R和φ：R→ R是连续有界函数。

那么条件期望v（^ξt，ηt，t）=Ehe-Rtψ（s）dsφ（X）ξt，ηt，X1{t=1}i，满足偏微分方程v（ξt，ηt，t）t+mXα=1uα（^ξt，ηt，t）v（ξt，ηt，t）ξαt+mXα=1（σαt）v（ξt，ηt，t）2(^ξαt）- ψ（t）v（ξt，ηt，t）+mXα=1（v（ξt，ηt，t）- v（^ξt）-, ηt-, t型-))λαt=0，边界条件v（^ξ，η，1）=φ（X）。为了避免重复，我们省略了命题2.21的证明，该证明遵循了命题2.14和命题2.18中所做的类似步骤，通过叠加给定的独立性属性，我们可以看到括号hd^ξa，（j）t，d^ξb，（j）ti=0，表示a 6=b和a，b∈ {1，…，m}。2.3任何t的投影调制∈ 对于任何固定的α=1，m、 Jαt ξαt7→ Jαtξαtde定义了从所有可用信息源空间到信息子空间的正交投影。即，（Jαt）是作用于ξαt的投影值随机过程，而Aαt=I-Jαt，I为恒等矩阵，是确定互补信息子空间的零化子矩阵。该预测也可以通过从扩大过滤开始进行形式化，其中zt=σ（ξαu）0≤u≤t、 （Jαu）0≤u≤t、 X1{t=1}；α = 1, . . . , m级,是一个子代数Zt Gtfor t公司∈ T、 因此，Ht ZtandP[X∈ dx | Ht]=E[P[X∈ dx）| Zt]| Ht]，是一个投影。ξα，（i）tlaw=tXα+σαiβα，（i）t，对于σαi>0且i=1，n（α），我们可以彻底定义整个有效过程ψαt=（^）α） n（α）Xi=1（σαi）-2ξα，（i）t，式中^α=n（α）Xi=1（σαi）-2.-1/2，无需任何补充过程，其中αs是常数和^α> 0表示α=1，m、 因此，我们可以定义（Zt）-鞅（mαt）t∈T*byMαt=ψαt-中兴通讯[Xα|ψαt]- ψαt1- sds，其中鞅性质是命题2.13的一个简单例子。因此，（Bαt）t∈T*定义为Bαt=Mαt/α是α=1的（Zt）-布朗运动，m。

因此，使用命题2.11并遵循命题2.20中的类似步骤，度量^νt（dx）=P[X∈dx | Zt]satifies^νt（dx）=P[X∈ dx）|{ψαt：α=1…，m}]=^ν（dx）+mXα=1Ztxα- E[Xα|ψαs]α(1 - s） ^νs（dx）dBαs=^ν（dx）+Zt^νs（dx）mXα=1ΓαsdBαs，其中（Γαs）0≤对于α=1…，t<1的定义如上所述，m、 然后，按照命题2.19中的类似步骤并求解上述SDE，我们得到了νt（dx）=Eh^νt（dx）|ξαt，ηαti=E“mYα=1PXα∈ dxα{ψαt：α=1…，m}^ξαt，ηαt#=ν（dx）E“exp-ZtmXα=1（αs）ds+ZtmXα=1αsdBαs！ξαt，ηαt，由于ν（dx）=ν（dx），括号hdBαt，dBβti=0表示α，β∈ {1，…，m}，由于Novikov的条件成立：E“expZtmXα=1mXβ=1ΓαsΓβsdhBαs，Bβsi！#<∞.这促使我们问，我们可以将这一想法推向其建模信息调制的逻辑极限多远。为了保持一般性，我们让（ξαt）t∈t下面是LRB，不一定是Brownian bridge信息处理，甚至也不一定是跨α=1的同一类LRB。m、 定义2.22。利用概率空间给出了调制L'evy随机桥梁信息系统(Ohm, H、 P）配备右侧连续完整过滤（Ht）t∈T、 其中1。Ht=σ（Pαuξαu）0≤u≤t、 （Pαu）0≤u≤t、 X1{t=t}；α = 1, . . . , m级.2.（ξαt）t∈这是一个Rn（α）值的L'evy随机桥，其生成律为να，α=1，m、 3。（Pαt）t∈这是一个n（α）维投影值随机过程，具有实c\'adl\'ag路径，α=1，m、 4。十、∈ L(Ohm, G、 P）是具有定律ν和状态空间（Xm）的随机变量的m维向量，mα=1B（X）），其中X R和B（X）是Borelσ场。5.T=[0，T]是一些T<∞.系统的这种定义并不明确依赖于任何随机点场。然而，我们可以给（Pαt）t指定一个定律∈Tvia将其与随机点域ζα相关联。

虽然我们将对这样一个系统的详细研究留给未来的研究，但我们仍将提供一个简单的例子来说明我们所称的信息混合是如何产生的。示例2.23。设m=1，（ξt）t∈因此ξ（i）tlaw=tX+σiβ（i）tforσαi>0，且p（ij）tdenote为n维投影矩阵Pt的（i，j）th坐标。然后在任意t∈ T、 σ-代数允许映射Ptξt7→ ψt，其中ψ（i）t=0，如果所有j的p（ij）t=0∈ {1，…，n}，tX+^p（i）tnXj=1p（ij）tσjβ（j）t，否则，其中^p（i）t=Pnj=1p（ij）t-因此，ψ（i）tlaw=tX+α（i）tB（i）t得出（B（i）t）t∈这是一个标准的布朗桥，桥系数为α（i）t=^p（i）tnXj=1（p（ij）t）σj！。当Ptis对角线（例如Pt=Jt）时，Ptξtalso的观察员观察ξt的活动坐标，可能按比例。通常，观测器可能无法将ξt的所有主动坐标与观测到的Ptξt解耦，因为Pt是不可逆的，除非Pt=I，因为它是投影。因此，每个来源提供的原始信息可能会与另一个来源混合。3应用到目前为止，我们还没有对X做出具体解释。接下来，我们按照[6]的精神将该框架应用于融资。我们假设P是定价指标，（Ft）是市场信息，x是t=1时金融资产的现金流。我们让无风险系统是确定性的，并用（P0t）0表示折扣函数系统≤t型<∞. 我们假设P0t是可区分的，严格递减的，并且满足0<P0t≤ 1和限制→∞P0t=0。无套利条件意味着t的Pt1=P/p0t≤ 1、我们为时间t的价格编写了text=Pt1Xt=Pt1E[X | Ft]。价格过程（Xt）具有跳跃扩散动力学，见第2.1.3.1节Merton型跳跃扩散模型。对于香草期权，我们选择ζ，使得▄J（i）t=1意味着▄J（i）u=1表示u≥ t、 这将删除系统中由随机暂停的信息流引起的任何路径依赖性。