识别银行间市场中的关系型贷款：一个网络

作为回报，得出的估计值使我们能够推断出银行之间的随机匹配可以解释经验网络结构的范围，从而避免过度识别问题。根据a的估计，我们通过测试观察到的两家银行之间的交易数量是否显著大于零假设（即，评估模型）所预期的值来确定关系借贷的存在。3.2活动水平的最大似然估计我们将每日数据集拆分为聚合时段，每个时段由τ个营业日组成，并逐时段进行最大似然估计。聚合周期由t=1、…、，tmax，其中tmax≡ btmax/τc和tmaxdenotes数据中的总营业日数。为了简单起见，我们在本节的其余部分省略了下标tin。如果每天根据概率u（a，a）独立匹配交易对，则银行i和j在τ个营业日内进行的交易数量遵循参数τ和u（ai，aj）的二元分布。对于给定的活动向量a，一个总周期内交易数量的联合概率函数导致top（{mij}| a）=Yi，j：i6=jτmiju（ai，aj）mij（1- u（ai，aj））τ-mij，（2）其中mij≤ τ表示在聚合期内观察到的i和j之间的交易数量（即边缘）。因此，对数似然函数由l（a）=log p（{mij}| a）=Xi，j：i6=j[mijlog（aiaj）+（τ- mij）日志（1- （aiaj））]+常数。，（3） 其中“const”表示独立于a的术语。让N表示在给定的聚合周期内至少有一笔交易的活跃银行的数量。a的最大似然估计是以下N个方程的解：Hi（a*) ≡Xj:j6=imij- τ（a*ia公司*j） 1个- （a）*ia公司*j） =0， i=1。

，N，（4）一阶条件（4）是通过对对数似然函数方程（3）中ai的微分得到的。非线性方程组H（a）=0，可使用标准数值算法求解。此后，a的计算解（即最大似然估计）由a表示*≡ （a）*, . . . , 一*N） 。通过逐段重复这个过程，我们得到了活动向量SNA的估计值*, 一*, . . . , 一*tmaxo公司。3.3关系借出的统计检验我们提出了两种统计检验；一个用于识别参与关系借贷的银行对，另一个用于检测依赖关系的银行。在samemanner中，当我们估计银行的活动水平时（第3.2节），我们将每日数据集拆分为TMAX聚合时段，并逐时段实施测试。3.3.1基于边缘的关系借贷测试如果i银行对贸易伙伴没有偏好，因此按照能力模型中的建议以随机方式找到合作伙伴，那么i银行和j银行在给定时期内的双边交易数量mij应服从以下二项分布：g（mij | a*i、 a*j）=τmiju（a*i、 a*j） mij（1- u（a*i、 a*j） ）τ-mij， i、 j=1，N、 （5）相比之下，如果i银行与j银行有较强的（即非随机）合作关系，则MIJ的分布将偏离二项分布。设McIj表示第c百分位（0≤ c≤ 100）g（mij | a*i、 a*j） （即c/100=G（mcij | a*i、 a*j） ，其中G是G（mij | a）的累积分布函数（CDF）*i、 a*j） 。如果c值接近100时，mij>MCIJ，则交易的经验数量太大，无法用随机机会来解释，这表明我们使用基于改进牛顿法（称为信赖域折线法）的Matlab函数fsolve解决了问题。

