整数约束下的动态交易

资产价格由S=（1，1）和（ωi）=（（1+pi，1+qi）i偶数，（1- ^pi，1- ^qi）i奇数，其中pi，qi，^pi，^qiare满足（2.9）piqiπ和^piqiπ的自然数，i→ ∞.因此，增量为S（ωi）=（（pi，qi）i偶数(-^pi，-^qi）我很奇怪。向量（Д，Д）∈ Ryields套利当且仅当ifpiqiД+Д≥ 0，i偶数，（2.10）^pi^qiИ+Д≤ 0，i奇数，（2.11），至少有一个不等式是严格的。通过（2.9），向量（Д，Д）=（1，-π） 满足了这一点，因此NA不成立。通过让我倾向于完整性，我们可以看到STEFAN GERHOLD、PAUL KR¨UHNERis没有满足（2.10）-（2.11）的整数向量，这表明模型是令人满意的。我们的下一个目标是描述NIA，而不限制资产价格或全国数字。正如我们将看到的，对于d>1，NIA并不等价于等价鞅测度的存在，而是等价于具有附加性质的绝对连续鞅测度的存在。我们首先介绍了一组不包含任何净利润定义2.9的战略。（i） 设Q是上的概率测度(Ohm, A） ，并用R表示初始值为零的交易策略集：={^1∈ R:V（(R)Д）=0}。我们表示初始资本为零且Q-a.s.收益为零的所有整数值（分别为有理值和实值）交易策略的集合：={^1∈ R∩ Z:VT（(R)Д）=0 Q-a.s.}，QQ：={(R)Д∈ R∩ Q：VT（(R)Д）=0 Q-a.s.}，RQ：={(R)Д∈ R： VT（(R)Д）=0 Q-a.s.}。（ii）如果我们假设（F），那么我们为鞅m测度sq的集合写qMaxzf<< P使φ ∈ QQ：（VT（(R)Д）≥ 0=> VT（(R)Д）=0）和φ ∈ RQ:VT（(R)Д）≥ 0和{VT（(R)Д）>0}={ω∈ Ohm : Q[{ω}]=0}。（iii）QZdenotes鞅测度集Q<< P使φ ∈ ZQ：（VT（℃）≥ 0=> VT（(R)Д）=0）。显然，我们有Q QmaxZ公司 QZ，其中Q表示等价鞅测度s的集合。

（对于第一个包含项，(R)Д=0满足（ii）中的存在状态。）在给出整数平移的FTAP之前，我们展示了QmaxZ中度量的进一步性质。提案2。10、假设（F）和QmaxZ6=. 然后是一组a（Ohm这样QmaxZis就是鞅测度集，其支持度为Ohm \\ A、 此外，还有∈ R带VT（(R)Д）≥ 0和{VT（(R)Д）>0}=A。现在，让Q∈ QmaxZand让Q′∈ QZ。然后Q′<< Q、 此外，QmaxZis densein qz相对于总变化距离。证据选择Q∈ QmaxZand出租∈ RQ满足定义2.9（ii）中的存在声明。定义A：={VT（(R)Д）>0}。n’Д是所需的交易策略。设Q′是支持度等于的鞅测度Ohm \\ A、 然后，满足定义2.9中（ii）的存在声明。Let？ψ∈ QQ′带VT（(R)ψ）≥ 0。然后VT（(R)ψ）=0 Q′-a.s.，即VT（(R)ψ）=0开Ohm \\ A、 因此，(R)ψ∈ QQ。（ii）定义2.9得出VT（(R)ψ）=0。因此，Q′∈ QmaxZ。我们需要证明qMaxzi中的任何度量都是有支撑的鞅度量Ohm \\ A、 然而，这如下所示，因为我们已经证明了Q′<< 任意Q′的Q∈ QZ。设Q′∈ QZ。观察VT（(R)Д）=0 Q′-a.s，因为Q′是鞅测度。因此，A={VT（(R)）>0}是一个Q′-空的s e t。我们找到Q′<< Q、 这确保定义2.9第（ii）部分中出现的集合{ω}是可测量的。整数约束下的动态交易最后，我们必须证明Q′可以用qMaxzintall变差中的元素来近似。定义Qα：=αQ′+（1-α） 任意α的Q∈ [0, 1]. 那么Q′=Q← Qαasα→ 然而，对于α6=1，Qα是一个与Q具有相同支持度的马氏测度，因此，它在QmaxZby中是我们迄今为止所展示的。我们现在可以为整数交易制定FTAP。定理2.11。假设（F）。那么以下语句是等效的：（i）QmaxZ6=（ii）QZ6=（iii）市场满意度。含义（二）=>（iii）不需要假设（F）。证据

