整数约束下的动态交易

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英文标题：
《Dynamic trading under integer constraints》
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作者：
Stefan Gerhold, Paul Kr\\\"uhner
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we investigate discrete time trading under integer constraints, that is, we assume that the offered goods or shares are traded in integer quantities instead of the usual real quantity assumption. For finite probability spaces and rational asset prices this has little effect on the core of the theory of no-arbitrage pricing. For price processes not restricted to the rational numbers, a novel theory of integer arbitrage free pricing and hedging emerges. We establish an FTAP, involving a set of absolutely continuous martingale measures satisfying an additional property. The set of prices of a contingent claim is no longer an interval, but is either empty or dense in an interval. We also discuss superhedging with integral portfolios.
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中文摘要：
在本文中，我们研究整数约束下的离散时间交易，即我们假设所提供的商品或股票以整数数量交易，而不是通常的实际数量假设。对于有限概率空间和理性资产价格，这对无套利定价理论的核心几乎没有影响。对于不限于有理数的价格过程，出现了一种新的整数无套利定价和套期保值理论。我们建立了一个FTAP，涉及一组满足附加性质的绝对连续鞅测度。未定权益的价格集不再是一个区间，而是在一个区间内为空或稠密。我们还讨论了积分投资组合的超边缘化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Dynamic_trading_under_integer_constraints.pdf (359.69 KB)

2022-6-1 06:54:26 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Constraints mathematica Probability

整数约束下的动态交易Stefan GERHOLD，PAUL KR–UHNERAbstract。在本文中，我们研究了整数约束下的离散时间交易，也就是说，我们假设所提供的商品或股票是以整数数量交易的，而不是通常的实际数量假设。对于不确定概率空间和理性资产价格，这对无套利定价理论的核心几乎没有影响。对于不局限于有理数的价格过程，出现了一种新的整数无套利定价和混合理论。我们建立了一个FTAP，涉及一组满足附加性质的绝对连续鞅测度。连续索赔的价格集不再是一个区间，而是在一个区间内为空或稠密。我们还讨论了集成portfoli os的支持。1、引言经典的无摩擦无套利理论[8，15]对金融市场做出了一些简化假设。特别是，头寸大小可能是任意的实数，这使得交易策略在实践中无法实施。即使经纪人能够接受部分股份，也将是可以买卖的最小部分。此外，由于额外的经纪费和小额头寸通常流动性差，交易员可能希望避免进行大量交易。在这种情况下，最小的交易单位将是由若干（如100）股组成的圆形地块。假设价格过程的整数量（St，…，Sdt）t∈t可以交易。本报告假设交易时间T的集合是有限的。为简单起见，我们将第i个（风险）的实价过程称为集合，尽管它可能具有实际实价的分数或整数解释。我们假设无风险资产中的金额可能会产生任意的实际价值。

一方面，这增加了可处理性；另一方面，这在经济上是有意义的，因为银行账户的最小可能修改通常比风险头寸小几个数量级。因此，在风险资产为d的模型中，我们的整数交易策略每次取R×Zdat的值。对于一些结果和证明，我们还考虑了R×Qd值的有理策略。通过明确分母，相应的套利自由度概念是等价的（见引理2.3）。据我们所知，关于交易约束下套利、定价和套期保值的现有文献[7、11、12]总是对可接受策略集施加s凸性假设，这与完整性约束无关。后者确实在计算金融文献中占有显著地位，例如在文献[3、5、6]中，这些文献采用混合整数非非线性程序来解决马科维茨投资组合选择问题。在文献中，其他关键词日期：2018年10月10日。2010数学学科分类。91G10、91G20、11K60.2 STEFAN GERHOLD、PAUL KR¨uhner（如最小批量限制、最小交易水平和整数交易单位）的含义与整数约束的含义相同。令人惊讶的是，从无套利理论的角度来看，这种限制似乎几乎没有受到关注。邓等人的一篇论文是一个例外。[10] ，他指出，在整数约束下确定单周期模型中套利的存在性是一个NP难问题。在我们的主要结果中，我们假设潜在可能性空间是有限的（第2节的假设（F））。这一假设是现实的，因为实际资产价格以滴答为单位变动，比如说，超过10的价格永远不会发生。

