违约不完全市场中的美式期权

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英文标题：
《American options in an imperfect market with default》
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作者：
Roxana Dumitrescu, Marie-Claire Quenez, Agn\\`es Sulem
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study pricing and (super)hedging for American options in an imperfect market model with default, where the imperfections are taken into account via the nonlinearity of the wealth dynamics. The payoff is given by an RCLL adapted process $(\\xi_t)$. We define the {\\em seller\'s superhedging price} of the American option as the minimum of the initial capitals which allow the seller to build up a superhedging portfolio. We prove that this price coincides with the value function of an optimal stopping problem with nonlinear expectations induced by BSDEs with default jump, which corresponds to the solution of a reflected BSDE with lower barrier. Moreover, we show the existence of a superhedging portfolio strategy. We then consider the {\\em buyer\'s superhedging price}, which is defined as the supremum of the initial wealths which allow the buyer to select an exercise time $\\tau$ and a portfolio strategy $\\varphi$ so that he/she is superhedged. Under the additional assumption of left upper semicontinuity along stopping times of $(\\xi_t)$, we show the existence of a superhedge $(\\tau, \\varphi)$ for the buyer, as well as a characterization of the buyer\'s superhedging price via the solution of a nonlinear reflected BSDE with upper barrier.
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中文摘要：
我们研究了在有违约的不完美市场模型中美式期权的定价和（超级）套期保值，其中通过财富动态的非线性考虑了不完美性。回报由RCLL调整流程$（\\ xi\\U t）$给出。我们将美式期权的{\\em卖方超边际价格}定义为允许卖方建立超边际投资组合的初始资本的最小值。我们证明了该价格与具有违约跳变的BSDE引起的具有非线性期望的最优停止问题的值函数一致，对应于具有较低屏障的反射BSDE的解。此外，我们还证明了超边缘投资组合策略的存在性。然后，我们考虑{\\em买方的超边际价格}，它被定义为初始财富的上限，允许买方选择行使时间$\\tau$和投资组合策略$\\varphi$，以便他/她获得超边际。在左上半连续的附加假设下，我们证明了买方存在超边$（\\tau，\\varphi）$，并通过求解具有上势垒的非线性反射BSDE，刻画了买方的超边价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
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关键词：不完全市场 美式期权 Quantitative Optimization Expectations

违约Roxana Dumitr escu的不完美市场中的美式期权*Marie Claire Quenez+Agn\'es Sul em2022年5月24日摘要我们研究了在有违约的不完美市场模型中美式期权的定价和（超级）对冲，其中通过财富动态的非线性将不完美因素考虑在内。支付由RCLL适应过程（ξt）给出。我们将美式期权的卖方超边际价格确定为允许卖方建立超边际投资组合的初始资本的最小值。我们证明，该价格与具有违约jum p的BSDE引起的具有非线性期望的最优停止问题的值函数一致，这对应于具有较低屏障的反射BSDE的解。此外，我们还证明了超边缘投资组合策略的存在性。然后，我们考虑买方的超边际价格，该价格被定义为初始财富的最高值，允许买方选择行使时间τ和投资组合策略Д，以便对其进行超对冲。在沿停止时间（ξt）左上半连续的附加假设下，我们展示了买方超边缘（τ，Д）的存在，以及通过解决具有上势垒的非线性反射BSDE来描述买方超边缘价格的特征。关键词：美式期权、不完全市场、非线性预期、超边际、违约、反向反射随机微分方程1简介我们考虑一个美式期权，该期权与终端时间T和一个循环适应过程（ξT）给出的收益相关。经典完美市场的案例在文献中已有大量研究（参见[16，18]）。

回想一下，卖方的超边际价格（文献中称为alsofair价格），用u表示，经典定义为最低初始资本*英国WC2R 2LS伦敦国王学院数学系，邮箱：roxana。dumitrescu@kcl.ac.uk+LPMA，巴黎大学7 Denis Diderot，Boite courrier 7012，75251 Paris cedex 05，France，电子邮件：quenez@math.univ-巴黎狄德罗。frINRIA Paris，3 rue Simone I ffe，CS 42112，75589 Paris Cedex 12，France，电子邮件：agnes。sulem@inria.frwhich使卖方能够投资于一个投资组合，该投资组合涵盖其向买方支付的债务，无论买方选择什么行使时间。此外，该价格等于以下最优停止时间问题SUPτ的值函数∈TEQ（∧ξτ），（1.1），其中T是一组在[0，T]中取值的停止时间。式中，ξt表示ξt的贴现值，等于e-rtξtin Black and Scholes模型，其中r是瞬时利率。此外，EQdenotes在市场模型的唯一martinga-le概率测度下的期望。在[9]中，卖方的超边际价格通过具有较低障碍的反射BSDE来表征。本文的目的是研究美式期权的定价和套期保值问题，在通过非线性驱动因素g建模的财富动态非线性考虑的市场模型不完善的情况下。此外，我们还包括违约的可能性。