（一）=>（ii）是琐事l.（ii）=>（iii）：我们确定了一个度量值Q∈ QZ。Let(R)∈ R∩ Z带VT（(R)Д）≥ 0.由于Q是鞅度量，我们有^VT（(R)ν）=0 Q-a.s.因此，VT（(R)Д）=0 Q-a.s.因此∈ ZQ。根据定义2.9的第（iii）部分，我们得出VT（(R)Д）=0。因此，我们有天堂。（三）=>（i） ：LetA：={ω∈ Ohm : φ ∈ R： VT（(R)Д）≥ 0∧ VT（°И）（ω）>0}。对于每个ω∈ A选择一个相应的策略(R)Д（ω）∈ R带VT（(R)Д（ω））≥ 0和Vt（(R)Д（ω））（ω）>0。定义：=Xω∈A'Д（ω）。然后(R)∈ R、 VT（(R)Д）≥ 0和{VT（(R)Д）>0}=A。我们声称，对于任何(R)ψ∈ R带VT（(R)ψ）1Ohm\\A.≥ 0我们有VT（(R)ψ）1Ohm\\A=0。Let？ψ∈ R带VT（(R)ψ）1Ohm\\A.≥ 0.如果VT（(R)ψ）≥ A上的0，然后是VT（(R)ψ）≥ 0，因此，VT（(R)ψ）1Ohm\\通过A的构造，A=0。因此，对于某些ω，我们可以假设VT（(R)ψ）（ω）<0∈ A、 Thenc：=-min{VT（(R)ψ）（ω）：ω∈ A} 最小值{VT（(R)Д）（ω）：ω∈ A} >0。策略“ψ+c”采用Rand Saties VT（“ψ+c”Д）≥ 0。因此，VT（(R)ψ+c'Д）=0在A外部。因此，VT（(R)ψ）=0在A外部，即VT（(R)ψ）1Ohm\\A=0。假设A=Ohm. 然后VT（(R)Д）>0。定义：=最小值{VT（(R)）（ω）：ω∈ Ohm} > 引理2。4产量q∈ N和ψ∈ Z使得| VT（(R)ψ）- VT（q'Д）|<e。因此，VT（'ψ）>qVT（'Д）- e≥ 0 . 因此，ψ是一个整数套利。矛盾。因此，A（Ohm. 我们已经证明，市场是没有套利的Ohm \\ A、 经典基本理论给出了一个鞅测度Ohm \\ A表示S。我们表示其对上概率测度的扩展Ohm 通过Q，即Q[M]=任何M的Q[M\\A] Ohm. 然后Q<< P和Q是{ω}的鞅测度∈ Ohm : Q[{ω}]=0}=A。由于{VT（(R)Д）>0}=A，我们在定义2.9的第（ii）部分中有存在性陈述。现在让\'ψ∈ QQwith^VT（(R)ψ）≥ 设q为{ψjt（ωl）:t的公分母∈ T、 j=1，d、 l=1，n} 。然后q′ψ∈ ZQ。由于我们有NIA，我们得到了VT（(R)ψ）=qVT（qPψ）=0，如所述。

一个直接的结果是，以下是构建无整数套利市场的有效标准。10 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨uhnercorolution 2.12。让Q<< P是鞅测度，并假设ZQ={0}。然后市场就满足了。下面的例子是上述推论的简单应用。示例2.13。假设d=2，n≥ 2，T=1，r=0，选择（S，S）=（1，π）和（S，S）（ωj）：=（（3/2，3π/2）j=1，（1/2，π/2）j=2。定义Q[{ωj}]=1{j=1,2}/2，对于j=1，n、 然后Q<< P是鞅测度，RQ={（0，-πφ, φ) : φ∈ R} 。因此，我们有ZQ={0}。因此，推论2.12的收益率表明市场不允许整数套利。观察到无论j的（S，S）（ωj）的规格如何，这都是成立的≥ 另一个直接的缺点是绝对连续鞅测度的存在。推论2.14。假设模型满足NIA和assum e（F）。然后有一个绝对连续的鞅测度。证据定理2.11（iii）中的立即数=>（i） 。下面的例子表明，绝对连续鞅测度a lone的存在不足以排除整数套利。示例2.15。允许Ohm = {ω，ω}，S=1=S，S=1，S（ωi）=i，对于i=1，2（即T=1，d=1，n=2）。那么Q：=Δω是一个鞅测度，它相对于P：=（Δω+Δω）/2是绝对连续的，其中Δωjdenotes t heDirac测度在ωj上。策略(R)Д：=(-1，1）是整数套利。最后，我们提供将在第4节中使用的技术声明。引理2.16。假设（F），设Q∈ QmaxZand假设对于任何B∈ Fwehave Q[B]∈ {0, 1}. 那么F=F.Proof。让A∈ Q[A]=0时的Fbe最大值。然后B：=Ohm \\ A是一个原子，它在Fis中唯一的严格子集是空集。如果A=, 然后，这个谎言就无足轻重了。假设6=.

