违约不完全市场中的美式期权

此外，根据带de故障跳跃的BSDE的比较定理（见[7，定理2.17]），非线性定价系统EGI是非负的，即对于所有∈ [0，T]，对于所有ξ∈ L（GS），i fξ≥ 0 a.s.，然后Eg·，s（ξ）≥ 0美国定义2.6。Le t Y公司∈ S、 如果Eσ，τ（Yτ），则过程（Yt）被称为强E-超鞅（分别为鞅）≤ Yσ（分别=Yσ）a。s、 关于σ≤ τ、 对于所有σ，τ∈ T、 注：根据BSDE的流动特性，对于每个S∈ [0，T]和每个ξ∈ L（GS），g-求值Eg·，S（ξ）是Eg鞅。此外，由于Vx，Дt=Egt，t（Vx，Дt），我们有：命题2.7。对于每个x∈ R和每个投资组合策略∈ H×Hλ，关联财富过程Vx，ν是Eg鞅。示例2.8（大型投资者卖方）。假设期权的卖方是一个大型贸易商，其对冲策略及其相关的co s t V可能会影响市场价格（参见[3，1]）。考虑到marke t模型中可能存在的feedbac影响，largetrader卖方可以假设系数的形式为σt（ω）=σ（ω，t，Vt，νt），其中σ：Ohm ×【0，T】×R7→ R（ω，t，x，z，k）7→ \'σ（ω，t，x，z，k）是P B（R）/B（R）-可测量图，类似地，其他系数R，u，u。

因此，驱动器的形式为：g（t，Vt，Д′t′σt（t，Vt，Дt），-^1t）=-(R)r（t，Vt，Дt）Vt- ^1t（(R)ut- (R)rt）（t、Vt、Дt）-^1t（(R)ut- (R)rt）（t、Vt、Дt）。这里，映射ψ：（ω，t，y，Д）7→ （z，k），z=Д′’σt（ω，t，y，Д），k=-ν被认为是相对于Д的一对一，并且其逆ψ-1х为PB（R）/B（R）-可测量。我们还可以考虑卖方策略通过违约强度影响违约概率的情况，考虑以下公式的驱动因素（t，Vt，Д′t′σt（t，Vt，Дt），-^1t）- γ（t，Vt，νt）λtДt，其中γ：Ohm ×【0，T】×R7→ Ris P公司B（R）/B（R）-可测量。对于其他例子（税收和不同借贷利率的情况），读者可参考[8]或[10]。请注意，当市场完美时，价格S，Sand是鞅。大型投资者和不同借贷利率的例子也是如此。在税收的情况下，该属性不一定满足。3从卖方的角度来看，美式期权定价让我们考虑与地平线T>0相关的美式期权，以及RCLL调整过程（ξT，0≤ t型≤ T）。在时间0时，它包括选择停止时间ν∈ 以及卖方向买方支付的付款ξν。卖方在时间0时美式期权的超高价格，用u表示，被经典地定义为使卖方能够投资于一个投资组合的最低初始资本，该投资组合涵盖了无论买方选择的行使时间如何，其向买方支付的债务，最高可达T。更准确地说，对于每个初始财富x，我们用A（x）表示所有投资组合策略的集合∈ Hsuch该Vx，Дt≥ ξt，0≤ t型≤ 因此，美式期权的卖方超高价格由u=inf{x确定∈ Rφ ∈ A（x）}。备注3.1。假设g（t，0，0，0）=0。

