不完全市场中美式期权的极大极小定理

因此，根据（6.24），应用支配收敛定理得到ρQ（Xn·{Y*≤k} （）→ 0 FOR n→ ∞带k∈ 固定。然后乘以（6.23）0≤ lim支持→∞ρQ（Xn）≤ 2 CρQ（Y*·{Y*>k} ）对于k∈ N、 最后，通过假设，CρQ（Y*·{Y*>k} （）→ k为0→ ∞ 因此0≤ lim支持→∞ρQ（Xn）≤ 0 .这就完成了proo f。正如引理6.8之前所讨论的那样，定理2.1的陈述紧接着将命题5.2和定理5.1与引理6.8相结合。6.5定理2.3的证明自d是完全有界的（Q，d）的完备（Q，d）是紧的（见[26，第9.2节，问题2]）。自（dQ/dP）Q∈Qhas P-几乎肯定d-一致连续路径，我们可能会发现∈ F，P（A）=1，这样我们可以定义一个非负随机过程（ZˇQ）ˇQ∈71qsuchz˙=Z·（ω）对于ω是连续的∈ A和ZQ=（dQ/dP）保持f或Q∈ Q（见[26，定理11.3.4]）。现在让（Qn）n∈Nbe Q中的任何序列。通过紧性，我们可以选择一个子序列（Qi（n））n∈n收敛到某个ˇQ∈ˇQ w.r.t.ˇd（见[26，定理7.2.1]）。由于过程z在A上有ˇd-连续路径，我们得到dqi（n）dP（ω）=ZQi（n）（ω）---→n→∞ZˇQ（ω）表示所有ω∈ A、 此外，根据假设，（dQi（n）/dP）n∈Nis由一些P-可积随机变量控制。然后介绍了支配收敛定理的应用dQi（n）dP- ZˇQ---→n→∞因此，我们已经证明Q是相对紧凑的全变量w.r.t拓扑，如备注2.2所述，并且可以通过将备注2.2与定理2.1相结合得出定理2.3。6.6命题证明3.1Fix t∈ [0，T]。假设（Xθ）θ∈Θ是附录意义上的近似次高斯随机场。

然后通过命题A.2，我们可以确定一些可分离的版本（bXθt）θ∈（Xθt）θ的Θ∈Θ.还假设存在一些θ∈ Θ，使得E[exp（2bXθt）]=E[exp（2Xθt）]<∞ 持有。此外，通过命题A.2，我们还可以发现一个非负随机变量Uθt以及一些∈ F，其中P（At）=1，因此e[exp（pUθt）]<∞ 对于每个p∈]0, ∞[（6.25）supθ∈ΘexpbXθt（ω）≤ 经验值Uθt（ω）经验值bXθt（ω）对于ω∈ 在（6.26）假设和自∈ Ft，对于每个θ∈ ΘMθt.=经验值bXθt- [Xθ]t/2At定义了Qθ| Ft的Radon-Nikodym导数。然后，由于过程的非负性（[Xθ]t）θ∈（6.26）yieldssupθ的应用∈ΘMθt≤ 经验值Uθt经验值bXθt逐点。通过（6.25）以及对Xθt的假设，随机变量exp（2Uθt）和exp（bXθt）是平方可积的。因此，通过Cauchy-Schwarz不等式exp（Uθt）exp（bXθt）是可积的，因此t hat（Mθt）θ∈Θ由一些P-可积随机变量控制。因此，通过定理2.3，它仍然可以证明（Mθt）θ∈Θ具有dΘ-一致连续路径。对于θ，θ∈ 我们可以从（6.26）和过程的非负性（[Xθ]t）θ得出结论∈Θ| Mθt- Mθt |≤经验值bXθt+ 经验值bXθtbXθt-bXθt+[Xθ]t/2- [Xθ]吨/2在≤ supθ∈ΘexpbXθtbXθt-bXθt+[Xθ]t/2- [Xθ]吨/2At（6.26）≤ 经验值Uθt经验值bXθtbXθt-bXθt+[Xθ]t/2- [Xθ]吨/2在（6.27）鉴于命题A.2过程（bXθt）θ∈Θ具有dΘ-一致连续路径和（[Xθ]t）θ∈Θ通过假设满足该属性。因此由（6.27），（Mθt）θ∈Θ具有dΘ-统一连续路径。6.7示例3.2的证明首先，每个Xψ是一个中心鞅。第二，通过时间的变化，我们可以建立一个大联盟(Ohm, 英尺，（英尺）0≤t型≤T、 P）过滤概率空间的(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）带Ohm = Ohm ×eOhm 对于一些seteOhm 对于每个固定对ψ，φ∈ ψ存在布朗运动Zψ，φ，其中（Zψ，φt）0≤t型≤t适应（英尺）0≤t型≤T、 对于每个T∈ [0，T]它保持xψT-Xφt=Zψ，φRt（ψ-φ） （u，Vu）du（参见示例。

