整数约束下的动态交易

因此，可以很容易地为扩展模型构造一个静态整数套利。因此，我们得到∏Z（C） ∏statZ（C） [σZ（C），σZ（C）]。现在，我们开始确定Q中“最便宜”的超边的值。与经典情况的唯一区别是，最便宜的超边不是nec e ssarilyin Q，而是可以用Q中的超边任意逼近（即使onlyNIA成立）。有关Z中“廉价”超边缘的结果，请参见第5节。提案3。8、假设（F），模型s为IA，C为索赔。然后是最便宜的SuperEdge∈ R其中满足度（(R)Д）=supnEQhC（1+R）Ti:Q∈ QZo=supnEQhC（1+r）Ti:Q∈ QmaxZo。此外，对于任何>0的情况，都有一个超边\'ξ∈ 对于C s，Q等于V（¨ξ）≤V（℃）+。证据命题2.10 Yieldsupneqhc（1+r）Ti:Q∈ QZo=supnEQhC（1+r）Ti:Q∈ QmaxZo。让Q∈ QmaxZand定义：={ω∈ Ohm : Q[{ω}]=0}。然后，限制为Ohm \\ 因为Q是鞅测度，所以满足NA。由（F）可知，在这个市场上C有一个最便宜的超边缘，我们用“η”表示∈ R、 满足VT（(R)η）≥ C Q-a.s.自Q起∈ qMaxz此处为？ψ∈ Rsuchthat VT（(R)ψ）≥ 0和{VT（(R)ψ）>0}=A。AsOhm 是否确定有∈ R使得VT（a？ψ+？η）=aVT（？ψ）+VT（？η）≥ C、 根据命题2.10和定理3.2，我们发现“Д：=a”ψ+“η”是C的超边，初始价格V（？）=V（？）=supnEQhC（1+r）Ti:Q∈ QmaxZo。16 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨UHNERNow letγ∈ R是C的任何超边缘。然后是VT（(R)γ）≥ C Q-a.s.适用于任何Q∈ QmaxZand，因此，V（(R)γ）=EQhVT（(R)γ）（1+r）Ti≥ supnEQhC（1+r）Ti:Q∈ QmaxZo。因此，(R)对于C来说是最便宜的超边缘。第二个部分很容易从引理2.4的（i）部分得到。整数无套利价格集的结构本节的主要结果是NIA相容类的集∏Z（C）在区间内总是稠密的（定理4.3）。

首先，我们给出了一些表示∏Z（C）等于区间的有效条件。提案4。1、如表（F）所示，模型满足要求。如果以下任何陈述成立，则∏Z（C）为区间：（i）只有一个交易期（T=1），且∏Z（C）不为空，（ii）只有一个风险资产（d=1），或（iii）模型满足NA。证据如果（ii）成立，则定理2.5得出（iii）成立。如果我们假设（iii），则定理3.6给出了该主张。现在假设（i）成立。命题3.4意味着∏Z（C）nEQhC（1+r）Ti:Q∈ QZo：=J。如果J是一个单态，那么我们在假设中有等式，因此，该要求如下。因此，我们可以假设J至少包含两个点。集合J是一个区间。让p∈ int（J）和define X：=p，X：=C。假设模型（S，…，Sd，X）存在整数套利（(R)，Дd+1），这是矛盾的。根据引理2.3的第（ii）部分，我们可以假设V（(R)Д，Дd+1）=0。我们有φd+16=0，因为从另一个角度来看，φ是（S，…，Sd）的整数套利，V（(R)φ）=0。情况1：Дd+1<0。然后是C≤ -（1/Дd+1）Pdj=0ДjSj。因此，ψj：=-νj k d+1，j=0，d、 是C的一个辅助边。我们有V（|ψ）=p。命题3.8得出p=V（|ψ）≥sup（J）>p.矛盾。情况2：Дd+1>0；相似的因此，p∈ πZ（C）产生int（J） ∏Z（C） J，因此，∏Z（C）isan区间。我们现在给出一个整数套利兼容价格集不是区间的例子。更准确地说，我们展示了一个满足NIA的模型和一个索赔，其中NIA一致性的集合由∏Z（C）=[0，1/2]\\（Q+Qπ）给出。示例4.2。允许Ohm := {ω，ω，ω，ω}，d=2，T=2，r=0。我们使用过滤F：={, Ohm}, F： =σ（{ω}，{ω，ω}，{ω}）和F：=2Ohm.