a的初始值由配置模型给出，ai=Pj：j6=i（mij/τ）/qPi<jmij/τ，其中分子和分母分别表示银行i\'s等级的每日平均值和总边数的两倍。在一些情况下，估计的活动值ai和aj表示u（ai，aj）>1。在这种情况下，我们假设u=1。ibank jXj银行：j6=imij=5随机匹配关系借贷+++=t=1t=2t=3图2：重要联系示意图。为了便于说明，我们设置τ=3。圆圈的大小表示银行的活动水平。如果根据适应性模型对银行进行随机匹配，那么活动水平较高的银行平均将获得更多的边缘。如果i银行和j银行之间的交易数量太多，可以用随机机会来解释，那么这两家银行被认为是通过一个重要的纽带联系在一起的，并且从事关系型贷款。关系型贷款的存在。我们将此测试称为基于边缘的测试，因为这是对银行间网络中边缘重要性的测试。如果mij>mcij，那么我们说银行i和J通过重要的纽带联系在一起，并参与关系借贷。我们在整篇论文中设定c=99（即99%的显著水平）。图中给出了重要联系的示意图。重要的是，特定时期内的双边贸易数量本身并不一定表明存在显著的联系。在随机匹配（图2的上排）下，银行i与活动水平最大的两个交易对手中的每一个交易两次，鉴于匹配概率较高，这应该是一个自然的结果。相比之下，银行I和j在图2的底行交易了三次，这是出乎意料的，因为它们的小活动水平。

因此，第一银行被认为是与JBBank进行关系型贷款，而不是与其他三家银行进行关系型贷款。3.3.2基于节点的关系相关银行测试对于任何一对银行，我们都有随机匹配概率u（a，a），我们还可以测试银行对有限数量合作伙伴的依赖程度。给出了聚合度Ki的概率函数asf（Ki | a*) =X{Aij}Yj:j6=ig（mij=0）1-Aij（1- g（mij=0））Aij×δXjAij，Ki=X{Aij}Yj:j6=i（1- u（a*i、 a*j） ）τ（1）-Aij）（1- (1 - u（a*i、 a*j） ）τ）Aij×δXjAij，Ki, （6） 式中，Aijis是聚合邻接矩阵的（i，j）-元素；如果i银行和j银行在一个累计期间至少有一笔交易，则Aij=1，否则Aij=0。δ（x，y）表示Kronecker delta，如果x=y，则等于1，否则等于0。请注意，第二个等式来自关系g（mij=0）=（1- u（a*i、 a*j） ）τ（式（5））。事实上，式（6）相当于N之和的分布-1从参数为{1的伯努利分布中提取的随机变量- (1 - u（a*i、 a*j） τ}j:j6=i，或泊松二项分布。这里我们要计算f（Ki | a）的CDF*) 评估经验性语言的重要性。然而，精确计算泊松二项分布的CDF是出了名的困难，因为必须计算NKi公司条款数量（Steele，1994年）。因此，我们不再近似Kito a泊松分布的概率分布（Le Cam，1960）：f（Ki | a*) ≈λ*基伊-λ*iKi！≡ef（Ki | a*), （7） 式中λ*我≡Pj:j6=i[1- (1 - u（a*i、 a*j） ）τ]。

此泊松近似的误差界由勒卡姆定理的扩展版本提供（勒卡姆，1960；巴伯·安代格尔森，1983；斯蒂尔，1994）：∞XKi=0f（Ki | a*) -λ*基伊-λ*iKi！<2(1 - e-λ*i） λ*iXj:j6=ipij， i、 j，（8）其中pij≡ 1.- (1 - u（a*i、 a*j） ）τ。泊松近似使我们能够正式检验由随机机会解释经验聚集度Ki的无效假设。让kcide记录第c百分位（0≤ c≤ 100）ofef（Ki | a*). 换句话说，c/100=eF（Ki | a*), 其中EF（Ki | a*) 是CDF ofef（Ki | a*). 如果数据显示Ki<KCIforCClose为零，则i银行的贸易伙伴数量明显少于随机机会所显示的数量。如果是这种情况，则表明i银行严重依赖关系型贷款。此后，我们将这种类型的测试称为基于节点的测试，并设置c=1.3.4聚合长度τ的选择在将前面章节中描述的模型和统计测试应用于经验数据之前，我们必须确定参数τ，聚合周期的长度。事实上，改变τ会导致近似精度和聚合数据稳定性之间的权衡。一方面，τ的选择将通过影响λ直接影响泊松近似的精度*iand pijin公式（8）。平均误差界（公式（8））随τ增加为limτ→∞pij=1， i、 j（补充信息中的图S1a）。考虑到误差界和τ之间的这种正关系，τ应设置得尽可能小。另一方面，采用较小的τ值也会影响统计结果的稳定性，因为活跃银行的数量会随着时间的推移而急剧变化，因此聚合网络可能变得更加不稳定（见图1）。这必然会降低待检查数据的稳定性。