在我们的框架中，一大类不完善的市场模型是不适用的，例如不同的借贷利率，以及期权的卖方是一个“大贸易商”，其对冲策略可能会影响市场价格甚至违约概率。我们提供了卖方超边际价格的一个特征，即具有非线性期望的相应最优停止问题的值，更精确地说，yu=supτ∈TEg（ξτ），（1.2），其中，egi是由非线性BSDE引起的非线性预测/g-评估，其中，违约跳跃在原始概率测度P下由iver g求解。注意，在完美市场的特殊情况下，驱动因素g是线性的，（1.2）减少到（1.1）。我们还表明，卖方的超边际价格可以通过具有驱动因素g和较低障碍（ξt）的反射BSDE的解来表征，以及卖方的超边际投资组合策略的存在。然后，我们考虑买方的超边际价格，用v表示，它被定义为初始财富的上限，允许买方选择行使时间τ和投资组合策略，以便他/她是超边际的。在沿停止时间o f（ξt）左上半连续的附加假设下，我们证明了买方超边（τ，Д）的存在，以及通过上势垒的非线性反射BSDE的解来表征买方的超边价格(-ξt），即isv=- infν∈TEg0，ν(-ξν).请注意，在完美市场的经典情况下，买方的超边际价格等于卖方的超边际价格，即v=u，因为在这种情况下，g-评估是线性的。什么时候-g（t，-y-z-k）≤ g（t，y，z，k），然后v≤ u、 然后，区间[v，u]可以看作是[15]意义上的美式期权价格的无套利区间。

在借贷利率较高的例子中，这个结果与[15]中通过双重方法显示的结果相对应。本文的结构如下：在第2节中，我们介绍了具有违约和非线性财富动态的不完美市场模型。在第三节中，我们从卖方的角度研究美式期权的定价和（超级）套期保值。在第4节中，我们从买方的角度讨论了定价和（超级）套期保值问题。2不完善的违约市场模型2.1违约市场模型(Ohm, G、 P）是一个具有两个随机过程的完全概率空间：二维标准布朗运动W和由Nt=1θ定义的跳跃过程N≤t对于任何t∈ [0，T]，其中θ是一个随机变量，用于模拟默认时间。我们假设该默认值可以在P（θ）的任何时间出现≥ t） >0表示任何t≥ 我们用byG={Gt，t表示≥ 0}由W和N生成的强化过滤（在[4，IV-48]的意义上）。我们假设W是G-布朗运动。我们用P表示G-可预测σ-代数。设（∧t）为非减量过程（Nt）的可预测补偿器。注意（∧t∧则是（Nt）的可预测补偿器∧θ）=（Nt）。通过可预测补偿器的唯一性∧t∧θ=∧t，t≥ 0 a。s、 我们假设∧是绝对连续的。r、 因此存在一个非负过程λ，称为强度过程，使得∧t=Rtλsds，t≥ 0.自∧t起∧θ=∧t，λ在θ之后消失。补偿鞅由mt给出：=Nt-Ztλsds。设T>0为终点时间。

我们定义了以下集合：oSis适应G的RCLL过程集合，使得E[sup0≤t型≤T |ДT |]<+∞.o Ais A=0且E（AT）<∞.o His的G-可预测过程集Z使得kZk：=EhRT | Zt | dti<∞.o Hλ：=L(Ohm×[0，T]，P，λtdt），配备标量积hU，V iλ：=EhRTUtVtλtdti，对于Hλ中的所有U，V。对于每个U∈ Hλ，我们设置kUkλ：=EhRT | Ut |λtdti<∞.由于λ在θ之后消失，我们可以假设对于H中的每个Uλ=L(Ohm ×[0，T]，P，λtdt），U（或其在L中的代表(Ohm ×[0，T]，P，λtdt）仍由U）表示，在θ之后消失。此外，T表示停止时间τ的集合，使得τ∈ [0，T]a.s.对于每个s inT，Ts是一组停止时间τ，使得s≤ τ ≤ T a.s.回想一下，在这个设置中，我们有一个关于toW和M的鞅表示定理（参见[7]中的引理1）。我们考虑一个金融市场，该市场由一项无风险资产和两项有价格过程的风险资产组成，其中价格过程满足dSt=Strtdt，价格过程满足S，根据以下等式进行求解：（dSt=St[utdt+σtdWt]dSt=St-[utdt+σtdWt- dMt]。进程S=（St）0≤t型≤t与利率过程r=（rt）0的非风险资产的价格相关≤t型≤T、 S=（St）0≤t型≤Tto为不可违约风险资产，S=（St）0≤t型≤t具有总默认值的可默认资产。价格过程在θ之后发生变化。所有过程σ、σ、r、u、u都是可预测的（即P-可测量的）。我们假设系数σ，σ>0，r，σ，σ，u，u，λ，λ-1,(σ)-1, (σ)-1有界。我们考虑一个n投资者，其初始财富等于x，可以将其财富投资于市场的三种资产。每次t<θ时，他选择投资于第一（或第二）风险资产的财富金额。

