基于贝叶斯模型平均的半参数GARCH算法

这与平滑样条线方法不同（例如，参见Wahba（1990）），如果节点是观测本身，则明确增加粗糙度惩罚，以减少有效自由度。具体而言，我们模型中的系数函数由g给出() =pXi=0bii+KXi=1βi( - ki）p+，（6）其中p∈ Nis样条曲线的阶数，K∈ Nis节点数，{k，…，kK}是满足k<···<kK的节点序列，并且( - ki）p+被称为pth阶幂函数，定义如下( - ki）p+=( - ki）pI【ki，∞)(),与I[ki，∞)() 取值1，如果 ≥ K，否则为0。在（6）中，pth阶样条表示为函数的线性组合, . . . , p( - k） p+，( - kK）p+，（7）式中，b，血压，β，βkar是R中的系数。可以证明，（7）中的函数集是带节点k，…，的p次样条线空间的基础，kK（例如，见DeBoor（1978）和Ruppert et al.（2003））。此外，（7）中函数的任何线性组合都有p-1连续导数。由（7）给出的特定基础称为截断幂基。在本文中，我们将注意力集中在p=2和G的二次样条曲线上() = b+b + b+KXi=1βi( - ki）+。（8） 可以表明，当p=2时，几个众所周知的参数模型可以用样条曲线系数精确表示。例如，根据表1中的定义，一阶GARCH对应于b=0和K=0的情况；GJRGARCH对应于b=β，b=0，b=α+α，β=-α、 K=1，K=0；NAGARCH对应于b=β+αc，b=-2αc，b=α，K=0。假设它既标准化又对称。

使用（8）中的定义和t、 我们可以导出SP-GARCH条件方差过程的持续性，如下所示。E[克](t） ]=Z∞-∞g级(t） f级(t） dt=b+b+KXi=1βici，（9），其中f（·）是新息分布的密度函数，ci由ci=Z给出∞ki公司(t型- ki）f(t） dt、 （10）如果f（·）是标准正态分布的密度函数，则ciin（10）的积分可以以闭合形式获得。ci=-√2πexp-ki公司k+（1+ki）erfcki公司√, （11） 式中，erfc（x）=1- erf（x）表示互补误差函数。如果根据我们在第2.1节中的假设，f（·）代替了Fsdt，ν的密度函数，则该表达式相当复杂，并且该表达式的计算受到数值计算的限制。在这种情况下，作为一种实用的替代方法，可以使用数值积分算法（如单变量自适应求积）以高精度近似CIC的值。图2显示了c、…、，C使用fsdt的自适应求积计算，ν与ν∈ {2.2，3，8}，并使用（11）中的闭式表达式表示标准正态分布，其中对应的结k，kare处于QuantileLevel 0.1，Fsdt的0.9，8。

可以看出，即使在ν=8时，{ci}区域的值也已经非常接近标准正态分布的分析计算值，这表明，对于t分布，当ν为中等或较大（例如，ν≥ 8).图2{ci}的值使用标准化t和ν的自适应求积计算∈ {2.2，3，8}，并对标准正态进行分析计算。3贝叶斯推断3.1贝叶斯模型平均值我们在第3节中的目标是估计（3）中定义的SP GARCHmodel的自由度ν、平均值u、常量参数ω和系数函数g（·），其中g（·）被建模为一个二次回归样条线，带有（8）中定义的节点序列{k，…，kK}。节点序列的选择在回归样条估计函数中很重要，因为它对估计施加了一定的结构。理想情况下，我们希望有少量位置良好的节点，这样我们就有了一个可以解释数据中重要细节的分类模型。我们采用贝叶斯变量选择方法，模型平均自然发生，在此过程中，我们考虑了两种类型的不确定性：节点序列{k，…，kK}中的不确定性和特定节点序列条件下的参数值中的不确定性。有关贝叶斯模型选择和模型平均的详细处理，请参见Raftery和Zheng（2003），Clyde和George（2004），以及其中的参考文献。假设有M∈ N个候选模型，按τ索引∈ {1，…，M}。Letθτ∈ Θτ表示与τth模型相关的参数向量，其中集合Θτ定义参数空间，并设r=（r。