我们声称该模型仅限于一个仍然令人满意的国家。为此，让∈ Q、 t=1。带(R)的T=。^1t-1=0和^Vt（(R)Д）=···=^Vt（(R)Д）≥ A上的0。（由于无轨的存在意味着单期套利的存在，因此必须避免这种策略。）情况1：t=1。由于^S=EQ[^S]=^S（B），我们发现^V（(R)Д）（B）=V（(R)Д）=0，因此，V（(R)Д）≥ 0无处不在。由于（S，…，Sd）满足NIA，我们得到V（(R)Д）=0，因此，对于任何S∈ T、 案例2：T≥ 定义？ψ：=1A？Д。自A∈ Fand(R)ν=0，我们发现t(R)ψ∈ Qwith？ψ=。ψt-1=0且^Vt（(R)ψ）=···=^Vt（(R)ψ）≥ 0.自上的模型Ohm 通过假设，我们发现0=Vt（(R)ψ）=1AVt（(R)Д），因此，A上的Vt（(R)Д）=0。因此（S，…，Sd）仅限于满足。根据定理2.11，存在Q′∈qMaxZ对于限制为A的模型（S，…，Sd）。我们表示其扩展为Ohm byQ′，即Q′[C]=Q′[C∩ A] 对于任何C∈ A、 定义Q：=Q/2+Q′/2，并观察Q∈ QZ。然而，问题6≈Q bec因为Q′对Q有disjo int支持。整数约束下的动态交易11但命题2.10意味着Q≈~Q，产生矛盾。因此A=因此，F=F。3、索赔和整数交易定义3.1。修正一个令人满意的模型。（i） 索赔是一个随机变量C≥ 0、实数p≥ 如果存在自适应非负随机过程（Xt）t，则0是C的无整数轨道价格∈t X=p，XT=C，使市场（S，…，Sd，X）满足NIA。整数无套利价格集用∏Z（C）表示。（ii）C的整数超边缘是一种交易策略∈ Z，使VT（(R)Д）≥C、 如果满足VT（(R)Д）=C，则为整数复制策略。

Wewrite（3.1）σZ（C）=inf{V（(R)Д）：(R)∈ Z、 VT（°~n）≥ C} 对于C的整数超复制策略的价格上限，类似于∏Z（C），我们为满足NA的经典套利价格模型集编写了∏（C）。我们回顾了经典的超边缘定理（文献[12]中的推论7.15和7.18）：定理3.2。假设NA成立，让C是sup∏（C）<∞.然后有一个策略∈ R带V（°Д）=sup∏（C）和VT（°Д）≥ C、 此外，sup∏（C）是具有此性质的最小数。在较弱的假设NIA下，我们找到与上述定理类似的陈述。下面的提案3.8指出，NIA支持存在一个真正最便宜的超级边缘，其价格是所有合理超级边缘价格的上限。此外，下面的定理4.3暗示，要么索赔的NIA兼容价格集为空，要么其上确界等于最便宜的超边际价格。没有必要定义整数完备性的概念，因为没有具有这一性质的有趣模型：命题3.3。以下语句是等价的：（i）每个声明都可以通过整数策略复制，（ii）概率空间(Ohm, A、 P）由单个原子组成。证据如果（ii）成立，且C为索赔，则存在常数C∈ [0, ∞) 这样，C=C a.s.然后C由整数策略y|||||||||||Μ=（Д，0）复制，其中Дt=C/（1+r）t-t、 t型∈ T、 现在我们假设每个cla im都是整数可复制的。特别是，在经典意义上，每个目标都是可复制的。众所周知，这意味着Ohm被分成无数个原子。（当然，这一结果通常在满足NA的模型框架内得到证明。但是，从[12]中orem 5.37的证明可以看出，假设NA不是必需的。）如果Ohm 不由单个原子组成，那么我们可以固定两个不同的原子a和B。