我们选择（S，S）：=（1，π）和（ωj）：=S（ωj）给出的市场模型：=（3/2，3π/2）j=1，（1/2，π/2）j=2，3，（1，1+π）j=4。整数约束下的动态交易17该市场允许静态套利ηt：=（0，-π、 1）这是自融资，满足V（(R)η）=0和V（(R)η）=1{ω}。因此，任何鞅测度qm都必须满足Q[{ω}]=0。通过Qα[{ωj}]定义度量Qα：=1/2 j=1，α/2 j=2，（1- α） /2 j=3,0 j=4。对于任何α∈ [0, 1]. 那么Qα是鞅测度，ZQα={0}。特别是，定理2.11得出NIA成立的结论。此外，QZ={Qα：α∈ [0, 1]}.现在我们选择索赔C：=1{ω}。命题3.4收益率∏Z（C） {EQ[C]：Q∈ QZ}=[0，1/2]。让p∈ [0, 1/2] ∩（Q+Qπ），p6=0，为矛盾假设p∈ ∏Z（C）。然后有一个适应的过程（X，X，X），使得X=p，X=C，模型（S，S，S，X）满足。定义α：=2p，并设u，v∈ Q等于α=u+vπ。确定策略（(R)Дt，Дt）t=1,2∈ Q byД：=sgn（（2-π） 五- u）∈ {-1，1}和（(R)Д，Д）：=(-αД，uД，vД，Д），（(R)，Д）（ωj）：=（0 j=1，2，3，|(2 - π） 五- u |，0，0，0j=4。该策略满足V（°Д，Д）=0和V（°Д，Д）=V（°Д，Д）=|（2- π） 五-u |·1{ω}。因此，（(R)Д，Д）是一种理性套利。矛盾。设p=0，并假设p∈ ∏Z（C）。然后有一个适应的过程（X，X，X），使得X=0，X=C，模型（S，S，S，X）满足NIA。定义静态策略（(R)，Д）：=（0，0，0，1）。我们有V（(R)，Д）=0和V（(R)，Д）=1{ω}。因此，（(R)Д，Д）是一种整数套利。矛盾。到目前为止，我们已经证明了∏Z（C） [0，1/2]\\（Q+Qπ）。相反，让我们现在∈ [0，1/2]\\（Q+Qπ）。我们证明p∈ ∏Z（C）。定义α：=2p和Xα：=α/2，Xα：=α1{ω，ω}，Xα：=C。为了确保模型（S，S，S，Xα）满足，假设存在整数套利。然后是一个单期套利（(R)Д，Д）。

显然，在第二阶段不存在套利可能性，因此我们可以假设（Д，Д）=0（即，在第二阶段没有风险头寸）。因此，V（°Д，Д）=V（°Д，Д）≥ 0.由于Qα是扩展模型的鞅度量，我们得到V（(R)Д，Д）=0 Qα-a.s。特别是，V（(R)Д，Д）（ω）=0，加上V（(R)Д，Д）=0（见引理2.3（ii）），这意味着- αφ= 0.作为满足NIA的原始模型，我们必须有Д6=0，这导致合同2p=α=Д+πД∈ Q+Qπ。18 STEFAN GERHOLD，PAUL Kruhnerthus，不存在整数套利，即模型满足NIA，因此，p∈∏Z（C）。在本节的其余部分中，我们将始终假设（F），NIA和ft=A。同时，让C为索赔。下面的定理是我们在一般情况下关于∏Z（C）结构的主要结果。定理4.3。集合∏Z（C）在中为空或密集inf公司均衡器C（1+r）T: Q∈ QmaxZ公司, 啜饮均衡器C（1+r）T: Q∈ QmaxZ公司.定理m将遵循下面的引理4.8和4.9。请注意，由于命题2的最后一个assertion，qmaxzc可以替换为QZ。10、为了证明定理4。假设∏Z（C）为非空，并选择p*∈ ∏Z（C）。根据定义，有一个经过调整的过程（X*t） t型∈Tsuch该X*= p、 X个*T=C，模型（S，…，Sd，X*) 满足感。我们还定义：={ω∈ Ohm : φ ∈ R： VT（(R)Д）≥ 0，VT（°Д）（ω）>0，°Д，对于任何t，(R)t=0}∈ T \\{T}。根据与T heorem 2.11证明中相同的论证，存在∈ Rwith'Д，^1t=0，VT（(R)Д）≥ 0和{VT（(R)Д）>0}=At。从定义来看，我们认为 在-1和At-1\\At∈ 对于任何t∈ T \\{0}。定义4.4。我们为度量集Q写qt，使得（^Su）u=t，。。。Tisa Q-鞅，Ohm \\ ATI支持Q，对于任何非空setB，Q[B]>0∈ 英尺。

