金融市场波动的稳定效应

b） 阈值之间固定差异的MFHT与波动率（实际数据），Θf- Θi=+1.4'σr，其中[Θi，Θf]从[-0.9’’σr，+0.5’’σr]至[+1.6’’σr，+3.0’’σr]；c） 固定起始阈值Θi的MFHT与波动率（实际数据）的关系=+0.1〃σ和不同的最终阈值Θf，范围从+0.5〃σrto+3.0〃σr。回报稳定性不仅是价格回报的负变化，也是正变化。结果如图2所示。再次，我们通过考虑不同的阈值（图2b）和固定的起始阈值（图2c），交叉验证图2a的结果。MFHT与波动率曲线的合并可归因于回报分布的不对称性，其特征为负偏度（图4a）。这一发现类似于已知的亚稳态所有物理系统的情况。事实上，MFHT作为挥发性函数的行为显示了在各种物理、生物、化学和生态系统中观察到的噪声增强稳定性（NES）的典型特征【36】-【45】：亚稳态的稳定性可以通过噪声增强，其平均寿命是这种稳定性的一个衡量指标。这种噪声增强的亚稳态是所研究的复杂系统的热传导和非线性之间相互作用的结果。通过增加温度可以观察到这种影响，类似地，随着波动性的增加，价格回报会趋于稳定。FHT行为中存在影响的经验证据（图。

1和2）表明，价格回报动态可以通过将回报值视为受噪声影响并以亚稳状态的有效势移动的活性布朗粒子的位置来描述。文献[5]、[46]、[48]中介绍了通过非线性随机微分方程再现金融市场及其动态的大多数典型事实的模型。此外，金融市场呈现出不同的动态机制，即正常活动天数和价格变化较大天数，其特征是波动行为不同。为了考虑这些不同的动态机制和反馈对价格波动的影响，参考文献中已经提出了市场动态的朗之万方法。[5，48，49]，其中考虑了一个具有可调节状态的非线性随机动力学方程。亚稳态内的演化代表了正常的市场行为，而逃离亚稳态则代表了价格大幅波动的开始。在这里，我们采用了[21]提出的Hestonmodel[50]（见补充材料第二节）的推广，其中几何布朗运动被存在cu-bic非线性的随机游动所取代。这种理论方法将金融市场视为一个非均衡系统，其动态演化可由以下伊藤随机微分方程定义的非线性Heston模型描述[51]dx（t）=-Ux+v（t）2dt+pv（t）dW1（t），（1）dv（t）=a[b- v（t）]dt+cpv（t）dW2（t），（2）U（x）=mx3+nx2，（3）平均回复Cox、Ingersoll和Ross（CIR）过程给出的波动率v（t）[28，52–54]（见补充材料第二节），U（x）是亚稳态的有效立方势（图。

3a）。如【49】所述，参数m和n受风险规避程度、市场深度和价格与市场供求变化的“摩擦”的影响。这里，m=2和n=3是根据流动性市场的考虑确定的潜在参数。在等式（1）中，x（t）=ln[p（t）/p（0）]是时间窗口[0，t]中的返回，p（t）是价格和Wiare不相关的维纳过程，通常具有统计特性hdWi（t）i=0，hdWi（t）dWj（t0）i=dtδi，jδ（t- t0）。我们解方程。（1） （2）在数值上，获得一系列等于1071的收益时间序列，初始位置x0=0.0，由vstart定义的CIR随机过程v（t）=8.62·10-5，a=2.00，b=0.01，c=0.83。这些值是通过对所有调查统计特征的理论和经验结果进行最佳拟合获得的，如图2所示。反弹：a）MFHT作为波动率的函数，阈值Θi=+0.1'σrandΘf=+1.5'σr，来自经验时间序列（蓝色圆圈）和理论结果（红色三角形），从非线性赫斯顿模型获得。b） 阈值之间固定差异的MFHT与波动率（实际数据），Θf- Θi=+1.4'σr，[Θi，Θf]范围为[-0.9’’σr，+0.5’’σr]至[+1.6’’σr，+3.0’’σr]；c） 固定起始阈值Θi的MFHT与波动率（实际数据）的关系=+0.1'σ，不同的最终阈值Θf，范围为+0.5'σrto+3.0'σr。时间是这种稳定性的度量。这种噪声增强的亚稳态是所研究的复杂系统的热传导和非线性之间相互作用的结果。通过提高温度可以观察到这种影响，因为通过类比，价格回报的稳定会随着波动性的增加而发生。FHT行为中存在影响的经验证据（图。