图S1b说明了N中绝对变化的平均值和标准偏差，表示为Nt公司≡ |Nt公司- Nt公司-1 |（t=2，…，tmax），取τ=12附近的最小值。根据这些观察结果，我们采用τ=10作为基准值。我们将表明，本文中所示的所有定性结果都是完全一致的，并且对τ的选择不敏感。4结果4.1估计结果：活动水平估计活动水平的分布，a*, 如图3所示。在整个数据期间，分布相对稳定。基于这些估计，我们可以推断在零假设下会进行多少交易，其中匹配概率由u（a）给出*i、 a*j） i、 j.一个聚合周期内的经验交易数，用M表示，表示为asM=Xi<jmij。（9） 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16年0.10.20.30.40.50.60.70.8活动图3：活动的最大似然估计。实线表示中值，上下虚线分别表示每个聚合周期内估计活动分布的第5和第95个百分位。在无效假设M下的预期交易数量*已获得asM*= τXi<ju（a*i、 a*j） 。（10） 图4a说明了经验数据和估计模型中N和M之间的关系。

M的估计值之间的几乎完美的拟合*经验数据表明，最大似然估计效果较好；估计的活动准确地捕获了交易总数方面的实际银行活动。在Kobayashi和Takaguchi（2017）中，我们使用相同的数据表明，在日尺度（即τ=1）下，银行数量和边缘之间存在明显的超线性关系。事实上，图4a显示，即使在τ=10个工作日的总水平上，也会出现类似的比例关系。另一方面，如果我们假定存在关系型贷款，那么贸易伙伴的经验数量应该小于无效假设下的估计值。要看到这一点，图4b显示了聚合度K的平均值，即聚合期内唯一贸易伙伴的数量：K=NXi，jAij。（11） 50 100 150 200 103104真实数据模型50 100 150 200 101102A B图4：模型与M和K的经验值之间的比较。每个点对应一个聚合周期。（a） 模型预测的边缘总数（公式（10））与经验数据吻合。（b） 模型预测的唯一合作伙伴数量（公式（12））高估了经验数据。在零假设下，计算平均聚合度*=NXi，j【1】- (1 - u（a*i、 a*j） ）τ]。（12） 如图4b所示，K*高估K，这意味着在现实世界中，银行往往比随机匹配更具选择性。在下一节中，我们通过统计测试与nullmodel的偏差程度来确定关系借贷的存在。4.2识别结果：显著性关系和关系依赖性银行图5a和5c分别显示了通过基于边缘的测试识别的显著性关系的数量和分数。

我们还检查了结果对SI中τ的不同选择的稳健性（图S2）。总体而言，虽然重要关系的数量随着E的下降趋势而减少（见图1），但在给定的统计重要性水平下，所有关系中重要关系的百分比相对恒定。然而，我们看到，在2002年初，意大利里拉的流通正式结束，以及2008年10月雷曼兄弟（LehmanBrothers）倒闭之后，重要关系的破裂明显加剧。图5b和5d分别显示了通过基于节点的测试确定的关系依赖型银行的数量和份额。与重要关系的情况一样，关系份额01 02 03 04 05 07 08 09 10 11 12 14 15 16010020030040050001 02 03 04 05 06 08 09 10 11 13 14 15 1600.20.40.60.801 02 04 04 05 06 07 08 08 09 10 11 12 14 15 1602040608010001 02 04 05 07 08 09 10 12 14 1600.20.40.60.8ADC年#重要关系#rel-从属银行FRAC。重大事故。相对的-依赖银行基于测试节点的测试图5：关系借贷的统计识别。（a）重要联系和（b）关系相关节点的数量。（c）重要关系和（d）关系相关节点的分数。α ≡ 1.- c/100表示重要级别。“Bonferroni”（浅红线）表示多个统计测试的Bonferroni校正。2002年初以及莱曼兄弟（LehmanBrothers）破产后，依赖性银行急剧增加。我们注意到，应谨慎对待基于节点的测试结果；依赖关系银行的比例随着τ的增加而增加，而重要关系的比例几乎不受影响（图S2）。这种依赖于τ的可能原因是第3.4节中描述的泊松近似（公式（8））的精度下降。