根据备注2.5，我们得出如果ξ·≥ 0，在UCA定义的上限内，仅可接管非负初始财富，即u:=inf{x≥ 0, φ ∈ A（x）}。我们确定美式期权组合的g值ν∈TEg0，ν（ξν）。（3.1）命题3.2（g值的表征）。在S×H×Hλ×a中，存在与驱动器g和障碍物ξ相关的反射BSDE的唯一过程（Y，Z，K，a）解，即- dYt=g（t，Yt，Zt，Kt）dt+dAt- ZtdWt公司- KtdMt；YT=ξT，带（3.2）Y≥ ξ，ZT（Yt- ξt）dAct=0 a.s.和Adt=Adt{Yt-=ξt-}, （3.3）有关详细信息，请参见【7】中的la rge investor seller示例，特别是方程式（3.12）。这与众所周知的性质相对应，即参考资产的贴现价格是鞅概率测度Q下的鞅。其中Ac表示A的连续部分，Adits不连续部分。Moreov er，我们有=supν∈TE0，ν（ξν）。（3.4）注意，等式（3.4）在具有连续障碍的布朗代数中如[11]所示，并在[20]中推广到具有跳跃的RCLL情形。证据让我们首先说明RBSDE存在唯一的解决方案（3.2）。通常，我们首先考虑驱动因素g（t）不依赖于解决方案的情况。通过使用G-鞅的表示性质（例如，见[7]中的引理1）和最优停止理论的一些结果，可以证明，如[9]（另见[13]和[20]），相关RBSDE（3.3）存在唯一解。一般情况下的证明与具有默认跳转的无反射BSDE的证明相同（参见[7]中命题2.6的证明）。它基于固定点参数和附录中给出的违约RBSDE的先验估计（见引理5.1）。现在让我们展示等式（3.4）。

按照在随机泊松测度框架下给出的[20，定理3.3]的证明，我们可以证明∈ T，YS=ess supτ∈TSEgS，τ[ξτ]a.s.（3.5）等式（3.4），然后取s=0。引理3.3。如果ξ沿停车时间为左u.s.c.，则A是连续的。证据设τ为可预测的停止时间。到（3.2），我们有Aτ=(Yτ）-. 使用Korokhod条件（3.3），我们得到Aτ=1{Yτ-=ξτ-}（Yτ）- Yτ-)-= 1{Yτ-=ξτ-}（Yτ）- ξτ-)-a、 现在，根据假设，ξτ-≤ ξτa.s.，我们有Yτ-ξτ-≥ Yτ-ξτ≥ 0年，我们嘲笑Aτ=0 A.s。因此，A是连续的。我们现在提供了卖方超边际价格的两个特征，将文献中在完美市场（见[9]）的情况下提供的特征推广到了animperfect市场的情况。提案3.4（卖方美式期权的超高价格）。卖方美式期权的超边际价格Uo等于其g值，即isu=supν∈TEg0，ν（ξν）。（3.6）Moreov er，u=Y，其中（Y，Z，K，A）是非线性反射BSDE（3.2）和投资组合策略的解*:= Φ（Z，K）（其中Φ在定义2.1中定义）是销售商的一种超边缘策略。注意，在完美市场的情况下，等式（4.2）简化为美式期权价格作为经典最优停止问题的价值函数的众所周知的表征，等式u=Y对应于该价格的众所周知的表征，作为与线性驱动因素（2.9）相关联的线性反射BSDE的解（见[9]）。证据证明基于g值作为反射BSDE（3.2）解的特征（见命题3.2）。有足够的证据表明u=Yan和ν*∈ A（u）。设H为允许卖方“超级对冲”的初始资本集，即isH={x∈ R:φ ∈ A（x）}。

