基于贝叶斯模型平均的半参数GARCH算法

例如，目前尚不清楚如何使用Green（1995）可逆跳跃MCMCsampler的输出计算DIC，其中模型与其参数一起采样。在BMA的背景下，DIC的自然概括可以是平均值，定义如下（使用第3.1节中更一般的符号）。DICave=Eτ（DICτ| r）=MXτ=1DICτp（τ| r），（24），其中τ∈ {1，…，M}是模型指数，p（τ| r）是模型τ的后验概率。模型τ的DIC（用DICτ表示）是通常的单模型DIC，由DICτ=\'Dτ+pτD.（25）给出。第一项是偏差的条件后验平均值\'Dτ=Eθτ[D（θτ，τ）|τ，r]，可以视为模型fit的贝叶斯度量。偏差定义为D（θτ，τ）=-2 log p（r |θτ，τ），其中p（r |θτ，τ）是可能性。（25）中的第二项是参数的有效数量–模型复杂性的度量，定义为aspτD=\'Dτ- D（(R)θτ，τ），其中'θτ是θτ的条件后验平均值；θτ=Eθτ（θτ|τ，r）。从（24）中的定义可以看出，对于任何一致的模型选择程序，平均DICin（24）渐近等同于Spiegelhalter et al.（2002）的单模型DIC。只要后验样本{（θ[i]τ，τ[i]）：i∈ {1，…，N}}}可用。设指数集Iτ {1，…，N}定义如下。Iτ=ni，iNτ：τ[i]=····=τ[iNτ]=τo。可使用后验图{（θ[i]τ，τ[i]）：i计算DICτ的估计值∈ Iτ}，其中\'Dτ≈ N-1τPi∈IτD（θ[I]τ，τ[I]）和'θτ≈ N-1τPi∈Iτθ[I]τ。后验模型概率p（τ| r）近似为Nτ/N。对于任何τ，Iτ=, 可以假设p（τ| r）≈ 0; 因此，在计算过程中，该τ被排除在外。

或者，可以通过单独计算平均后验偏差平均值Dave=Eτ（\'Dτ| r）=Eτ来计算DICAVEEθτ[D（θτ，τ）|τ，r]r=Eθτ，τ[D（θτ，τ）| r]，平均有效参数数spaved=Eτ（pτD | r）=Dave-MXτ=1D（(R)θτ，τ）p（τ| r）。然后，平均DIC由DICave=\'Dave+Payed给出。类似地，这两个项都可以使用后验图样本进行近似。例如，“Dave”≈ N-1PNi=1D（θ[i]τ，τ[i]）。在表6中，对于每个参数模型，我们报告了单模型DIC的估计值、后验偏差平均值和参数的有效数量；对于SP-GARCH模型，我们报告了平均DIC、平均偏差后验数和平均有效参数数的估计。对于本节的表和其余部分，符号DIC、\'D和Pd重载表示单个模型或平均版本的度量值，具体取决于所讨论的模型。对于所有股票指数，DIC将SP-GARCH列为最佳模型，其次是（按DIC增加的顺序）Beta-t、GJR和GARCH模型。这两个指标和DIC都同意模型的排名，表明DIC排名时，模型的差异主导了复杂性的差异。对于所有允许g（·）不对称的模型，DIC估计值都远远低于GARCH模型的估计值。这支持了众所周知的结论，即建立股票回报不对称模型很重要。SP-GARCH模型在不对称模型中脱颖而出，这一事实需要进一步研究。回想一下，在图5中，系数函数估计值（a）–（e）在0到2之间的点处最小化，并且在表5中，对于指数而言，大多数边缘后部质量在Km=0。换言之，当g（·）是一个简单的移位二次函数时，得到了股票指数的mostadequale模型。

这导致了这样一个结论，即在对股票指数建模时，不对称性的最佳建模方式可能是允许g（·）的最小值从零开始移动，而不是允许零的每一边进行不同的缩放。为了对比这两种方法下估计的系数函数，图9（a）显示了GJR和SP-GARCH模型对标准普尔500指数收益率的后验平均值估计。就单个股票而言，Beta-t和SP GARCHmodels的DIC和D估计值均大大低于GARCH和GJR模型的估计值。与指数情况不同，GJR模型的DIC和D估计值与GARCH模型非常相似。这表明，不对称性对chosenstocks而言不太重要，或者GJR模型无法充分捕捉这些回报中存在的不对称类型。对于苹果、ARM和英特尔来说，Beta-t的“D”估计值与SP-GARCH几乎相同，而Beta-t的DIC估计值略低。对于Nvidia和SANDISK，SP-GARCH在DIC和'D方面都排在Beta-t之前。通过比较SP-GARCH模型和Beta-t模型的估计系数函数图，我们发现两个模型给出的估计值在形状上非常相似。图9（b）显示了Intelreturns的此类比较示例。请注意，对于t型-1.∈ [-2，2]，其中发现了大多数观测结果。此外，对于大型负面创新，SP-GARCH的系数函数显示出与Betat模型类似的“阻尼”行为。这一发现至少为所选股票提供了证据，支持Beta-t模型的实证有效性。BMA方法允许SP-GARCH根据数据的复杂性调整其复杂性。