尽管如此，将我们的工作扩展到任意概率空间可能在数学上很有趣，但这将留给未来的工作。在第2节中，我们以简单的方式介绍了无整数套利（NIA）和无整数套利（NIFL）的概念。事实证明（定理2.5），后者的性质等价于经典的无套利条件NA，因此我们在本文的其余部分集中讨论NIA。我们的第一个主要结果是资产定价的基本定理（FTAP；定理2.11）描述NIA。它涉及一组满足加法性质的绝对连续鞅测度集。后者相当于在绝对连续鞅测度的支持之外显式避免整数任意性。因此，该理论没有经典的FTAP那么简洁，但对于建立我们随后的几个结果仍然有用。在第3节中，我们定义了权利要求C的NIA兼容价格集∏Z（C）。使用等价鞅测度集的经典表示的整数变量仅具有包含而不是等式（建议3.4），事实上∏Z（C）可能为空。即使它不是空的，也不必是间隔；然而，∏Z（C）则是一个（明确）区间内的常行道密集度，这是第4节的主要结果。正如Regards方法论一样，我们的许多论点只是使用Zd（和Qd）的可数性，或QdinRd的密度。尽管如此，在一些地方（如引理2.4、示例5.3和定理5.4），Weinvoke从数论中得出了非平凡的结果，收集于附录A。邀请主要对整数限制的实际后果感兴趣的读者阅读（除了基本定义之外）定理2.6、定理3.6和第5节。

简言之，对于实践中使用的离散时间模式ls（有限概率空间，波动点——即理性——资产价值），无套利理论的核心没有太大变化。一个例外是，与非整数仲裁年龄一致的索赔价格上限不必与s最小整数超边际价格一致（见第5节）。尽管如此，当对大量相同债权的投资组合进行增持时，这种资产的持有有限。也就是说，我们的工作绝不是动态交易中整合限制的实际后果的最后决定。在整数约束下，分位数套期保值、风险度量套期保值或凸约束套期保值等问题很值得研究。在第6节中，我们讨论了整数约束下方差最优套期保值的一个玩具示例，它导致了最近向量问题（CVP），这是一个著名的算法格问题。2、交易策略和无套利我们将使用概率空间(Ohm, A、 P）。我们的主要结果使用以下假设：整数约束下的动态交易3（F）Ohm 是有限的，A是Ohm, P[{ω}]>0表示任意ω∈ Ohm, 我们选择一个枚举ω，ωnof其元素。我们假设有一组有限的时间T：={0，…，T}，其中T∈ N、 可能发生交易的地点，以及fix a fi filtration（Ft）t∈t此处英尺 A和F={, Ohm}.（确定性）无风险利率为r>-1，我们有d风险y资产，在时间t时，价格St=（St，…，Sdt）∈ T、 假设STI为非负且Ft可测量。无风险资产的价格由St表示：=（1+r）t期货∈ T、 我们用S表示市场价格过程：=（S，S）。我们对由therisky资产的整数位置组成的交易策略感兴趣。我们考虑的所有交易策略都是自我融资。定义2.1。

（i） 整数（交易）策略是一个可预测的过程∈T \\{0}，值为R×zd，且T的|ΜT'St=|ΜT+1'St∈ T \\{0，T}。为方便起见，我们有时会使用符号“^1：=”“^1”。积分交易策略集用Z.（ii）表示。类似地，我们定义了所有（真实）交易策略集R和理性策略集Q，值为R×Qd。我们显然有Z Q R、 对于任何交易策略∈ R我们表示其在时间t的值∈ T byVt（(R)Д）：=(R)T(R)St=dXj=0jtSjt，其贴现值乘以^Vt（(R)Д）：=Vt（(R)）/St。通常，使用贴现资产值或贴现收益很方便，用^St表示：=（St，…，Sdt）/St，^St：=^St-^St-1对于t∈ T响应。t型∈ T \\{0}。然后，贴现值过程等于（2.1）^Vt（(R)Д）=V（(R)Д）+tXk=1Дk^Sk，t∈ T、 定义2.2。（i） 整数a rbitrage是一种策略∈ Z，这是市场的一个障碍。（ii）如果模型允许无整数套利，则该模型满足无整数套利条件（N IA）。（iii）确定集合（Z模块）KZ：=nTXk=1хk^Sk：(R)∈ Zoof贴现整数策略可实现的净收益，CZ：=（KZ- L+）∩ L∞.假设（F），我们确定条件NIFL（无整数免费午餐）ascl（CZ）∩L+={0}。在识别L时，闭包被称为w.r.t.欧几里德拓扑∞使用Rn。STEFAN GERHOLD，PAUL Kruhner显然，NIA比经典的无套利资产NA或NIFL弱。结果表明，经典的无套利性质NA和NIFL是等价的（对于有限概率空间），见下面的定理m 2.5。以下简单性质将经常使用：引理2.3。

