不完全市场中美式期权的极大极小定理

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英文标题：
《Minimax theorems for American options in incomplete markets without
  time-consistency》
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作者：
Denis Belomestny, Volker Kraetschmer
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we give sufficient conditions guaranteeing the validity of the well-known minimax theorem for the lower Snell envelope with respect to a family of absolutely continuous probability measures. Such minimax results play an important role in the characterisation of arbitrage-free prices of American contingent claims in incomplete markets. Our conditions do not rely on the notions of stability under pasting or time-consistency and reveal some unexpected connection between the minimax result and the path properties of the corresponding density process.
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中文摘要：
本文给出了关于一类绝对连续概率测度下Snell包络的极大极小定理有效性的充分条件。这种极大极小结果在描述不完全市场中美国未定权益的无套利价格方面起着重要作用。我们的条件不依赖于粘贴下的稳定性或时间一致性的概念，并且揭示了极大极小结果与相应密度过程的路径属性之间的一些意外联系。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Minimax_theorems_for_American_options_in_incomplete_markets_without_time-consistency.pdf (357.09 KB)

2022-6-1 07:15:19 上传

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关键词：不完全市场 美式期权 Mathematical Differential Applications

不完全市场中美式期权的极大极小定理*Tobias HübnerVolker Kr"atschmer§Sascha NolteP摘要在本文中，我们给出了关于一系列绝对连续概率测度，保证下Snell包络的著名最小极大定理有效性的充分条件。这种极大极小结果在描述不完全市场中美国未定权益的无套利价格方面起着重要作用。我们的条件不依赖于粘贴下的稳定性或时间一致性的概念，并且揭示了极大极小结果与相应密度过程的路径属性之间的一些意外联系。关键词：极大极小、下斯奈尔包络、时间一致性、近亚高斯随机场、度量熵、西蒙引理。1引言let 0<T<∞ 然后让(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）是过滤概率空间，其中（Ft）0≤t型≤这是一个完全连续的过滤，其中F仅包含概率0或1的集合以及所有零FT集合。在后半部分中，我们将假设F=FT，但不失一般性。此外，让Q表示F上的一组非类概率测度，所有都是绝对连续的w.r.t.P。我们将用L（Q）表示所有随机变量X的集合(Ohm, F、 P）对于每个Q都是Q-可积的∈ Q、 这样supQ∈QEQ[| X |]<∞. 设S=（St）0≤t型≤Tbe半鞅w.r.t.（Ft）0≤t型≤t这些轨迹是右连续的，并且有有限的极限（cádlág）。还考虑另一个右连续（Ft）自适应随机过程˙=（Yt）0≤t型≤T表示所有有限停止时间τ的集合≤ T w.r.T.（英尺）0≤t型≤T、 我们还假设这个过程是准左上半连续的。r、 t.P，即lim supn→∞Yτn≤ YτP-a.s.适用于任何序列（τn）n∈对于某些τ，满足τnτ的Nin T∈ T

所谓Y（w.r.t.Q）的下斯奈尔包络是随机过程（U↓,Yt）0≤t型≤T、 定义的viaU↓,Yt˙=ess infQ∈Qess supτ∈T，τ≥tEQ[Yτ| Ft]（t∈ [0，T]）。我们工作的主要目标是为以下minimax结果pτ的有效性找到充分的条件∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]=U↓,Y、 （1.1）*杜伊斯堡-埃森大学数学系，丹尼斯。belomestny@uni-到期日。杜伊斯堡大学数学系-埃森，托拜厄斯。huebner@stud.uni-到期日。德国杜伊斯堡-埃森大学数学系，沃尔克。kraetschmer@uni-到期日。杜伊斯堡大学数学系-埃森，萨沙。nolte@stud.uni-到期日。在金融数学中，这类结果似乎有助于描述不完全市场中美国未定权益的无障碍价格。如果M代表等价局部鞅测度的族w.r.t.S，即M={Q~ P | S是Q}下的局部鞅，那么Y关于M的所谓无套利价格集∏（Y）可以定义为所有实数的集，其中包含两个性质：（i）c≤ 某个停止时间τ的等式[Yτ]∈ T与鞅测度Q∈ M（ii）对于任何停车时间τ′∈ T存在一些Q′∈ M使c≥ 公式′[Yτ′]。上述定义意味着∈ π（Y），它保持ssupτ∈TinfQ公司∈MEQ[Yτ]≤ c≤ supτ∈TsupQ公司∈MEQ[Yτ]。特别是，时间0时的斯内尔包络线下限给出了美式期权无套利价格的最大下界。集合∏（Y）的以下重要特征可在[23]（定理1.2 0）或[24]中找到。定理1.1。假设{Yτ|τ∈ T}对于y Q是一致Q可积的∈ M、 Y=（Yt）0≤t型≤从左w.r.t.开始，每Q上半连续∈ M、 即。