[21，定理V.1.7的证明]）。这里，我们为每个ω设置=（ω，|ω）∈ OhmXψt（ω）- Xφt（ω）=Xψt（ω，|ω）-Xφt（ω，|ω）˙=Xψt（ω）- Xφt（ω）。然后固定λ>0，t∈ [0，T]和ψ，φ∈ ψwe obtainE[exp（λ（Xψt- Xφt））]=EPhexpλZψ，φRt（ψ-φ） （u，Vu）du我≤ EP公司经验值λmax0≤s≤d（ψ，φ）Zψ，φs.现在我们根据布朗运动的反射原理推导经验值λmax0≤s≤d（ψ，φ）Zψ，φs≤ 2EPhexpλZψ，φd（ψ，φ）i=2 expλd（ψ，φ）.因此（Xψt，ψ∈ ψ）是一个近似次高斯的局部鞅族，C=2。6.8命题4.1的证明ETBQ和BQE如命题4.1所定义。此外，让Lp(Ohm, F、 P）表示上的classicalLp空间(Ohm, F、 P）对于P∈ [1, ∞]. 我们需要以下辅助结果进行准备。引理6.9。设置FbQ˙={dQ/dP | Q∈bQ}关闭w.r.t.L-标准它甚至很紧凑。r、 t.如果Q相对紧，则L-范数w.r.t.全变分拓扑。在这种情况下，fbqe˙={dQ/dP | Q∈bQe}是相对紧凑的w.r.t.L-范数。证据该集fbqi是明显凸的，也是FQw的凸壳co（FQ）的拓扑闭包。r、 t.L上的弱拓扑(Ohm, F、 P）（见【19，定理1.4】）。Thusby凸性，FbQis也是FQw的闭凸包。r、 t.L-范数拓扑。此外，ifQ是相对紧的w.r.t.全变分拓扑，集合FQ是相对L-范数紧的，因此其L-范数闭凸包FBQI是L-范数紧的（参见例[1，Theorem5.35]）。这就完成了证明，因为FbQe FbQ。命题4.1的证明：含义（5）=> （4） 已经知道了（关于时间离散的情况，请参见[23，引理5.3]和[11，引理6.48]）。

关于含义（1）=> （2） letτ∈ T和X∈ L∞(Ohm, F、 P）。然后Z˙=ess infQ∈QEQ[X | Fτ]∈ L∞(Ohm, F、 P）并且是Fτ-可测量的，因此ESS infQ∈QEQ[X | Fτ]=ess infQ∈QEQ[Z | Fτ]。然后按时间一致性（语句（1））infQ∈QEQ【X】=infQ∈QEQ[Z]，显示（2）。接下来，想说明（3）可以从（2）中得出结论。首先，（2）显然意味着INFQ∈QEQ【X】=infQ∈量化宽松ess infQ∈QEQ[X | Fτ]对于τ∈ T和X∈ L∞(Ohm, F、 P），可通过ρ（X）=ρ重写(-ρτ（X））表示τ∈ T和X∈ L∞(Ohm, F、 P），（6.28），其中ρs（X）。=ess supQ∈量化宽松[-X | Fs]表示X∈ L∞(Ohm, F、 P）（s）∈ {0, τ}, τ ∈ T）。由于Q的每个成员都是等效的t o P，我们可以从（6.2 8）中观察到，对于每个τ∈ 函数ρ，ρτ满足定理11的假设和陈述（a）。2英寸[11]。然后在证明该定理时，显示ρτ（X）=ess supQ∈bQeEQ[-X的X | Fτ]∈ L∞(Ohm, F、 P）以便∈QEQ[X | Fτ]=ess infQ∈τ的bQeEQ[X | Fτ]∈ T和X∈ L∞(Ohm, F、 P）。（6.29）为了验证语句（3），留下来表明BQ在粘贴下是稳定的。所以letQ，Q∈bQe，τ∈ T，letQ表示Q，Qinτ的粘贴。然后对于任何P-本质边界随机变量XEQ[X]=等式公式[X | Fτ]≥ 均衡器ess infQ∈bQeEQ[X | Fτ]（6.29）=等式ess infQ∈QEQ[X | Fτ]≥ infQ公司∈bQeEQess infQ∈QEQ[X | Fτ]（6.29）=infQ∈量化宽松ess infQ∈QEQ[X | Fτ].因此，等式[X]≥ infQ公司∈QEQ【X】因声明（2）而保持。因此，托布属于托布，图萨尔索属于托布。现在让我们来讨论一下含义（3）=> (1). 让我们假设（3）是有效的andletX，X∈ L∞(Ohm, F、 P）以及σ，τ∈ 带σ的T≤ τ使ESS infQ∈QEQ[X | Fτ]≤ ess infQ∈QEQ[X | Fτ]。鉴于（6.29），这意味着infQ∈bQeEQ[X | Fτ]≤ ess infQ∈bQeEQ[X | Fτ]。（6.30）设ε>0且| X |≤ εP-a.s.，并定义一致有界、非负的cádlág-processH˙=（Ht）0≤t型≤Tvia Ht˙={T}（T）（ε-十） 。