，rT）表示观察向量。进一步假设我们对估计一个量φ感兴趣，这样对于某些函数η（·），条件alon r，φ=η（θτ，τ）。例如，φ可以是条件波动率的一天提前预测值，或g的值(t） 特定值为t、 在模型不确定性的假设下，φ的后验平均值可以作为aBayesian点估计，该点估计是通过对所有候选模型进行平均得到的；^φBayes=E（φ| r）=MXτ=1ZΘτη（θτ，τ）p（θτ，τ| r）dθτ=MXτ=1ZΘτη（θτ，τ）p（θτ|τ，r）dθτp（τ| r）=MXτ=1E（φ|τ，r）p（τ| r）。（12） 而对于一些问题，可以获得条件期望（φ|τ，r）和后验模型概率p（τ| r）的闭合形式表达式（例如，见Smith和Kohn（1996）），对于许多实际模型，它们在分析上很难处理，必须使用近似方法。即使在Smith和Kohn（1996）的案例中，由于候选模型数量众多，所以（12）中的总和也无法计算。我们开发了一种自适应MCMC算法，以模拟空间[τ]上定义的联合后验分布p（θτ，τ| r∈{1，…，M}τ×{τ}。如果{（θ[i]τ，τ[i]）：i∈ {1，…，N}}表示由MCMCS采样算法生成的p（θτ，τ| r）中的样本，然后可以计算出^φBayescan的近似值为^φMCMC=NNXi=1η（θ[i]τ，τ[i]）。（13） 从（13）中可以看出，通过MCMC采样器的单次运行，可以在没有额外影响的情况下实现模型平均。（6）中的基础表示法的一个优点是，候选模型可以表示为嵌套在超级模型中的子模型（或受限模型）。如果我们将具有大量节点（即，大K）的amodel视为超级模型，那么具有特定节点序列的候选模型可以视为具有一组节点系数{βi}限制为零的子模型，对于某些i∈ {1，…，K}。

在贝叶斯方法中，节点选择可以通过允许每个节点系数β为零的正先验概率来实现。3.2关节后验在本节中，我们定义了模型参数和结序列的关节后验分布。我们采用了一种范例，其中有大量的潜在节点，并将其中的一个子集分配给一个候选模型。设θ=（ν，u，ω，b，b，b，β，…，βK）表示全模型的参数向量，K=（K，…，kK）表示势结的向量。每个候选模型由二元向量m=（m，…，mK）索引，使得mi=（0，如果βi=0，如果βi6=0。给定数据对（θ，m）的关节后验分布与似然度乘以关节前验成比例；p（θ，m | r）∝ p（r |θ，m）p（θ，m）。（14） 根据（3）和（8）中的模型定义，可能性由p（r |θ，m）=p（r |θ）=I（θ）TYt=1p（rt | Ft）给出-1，θ），（15），其中每个观测RTI的条件分布是一个具有ν自由度的Student-t分布，其平均值为u，方差为σt，如果θ∈ 否则为零。在（15）中应该明确，r和m独立于θ；向量θ编码生成r所需的所有信息，作为嵌套模型设置的结果。我们假设F=σ(), 并将初始条件方差σ设置为r实现的样本方差。我们使用指示函数iΘ（·）来限制参数空间，当θ/∈ Θ. 严格的参数空间Θ定义为Θ=θ :2 < ν ≤ 200，ω>0,0<b+b+PKi=1βici<1，σt>0，对于t∈ {1，…，T+1}, （16） 所以当θ∈ Θ，过程{rt}是协方差平稳的，具有由（5）给出的明确无条件方差，并且过程{σt}对于t是正的∈ {1, . . .