1和2）表明，价格回报动态可以通过将回报值视为受噪声影响的活性布朗粒子的位置来描述，并以亚稳状态以有效势移动。文献[5]，[49-51]中已经提出了通过非线性随机微分方程再现金融市场及其动态的大多数典型事实的模型。此外，金融市场呈现出不同的动态机制，即正常活动天数和价格变化较大的天数，其特征是波动行为不同。为了考虑这些不同的动态机制和反馈对价格波动的影响，参考文献中已经提出了一种朗之万的市场动态方法。[5，51，52]，其中考虑了一个具有可调节状态的非线性随机动力学方程。亚稳态内部的演化代表了正常的市场行为，而从亚稳态的逃逸则代表了价格大幅波动的开始。在这里，我们采用了[21]提出的Hestonmodel[53，54]的推广，其中几何布朗运动被存在立方非线性的随机游走所取代。该理论方法将金融市场视为一个非平衡系统，其动态演化可由以下随机微分方程定义的非线性Heston模型描述[55]dx（t）=-Ux+v（t）dt+pv（t）dW（t），（1）dv（t）=a[b- v（t）]dt+cpv（t）dW（t），（2）利用均值回复Cox、Ingersoll和Ross（CIR）过程给出的波动率v（t）[27，56–59]，u（x）=mx+nx是具有可调节状态的有效立方势（图3a）。

如【52】所述，根据流动市场的考虑确定的参数m和n受风险规避程度、市场深度以及价格与市场供求变化的“摩擦”的影响。在式（1）中，x（t）=ln[p（t）/p（0）]是时间窗口[0，t]中的返回值，p（t）是价格和维纳不相关的维纳过程，其中hdWi（t）i=0，hdWi（t）dWj（t）i=dtδi，jδ（t- t） 。我们解方程。（1） （2）从数值上，获得一系列收益率为1071的时间序列，初始位置x=0.0，由vstart定义的CIR随机过程v（t）=8.62·10-5，a=2.00，b=0.01，c=0.83【60】。由于我们关注的是每日收益，因此我们有x（t）\'r（t）[61]。我们获得了两个阈值，Θi=0.1〃σrandΘf=1.5〃σr(- 对于微灰，+对于拉力），其中'σr=0.02383是在数值时间序列上计算的平均标准偏差。这就产生了MFHT的非单调行为，如图所示。1a和2a（红色三角形），与真实数据（蓝色圆圈）非常接近。为了定量描述观察到的经验结果，我们通过设置Θi=-0.1〃σrandΘf=-1.5'σr，并将其与相应的理论PDF进行比较，获得良好的定性一致性（图3b）[62]。然后，我们研究了股票价格收益的概率分布、波动率的PDF、收益相关性和绝对收益相关性。我们发现，所有这些统计特征的理论结果和实际数据之间的一致性非常好【63–65】。特别是，我们的模型充分体现了无收益自相关的特性，确保了无套利条件[65]。总之，我们建议使用MFHT作为图3。

a） 变量x（t）的动态方程中使用的立方势。黑色圆圈表示用于获得理论结果的起始位置（x=0.0）。电势参数为m=2和n=3。b） 真实数据（蓝色圆圈）和模型（红色三角形）的首次命中回报率PDF。价格回报稳定性指标，并研究其与回报波动性的关系。在对纽约证券交易所交易的股票进行的实证分析中，每日收益的时间序列显示出有限的波动，即波动性增加时的高稳定性。特别是，根据拟议指标，存在波动率值的中间范围，其中价格回报显示出更高的稳定性。此外，非线性赫斯顿模型（方程（1）-（2））似乎满足金融市场的一些公认属性，并且能够产生实际股票每日收益命中时间的统计属性。该模型还能够通过考虑市场中的亚稳态与各种物理和复杂系统中发生的亚稳态之间的类比来描述价格回报的动态【16，21】，【39–48】。我们的研究结果表明，稳定性较低（平均首次命中时间较短）不仅是市场“动荡”时期预期的大幅波动的结果，也是市场“平静”时期通常被视为指标的小波动的结果。这一结果可能会对从业人员和负责市场稳定的决策者产生重要影响。