请注意，u=inf H。让我们首先显示*∈ A（Y）。（3.7）乘以（2.6）-（2.8），对于每个ω，该投资组合的价值轨迹t 7→ VY，^1*t（ω）满足以下正向微分方程：VY，ν*t（ω）=Y-Ztg（s，ω，VY，ν*s（ω），Zs（ω），Ks（ω））ds+ft（ω），0≤ t型≤ T、 （3.8）式中，ft：=RtZsdWs+RtKsdMs。此外，由于Y是反射BSDE（3.2）的解，对于几乎每个ω，函数t 7→ Yt（ω）满意度：Yt（ω）=Y-Ztg（s，ω，Ys（ω），Zs（ω），Ks（ω））ds+ft（ω），0≤ t型≤ T、 （3.9）式中，ft：=ft- 在让我们应用前向微分方程的固定ωa比较结果（见附录中的[8]）。因此我们得到VY，ν*t型≥ Yt，0≤ t型≤ 自Y以来的T a.s。≥ ξ., 我们有VY，ν*t型≥ ξt，0≤ t型≤ 助教。s、 ，表示所需的属性（3.7）。接下来是Y≥ u、 让我们展示一下逆不等式。让x∈ H、 存在^1∈ A（x）使Vx，Дt≥ ξt，0≤ t型≤ 每个ν的T a.s∈ 因此我们有Vx，νν≥ ξνa.s.通过在这个不等式中取e值，利用e的单调性和财富过程Vx，ν的Eg鞅性质，我们得到x=Eg0，ν[Vx，ν]≥ Eg0，ν[ξν]。通过ν的任意性∈ T，我们得到x≥ supν∈TEg0，ν[ξν]，适用于任何x∈ H、 通过在x上取最小值∈ H、 我们获得u≥ Y、 我们推导出u=Y。通过（3.7），我们得到*∈ A（u），结束证明。备注3.5。一般来说，除了g不依赖于y时，通过（3.9），我们有y·=y-Z·g（s，Ys，Zs，Ks）ds+Z·ZsdWs+Z.KSDM- A·6≡ VY，^1*·- A·。备注3.6。我们可以确定每一次/停车时间的美国选项a的卖方超高价格∈ T更准确地说，对于每个初始财富X∈ L（FS），美国的超级边缘股份n期权是一种投资组合策略∈ H×Hλ使得VS，X，νt≥ ξt，S≤ t型≤ T a.s.，其中VS，X，Д表示与初始时间和初始条件X相关的财富过程。

卖方在s时的超边际价格由u（s）确定：=ess inf{X∈ L（FS），φ ∈ AS（X）}，其中AS（X）是与初始时间S和初始财富X相关的所有超级对冲的集合。使用等式（3.5）和类似于定理4.3的证明中所用的参数，我们得到：u（S）=ess supν∈TSEgS，ν（ξν）=YSa。s、 其中（Y，Z，K，A）是RBSDE（3.2）的解。备注3.7。卖方的超高价格显然是美式期权可能价格的上限。事实上，任何理性的代理人都不会比企业付出更多，因为无论执行时间如何，都有一种更便宜的方法来实现至少相同的回报。实际上，通过投资金额u+ε并遵循策略Д*, 无论运动时间ν是多少，都会使增益Vu+ε，ν*ν> Vu，^1*ν(≥ ξν）a.s.通过确定性微分方程的严格比较性质（见附录中的[8]）。此外，如果期权价格等于u+ε，则按照策略进行投资*, 无论行使时间ν是多少，卖方都将获得Vu+ε，ν*ν-ξν>0 a.s.因此，如果价格严格大于u，则卖方存在套利。备注3.8。在[15]中，使用adual方法证明，在借款利率较高的情况下，卖方的Americanoption超额价格等于其g值。这个应用程序roach依赖于驱动程序的凸性属性，并且不能适应我们的情况，除非g相对于（y，z，k）是凸的。假设现在买方以卖出价格u=Y购买了美式期权。我们解决了她/他的行使时间的选择问题。我们介绍以下定义。定义3.9。