然而，在timeθ之后，他不能将其财富投资于可违约资产，因为其价格等于0，他只选择投资于第一项风险资产的财富金额。请注意，可以通过为每个T设置ДT=0，在整个间隔[0，T]上定义过程Д≥ θ. A过程Д=（Дt，Дt）’0≤t型≤如果它属于H×Hλ，则称为风险资产策略。时间t时关联portfo lio（也称为财富）的价值由Vx、νt（或简称Vt）表示。完美的市场模式。在完美市场模型的经典案例中，财富过程和战略满足自我融资条件：dVt=（rtVt+Дt（ut- rt）+ut（ut）- rt））dt+（Дtσt+Дtσt）dWt- ^1tdMt。（2.1）设置Kt：=-|t，和Zt：=|tσt+|tσt，我们得到dvt=（rtVt+Ztθt+Ktθtλt）dt+ZtdWt+KtdMt，其中θt：=ut- rtσtandθt：=σtθt- ut+rtλt{t≤θ}.考虑一个欧洲未定权益，其到期日T>0，支付金额ξ可测量，属于L。问题是通过构建复制投资组合来定价和对冲该权益。根据[7，命题2.6]，存在一个独特的过程（X，Z，K）∈ 以下带默认跳转的BSDE的S×H×Hλ解：- dXt=-（rtXt+Ztθt+Ktθtλt）dt- ZtdWt公司- KtdMt；XT=ξ。（2.2）解决方案（X、Z、K）提供了复制投资组合。更准确地说，过程X与其价值和对冲风险资产策略相对应∈ Hλ由Д=Φ（Z，K）给出，其中Φ是由定义2.1在H×Hλ上定义的一对一映射。LetΦ：H×Hλ→ H×Hλ是为每个（Z，K）定义的一对一映射∈ H×Hλ×Φ（Z，K）：=Д，其中Д=（Д，Д）由Дt=-Kt；Дt=Zt+σtKtσt，等于Kt=-^1t；Zt=Дtσt+Дtσt=Дt′σt。注意，属于Hλ的过程Д和K都在时间θ后消失。过程X与VX，ν，与初始财富X=X和投资组合策略有关的投资组合价值相一致。

从卖方的角度来看，该港口对账单是一个令人振奋的投资组合。事实上，通过将初始金额Xin投资于参考资产，卖方可以在时间T（以及在每个初始时间T）向买方支付金额ξ。我们推导出Xt是期权在时间t的价格，称为套期保值价格，用Xt（ξ）表示。根据具有缺省跳跃的λ-线性BSDE的解的表示性质（见[7，定理2.13]），我们可以将BSDE（2.2）的解X写为：Xt（ξ）=E[E-RTtrsdsζt，tξ| Gt]，（2.3），其中ζt，·满足度dζt，s=ζt，s-[-θsdWs- θsdMs]，其中ζt，t=1。这定义了一个线性价格系统X:ξ7→ X（ξ）。假设θt<1，0≤ t型≤ θdt 数据处理- a、 s.（2.4），然后ζt，·>0。设Q为允许ζ0，Tas密度在GT上的概率测度。利用Girsanov定理，可以证明Q是唯一鞅概率测度。在这种情况下，价格系统X是递增的，对应于经典的无套利价格系统（见[2，14]）。不完善的市场模型Mg。从现在起，我们假设市场存在缺陷，这些缺陷是通过财富动态的非线性来考虑的。更准确地说，与策略Д=（Д，Д）相关的财富V动态可以通过非线性驱动因素来书写，定义如下：定义2.2（驱动因素，λ-容许驱动因素）。函数g被称为驱动程序ifg:[0，T]×Ohm ×R→ R（ω，t，y，z，k）7→ g（ω，t，y，z，k）是P B（R）- 可测量，例如g（，0，0，0）∈ H、 如果存在常数C，则称驱动程序g为λ-容许驱动程序≥ 0，以便dP dt-a.s.，对于每个（y，z，k），（y，z，k），| g（ω，t，y，z，k）- g（ω，t，y，z，k）|≤ C（| y- y |+| z- z |+√λt | k- k |）。