，T+1}。注意，（16）中条件方差过程的正性限制依赖于数据，因为σ是θ和r的函数。Hudsonand Gerlach（2008）中使用了这种类型的隐式限制来代替有效条件，这些条件在模型参数中明确可用，但限制性更大。常数{ci}由（10）给出。由于（10）中的密度函数f（·）为Fsdt，ν，因此使用自适应求积对积分进行数值计算。从实现的角度来看，这些常数可以预先在一个有限的网格上计算一系列自由度ν，并存储在一个可查找表中。在评估指标函数I{θ∈Θ}（θ），表查找操作在计算上比运行正交算法要便宜。节理先验可构造为asp（θ，m）=p（θ| m）p（m）。（17） 当m已知时，我们定义θasp的条件先验（θ| m）∝ ν-2KYi=1米夫高斯（βi；0，σβ）+（1- mi）δ（βi）, （18） 其中fGauss（βi；0，σβ）是高斯密度，平均值为零，方差为σβ，deltafunctionδ（βi）表示βi=0时的点概率质量。以m为条件，假设参数先验独立。（18）中的条件先验表示，当mi=0时，已知βiis先验精确为零。由于每个βi的先验值以零为中心，σβ的值控制非零结系数的收缩水平。我们将σβ视为一个调整参数，其值由用户设置。从（18）中，我们可以看到，ν的先验性质类似于半柯西先验，尺度参数等于1。可以看出，这一先验知识是在ν上的-1、在GARCH模型的背景下，Bauwens和Lubrano（1998）和Chen等人（2012）等研究中使用了类似的ν先验值。对于除ν和β以外的所有参数，βK，（18）中的条件优先级为：。

最后，对模型概率使用fl-prior，p（m）=0.5K∝ 1，（19），使每个模型都具有相等的先验概率。更一般地，可以使用独立的伯努利先验，p（m）=QKi=1[πmii（1- πi）（1-mi）]，具有不同的π值，πKto表示对某些结的优先选择。（17）至（19）中所述接缝的主要特征是，每个节点系数βIIs先验正概率为零。在文献中，βII的这种类型的先验称为尖峰和板先验（Mitchell和Beauchamp，1988；George和McCulloch，1993）。3.3自适应MCMC算法由于（12）中类型的精确贝叶斯估计无法使用闭式表达式，基于我们模型的联合后验分布，我们开发了一种自适应MCMC采样算法，以模拟（14）至（19）中定义的p（θ，m | r），并使用（13）计算近似估计。目的是构造一个平稳分布为p（θ，m | r）的遍历马尔科夫链，然后生成一条样本路径{（θ[i]，m[i]）：i∈ 链的{1，…，N}}}。一般来说，我们的采样算法包括以下步骤：1。设m[1]是长度为K的任意二元向量，i=1.2。生成建议（θ*, m级*) 从联合分布q（θ*, m级*| （a）生成m*自q（m*| m[i]，（b）生成θ*自q（θ*| m级*, m[我]）。3.设（θ[i+1]，m[i+1]）=（θ*, m级*) 概率为u，或（θ[i+1]，m[i+1]）=（θ[i]，m[i]），概率为1- u、 4。将i增加1，并从步骤2重复，直到i=N。在步骤2中，联合提案分发的构造方式与优先分发的构造方式类似；q（θ*, m级*| m[i]=q（θ*| m级*, m[i]）q（m*| m[i]，（20）式中θ*= (ν*, u*, ω*, b*, b*, b*, β*, . . . , β*K） 和m*= （m）*, . . . , m级*K） 。

我们可以生成一个实现（θ*, m级*) 从（20）开始，首先生成节点配置m*, 然后生成参数向量θ*以m为条件*, 如步骤2（a）和2（b）所示。在步骤2（a）中，以m【i】为条件，我们生成节点配置m*根据以下伯努利混合料建议密度。q（米*| m[i]=KYj=1hm[i]jfBern（m*j1.- π) + (1 - m[i]j）fBern（m*jπ） i，（21）其中fBern（m*jπ） =πm*j（1）- π)(1-m级*j） 。通过使用（21）中的建议密度，结果链{m[i]}是K维二元向量空间中的随机游动，其中参数π控制步长。当π<0.5时，m[i]jand和m[i+1]Jar的实现更可能是相同的，而当π>0.5时，则相反。Letθ*mdenote a（6+PKi=1m*i） -仅包含θ元素的维向量*已知为非零（即θ*m隐含的子模型的参数向量*), 和θ*mdenote a（PKi=1（1- m级*i） ）-仅包含与m的零元素相对应的节点系数的维向量*. 在步骤2（b）中，当m*已知，我们写出θ的建议密度*asq（θ*| m级*, m[i]=q（θ*| m级*) = q（θ*m | m*)q（θ*-m | m*),其中q（θ*-m | m*) = δ(θ*§m）是表示θ处点质量的多元δ函数*-m=（0，…，0）。注意θ*和m[i]是条件独立的*. Wegenerateθ*M来自多元高斯分布的混合物，每个成分具有不同的尺度，q（θ*m | m*) =NmixXj=1wjfmvn（θ*m；^θm，j^∑m），（22），其中pnmixj=1wj=1，fmvn（θ*m；^θm，j^∑m）是具有平均向量^θ和协方差矩阵j^∑m的多元高斯密度。分量数Nmix，权重向量w=（w，…，wNmix），尺度向量w=（。