（i） 如果（F）成立，则在定义整数套利时，条件为∈ Z可替换为“^1”∈ Q、 （ii）在定义整数套利时，条件V（(R)Д）≤ 0可由V（(R)Д）=0替换。（iii）NIA相当于（2.2）^VT（°Д）-^V（℃）≥ 0=>^VT（(R)Д）=任何^ν的^V（(R)Д）∈ Z（或，在（F）下，对于任何∈ Q） 。证据（ii）和（iii）的证明与经典情况下的证明完全相同。第（i）部分：很明显，Z中的任何套利策略也在Q中。现在假设存在套利？，即（Дt，…，Дdt）∈ 任何t的QD∈ T、 定义：=inf{n∈ N:NИ∈ Zd·T}。然后是Nхt∈ ZD适用于任何t∈ T、 “和”是一种套利。根据（2.1），含义（2.2）可以写成asTXk=1хk^Sk≥ 0=>TXk=1хk^Sk=0。虽然我们的主要结果假设（F），但我们提到（F）在引理2.3的（i）和（iii）部分中实际上不是必需的。这很容易从多期模型中的套利现象得出结论，即存在允许套利的期。在经典设置中，这是[12]中的命题5.11；这个证明也适用于整数和有理数策略。在完整性条件（F）下Ohm, 我们可以证明，任何真正的交易策略都可以用一个具有一定比率的整数交易策略来近似。证明基于Dir-ichlet近似定理（定理A.1）。引理2.4。（i） 如果S受到限制，则对于任何策略∈ 如果R和任何>0，我们可以找到一个策略ψ∈ Q这样的支持∈Tess sup | Vt（(R)Д）-Vt（(R)ψ）|<和V（(R)Д）=V（(R)ψ）。（ii）假设（F）并让∈ R和>0。然后是q∈ N和策略ψ∈ Z使得V（(R)Д）=V（(R)ψ）/q和SUPT∈T、 j=1，。。。d、 l=1，。。。，n |ψjt（ωl）-qИjt（ωl）|<q-1/（nd（T+1））<。特别是对于任何策略∈ R我们可以找到策略\'ψ∈ Q、 (R)η∈ 赞德q∈ N如此支持∈Tess sup | Vt（(R)Д）-Vt（(R)ψ）|<，支持∈Tess sup | qVt（(R)Д）-Vt（(R)η）|<和V（(R)Д）=V（(R)ψ）=V（(R)η）/q。整数约束下的动态交易5Proof。

第一部分很简单，因为任何实数都可以用有理数近似。我们发现了一系列策略（(R)ψ（k））k∈Nin Q使得ψ（k）→ 对于k，均匀地以ω表示→ ∞. 这和S的有界性意味着值在任何时间t的收敛性∈ T如果初始值被固定为相等。为了显示第（ii）部分，设Rt：={Иjt（ωl）：j=1，…，d，l=1，…，n}。对于anyt∈ 不让…发生，aKttbe是Rt元素的枚举。我们有Kt≤ DNT适用于任何t∈ T和thusPt∈TKt公司≤ nd（1+T）。通过Dirichlet近似定理（定理A.1），我们发现q∈ N带q-1/（nd（1+T））<和pkt∈ Z带| pkt- qakt |<q-1/（nd（1+T））对于任何T∈ T、 k=1，千吨级。对于t∈ T我们定义ψjt（ωl）：=pktwhere k∈ {1，…，Kt}是这样的：Дjt（ωl）=akt。然后{ψjt=pkt}[米∈Ak{Иjt=amt}，其中Ak={m=1，…，Kt:pmt=pkt}。因此ψ是可测的w.r.t.到由ψtand生成的σ代数，因此，Ft-1-可测量。因此，ψ是一个可预测的zd值过程。ψ和Д的均匀距离小于q-1/（nd（1+T））施工。利用前面的引理，我们可以证明在完整性条件下，经典无套利等价于NIFL。定理2.5。Assu me（F）。那么下面的陈述是等价的：（i）有一个等价的鞅测度Q≈ P，（ii）模型满足经典无套利性质NA，（iii）模型满足NIFL。此外，如果风险资产的数量为d=1，则以下陈述也相当：（iv）满足模型。证据（i）和（ii）的等价性是经典的FTAP，参见【12，定理5.16】。此外，NA相当于我们设置中的ic类al无免费午餐条件（见[8，16]），这产生了含义（ii）=>（iii）。现在我们假设（iii）并显示（ii）。Let(R)∈ R，使V（(R)Д）=0和VT（(R)Д）≥0