（2.5）正实C被称为与驱动器g相关的λ-常数。注意，条件（2.5）意味着对于每个t>θ，因为λt=0，g不依赖于k。换句话说，对于每个（y，z，k），我们有：g（t，y，z，k）=g（t，y，z，0），t>θdPdt-a。s、 让x∈ R是初始财富，将H×Hλ中的Д=（Д，Д）设为投资组合策略。我们假设相关的财富过程Vx，νt（或简单地说Vt）满足以下动力学：- dVt=g（t，Vt，Дt′σt，-^1t）dt- |t′σtdWt+|tdMt，（2.6），V=x。由于g相对于y是Lipschitz连续的，因此该公式有意义。事实上，设置ft：=RtДt′σtdWs+ДtdMs，对于每个ω，确定性函数（VY，Дt（ω））定义为以下确定性微分方程的唯一解：Vx，Дt（ω）=x-Ztg（ω，s，Vx，Дs（ω），Дs′σs（ω），-νs（ω））ds+ft（ω），0≤ t型≤ T、 （2.7）注意，设置Zt=ДT′σtand Kt=-^1t，财富过程VT的动态（2.6）可以写成如下：- dVt=g（t，Vt，Zt，Kt）dt-ZtdWt公司- KtdMt。（2.8）在下文中，我们的不完美市场模型用Mg表示。注意，在完美市场的情况下（见（2.2）），我们有：g（t，y，z，k）=-rty公司- θtz- θtkλt，（2.9），这是一个λ-容许的驱动因素，因为通过对模型系数的假设，过程θ和θ是有界的。2.2非线性定价系统EgPricing and Hedgeting European Option in the Defective ma r ket Mg导致BSDE具有非线性驱动因素g和违约跳跃。根据[7，命题2.6]，我们得到了命题2。设g为λ-容许的d ri v er，设ξ∈ L（GT）。在下面的S×H×Hλ中存在唯一解（X（T，ξ），Z（T，ξ），K（T，ξ））（简单地用（X，Z，K）表示）：- dXt=g（t，Xt，Zt，Kt）dt- ZtdWt公司- KtdMt；XT=ξ。（2.10）让我们考虑一种到期日为T且最终支付为ξ的欧式期权∈ L（GT）在该市场模型中。设（X，Z，K）为BSDE（2.1 0）的解。

过程X等于与初始值X=X，策略Д=Φ（Z，K）（其中Φ在定义2.1中定义）相关的财富过程，即X=VX，Д。因此，其初始值X=X（T，ξ）是卖方索赔ξ的合理价格（时间0），因为该金额允许他/她构建交易策略∈ H×Hλ，称为对冲策略（针对卖方），使得相关投资组合的价值在时间T时等于ξ。此外，根据BSDE（2.10）解的唯一性，唯一价格（时间0）满足了这种混合特性。类似地，Xt=Xt（T，ξ）在时间T满足一个类似的属性，并被称为时间T的套期保值价格。这导致了一个非线性定价系统，首先在【11】中引入（在【19】中也称为g-评估），并用Eg表示∈ [0，T]，对于每个ξ∈ L（GS）关联的g-评估由Egt定义，S（ξ）：=Xt（S，ξ）表示每个t∈ [0，S]。为了确保非线性定价系统Eg的（严格）单调性和无套利性，我们做出以下假设（见[7，第3.3节]）。假设2.4。假设存在一个有界映射γ：[0，T]×Ohm ×R→ R（ω，t，y，z，k，k）7→ γy，z，k，kt（ω）P B（R）-可测量且满足dP dt-a.s.，每个（y、z、k、k）∈ R、 g（t，y，z，k）-g（t，y，z，k）≥ γy，z，k，kt（k- k） λt，（2.11）和P-a.s.，对于每个（y，z，k，k）∈ R、 γy，z，k，kt>-1、这一假设是满足的，例如，当g与千克（吨，·）>-λton{t≤ θ}. 在完美市场的特殊情况下，g由（2.9）给出，这意味着千克（吨，·）=-θtλt。假设2.4等于θt<1（对应于通常的假设（2.4））。备注2.5。假设g（t，0，0，0）=0 dPdt-a.s.然后对于所有s∈ [0，T]，例如·，S（0）=0a。s