，Nmix）是调整参数，可以调整这些参数，以帮助采样算法有效地探索后验分布。必须仔细设置平均向量θ和基本协方差矩阵∑mm，以确保θ的建议密度*min（22）是子模型p（θm | m）的后验概率的一个很好的近似值*, r）∝ p（r |θm，m*)p（θm | m*). （23）我们首先从试点MCMC运行中生成一条样本路径，目标是子模型后验概率（23），这很容易通过对全模型p（θ| m）的条件后验概率施加零限制来获得*, r） 。对于本次试运行，我们采用随机游走Metropolis（RMW）核和多元高斯建议分布，其协方差矩阵使用链的实现状态自适应估计到一个比例因子，同时比例因子自适应调整为目标接受率为0.234，如Robertsand Rosenthal（2001）。丢弃初始老化样本后，我们设置^θ和∑mtobe导频链的样本均值和样本协方差矩阵。如果由于适应（Roberts和Rosenthal，2007），该先导链的平稳分布不完全是（23），则仍然可以接受，因为先导链的唯一目的是学习^θ和^∑m的良好参数值，以减少计算成本，我们为每个新访问的节点配置保存^θmand∑mf的值，以便在重新访问相同配置时不需要重新运行RWM采样器。注意，以m为条件*, 提案分布是固定的，抽样算法有效地成为了一个独立的采样器（Tierney，1994），目标是（23）。与重要性抽样方法类似，如果建议密度是目标的良好近似值，且具有更大的尾距，则独立采样器是有效的（Roberts，1996）。

我们设置Nmix=3，w=（0.85，0.1，0.05）和=（1，10，100），希望高斯混合提议密度比（23）中的TargetPostal更尾，而我们通过选择^θ和^∑musing引导链来近似目标的位置、比例和方向。在步骤3中，由于（20）是相对于产品间隔6+K×{0，1}K的自然测量的密度，标准Metropolis-Hastings接受概率是u的有效选项（Gruet和Robert，1997；Godsill，2001；Dellaportas等，2002），并由u=min“p（θ*, m级*| r） q（θ[i]，m[i]|θ*, m级*)p（θ[i]，m[i]| r）q（θ*, m级*| θ[i]，m[i]），1#=min“p（θ*, m级*| r） q（θ[i]| m[i]，θ*, m级*)q（m[i]|θ）*, m级*)p（θ[i]，m[i]| r）q（θ*| m级*, θ[i]，m[i]）q（m*| θ[i]，m[i]），1#。图3使用有向无环图（DAG）以图形方式表示步骤2中提案分布构造所隐含的条件独立集。使用DAG，u的表达式可以简化为tou=min“p（θ*, m级*| r） q（θ[i]| m[i]）q（m[i]| m*)p（θ[i]，m[i]| r）q（θ*| m级*)q（米*| m[我]），1#。使用节点配置的建议密度m*, 由（21）给出，Issymmety，接受概率进一步降低，tou=min“p（θ*, m级*| r） q（θ[i]| m[i]）p（θ[i]，m[i]| r）q（θ*| m级*), 1#.m[i]θ[i]m*θ*图3：DAG编码步骤2.4模拟研究中描述的提议生成过程所隐含的条件独立性集。进行模拟研究，以调查提议的SP-GARCH模型和流行参数备选方案的比较性能。考虑的参数模型为一阶GARCH、GJR-GARCH（GJR）和Beta-t-GARCH（Beta-t）。目的是研究SP-GARCH模型是否能够更准确地估计条件波动率{σt:t∈ {1，…，T}}这样σT=[Var（rt | Ft-1） ]1/2对于后跟{rt}的某些进程系列。