尽管依赖关系的银行部分的绝对值随τ而变化，但数据期内的相对收益似乎仍然相似。如图5所示，拟议的方法（第3.3节）允许我们从统计上识别参与关系借贷的银行对和依赖关系的银行。值得注意的是，如果没有适当的空模型，这是不可能的，而在以前的研究中，空模型是缺失的（参见第4.5节，以评估以前的关系借贷强度措施）。有关银行国家ID的信息使我们能够调查银行国籍与是否存在显著联系之间的相关性，以及国籍与成为依赖关系银行的可能性之间的相关性。由于意大利银行在01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 14 15 1600.20.40.60.81重要关系中的所有关系中占有绝大多数01 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 1600.20.40.60.8101 02 04 05 06 08 09 10 11 12 13 14 15 1600.20.40.60.8101 02 04 05 06 08 09 10 11 12 14 15 1600.20.40.60.81所有依赖关系的银行中Banksyearsadcb图6：（a）意大利-意大利、（b）意大利-外国和（c）外国-外国银行对的分数。实线和点线分别表示所有对之间和关系对之间对应对的分数。（d） 意大利银行在所有银行中的比例（实数）和在依赖关系的银行中的比例（虚数）。99%的显著水平。在e-MID市场，我们将所有关系分为三种国籍组合：意大利-意大利、意大利-外国和外国-外国对。如图6所示，2000年代初，意大利-意大利组合在所有组合中所占比例接近1，但在2007-2008年全球金融危机爆发之前，这一比例大幅下降。

与此同时，在危机前时期，意大利外国和外国对开始增加其存在。金融危机发生后不久，意大利-意大利组合的比例再次开始增加，逐渐恢复到危机前的水平。这似乎表明，当市场面临压力时，意大利银行倾向于与其他意大利银行进行交易。然而，意大利-意大利重要关系在所有重要关系中所占的份额与意大利-意大利关系在所有关系中所占的比例同步变化，这表明在建立重要关系时没有母国偏见。在某种程度上，与意大利外国和外国相比，意大利-意大利结对不太可能形成重要关系。所有国家的名单如下（括号中为银行数量）：奥地利（2）、比利时（6）、瑞士（6）、德国（23）、丹麦（1）、西班牙（7）、芬兰（1）、法国（10）、英国（14）、希腊（6）、爱尔兰（5）、意大利（213）、卢森堡（4），荷兰（4）、挪威（1）、波兰（1）和葡萄牙（4）。所有重要TIES 2014年6月23日至2014年7月4日2001年4月23日至2001年5月7日2007年6月12日至2007年6月25日关系相关银行已转换从…起JPEG图7：聚合网络的可视化。在上排和中排，红色和黑色圆圈分别代表国内银行和外资银行。在最下面一行中，依赖关系的银行用蓝色圆圈表示。可视化是由Python的igraph包完成的(http://igraph.org/python/)，使用Kamada-Kawailgorithm（Kamada和Kawai，1989）。对。当涉及到依赖关系银行的比例时（图6d），数据期内的趋势与意大利-意大利配对比例的趋势相似（图6a）。特别是，在整个数据期间，意大利银行在所有依赖关系的银行中所占的比例不低于80%。