A停车时间ν∈ 如果对问题（4.2）是最优的，即满足supτ，则T被称为美国期权买方的合理行使时间∈TEg0，τ（ξτ）=Eg0，ν（ξν）。根据[20]中提供的最优性准则（见第3.5条），我们得到了：第3.10条。（合理运动时间的表征）Letν∈ Tn，ν是买方的合理行使时间，当且仅当Yν=ξνa.s.和aν=0 a.s.，其中（Y，Z，K，a）是反映的BSDE（3.2）的解。现在假设美式期权的价格不仅在时间0上等于卖出价格，而且在每个时间S上都等于卖出价格∈ T，也就是说，时间S的价格等于u（S）=YS（见R emark 3.6）。从财务角度来看，这是有意义的，尤其是当卖方是一个大型投资者时（见示例2.8）。假设买方在时间0购买了Americanoption（价格u=Y）。让我们证明，他/她在停车时间ν行使其选择权是不可取的，因为停车时间ν不是合理的行使时间。首先，在某个时间行使期权并不符合他的利益，因为这样一来，他就会失去一项价值为Yt的金融资产（期权），而他会通过行使期权获得较低金额的ξt。其次，在停止时间ν大于ν（定义为ν：=inf{s）时行权不符合期权持有人的利益≥ 0，As6=0}。让我们展示一下，Y′ν=VY，ν*νa.s.注意，通过定义ν，aν=0 a.s.因此，对于a.e.ω，轨迹t 7→ Yt（ω）和t 7→ VY，^1*t（ω）是同一微分方程（具有初始值）的[0，(R)ν（ω）]上的解，这意味着通过解的唯一性，它们是相等的。因此，Y′ν=VY，ν*νa.s.在不丧失一般性的情况下，我们可以假设对于每个ω，我们有Yν（ω）=VY，ν*ν(ω).Letν≥ ν. 设B：={ν>\'ν}。假设P（B）>0。因此，B上的Aν>0 A.s。

然后，通过在时间“ν”出售期权，期权持有人收到了Y“ν”的金额，他可以沿着策略在市场上投资*. 因为Y？ν=VY，ν*由前向微分方程（2.6）的流动特性得出*x=Y时，相关投资组合的价值等于时间ν到VY？ν，ν*ν=VVY，ν*ν,φ*ν=VY，ν*ν. 由于Aν>0 o n B，通过对应用于（3.8）和（3.9）的正向微分方程的严格比较结果（见附录中的[8]），我们得到VY，ν*ν> B上的Yνa.s，意味着VY？ν，ν*ν=VY，ν*ν> ξνa.s.在B.上，我们得到VY，ν*ν≥ ξνa.s.带P（VY|ν，ν*ν> ξν) > 0. 因此，在时间？ν时，买方更感兴趣的是立即出售其期权，而不是保留期权并在之后行使。提案3。11.（合理行使时间的存在）假设payoffξ为leftu。s、 c.沿停车时间。Letν*:= inf{s≥ 0，Ys=ξs}a和ν：=inf{s≥ 0，As6=0}。停车时间ν*（resp.\'ν）是最小（resp.maximum）合理行使时间。证据（Yt）和（ξt）的右连续性确保了that Yν*= ξν*a、 s.定义ν*,我们有Yt>ξta。s、 开[0，ν*[.因此过程A在[0，ν]上是常数*[甚至在[S，ν*]因为A是连续的（见引理3.3）。按位置3。10, ν*这是一个有规律的锻炼时间，也是最短的锻炼时间。根据‘ν’的定义和A的连续性，我们得到了A‘ν=0 A.s。此外，我们还得到了A.s.对于所有t＞ν，在＞A‘ν=0时。由于A仅在集合{Y·=ξ·}上增加，因此Y'ν=ξ'ν。根据命题3.10，“ν”是一个合理的运动时间，也是最大的运动时间。当ξ仅为RCLL时，买方不一定存在合理的行使时间。然而，我们有以下结果。提案3.12。（ε-有理练习时间的存在性）假设ξ为RCLL。对于每个ε>0，停止时间νε：=inf{t≥ 0:Yt≤ ξt+ε}满足τ∈TEg0，τ（ξτ）≤ Eg0，νε（ξνε）+Kεa.s。