此外，建议的衡量指标可被视为监测市场稳定性的另一个有用指标。值得一提的是，波动率的聚类现象对于理解价格回报的不稳定性以及MFHT与波动率的非单调行为非常重要【66】。最后，我们注意到，应用基于首次命中时间概念的稳定性定义有助于定量描述不同复杂系统在物理和生物学（如神经元活动和种群动力学）方面对给定特征变化的恢复力。一、 感谢Rosario N.Mantegna对手稿进行了有益的讨论和批判性阅读，感谢复杂系统观察站为我们的调查提供了真实的市场数据。[1] P.H.Minsky，《金融不稳定假说》，LevyeEconomics Institute第74号工作文件（1992年）。[2] J.耶伦，《耶伦主席新闻发布会记录》，2014年6月18日。https://www.federalreserve。政府/媒体中心/文件/FOM C规定20140618。pdf【3】R.N.Mantegna，H.E.Stanley，《自然》376，46（1995）。[4] R.N.Mantegna，H.E.Stanley《经济物理学导论：金融中的相关性和复杂性》（剑桥大学出版社，2000年）。[5] J.P.Bouchaud，M.Potters金融风险理论和衍生品定价（剑桥大学出版社，2003年）。[6] V.Plerou，P.Gopikrishnan，H.E.Stanley，《自然》421130（2003）。[7] F.Lillo，J.D.Farmer，R.N.Mantegna，《自然》421129（2003）。[8] J.B.Bouchaud，《自然》第4551181页（2008年）。[9] V.M.Yakovenko，修订版。摩登派青年物理。81, 1703 (2009).[10] F.Wang、K.Yamasaki、S.Havlin、H.E.Stanley、Phys。修订版。E 77016109（2008）。[11] T.Adrian、D.Covitz和N.Liang，《金融稳定监测》，纽约联邦储备银行Staff Reports no.601，第1-50页（2014年）。[12] R.Engle，上午。经济。修订版。

94, 405 (2004).[13] S.Bianco、F.Corsi、R.Renò、Proc。自然的。Acad。Sci。USA1061439（2009）。[14] K.Yamasaki，L.Muchnik，S.Havlin，A.Bunde，H.E.Stanley，Proc。自然的。Acad。Sci。美国1029424（2005）。[15] B.Podonik，D.Horvatic，A.M.Peterson，H.E.Stanley，Proc。自然的。Acad。Sci。美国106、22079（2009）。[16] T.Preis，J.J.Schneider，H.E.Stanley HE（2011），Proc。自然的。Acad。Sci。美国1087674（2011）。[17] B.Mohr，H.Wagner，《金融稳定的结构性方法》，第467号讨论文件，2011年5月，哈根FernUniversit"at，第1-42页（2011年）。[18] P.Dattels，R.McCaughrin，K.Miyajima，J.Puig，你能描绘出全球金融稳定吗？国际货币基金组织工作文件，WP/10/145，国际货币基金组织，第1-43页（2010年）。[19] B.Gadanecz，K.Jayaram，《金融稳定的衡量标准——综述》，国际金融公司公告第31号，国际清算银行，第1-16页（2009年）。[20] T.G.Andersen，D.Dobrev，E.Schaumburg，《基于持续时间的波动率估计》，全球COE Hi-Stat讨论论文系列034，一桥大学经济研究所，第1-66页（2009年）。[21]G.Bonanno，D.Valenti，B.Spagnolo，Phys。修订版。E 75016106（2007年）。在此，研究了不同参数值对应的动力学区域，发现参数区域观察到MFHT的非单调行为。[22]J.Masoliver，J.Perelló，Phys。修订版。E 80 016108（2009）；物理。修订版。E 78056104（2008年）。【23】见第。一、 补充材料的图S1和参考S1-S6。【24】科学文献中很早就介绍了平均首次命中时间（MFHT）或平均首次信息时间（MFPT）以及带有反射和吸收屏障的随机行走问题，见以下参考文献【25–27】。在金融领域，首次通过时间（FPT）的概念出现在几个领域：障碍期权的估值、信用风险建模和美式期权的最佳行使时间。