由于在粘贴条件下，Emma 4.17是稳定的，因此在[2 3]中的Emma 4.17在H Yieldses supQ中的应用∈bQeEQε -X | Fσ= ess supQ∈bQeEQess supQ∈bQeEQ[ε-X | Fτ]| Fσ.特别是，我们获得了infQ∈bQeEQ[X | Fσ]=ess infQ∈bQeEQess infQ∈bQeEQ[X | Fτ]Fσ.然后考虑到（6.29）和（6.30），这意味着infQ∈QEQ[X | Fσ]≤ ess infQ∈QEQ[X | Fσ]。关于含义（4）=> （2）让X∈ L∞(Ohm, F、 P）。有一些C>0，这样X+C≥ 每年1次。。然后Zt˙={T}（T）·（X+C）定义了一个一致有界、非负适应的Cádlág过程Z=（Zt）0≤t型≤t来自S（Q）。此外，让我们确定Q∈ Q和τ∈ T通过语句（4），我们将找到一些序列（Qk）k∈其构件与qon Fτ重合，使得eqk[X+C | Fτ]=ess supσ∈T，σ≥τEQk[Zσ| Fτ]---→k→∞ess infQ∈Qess supσ∈T，σ≥τEQ[Zσ| Fτ]P-a.s。。此外，ess supσ∈T，σ≥τEQ[Zσ| Fτ]=EQ[X+C | Fτ]适用于每个Q∈ Q、 我们得到了支配收敛定理∈QEQ[X+C | Fτ]]=limk→∞等式[EQk[X+C | Fτ]]=limk→∞EQk[EQk[X+C | Fτ]]=limk→∞等式[X+C]≥ infQ公司∈QEQ[X+C]。这里，对于第二个等式，我们调用了Qk | Fτ=Q | Fτ对每个k都有效∈ N、 然后陈述（2）是显而易见的，证明是完整的。6.9备注证明2.2如果设置Bq和Bq如第4.1条所述，则考虑到第4条。1它仍然表明，在R标记2.2的假设下，在粘贴w.R.t下，Setbqe不稳定(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）。由于F上的所有概率测度集等价于在粘贴w.r.t下稳定的Pis(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P），随附BQE，我们可以确定在粘贴下稳定且是QE超集的最小值。我们想表明，在备注2.2的设置中，BKEI是BQSTWi的一个适当子集。论证将基于以下观察结果。引理6.10。

