违约不完全市场中的美式期权

（4.4）我们考虑与初始资本和战略相关的投资组合。其值V▄Y，▄满足度：V▄Y，▄t=▄Y-Ztg（s，V▄Y，▄s，▄Zs，▄Ks）ds+Zt▄ZsdWs+Zt▄KsdMs，0≤ t型≤ T、 现在，通过定义▄τ，我们几乎可以肯定的是，▄τ[，▄Yt<-ξt，这意味着过程A在[0，～τ[]上是常数。由于A是连续的，我们推导出t A在[0，～τ]上等于0。因此，我们得到了等式V▄Y，▄Д▄τ=▄Y▄τa.s。此外，过程（▄Yt）和（ξt）的正确连续性确保▄Y▄τ=-ξОτa.s.因此，我们得出以下结论：V￠Y，￠Дτ=-ξОτa.s.所需特性（4.4）如下。因此，我们有-Y∈ S、 因此-Y≤ v、 还有待证明v≤ -Y.让x∈ S、 根据定义，t存在（τ，Д）∈ B（x）使得V-x、 ^1t≥ -ξτa.s.通过采用Eg求值，利用Eg的单调性和财富过程V的Eg鞅性质-x、 ν，我们推导出-x=Eg0，τ（V-x、 Дτ）≥Eg0，τ(-ξτ). 从而得到不等式x≤ -infτ∈TEg0，τ(-ξτ) = -Y，表示anyx∈ S、 通过取x的上确界∈ S、 我们得到了v≤ -Y。v=-Y.通过（4.4），我们得到（￠τ，￠）∈ B（v），完成证明。请注意，如果期权价格等于v- ε、 然后，通过投资-v+ε遵循策略，那么，无论选择什么行使时间ν，买方都将获得v-v+ε，￠νν+ξν>v-v、 ν+ξν≥ 因此，如果价格严格小于V，则买方存在套利。现在假设-g（t，-y-z-k）≤ g（t，y，z，k）。根据备注4.1，我们得到v≤ u、 通过Remark 3.7，我们得出区间[v，u]可以看作是一个无套利区间，因为该性质遵循ξ的左正则性假设。它可以通过使用与备注3.3中所述类似的参数来显示。在【15】意义上的美式期权价格。

在借贷利率较高的示例中，该结果与[15]中所示的双重方法对应。5附录IX我们在这里给出了带有默认跳跃的RBSDE的一些先验估计。引理5.1（RBSDE的先验估计）。设fbe为λ-常数的λ-容许驱动器，fbe为驱动器。设ξ是一个适应的RCLL过程。对于i=1，2，设（Yi，Zi，Ki，Ai）为RBSDE的解，该解与终点时间T，驾驶员fi和障碍物ξ相关。设η，β>0，使得β≥η+2C和η≤C、 设f（s）：=f（s，Ys，Zs，Ks）- f（s、Ys、Zs、Ks）。对于每个t∈ [0，T]，我们得到了eβT（Ys- Ys）≤ ηE[中兴通讯βs'f（s）ds'Gt]a。s、 （5.1）Moreov er，k'Y kβ≤ Tηk'fkβ，如果η<C，则有k'Zkβ+k'Kkλ，β≤η1-ηCk'fkβ。该证明类似于默认情况下在同一框架中为DRSBDEs提供的证明（见[8]附录中命题6.1的证明），并留给读者。参考文献【1】Bank，P.和Kramkov D.（2015）：以市场差异价格进行交易的大型投资者模型。二： 连续时间案例，《应用概率年鉴》第52708-2742号【2】Bielecki，T.、Crepey，S.、Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.，《危险过程模型中的可违约博弈选择》，国际随机分析杂志，2009年。[3] Cr'epey，S.和Matoussi，A.，带跳跃的反射和双重反射BSDE，Annalsof App。问题。18(5), 2041-2069 (2008).[4] Dellacherie，C.和Meyer，P.-A.（1975年）。《概率与潜力》，第一章至第四章，新编。赫尔曼。MR0488194【5】Dumitrescu，R.、Quenez M.C.、Sulem A.，《跳跃和障碍问题动态风险度量的最佳停车》，《操作优化理论与应用杂志》，第167卷，第1期（2015），219–242。内政部：10.1007/s10957-014-0635-2。[6] Dumitrescu R.，M.-C.Quenez，a和a。

Sulem（2016），《带跳跃的广义Dynkin游戏和双重反射BSDE》，电子概率杂志，21（64），32p。请注意，在完美市场的特定情况下，买方的超边际价格等于卖方的超边际价格，即v=u，因为在这种情况下，g评估是线性的。[7] Dumitrescu，R.、Quenez M.C.、Sulem A.（20 16），《带违约跳跃的BSDEs》，arXiv:1612.0568 1v1[8]Dumitrescu，R.、Quenez M.C.和A.Sulem，《带违约的不完美市场中的博弈期权》，暹罗金融数学杂志，第8卷，532–559页，2017年。[9] El Karoui N.、Pardoux E.和M.C.Quenez（1997），《反向SDEs和美国期权，金融中的数值方法》，l.C.G.Rogers和D.Talay编辑【10】El Karoui N.、Peng S.和M.C.Quenez（2001），《约束下递归效用优化的动态最大原理》，第11卷，N.3，664-693《应用概率年鉴》。[11] El Karoui N.和M.C.Quenez（1996），“非线性定价理论和后向随机微分方程”，数学讲义1656，Bressanone，1996，编辑：W.J.Runggaldier，Springer集，1997。[12] Hamad\'ene，S.，混合零和随机微分博弈和美国博弈，SIAM J.Control Optim。，45(2), (2006), 496-518.[13] Hamad\'ene S.（2002）对BSDE的不连续屏障和应用进行了反思，随机和随机报告74（3-4），571-596。[14] Jeanblanc，M.、Yor M.和Chesney M.（2009）：金融市场的数学方法，Springer Finance。[15] Karatzas I.和Kou S.，用受限投资组合对冲美国未定权益，金融与随机2（3）215-2581998年。[16] Karatzas I.和Shreve S.E.《数学金融方法》。数学应用（纽约）39。斯普林格，纽约，1998年。[17] K–uhn C.和Kraft H.，大型交易员和非流动性期权：对冲vs。

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