lim支持→∞公式[Yτn]≤ 任意递增序列（τn）n的等式[Yτ]∈n接近τ∈ T如果M表示等价局部鞅测度w.r.t.S的se t，则对应于M的Y的无轨道价格集∏（Y）是一个端点为πinf（Y）的实区间。=infQ公司∈Msupτ∈TEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈MEQ[Yτ]和πsup（Y）。=supQ公司∈Msupτ∈TEQ[Yτ]=supτ∈TsupQ公司∈MEQ[Yτ]。一个自然的问题是，对于严格“小于”M的等价测度集Q，是否可以证明类似的特征。这个问题之所以有趣，至少有两个原因。首先，期权的买方（或卖方）可能对一组定价指标Q有一些偏好，从而对Q产生一些额外的限制，使得Q M、 其次，所有鞅测度M的集合可能很难用构造性的方法来描述，因为通常只有关系Q的有效条件∈ M可用。仔细检查定理1.1的证明可以发现，它本质上依赖于Q=M的极小恒等式（1.1），这在文献中经常使用所谓的M粘贴下的稳定性来证明。回想一下，一组Q的概率测度onF在粘贴w.r.t下称为稳定的(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P），如果它们中的每一个都等价于P，并且对于每一个Q，Q∈ Q和τ∈ T粘贴Qand Qinτ，即通过粘贴程序确定的概率测量QdReq（A）˙=等式[Q[A | Fτ]]（A∈ F） ，属于Q。粘贴下的稳定性意味着，如果我们排除Q由一个元素组成的特殊情况，则集Q相当“大”，并且基本上与M相交。让我们提到粘贴下的稳定性与时间一致性的概念密切相关。如【10】中所述，我们将F上的概率测度集Q称为时间一致性W。r、 t。

(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P），若为任何τ，σ∈ 带τ的T≤ σ和P-本质有界随机变量X，Z，我们有以下含义infQ∈QEQ[X | Fσ]≤ ess infQ∈QEQ[Z | Fσ]=> ess infQ∈QEQ[X | Fτ]≤ ess infQ∈QEQ[Z | Fτ]。对极大极小关系（1.1）的其他贡献使用递归函数s的性质（参见[3]、[4]、[5]、[9]）ess infQ∈量化宽松ess infQ∈QEQ[X | Fσ]Fτ= ess infQ∈QEQ[X | Fτ]保持停车时间σ，τ∈ 带τ的T≤ σ和任何P-基本上是边界随机变量X。可以很容易地验证递归性和时间一致性是等价的（参见[1 0]中定理12的证明）。此外，粘贴下的稳定性通常意味着时间一致性（参见下面的命题4.1，对于时间离散的情况，也可参见[11，定理6.51]）。据我们所知，到目前为止，对极大极小关系（1.1）的所有研究都考虑了时间一致集Q（有关此问题的进一步讨论，请参见第4节）。在本文中，我们对其他类型的族Q建立了条件，这些条件不依赖于一致性或稳定性的概念，但仍然保证了极大极小关系（1.1）。关键是对映射uQ:F的范围施加一定的条件→ l∞（Q） ，uQ（A）（Q）：=Q（A），其中l∞（Q） 表示Q上所有有界实值映射的空间。这是满足uQ（a）的所谓向量测度∪ A） =uQ（A）+uQ（A），对于不相交集A，A∈ F、 我们应参考uQas，即与Q相关的向量度量。本文组织如下。在第2节中，我们给出了关于集合Q的主要结果，这些集合Q的相关向量测度具有相对紧凑的范围。接下来，我们根据相应密度过程（dQ/dP）Q的路径性质推导出另一个判据∈Q、 后一种特征对于适当参数化的局部鞅测度族特别有用。