对于随机变量X，我们可以在a（分别为B）上找到其本质值，并用δa（X）（分别为δB（X））表示。自筹整型交易策略独特的定义是，其首字母为12 STEFAN GERHOLD、PAUL Kruhnerwealth V（(R)Д）和可预测的Zd值过程Д=（Дt）t=1，。。。，T、 因此有一个双射映射：R×Zc→ Zc其中Zc：={（Д，…，Дd）：(R)∈ Z} 可计数，V（Γ（V，Д））=V表示任意V∈ R、 特别是v 7→ VT（Γ（v，Д））是一个函数。我们有（a、b）∈ [0, ∞): a1A+B1b可以是整数复制(3.2)δA（VT（(R)Д）），δB（VT（(R)Д））: φ ∈ Z=[φ∈Zc公司δA（VT（v，Д））、δB（VT（v，Д）））: v∈ R.（3.3）对于每个∈ Zc，集合δA（VT（v，Д））、δB（VT（v，Д）））: v∈ R是二维Lebesgue测度的空集，因为它是R中的一维a ffinespace。我们得出结论，（3.3）的Lebesgue测度为零，因此（3.2）也是空集。这与我们的假设相矛盾。回想一下，在经典情况下（假设（F），因此可积性成立），无套利价格集的表示形式为∏（C）=nEQhC（1+r）Ti:Q∈ Qo，其中Q是等价鞅测度集。相应的forNIA结果如下：命题3.4。假设（F），模型满足。设C为索赔。然后∏Z（C）nEQhC（1+r）Ti:Q∈ QZo。证据假设p∈ ∏Z（C）。然后有一个适应的过程X，使得X=p，XT=C和（S，…，Sd，X）满足NIA。让我们来看看满足该市场定义2.9第（iii）部分的绝对连续美国市场衡量标准s。根据定理2.11，有Q∈^QZ QZ。那么p=等式[C（1+r）T]。下面的例子表明，命题3 c中的包含可以是严格的。事实上，在这个例子中，我们有∏Z（C）=.示例3.5。允许Ohm = {ω，ω，ω}，r=0，d=2，T=1，对于任何j=1，2，3，P[{ωj}]=1/3。那么无风险资产为常数1，即t的St=1∈ {0, 1}.

Wechoose（S，S）=（π，1）和（S，S）（ωj）=（2π，2）j=1，（π，）j=2，（π，2）j=3。一个简短的计算表明，Q[{ωj}]：=1{j6=3}j/3是唯一的鞅测度。显然，我们有Q<< P，并且初始财富和Q-a.s为零的唯一整数策略。最终财富为零的策略等于零。因此，Q满足定理2.11中的（ii），因此，我们有NIA。因为Q是唯一的鞅测度，所以我们有QZ={Q}=QmaxZ。现在，我们考虑索赔C：=1{ω}。命题3得出∏Z（C）等式[C]= {0}.整数约束下的动态交易13定义扩展模型（S，S，S，X），其中X：=0，X：=C。由于（0，0，0，1）是扩展模型的整数套利，因此0/∈ πZ（C），so∏Z（C）= （{0}=nERhC（1+r）Ti:r∈ QZo。如果模型满足NA（而不仅仅是NIA），那么我们可以比较经典响应集。整数无套利价格。众所周知，∏（C）是一个区间，对于不可复制的C是开放的，如果C是可复制的，它由一个点组成。结果表明，在NA下，集合∏Z（C）也是一个区间，它可能仅在端点处与∏（C）不同。特别是，如果NA保持不变，则∏Z（C）不能为空。定理3.6。假设（F），模型满足NA，并设C为索赔。然后∏（C） ∏Z（C） cl（∏（C））。此外，如果sup（πZ（C））∈ πZ（C），那么要么C在Qor中有复制策略，要么C在Q证明中没有最便宜的经典超边缘st策略。第一个包含的内容微不足道。命题2.10结合NA yieldsthat QmaxZis是等价于P的鞅测度集，并且该集在QZ中是稠密的。因此，命题3.4意味着∏Z（C）nEQhC（1+r）Ti:Q∈ QZo公司 clnEQhC（1+r）Ti:Q∈ QmaxZo=cl（π（C））。为了显示第二个断言，假设s：=sup（πZ（C））∈ πZ（C），有一种最便宜的经典超边缘策略∈ Q