更重要的是，参考文献最近给出了两个著名的均值回复过程的MFPT研究，即Feller的平方根过程和GARCH Diffusion过程。[28, 29].【25】H.A.Kramers，《物理学》第7284页（1940年）。【26】S.Chandrasekhar，修订版。摩登派青年物理。15，1（1943）[27]安·W·费勒。数学54, 173 (1951).【28】博。赵，进攻者的平均第一次通过时间和GARCH分化过程，https://urlsand.esvalabs.com/?u=httpCity伦敦大学-约翰·卡斯爵士商学院。CassBusiness School，伦敦（2010年）。[29]J.Masoliver，J.Perelló，Phys。修订版。E 86 041116（2012年）。【30】这些股票在公共财务数据来源中随时可用，从1987年到1998年连续记录了十二年（3030个交易日），因此代表了相当长一段时间内的整体市场表现。此外，该数据集已在先前的研究中使用（见补充材料的参考文献[S18、S19]和下一参考文献[31-33]）。【31】S.Michichè，G.Bonanno，F.Lillo，R.N.Mantegna，《物理学》314 756（2002）。【32】G.Bonanno，G.Caldarelli，F.Lillo，R.N.Mantegna，Phys。修订版。E 68 046130（2003年）。【33】G.Bonanno，G.Caldarelli，F.Lillo，S.Michichè，N.Vandewalle，R.N.Mantegna，Eur。物理。J、 B 38 363（2004年）。【34】为了评估结果的稳健性，我们考虑了θi和θfin区间[+0.9，-1.6]和[-0.5, -3.0），以确定不稳定事件【35，36】。【35】B.Eichengreen等人，《经济学》。政策21249（1995年）。【36】G.Fazio，J.Int.Money Financ。26, 1261 (2007).[37]考虑到MFHT作为市场稳定性的衡量标准，有可能认为当其值在[0.004，0.01]范围内时，波动性起到稳定作用。【38】MFHT与波动率曲线的合并，以确定阈值之间的差异（见图。

2b）可以描述为回报分布的不对称性，以负偏度为特征（参见补充材料的图S2）。【39】R.N.Mantegna，B.Spagnolo，Phys。修订版。利特。76, 563(1996).【40】N.V.Augdov，B.Spagnolo，Phys。修订版。E 64035102（R）（2001年）。【41】A.A.Dubkov，N.V.Agudov，B.Spagnolo，Phys。修订版。E 69061103（2004年）。【42】P.D\'Odorico，F.Laio，L.Ridol fi，Proc。自然的。Acad。Sci。美国10210819（2005）。【43】P.I.Hurtado，J.Marro，P.L.Garrido，Phys。修订版。E 74050101（R）（2006年）。【44】G.Sun，Dong N.，Mao G.，Chen J.，Xu W.，Ji Z.，KangL。，Wu P.、Yu Y.、Xing D.、Phys。修订版。E 75021107（2007年）。【45】M.Yoshimoto，H.Shirahama，S.Kurosawa，化学物理J。129, 014508 (2008).【46】M.Trapanese，J.Appl。物理。10507D313（2009）。[47]J.H.Li，J.Luczka，Phys。修订版。E 82041104（2010年）。【48】D.Valenti、L.Magazzù、P.Caldara和B.Spagnolo，Phys。修订版。B 91235412（2015年）。【49】O.Malcai，O.Biham，P.Richmond，S.Solomon，Phys。修订版。E 66031102（2002年）。[50]J.P.L.Hatchett，R.Kühn R，J.Phys。A 392231（2006年）。【51】J.P.Bouchaud，《物理学》A 313238（2002）。【52】J.P.Bouchaud，R.Cont，欧洲。物理。J、 B 6543（1998年）。【53】S.L.Heston，修订版。财务部。螺柱。6, 327 (1993).【54】见第。补充材料之二。[55]C.W.Gardiner随机方法手册（柏林斯普林格，2004）。[56]J.C.Cox、J.E.Ingersoll和S.A.Ross，《计量经济学》53385（1985）。【57】J.C.Hull，《期权、期货和其他衍生品》（Prentice Hall，伦敦，2011）。【58】A.A.agulescu博士，V.M.Yakovenko，Quant。《金融》2443（2002）。【59】见第。II和参考文献。补充材料S14-S17。【60】这些值是通过对所有统计特征进行χ和KolmogorovSmirnov（K-S）拟合优度检验（图1-3b和图1-3b）在理论和经验结果之间进行最佳拟合获得的。