现在我们定义了两个集合序列：KT：={C}，KT：=nEQD1+r英尺: Q∈ Qt，D∈ Kt+1o，CT：={C}，CT：=（等式D1+r英尺: Q∈ Qt，D∈ Ct+1，B∈ 英尺ξ ∈ Qd公司s∈ {-1，1}：Bξ^St+1≥ s1B级D（1+r）t+1- EQhD（1+r）t+1Fti公司=> 1Bξ^St+1=s1BD（1+r）t+1- EQhD（1+r）t+1Fti公司)对于任何t∈ T \\{T}。下面的引理4.6与QmaxZ=q的凸性一起表示thatK=inf公司均衡器C（1+r）T: Q∈ QmaxZ公司, 啜饮均衡器C（1+r）T: Q∈ QmaxZ公司,下面的引理4.9产生了一个可数异常集F，使得C=K\\F。最后，引理4.8指出，NIA compatibleprices集合∏Z（C）中包含Cis，从而建立了定理m 4.3。出于技术原因，我们首先分析这些集合Qt，我们需要下面引理4.7中给出的kt的随机凸性。引理4.5。让t∈ T、 然后qt为n，为空。如果t 6=0，则对于任何Q∈ Qt-1这里是Q′∈ qt使得EQ′[X | Fs]=EQ[X | Fs]Q-a.s.在整数约束19下，对于任何s=t，…，动态交易，T和任意随机变量X：Ohm → R、 证明。设I：={t∈ T：该声明适用于T}。我们有0个∈ I根据定理2.11（I）。让t∈ T使得T- 1.∈ 一、 我们展示t∈ I，意味着I=T，因此，声明。我们直接产生具有给定额外性质的测度。为此，让Q∈ Qt-1、让B，Bmbe是FTA和定义k的最小非空元素的枚举：=|{Bl：l=1，…，m，Bl 在-1\\At}|。我们可以假设B，黑色 在-1\\At。自从Ohm \\ 在-对于任何l=k+1，…，我们有Q[Bl]>0的支持，m、 自\\At开始-1我们的数据是可测量的-1\\At=Skl=1Bl。定义Bl上的概率度量Pl：=PP【Bl】。因为模型（^Su）u=t，。。。，Tsatis fies NIA我们从定理2.11（i）中得到一个鞅测度Ql<< Plon Bl.定义概率度量Q′[D]：=Q[D]+kXl=1Ql[D∩ Bl]/（1+k），D∈ A、 显然，Q′的支持是Ohm\\对于任何D，A和Q′[D]>0∈ 英尺（^Su）u=t，。。。，这是一个Q′-鞅。

因此，我们有Q′∈ Qt。现在，让X：Ohm → R是随机变量，s∈ {t，…，t}。我们证明了eq′[X | Fs]是Q下X的Fs条件期望的一个版本∈ Fsand定义D′：=D\\At-那么D′是Q′-本质上Fs-可测的，因为Atis是Q′-空s e t，At-1英尺 Fs可测量。我们有EQ公式′[X | Fs]1D= 均衡器公式′[X | Fs]1D′= 均衡器等式′[X1D′Fs]= 均衡器公式[X1D′Fs]= 公式[X1D′）=公式[X1D]。因此，t∈ 我引理4.6。对于任何t∈ 我们有Kt=nEQhC（1+r）T-t型Fti:Q∈ Qto。证据定义：=t型∈ T:Kt=均衡器C（1+r）T-t型英尺: Q∈ Qt.显然，T∈ 一、 Le t t t∈ I \\{0}。我们证明t- 1.∈ I，意味着I=Tand，因此，主张。为此，让Xt-1.∈ 千吨级-1、然后是Q∈ Qt-1和Xt∈ Ktsuchthat Xt-1=等式[Xt1+r | Ft-1]. 