这就是说，(R)hasprice V（(R)Д）=s和payoff VT（(R)Д）≥ C、 自s起∈ πZ（C），当以s价格交易时，模型有一个无整数轨道的扩展。考虑策略（°Д，-1） 在扩展模型中。其成本为零，其支付额为VT（(R)Д）-C≥通过引理2.3的第（i）部分，我们得出C=VT（(R)ν），a和so∈ Q是C的复制策略。或者，夹杂物∏Z（C） cl（π（C））可以用引理2证明。引理2.4（i）和定理3.2。在前面的定理中，区间边界可以包含在∏Z（C）中，也可以不包含在∏Z（C）中，如下例所示。第（ii）-（iv）a部分所需的计算与第（i）部分相似，我们省略了细节。示例3。7、让Ohm = {ω，ω，ω}，r=0，T=1，并假设风险资产的数量为d=1。设S=2 AND（ωj）=1 j=1,3 j=2,3 j=3。等价鞅测度由（3.4）Qα：=Δω+αΔω+(- α)δω, α ∈ （0，），因此模型满足NA。14 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨UHNER（i）定义索赔（ωj）=√2 j=1,0 j=2，√2 j=3。利用（3.4），我们发现经典的无套利价格∏（C）={EQα[C]：α∈ (0,)} = (√2, 3√2).现在，我们使用Lemma 2.3的第（iii）部分检查整数套利的边界点。由C扩展的市场中的整数套利，价格pthus为∈ Zsuch thatД(S、 C类-p）≥ 0和Д(S、 C类-p） 6=0。对于p=√2，我们得到了不等式-1.√1.-√1 3√φφ≥ 解集{（ν，ν）/√2) : φ∈ [0, ∞)} 与Z有平凡的交集，依此类推√2是C的整数无套利价格。类似地，我们得到√2.∈ 我们得出结论，区间∏Z（C）包含两个端点：∏Z（C）=[√2, 3√2].根据定理3.6的第二个断言，我们现在验证了Q中没有最便宜的经典超边。

（注意，C是不可复制的，因为∏（C）|>1；在第八部分中，没有复制策略，如果∈ Ris是最便宜的超边缘，则Д必须满足Д=maxω∈Ohm（C（ω）- ДS（ω））。该策略的成本则为isV（(R)Д）=最大ω∈OhmC（ω）- ДS（ω）+ ДS=最大ω∈OhmC（ω）- φS（ω）.我们的最佳策略是(R)Д=（3√2.√2) /∈ Q、 因为这个问题∈Rmaxω∈OhmC（ω）- φS（ω）= inf^1∈Rmax{2√2 + φ, -φ, 4√2.- ^1}具有唯一的解决方案=√2、同样，我们得出最昂贵的经典次边不在Q中，这与定理3.6第二个断言的（明显的）次边变体一致。（ii）IfC（ωj）=√2 j=1,0 j=2，√2 j=3，则∏Z（C）=[√2, 2√2). 最便宜的经典超边缘在Q中，而最昂贵的经典次边缘不在Q中。（iii）IfC（ωj）=0 j=1,0 j=2，√2 j=3，则∏Z（C）=（0，√2]. 最便宜的经典超边缘不在Q中，而最昂贵的经典次边缘在Q中。整数约束下的动态交易15（iv）IfC（ωj）=0 j=1,0 j=2,2 j=3，然后∏Z（C）=（0，1）。最便宜的经典SuperEdge和最昂贵的经典SubEdge都在Q中。将注意力限制在索赔中的静态交易策略上可能是有意义的，例如，作为一种简单的方法来建模衍生品的典型减少流动性，与它们的基础相比。这意味着该债权最初可以买入或卖出，但在到期之前不得交易。在经典情况下，超边缘理论（定理3.2）很容易得出这样定义的静态套利电子自由索赔价格集∏stat（C）满足∏stat（C）=∏（C）。现在假设我们的模型只满足NIA。与（3.1）类似，定义σZ（C）=sup{V（(R)Д）：(R)∈ Z、 VT（°~n）≤ C} 。对于p/∈ [σZ（C），σZ（C）]，我们显然有p/∈ πstatZ（C），因为，使用适当的整数子响应。