这在参数pD的估计有效数量中很明显。对于指数，SP-GARCH的pDestimates均接近6，与GJR和Beta-t模型的pDestimates相似；对于单个股票，P-GARCH的pDestimates略微增加到大约7，这表明需要更复杂的数据来适应更复杂的动态。SP500 FTSE DAX日经恒生指数苹果子公司Intel Nvidia SanDiskDICGARCH 14205.0 14341.5 16785.8 16847.0 16914.8 23185.3 21852.1 21492.7 21717.0 26752.5GJR 14037.0 14200.8 16682.0 16779.7 16856.0 23184.3 21852.6 21487.8 21709.1 26754.4 Beta-t 14015.1 14190.1 16667.5 16769.0 16838.6 23113.8 21773.4 21427.4 21648.3 26632.8SP-GARCH 13977.6 14149.8 16630.9 16735.5 16827.4 23115.6 21776.1 21428.2 21637.726626.5“DGARCH 14200.3 14336.7 16781.1 16842.0 16910.2 23180.9 21847.6 21488.2 21712.7 26748.4GJR 14032.0 14195.6 16676.1 16773.8 16850.1 23179.1 21847.1 21482.3 21703.9 26749.3 Beta-t 14010.1 14184.9 16661.6 16763.1 16832.7 23108.1 21767.8 21421.7 21643.0 26627.4SP-GARCH 13971.7 14144.0 16624.9 16729.3 16821.5 23108.3 21769.3 21420.9 21630.7 26619.4pDGARCH 4.8 4.8 4.7 5.0 4.6 4.4 4.6 4.5 4.34.1GJR 5.0 5.2 5.9 5.9 5.9 5.2 5.5 5.5 5.1 5.1贝塔-t 5.0 5.2 5.9 5.9 5.9 5.6 5.5 5 5.7 5.3 5.4SP-GARCH 5.9 5.9 6.0 6.2 5.9 7.2 6.8 7.3 7.0 7.2表6：股票指数和个股的DIC、D和PDD估计值。一些数据标签被缩短以节省空间，即SP500=标准普尔500，HSI=恒生指数。图9：（a）标准普尔500指数回报的GJR和SPGARCH模型系数函数的后验平均值估计。（b） Beta-t和SP-GARCH模型系数函数的后验平均值估计用于英特尔回报。6结论在其原始形式中，控制GARCH模型动态的波动率函数具有非常有限的形式。

然而，金融市场可能会发生巨大变化，需要灵活的模型来适应变化。本文的主要贡献是提出了SP-GARCH模型，其中条件变量序列{σt}遵循函数系数自回归（FAR）模型。灵活性是通过允许系数函数是滞后创新的任意平滑函数来实现的。然后，使用基于特定节点配置的回归样条函数近似该平滑函数。所提出模型的一个显著特点是，GARCH模型及其许多流行的扩展都是SP-GARCH模型的特例，仅通过系数函数g（·）的形状来区分；对g（·）的推断允许对更简单的规范进行隐式测试。为了进行推断，同时考虑节点配置的不确定性，采用了基于贝叶斯模型平均（BMA）的方法。为了实现基于BMA的方法，我们开发了一种精心设计的MCMC算法，从节点配置和参数空间上的关节后验分布中进行采样。如迹线图所示，取样器能够在确定关节后分布的空间中快速移动。模拟研究表明，当需要灵活性时，SP GARCHmodel确实能够从数据中学习系数函数的形状。另一方面，当真实数据生成过程很简单（即原始GARCHmodel）时，作为条件波动率估计器的SP-GARCH模型与简单的参数模型一样有效。对十个真实金融时间序列的应用表明，股票指数的有效函数在结构特征上不同于单个股票的有效函数。

基于DIC的模型比较研究证实，SP GARCH模型确实是对数据最充分的描述。此外，SP-GARCH模型能够根据数据的复杂性调整其复杂性；当应用于实际收益率序列时，SP-GARCH模型通常与流行的参数模型一样简洁，这使得它非常容易解释。SP-GARCH模型可以自然扩展，以纳入使用高频日内数据构建的波动性的已实现度量，如已实现方差、已实现内核和已实现范围（例如，见Andersen et al.（2001）、Barndorff-Nielsen和Shephard（2002）、Barndorff-Nielsen et al.（2008）、Christensen和Podolskij（2007））。例如，SP实现的GARCH模型的波动率函数可以写成σt=ω+g（xt-1） σt-1，其中xt-1是一个滞后的实现措施。感谢Gareth W.Peters和Chris J.Oates对手稿的评论。WYC得到了澳大利亚研究委员会数学和统计前沿卓越中心（ACEMS）的支持。参考Sakaike，H.（1973）。信息论和最大可能性原则的扩展。第二届信息论国际研讨会。Kiado学院。Amado，C.和T.Ter–asvirta（2013年）。通过方差分解建模波动性。《计量经济学杂志》175（2），142–153。Andersen，T.G.、T.Bollerslev、F.X.Diebold和P.Labys（2001年）。已实现汇率波动的分布。《美国统计协会杂志》96（453），42–55。Ardia，D.（2009年）。具有Student-t创新的马尔可夫切换阈值非对称GARCH模型的贝叶斯估计。《计量经济学杂志》12（1），105–126。Audrino，F.和P.B–uhlmann（2009）。金融波动的样条曲线。

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