自Xt起∈ KT有R∈ qt使得Xt=ER[C（1+r）T-t | Ft]。定义measureQ′[B]：=等式R【B | Ft】, B∈ A、 自R起∈ qt对于任何非空集B，R[B]>0∈ 英尺Let B∈ 英尺-1.Ftbe非空。然后R[B | Ft]=1带，因此Q′[B]=Q[B]>0。Als o，（^Su）u=t-1.这是一个Q′-鞅。自年月日起 在-1和At-1\\At∈ Ftwe getR[在-1 | Ft]=1 AT-1英尺+1英尺。20 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨uhner然而，Atis是一个n R空集，因此R[在| Ft]=0 R-a.s。由于Fthas no nempty R空集，我们有R[在| Ft]=0。我们在-1 | Ft]=1 AT-1\\At，whichyields Q′[At-1] =Q[在-1\\At]=0。L etω∈ Ohm \\ 在-1、然后R[{ω}| Ft]≥ 0 andR[{ω}| Ft]（ω）>0。由于Q[{ω}]>0，我们得到Q′[{ω}]>0。因此，Q′的支持是Ohm \\在-1，产生Q′∈ Qt-我们有eq′hC（1+r）T-（t-1)英尺-1i=EQ“ERhC（1+r）T-t型Fti/（1+r）英尺-1#=等式hxt1+r英尺-1i=Xt-因此，Xt-1.∈nEQhC（1+r）T-t型英尺-1i:Q∈ Qt-1o。现在，让Xt-1.∈nEQ[C（1+r）T-（t-1） |英尺-1] ：Q∈ Qt-1o；我们必须显示tXt-1.∈ 千吨级-1、有Q∈ Qt-1如此Xt-1=等式[C（1+r）T-（t-1） |英尺-1]. ByLemma 4.5我们发现Q′∈ qt使得对于任意随机变量Y，等式[Y | Fs]=等式′[Y | Fs]Q-a.s：Ohm → R和任何s=t，T

定义Xt：=等式′[C（1+r）T-t | Ft]∈ KT因为t∈ 一、 我们发现-1. EQhXt1+r英尺-1i=EQ“EQ′hC（1+r）T-t+1Fti公司英尺-1#=等式HC（1+r）T-（t-1)英尺-1i=Xt-1、因此，t- 1.∈ 我引理4.7。对于任何t∈ T和任意Ft可测随机变量α，其值为sin[0，1]和任意X，Y∈ Ktwe有αX+（1-α） Y型∈ 千吨级。证据引理4.6产量测度Q，R∈ qt使得X=等式[C（1+r）T-t | Ft]，Y=ER[C（1+r）t-t | Ft]。定义measureQ′[B]：=等式αQ[B | Ft]+（1- α） R【B | Ft】.很明显，Q和Q′在Ft上一致，很容易验证Q′∈ Qt。让B∈ 英尺ThenEQ′hBC（1+r）T-ti=EQhαEQhBC（1+r）T-t型Fti+（1- α） ERhBC（1+r）T-t型Ftii=等式[α1BX+（1-α） 1BY]=等式′[α1BX+（1-α） 1年]。我们发现 EQ′hC（1+r）T-t型Fti=αX+（1-α） Y.整数约束下的动态交易21引理4.8。我们有C ∏Z（C）。证据让p∈ C、 定义X：=p。我们可以递归地查找Xt+1∈ Ct+1和QT∈ qt使得对于t，Xt=EQt[Xt+1/（1+r）| Ft]∈ T \\{T}。自XT起∈ CT={C}我们有XT=C。假设模型（S，…，Sd，X）存在整数套利，这是自相矛盾的。然后是一个单周期整数套利（(R)Д，Дd+1），即∈ 对于任何T，T的值（ДT，Дd+1t）=0∈ T \\{0，T}。然后有一个极小集B∈ 英尺-1\\ {} 这样1B（(R)Д，Дd+1）仍然是套利。定义（η，ηd+1）：=（Дt，Дd+1t）（ω）∈ Zd+1对于某些ω∈ B、 ThenY：=1Bη^St+ηd+1Xt（1+r）t-Xt公司-1（1+r）t-1.