，（3.10）其中K是一个常数，它只取决于T和g的Lipschitz常数C。换句话说，νε：=inf{T≥ 0:Yt≤ ξt+ε}是Kε-合理运动时间。对于证明，读者可以参考文献[20]中的定理3.2。4买方的观点让我们考虑一个到期日为T且付息为ξ的欧式期权的定价和套期保值问题∈ L（GT）从买方的角度来看。假设期权的初始价格是z，他从金额开始-z在时间t=0时，希望找到一种风险资产策略，以便他在时间t时收到的付款允许他通过购买期权来收回他在时间t=0时产生的债务，也就是说，V-z、 ИT+ξ=0 a.s.o r等效值，V-z、 ИT=-ξa.s.因此，买方的期权超边际价格等于卖方的期权超套期保值价格与支付相反-ξ、 那就是-Eg0，T(-ξ) = -~X，其中（~X，~Z，~K）是与驱动器g和终端条件相关的BSDE的解决方案-ξ. 让我们为买方指定套期保值策略。假设期权的初始价格为z：=-X。过程 X等于与初始价值相关的投资组合的价值-z=~X和策略▄：=Φ（▄z，▄K）（其中Φ在定义2.1中定义），即▄X=V▄X，▄Д=V-z、 И。因此，V-z、 ИИT=％XT=-ξa.s.，其产生的结果是是买方的对冲风险资产策略。同样地，-Egt，T(-ξ) = -在时间t处提取一个类似的财产，并在时间t处被称为买方的套期保值价格。这导致了为每个（S，ξ）定义的与市场中的买方相背离的非线性近似定价系统∈ [0，T]×L（GS）乘以Eg·，S（ξ）：=-例如·，S(-ξ). （4.1）备注4.1。请注意，S（ξ）等于带驱动器的BSDE的解-g（t，-y-z-k） 和终端条件ξ。

因此，如果我们假设-g（t，-y-z-k）≤ g（t，y，z，k）（例如，如果g相对于（y，z，k）是凸的，则满足该条件），然后，通过比较BSDE的REM，我们得到了eEg·，S（ξ）=-例如·，S(-ξ) ≤ Eg·，S（ξ）（S，ξ）∈ [0，T]×L（GS）。Moreov-er，当-g（t，-y-z-k） =g（t，y，z，k）（例如，在完美市场情况下，g与（y，z，k）是线性的，这是令人满意的），我们有Eg=Eg。我们现在介绍了美国期权定义4.2中买方超边际价格的定义。买方支付ξ的美式期权的超边际价格定义为asv=sup{x∈ R(τ, φ) ∈ B（x）}，其中B（x）：={（τ，Д）∈ T×H×Hν使得V-x、 Дτ+ξτ≥ 上午0点}。现在，让我们提供该价格的特征，这需要对支付进行额外的规则性假设。提案4.3。假设（ξt）沿停止时间为l e ft上半连续。美国购买满意度的买方超高价格：v=- infν∈TEg0，ν(-ξν). （4.2）我们有（0，0）∈ B（ξ）。因此，~u≥ ξ. 此外，如果g（t，0，0，0）=0和ξ≥ 0，则▄u=sup{x≥0, (τ, φ) ∈ B（x）}。Moreov-er，v=-Y，其中（▄Y，▄Z，▄K，▄A）是与驾驶员g和上部障碍物相关的反射BSDE的解决方案-ξ、 也就是说，- d▄Yt=g（t，▄Yt，▄Zt，▄Kt）dt- dAt-ZtdWt-KtdMt；YT=-ξT，带（4.3）~Y≤ -ξ，ZT（▄Yt+ξt）d▄在=0 a.s，其中非递减过程A是连续的。。设∧τ：=inf{t≥ 0：▄Yt=-ξt}和￠Д：=Φ（￠Z，K）（其中Φ在定义2.1中定义）。我们有（|τ，|Д）∈ B（v）。证据让我们首先注意infνEg0，ν(-ξν）表示为反射BSDE（3.2）的解（根据命题3.2）。因此，我们必须证明v=-Y.Set S：={x∈ R:(τ, φ) ∈ B（x）}。让我们首先展示一下-Y≤ v、 由于v=sup S，因此有必要表明-Y∈ S、 为了这个目的，我们证明了（￠τ，￠）∈ B类(-Y）。