具体而言，在第3节中，我们为密度过程对应于局部鞅的近似次高斯族的情况制定了一个易于检查的准则。在第4节中，我们将讨论文献中的相关结果。第5节包含较低Snell信封的generalminimax结果。第6节收集了所有相关结果的结果，而附录中给出了近亚高斯随机场路径特性的一些辅助结果。2主要结果在本文中，我们假设(Ohm, Ft，P | Ft）对于每t>0是无原子的。（2.1）关于过程Y，我们假设Y*:= 支持∈[0，T]| Yt |∈ L（Q）。（2.2）此外，空间l∞（Q） 将被赋予sup norm k·k∞. 使用符号co（Q）表示Q的凸包，我们的主要minimax结果如下所示。定理2.1。设uq的范围为相对k·k∞-契约如果Y=（Yt）0≤t型≤FILLS（2.2）和supQ∈QEQ【Y】*{Y*>a} ]→ 0表示→ ∞, 如果（2.1）成立，则SUPτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。（2.3）定理2.1的证明见第6.4节。备注2.2。设Q为相对紧凑的w.r.t.总变化的拓扑，即由DTV（Q，Q）定义的m度量dtvde的拓扑：=supA∈F | Q（A）- Q（A）|。那么已经知道{uQ（A）| A∈ F} 相对k·k∞-紧凑型（参见[2]）。此外，如果Q的每个成员都等价于P，则集Q不是时间约束w.r.t(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）当其含有多个元素时(Ohm, Ft，P | Ft）是无原子ndL(Ohm, Ft，P | Ft）对于每t>0是弱可分的。第6.9节将对此进行说明。

过滤（Ft）0的上述条件≤t型≤如果假设皮重是某个d维右旋连续随机过程引起的自然过滤的标准增强，则皮重始终满足Z=（Zt）0≤t型≤t概率空间(Ohm, F、 P）对于任何t>0、Zis con s tan t P-a.s.和Fis平凡，m arginals zt具有绝对连续分布（见[7，Re mark 2.3]或[8，备注3]）。现在，让我们提出一个简单有效的标准来保证MinimaxRelationship（2.3）的有效性。结果表明，在这些条件下，Q不能是时间一致的。定理2.3。让条件（2.2）和（2.1）完全满足，并让supQ∈QEQ【Y】*{Y*>a} ]→ 0作为→ ∞. 此外，设d表示Q和let（dQ/dP）Q上的全有界半度量∈Qhave P-几乎肯定d-一致连续路径。If（dQ/dP）Q∈由so me可积随机变量控制的QI，然后是SUPτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。如果加上L(Ohm, Ft，P | Ft）对于每t>0是弱可分离的，那么Q不是时间一致的。r、 t(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）当它由多个元素组成时，q的所有元素都等价于P。定理2.3的证明被委托给第6.5.3节参数化族的应用固定一个具有有限直径的半度量空间（Θ，dΘ）. 此外，让我们假设Q={Qθ|θ∈ 对于θ6=θ，Qθ6=Qθ。（3.1）然后，dΘ以自然的方式导出Q上的半度量d，当且仅当dΘfull满足此性质时，该半度量d是完全有界的。我们希望找到Q满足定理2.3要求的条件。为此，我们将考虑一种情况，其中与Q的概率测度相对应的密度过程与局部鞅（Xθ˙=（Xθt）0的近似次高斯族相关≤t型≤T、 θ∈ Θ），即。

每个Xθ都是一个中心局部鞅，我们假设其中有一些C≥ 1此类支持∈[0，T]E经验值λ（Xθt- Xθt≤ C·exp公司λdΘ（θ，θ）/2对于θ，θ∈ Θ和λ>0。尤其是这意味着对于固定的∈ [0，T]，任意过程（XθT）θ∈Θ是附录中考虑的近似亚高斯随机场。在C=1的情况下，我们最终得到了局部鞅的次高斯族的概念。下面的结果要求dΘ是完全有界的，它依赖于度量熵w.r.t.dΘ。这些是数字{ln（N（Θ，dΘ；ε））|ε>0}，其中N（Θ，dΘ；ε）表示覆盖w.r.t.dΘ所需的ε-球的最小数量。此外，我们定义了（δ，dΘ）˙=Zδpln（N（Θ，dΘ；ε））dε。提案3.1。让Q满足（3.1），让条件（2.2）和（2.1）充分满足∈QEQ【Y】*{Y*>a} ]→ 0 f或a→ ∞. 此外，设dΘ是完全有界的，并且存在一个近似次高斯的局部鞅族（Xθ=（Xθt）0≤t型≤T、 θ∈ 使得二次变分过程（[Xθ]t）θ∈对于每t，Θ具有dΘ-一致连续路径∈ [0，T]，并且使得来自Q的概率测度的密度过程可以用以下方式表示dqθdPFt=exp（Xθt- [Xθ]t/2）t的逐点∈ [0，T]和θ∈ Θ. （3.2）如果支持∈[0，T]E[exp（2XθT）]<∞ 对于某些θ∈ Θ，如果D(, dΘ）<∞, thensupτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。此外，Q不是时间一致的w.r.t(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）如果其每个成员与P等价，则Q有多个元素，L(Ohm, Ft，P | Ft）是弱可分f或everyt>0。第6.6节中可以找到提案3.1的证明。下面的例子描述了一种典型的情况，即命题3.1可以直接应用，特别是出现了表述（3.2）。示例3.2。