≥ 0和P[Y>0]>0。由于模型（S，…，Sd）满足NIA，我们得到ηd+16=0，并且可以定义ξj：=ηj/ηd+1。We ge tY/ηd+1=1Bξ^St+Xt（1+r）t-Xt公司-1（1+r）t-1..因此，Xt-1/∈ 计算机断层扫描-矛盾。不难看出，实际上C=πZ（C），但我们不会使用这个事实。引理4.9。让t∈ T、 让Xt∈ K和定义Xαt：=αXt+（1- α） X个*t任何α∈ [0, 1]. 然后有一个可数集F （0，1）使得Xαt∈ 任何α的Ct∈ [0，1]\\F。特别是，CTI密度为Kt。证据定义：={t∈ T：该声明适用于此T}。显然，T∈ 我

Le t t t∈ I \\{0}。我们证明t- 1.∈ I，意味着I=Tand，因此，主张。为此，让Xt-1.∈ 千吨级-1、然后是Xt∈ K和Q∈ Qt-1如此Xt-1=等式[Xt/（1+r）| Ft-1]. 我们定义αt-1： =αXt-1+ (1 - α） X个*t型-1，Xαt：=αXt+（1- α） X个*t对于任何α∈ [0, 1]. 这是Ft （0，1）可数，使得Xαt∈ 任何α的Ct∈ [0，1]\\Ft.对于任何α∈ [0，1]\\t我们递归查找Xαs+1∈ Cs+1和Qαs∈ qs使得Xαs=EQαs[Xαs+1/（1+r）| Fs]，对于s≥ t、 我们将证明（Su，…，Sdu，Xαu）u=t-1.Tsatis fies NIA适用于所有但可数的α选择∈ [0, 1]. 由于整数套利的存在意味着存在一个周期a的套利，且市场（Su，…，Sdu，Xαu）u=t，。。。，t不允许套利，我们知道这种套利必须在t- 1至t.自Ft-1是由无数个原子产生的，需要对其中一个原子进行调节。因此，我们可以简单地假设t=1。我们定义：={α∈ (0, 1] : α ∈ 对于Xα/∈ C} ，我们将证明Fis是可数的。为此，我们定义了集合D：={Y∈ L((Ohm, F、 P），R）：Y=ξ^SQ-a.s.，ξ∈ Rd}，DQ：={Y∈ L((Ohm, F、 P），R）：Y=ξ^SQ-a.s.，ξ∈ Qd}和^Xα：=Xα1+r- Xα表示α∈ [0, 1].22 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨UHNERCase 1：^X/∈ Dor公司^X*/∈ D、 我们定义F：={α∈ [0, 1] : Xα∈ D} 。由于Dis是一个向量空间，我们发现F最多包含一个元素。我们声称（0，1）\\（F∪\'F）不包含任何F元素。为此，让α∈ （0，1）\\（F∪F）并假设第一阶段存在整数轨道。因此，存在ξ∈ Zd+1，ξd+16=0，且ξ^S+ξd+1^Xα≥ 由于Q是鞅测度，我们得到ξ^S+ξd+1^Xα=0Q-a.s.，并在求解^Xα我们发现^Xα∈ D、 矛盾。案例2：^X，^X*∈ 有一个具有正Q-测度的集合^X6=^X*. 自DQ限制至Ohm \\ 我们发现有很多元素^Xα∈ DQat最常见。

表示α的集合∈ [0，1]其中^Xα∈ DQby？F。我们要求F F∪\'F。为此，让α∈ （0，1）\\（F∪F）并假设合同第一期存在整数套利。然后是ξ∈ Zd+1使ξd+16=0和ξ^S+ξd+1^Xα≥ 由于Qis是鞅测度，我们得到ξ^S+ξd+1^Xα=0 Q-a.s.，并在求解^Xα我们发现^Xα∈ DQ。矛盾。案例3：^X，^X*∈ 丹^X=^X*Q-a.s.那么，我们有x=（1+r）(^X+X）=（1+r）(^X*+ 十） =X*+ （1+r）（X- 十、*), Q-a.s.（4.1）如果X=X*, 那么X=X*∈ C、 因此，我们可以假设X6=X*. IfR【B】∈ {0，1}对于任何R∈ QmaxZand任意B∈ F、 引理2.16得到F=Fand，因此，^X=0=^X*这就得到了F=F。