让Lp(Ohm, F、 P）表示概率空间上的经典Lp空间(Ohm, F、 P）对于P∈ [0, ∞] 让（An）n∈Nbe a序列inF满足LIMN→∞E[安·Z]=·E[Z]表示E非常Z∈ L(Ohm, F、 P）。（6.31）然后对于任何Z∈ L(Ohm, F、 P）\\{0}，序列（An·Z）n∈NDOE在L中没有y累积点(Ohm, F、 P）w.r.t.L-范数。证据假设有一些Z∈ L(Ohm, F、 P）\\{0}这样序列（AnZ）n∈Nhasan累积p点X∈ L(Ohm, F、 P）w.r.t.L-范数。通过传递到子序列，我们可以假设E[| AnZ- X |]→ 0表示n→ ∞. （6.32）因此，根据霍尔德不等式，limn→∞E[| AnZW- XW |]=0表示任何W∈ L∞(Ohm, F、 P）。（6.33）应用（6.31）和（6.33），我们得到对于任何W∈ L∞(Ohm, F、 P），即EZ- 十、W= 0表示任何W∈ L∞(Ohm, F、 P）。（6.34）替换W=Z- 十、∧ 1.∨ -1到（6.34），我们得到X=Z，因此，通过（6.32），E[| Z |]=E一-Z---→n→∞这与sp（{Z 6=0}）>0相矛盾，完成了证明。备注2.2的证明：让我们确定不同的Q，Q∈ QbQe。由于在粘贴下BQ仍然稳定，我们可以定义每个τ∈ T bydQτdP˙=EdQdPFτEdQdPFτ某些概率测度Qτ的dQdPa Radon-Nikodym导数w.r.t.P∈bQst。特别是，Q=Qand QT=Q，并使用密度过程的cádlág修正EdQidP英尺0≤t型≤T（i=1，2）我们导出了qtdp→t0的DQDPF。因此，我们可能会发现一些∈]0，T[使得Qt6=QT。

假设自(Ohm, Ft，P | Ft）与L无原子(Ohm, Ft，P | Ft）由于是弱可分的，我们可以在[15，引理3]（或[6，推论C.4]）上绘制o，以及[6，引理C.1和命题B.1]，以找到一些序列（An）∈Nin Ftsuch thatlimn公司→∞E[An·Z]=·E[Z]对于每个P | Ft可积随机变量Z。特别是→∞E[安·Z]=limn→∞E安·E【Z |英尺】=· EE[Z | Ft]=· E[Z]（6.35）每Z保持一次∈ L(Ohm, F、 P）。此外，τn˙=t·An+t·Ohm\\定义一个序列（τn）n∈诱导序列（Qτn）n的Nin T∈NinbqSt的Ra-don-Nikodym导数w.r.t.P满足dqτndP=An·dQtdP+Ohm\\An·dQTdP=An·dQtdP-dQTdP+dQTdP。选择dQt/dP- dQT/dP∈ L(Ohm, F、 P | F）\\{0}。所以从引理6.10和（6.35）来看，我们可以观察到An·dQtdP-dQTdPn∈NDOE在L中没有任何累积点(Ohm, F、 P | F）w.r.t.L-范数，因此序列（dQτn/dP）n∈Nhas也没有累积点。因此，我们发现了一个序列inFbQst˙={dQ/dP | Q∈bQst}无任何累积点w.r.t.L-范数。这意味着FBQ不是相对紧凑的L-范数。然而，引理6.9中的集合fbqe被证明是相对紧凑的w.r.t.t L-范数。所以FbQe6=FbQst，thusbqe是FbQst的一个适当子集。因此，通过构建Bqst，在粘贴W下，Setbqe不稳定。r、 t(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）因此Q不是时间一致的w.r.T(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）由于第4.1条的规定。备注2.2的证明是完整的。附录：近似次高斯随机场（Θ，d）的路径是一个具有直径的全有界半度量空间. 对于δ，ε>0，符号D（δ，D）和N（Θ，D；ε）以类似的方式用作第3节中的符号D（δ，DΘ）和N（Θ，DΘ；ε）。我们称之为中心随机过程（Xθ）θ∈如果存在一些C≥ 1这样E经验值λ（Xθ- Xθ）≤ C·exp公司λd（θ，θ）/2对于θ，θ∈ Θ和λ>0。