设Z˙=（Zs）s≥0是上的布朗运动(Ohm, F、 P）使（Zt）0≤t型≤t适应（Ft）0≤t型≤T、 设V˙=（Vt）0≤t型≤t某些Rd值过程（波动率）调整为（Ft）0≤t型≤T、 考虑一类Borel可测函数ψ：[0，T]×Rd→ R这样的结果ψ∈ ψ它保持着这个supx∈RdZTψ（u，x）du<∞. （3.3）Thendψ：ψ×ψ→ R、 （ψ，φ）7→ supx公司∈RdsZT（ψ- φ） （u，x）du是ψ上定义良好的半度量。假设，对于每个ψ∈ ψ，过程（ψ（t，Vt））0≤t型≤组织进步是可衡量的。然后是过程族（Xψ，ψ）∈ ψ）带xψt˙=Ztψ（u，Vu）dZu（t∈ [0，T]）定义良好，Xψ的二次变化过程由[Xψ]T=Ztψ（u，Vu）du（T）给出∈ [0，T]）。因此，根据假设（3.3），每个过程exp（Xψt- [Xψ]t/2）t型∈[0，T]满足Novikov的条件。特别地，它是一个鞅，是概率测度的密度过程，对于任意ψ，ψ，φ，它是绝对连续的w.r.t.p∈ ψ我们可以通过Cauchy-Sch-warz不等式观察每个t∈ [0，T]|[Xψ]T- [Xφ]t |≤dψ（ψ，ψ）+dψ（φ，ψ）· dψ（ψ，φ）。因此（[（Xψ）]t）ψ∈当dψ完全有界时，ψ具有dψ-Lipschitz连续路径。此外，可以证明（Xψ，ψ∈ ψ）是一个近似次高斯的局部鞅族。r、 t.dψ，C=2。第6.7节提供了该结果的证明。4讨论让我们讨论一下文献中的一些相关结果。在[13]和[1 4]中，研究了概率测度的一般凸集Q的极大极小关系（1.1），该关系等价于P，在粘贴或时间一致性下不显式施加稳定性。

然而，这里隐含的是（见[13，引理B.1的证明]和[14，命题3.1的证明]），对于每个τ∈ T和anyQ∈ Q、 a序列（Qk）k∈从Fτ上的Q与Q的概率测度，从而得到supσ∈T，σ≥τEQk[Yτ| Fτ]---→k→∞ess infQ∈Qess supσ∈T，σ≥τEQ[Yσ| Fτ]P-a.s。。结果表明，一般情况下，只有对于时间一致集Q，上述关系才能成立。提案4.1。LetbQ表示F上所有概率测度的集合，使得等式[X]≥infQ′型∈QEQ′[X]h表示每个P-本质有界随机变量X。此外，让Q的每个成员都等价于P，并定义集S（Q）由所有一致有界的自适应cádlág过程Z=（Zt）0组成≤t型≤t每一个单站ping问题都是supτ∈TEQ[Zτ]（Q∈ Q） 有一个解决方案。考虑以下陈述：（1）Q是时间约束。（2） infQ公司∈QEQ【X】≤ infQ公司∈QEQ[ess infQ∈QEQ[X | Fτ]]适用于每个P-本质有界随机变量X和每个停止时间τ∈ T（3） bQe˙={Q∈bQ | Q≈ P} 粘贴时稳定，ndess infQ∈QEQ[X | Fτ]=ess infQ∈P-本质y有界X，τ的bQeEQ[X | Fτ]∈ T（4） 对于任意进程Z=（Zt）0≤t型≤T∈ S（Q），对于任何τ∈ T和Q∈ Q、 有一些序列（Qk）k∈Nin Q，其成员在Fτ上与Q一致，因此应为supσ∈T，σ≥τEQk[Zσ| Fτ]---→k→∞ess infQ∈Qess supσ∈T，σ≥τEQ[Zσ| Fτ]P-a.s。（5） Q在粘贴下是稳定的。然后是陈述（1）-（3） 与（5）中的（4）相同。此外，应用程序（4）=> （1）持有。命题4.1的proo f委托给第6.8.5小节，一个关于较低Snell包络的抽象极大极小结果让我们定义所有随机变量X的集合X(Ohm, F、 P）满足| X |≤ CY*+ 1.某些C>0的P-a.s。注：X是一个Stonean向量格，包围集合{Yτ|τ∈ T}和空间L∞(Ohm, F、 P）所有P-本质有界随机变量的。