根据引理2.4的第（ii）部分，我们发现qN∈ N与策略ψ（N）∈ Z此类tha t（2.3）ess sup | qNVT（(R)Д）- VT（(R)ψ（N））|≤N、 W.l.o.g.，序列QN增加。我们得到（2.4）VT（(R)ψ（N））≥ qNVT（(R)Д）-N≥ -N、 定义：=（1 VT（|ψ（N））>1，VT（|ψ（N））VT（|ψ（N））≤ 1=VT（(R)ψ（N））-（VT（(R)ψ（N））-1） 1{VT（(R)ψ（N））>1}∈ CZ，N∈ N、 自ZN起∈ L∞, 有一个收敛的子序列，w.l.o.g.zn本身收敛到so me Z∈ cl（CZ）。通过（2.4），我们得到了Z≥ 那么，NIFL意味着Z=0,6 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨UHNERand，因此VT（(R)ψ（N））→ 0、自q起-1NVT（°ψ（N））→ 通过（2.3）（回想一下，qn增加了），我们得出结论，VT（(R)Д）=0。现在假设d=1。（二）=>（iv）是显而易见的。我们假设（ii）没有任何作用。[12]中的命题5.11产生了一个单期套利的存在，即无轨套利和t∈ T，使得任意T的φT=0∈ T \\{T}。由于“Д”是一种套利，我们必须将“Дt6”设为0。定义ψjt：=|tj/| |t |，t∈ T、 j=0，1。那么ψ也是一种套利。此外，ψt∈ {-1, 0, 1}  Z表示任意t∈ T、 因此ψ∈ Z、 因此，（iv）不成立。在实践中，模式l规范中出现的所有值都是浮点数。以下结果表明，在这种情况下，任意地理机会的存在不受完整性约束的影响。定理2.6。假设（F），利率r和所有资产价值都是合理的：r∈ Q、 和St∈ Qdfor t∈ T、 那么NIA等于NA。证据NA总是意味着NIA。现在假设我们有一个真正的套利机会。根据引理2.3的第（iii）部分，有一个可预测的过程ω ∈ Ohm :TXk=1хk（ω）^Sk（ω）≥ 0,ω ∈ Ohm :TXk=1хk（ω）^Sk（ω）>0。现在的断言来自下面的引理2.7。注意，结果有理过程的可预测性很容易得到保证，通过为所有k，j引入一个单一变量，表示ωs属于Fk的同一个原子的Дjk（ω）-1.

在证明上述结果时，我们应用了以下简单引理。利用Ehrhart关于扩张多面体中晶格点的理论[4，21]，肯定可以沿着这些线陈述更一般的结果。因此，我们并没有宣称引理2.7是独创的，但给出了一个简短的自足证明，证明了读者的对流性。引理2.7。Let（aij）1≤我≤r、 1个≤j≤sbe一个具有有理项的矩阵∈ Q、 假设有一个实向量（x，…，xs），使得（2.5）sXj=1aijxj≥ 0，i=1，r、 至少有一个不等式是严格的。然后有一个有理向量满足（2.5）。我们感谢曼努埃尔·考尔斯指出这一点。整数约束下的动态交易7Proof。在可能对矩阵（aij）的行进行重新排序之后，我们可以假设有u∈ {1，…，r}这样sxj=1aijxj>0，1≤ 我≤ u、 sXj=1aijxj=0，u<i≤ r、 定义yi：=Psj=1AIJXJ1≤ 我≤ u、 我们得到向量（x，…，xs，y，…，yu）解出系统sxj=1aijxj- yi=0，1≤ 我≤ u、 （2.6）sXj=1aijxj=0，u<i≤ r、 （2.7）y，yu>0。（2.8）方程（2.6）和（2.7）构成了一个具有有理系数的齐次线性方程组，其基础为B Qs+uof有理解向量，通过高斯消元。向量（x，…，xs，y，…，yu）可以写为B中向量的线性组合。通过用有理数近似该线性组合的（实）系数，我们得到一个向量（▄x，…，xs，▄y，▄yu）∈ Qs+使用（2.6）–（2.8）。然后（▄x，▄xs）是所需的有理向量。定理2.6的断言不适用于有限概率空间，如下面的示例插图所示。示例2.8。允许Ohm = {ω, ω, . . . } 可数，A=2Ohm, 和fix任意概率测度P，对于所有i，P[{ωi}]>0∈ N、 我们选择d=2，T=1，andr=0。