因此，我们可以假设有R∈ QmaxZand B∈ F带R[B]∈ (0, 1). 根据命题2.10，我们发现存在B∈ F对于任何R∈ QmaxZ=Qwe有R[B]∈ (0, 1).特别是r，我们有Q[B]∈ (0, 1).对于n∈ N我们定义：=XBc+(1 - 1/n）X+X*/nB=X+1B（X*- 十） /n，Yn：=XQ【Bc】+(1 - 1/n）X+X*/nQ[B]=X+Q[B]（X*- 十） /n.Lemma 4.7得出Yn∈ K对于任何n∈ N、 测量值Qn[D]：=等式[Q′N[D | F]，其中Q′N∈ Qis使得Yn=等式n[C（1+r）T-1 | F），满足性qnhyn1+ri=EQhYn1+ri=Yn，其中最后一个等式源自Q和（4.1）的定义。因此，Yn∈ K对于任何n∈ N、 O注意^Yn：=Yn1+r- Yn=^X+nBX公司*- X1+r- Q[B]（X*- X）.我们发现^Yn6=^X*具有正Q概率。通过向案例1上诉。案例2我们发现Fn [0，1]可数，使得αYn+（1-α） X个*∈ C对于任何α∈ [0，1]\\Fn。定义可数集F：={α（1- Q【B】/n）：n∈ N、 α∈ Fn}。整数约束下的动态交易23我们声称F \\{1} F∪\'F。为此，让α∈ （0，1）\\（F∪\'\'F）。选择n∈ 确保n>Q[B]/（1-α). 然后是α′∈ [0，1]使得α=α′（1-Q【B】/n）。我们发现α′/∈ 因为α/∈\'F。

因此，我们有 α′Yn+（1- α′）X*= 十、*+α1 - Q【B】/n（Yn- 十、*)= 十、*+α1 - Q【B】/n（X- 十、*)(1 -Q【B】/n）=X*+ α（X- 十、*)= Xα。因此，α/∈ F、 我们已经证明了Fis是可数的。整数超边缘在本节中，我们讨论了索赔的整数超边缘价格σZ（C）的一些性质，如（3.1）所定义。首先，我们给出一个简单的例子，其中它与经典的超边缘价格sup∏（C）不一致。示例5.1。在本例中，sup∏（C）和最便宜的整数超边缘价格σZ（C）之间的差距大小为a，任意数字a>0。关于概率空间Ohm = {ω，ω}，考虑一维模型=1，S（ω）=1- 2a，S（ω）=1+2，r=0。唯一等价鞅测度为（Δω+Δω）/2，因此索赔C（ω）=0，C（ω）=2a的唯一无套利价格由∏（C）={a}给出。根据定理3.6，我们得到了∏Z（C）=∏（C）={a}。通过计算σZ（C）=infν，可得出积分超边缘价格∈Zmaxω∈OhmC（ω）- φS（ω）（5.1）=最小值∈Zmax{2aД，2a- 2aИ}=2a。（5.2）我们得到整数超边的价格区间为[2a，∞). 对于实φ，在φ=时达到（5.2）中的最小值，从而得出经典的超边缘价格a=sup∏（C）。一旦模式l确定，上述示例c中考虑的ga p将有界于所有索赔。在例5.1中，我们在（5.3）中有等式。在Rn上，我们总是使用欧几里德范数k·k=k·k。命题5.2。假设（F）和NA，让C是一个索赔。然后（5.3）σZ（C）- sup∏（C）≤√d最大ω∈OhmTXk=1k^Sk（ω）k.证明。Let？ψ∈ R是最便宜的经典超级边缘。根据定理3.2，它满足v（(R)ψ）=sup∏（C）。通过将|ψ的风险y位置四舍五入到闭合的t整数（对于半整数s有任何约定），我们得到了一个s策略（ψ，ψ) ∈ Z、 显然，kψt- ψtk公司≤ k（，…，）k=√d、 t型∈ T、 24 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨uhnerdefine^C=C/（1+r）T，let∈ Z