（A.1）注意，根据对称性，条件（A.1）也适用于任意λ∈ R、 在C=1的情况下，该定义简化为次高斯随机场的普通概念。有关次高斯随机场的更多信息，请参见[12，第2.3小节]。通过适当改变这些半度量，我们可以将任何近似次高斯的随机场描述为高斯随机场。引理A.1。If（Xθ）θ∈Θ是n个早期次高斯随机场w.r.t.d，然后是s个次高斯随机场w。r、 对于某些ε>1的情况，t.d.=ε·d。证据设C>1，使得（Xθ）θ∈Θ满意度（A.1）。然后ε=p12（2C+1）是一个s要求（参见[12，引理2.3.2]）。亚高斯随机场的以下特性是基本的。提案A.2。设X˙=（Xθ）θ∈Θ在某些概率空间上是一个近似次高斯的随机场(Ohm, F、 P）w.r.t.d.如果d(, d） <∞, 然后X允许一个可分版本，X的每个可分版本几乎肯定有界且d一致连续的路径。特别是对于任何可分离版本Bx和每个θ∈ Θ上有一些随机变量Uθ(Ohm, F、 P）使SUPθ∈ΘbXθ≤ Uθ+bXθP-a.s.和EP[exp（pUθ）]<∞ 对于e非常p∈]0, ∞[.证明。根据引理A.1，我们可以假设X是一个次高斯随机域w.r.t.d，但不失一般性。众所周知，X允许一个可分离的版本，并且每个版本几乎肯定有界且d一致连续的路径（见[12，定理2.3.7]）。现在，让我们定义x的任何可分离版本bx和任意θ∈ Θ. 我们有SUPθ∈ΘbXθ≤ supθ∈Θ| bXθ-bXθ|+bXθ和过程|bXθ-bXθ|θ∈Θ是可分离的，因为X是可分离的。然后我们可以找到一些最多可数的子集Θ Θ使得supθ∈Θ| bXθ-bXθ|=supθ∈Θ| bXθ-bXθ| P-a.s。。因此Uθ：=supθ∈Θ| Xθ- Xθ|定义随机变量(Ohm, F、 P）满足uθ=supθ∈Θ| bXθ-bXθ| P-a.s。。它仍然表明EP[exp（pUθ）]<∞ p保持不变∈]0, ∞[.那么让我们来看看∈]0, ∞[.

首先，观察BX再次是一个次高斯随机场。因此，通过[12，引理2.3.1]，我们得到了EP“expXθ- Xθ√6 d（θ，θ）!#≤ θ为2，θ∈ Θ，d（θ，θ）6=0。因此，我们可以应用[25]w.r.t.的结果，即总有界半度量d˙=√6d。注意（bXθ）θ∈Θ也是可分离的w.r.t.d，以及 =√6. 直径保持不变 w、 r.t.d.辛森（Θ，d；ε）≤ N（Θ，d；ε）/√6） 对于每个ε>0，我们得到zδqln（N（Θ，d；ε））dε≤Zδqln（N（Θ，d；ε/√6） ）dε=√6D（δ/√6，d）对于每个δ>0。然后，根据[25，推论3.2]，我们可能会发现一些常数C>0，这样pnUθ>xC√6D(, d） o≤ 2经验值-x个对于x≥ 1、进一步设置BC˙=C√6D(, d） ，我们可以观察到∞PnUθ>xbCoexp（xpbC）dx≤Z∞2经验值-x个exp（xpbC）dx≤ 2.√2πexp（pbC/2）。然后应用变量公式的多次变换，得到Z∞支出（pbC）Pnexp公司pUθ> 哟dy=pbCZ∞PnUθ>bCuoexp（pbCu）du<∞.亨塞普经验值pUθ=Z∞Pnexp公司pUθ> 哟dy<∞这就完成了证明。致谢作者感谢米哈伊尔·乌鲁索夫（Mikhail Urusov）进行了有益的讨论和发表了有益的评论。参考文献【1】Aliprantis，C.D.和K.C.Border（2006）。有限维分析。斯普林格，Berlinet al.（第三版）。[2] Amarante，M.（2014）。精确非原子市场博弈的特征。《数学经济学杂志》54，5 9–6 2。[3] Bayraktar，E.、Karatzas，I.和Yao，S.（2010年）。动态凸风险测度的最优停止。伊利诺伊州J.数学。54, 1025 – 1067.[4] Bayraktar，E.和Yao，S.（2011年）。线性期望下n的最优停止。随机过程。应用程序。121, 185 – 211.[5] Bayraktar，E.和Yao，S.（2011年）。线性期望下n的最优停止。随机过程。应用程序。121, 212 – 264.[6] Belomestny，D.和Kr"atschmer，V.（2016）。模型不确定性条件下的最优停车：随机停车时间法。应用概率年鉴26，1260–1295。[7] Belomestny，D.和Kr"atschmer，V.（20-17）。

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